BOSQUEJO HISTORICO DE LA GEOMETRIA ANALITICA

ORIGENES DE LA GEOMETRIA

En el año de 1637 publicó Rene Descartes (1596-1650) su geometrie, dividida en tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometría Analítica, y de la cual se ha dicho, con toda exactitud, que ha hecho época. En ella establece el enlace entre el número y el espacio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más tarde, su publicación influyó en forma decisiva en el desarrollo de todas las ramas de las ciencias exactas, específicamente el con la nueva simbólica de preconiza.

Es opinión generalmente admitida entre los matemáticos que la Geometría Analítica brotó completamente elaborada, adulta, de la cabeza de Descartes. Sin embargo, hay discrepancias entre los sabios a este respecto. “Algunos autores han escrito, otros lo han repetido y se repite constantemente, que Descartes es el inventor de la aplicación del Álgebra a la geometría. Esto no es exacto. Se atribuye a Descartes más de lo que pudiera pretender”. A pesar del merito indiscutible de este matemático, no pude aceptarse lo que la géométrie dice M. Charles (1793-1880) al llamarla criatura generada sin madre, pues con tal afirmación se olvidan demasiado los derechos de sus antecesores, y de F. Viete (1540-1603) en particular, en cuyas obras hay aplicaciones del Álgebra a la Geometría.

ORIGENES DE LAS COORDENADAS

Si se entiende al uso de coordenadas para localizar un punto, los albores de la Geometría Analítica se remontan a Arquímedes (287-212 a. de J.C.) y a Apolonio de Perga (siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos después, a J. Képler (1571-1630), pues para el estudio de las cónicas se valían ya, sustancialmente, de las coordenadas (cartesianas) refiriéndose, empero, a ejes intrínsecamente conectados con la curva estudiada.

Algo mejor relacionado con el concepto moderno de las coordenadas se encuentra en un dibujo del siglo X u XI, de autor desconocido, al hacer el estudio de las trayectorias de los planetas, en el cual representa la latitud y la longitud, respectivamente, como ordenada y abscisa. Este método de representación, que fue adoptado en Astronomía y aún se usaba en el siglo XIV, dio lugar a una obra, notable para aquella época, de N. Oresme (1323-1382), obispo de Lisieux, intitulada Tractatus de latitudinibus formarum, escrita en 1361. En este trabajo se reconoce la verdadera aparición de la Geometría Analítica, a la vez que un primer germen del concepto de función y hasta de derivada. Allí se halla la idea de la representación gráfica por medio de coordenadas rectangulares, de las funciones, que Oresme en latín denomina Formae. Considera dos magnitudes, llamadas lonjitudo y latitudo: la primera la considera como variable que depende de la primera. La latitudo puede ser uniformis o difformis: en el primer caso la gráfica correspondiente es una recta paralela al eje escogido, o sea la latitudo es difformis, puede tenerse una latitudo secundum se totam difformis, si la gráfica consta de una línea única, o bien latitudo secundum partem difformis, si consta de porciones distintas, algunas de las cuales son rectas paralelas al eje.

La actitud de Oresme no es la de un creador de las ideas que expone, pues parece atribuirlas a autores antiguos, para nosotros completamente desconocidos.

ESTUDIO DE LAS CURVAS: PARABOLA, ELIPSE E HIPERBOLA

Si en la Geometría Analítica se considera el estudio particularizado de las tres grandes curvas: parábola, elipse e hipérbola, debería hacerse remontar esta ciencia a Menaicmo (siglo IV a. de J.C.), a quien se atribuye la invención de dichas curvas, que constituyen lo que se ha denominado la tríade de Menaicmo.

En realidad, los nombres con los que se citaban a estas curvas ya existían y fueron creados por los pitagóricos. Estos al resolver el problema que denominaron aplicación de las superficies planas, introdujeron las palabras parábola, elipse e hipérbola según que en la aplicación de dichas superficies hubiese igualdad, deficiencia y exceso respectivamente.

Posteriormente a Menaícmo, Arquímedes amplió el campo del estudio de esas tres curvas; Apolonio de Perga concibió las secciones cónicas, determinadas no ya únicamente, según se presume lo había hecho Menaícmo, en un como recto rectangular, o cono cuyas generatrices opuestas se cortan en ángulo recto, sino como resultantes de la intersección de un plano con un cono circular cualquiera, ya sea rectangular o no.

En la obra de Apolonio, que él denominó Secciones Cónicas, se encuentra la afirmación de que, en el plano, el lugar de un punto (móvil) cuyas distancias a dos puntos fijos dan una suma o una diferencia constante, es una elipse o una hipérbola, que tiene como focos esos puntos fijos.

El mismo Apolonio aclara que una tangente a la elipse deja los dos focos de un mismo lado de dicha tangente, y que en la hipérbola quedan uno de un lado y el otro del otro lado.

La primera propiedad notable relativa a las cónicas, enunciada por Apolonio y que se acaba de citar, fue tomada por F. de la Hire (1640-1718) como definición de las curvas que tienen el centro, y de la segunda se ideó la manera de describir la elipse por trazo continuo. Esta construcción la indicó por primera vez el bizantino Antemio (siglo VI).

Otro gran matemático, P. de Fermat (1601-1665), contemporáneo de Descartes y por éste admirado, había ideado, a su vez, la Geometría Analítica. Sus trabajos relacionados con ella se remontan al año 1629, es decir, procedieron la publicación de la Géométrie.

Fermat publica una obra llamada introducción al estudio de los lugares planos y sólidos. Esta obra de Fermat, es de gran importancia, pues enseña a interpretar ecuaciones sencillas con dos variables, considerando rectas, elipses, parábolas e hipérbolas.

ORIGENES DE LOS EJES, ABSCISAS, ORDENADAS Y COORDENADAS

Volviendo a Descartes y a su obra, justo es hacer notar que un punto de vista y su técnica, relativamente a la Geometría Analítica, son incomparablemente más adelantados que los de Fernat. Con respecto a la Géométrie, observa J. E. Montucla (1725-1799) que “Descartes no ha pretendido componer un trabajo didáctico; se limita a trazar a los matemáticos el camino que han de recorrer, y en su libro no hay ni orden ni desarrollos: sólo son ideas de un hombre de genio, que no sigue la marcha de los espíritus ordinarios”.

Pero, aunque en la Géométrie sólo se contenga un primer ensayo de la Geometría Analítica, corresponde al gran Cartesio el mérito de haber abierto el camino a nuevos métodos, por lo cual ha sido mirado siempre como una obra que ha hecho época y como un instrumento de investigación incomparable más poderoso que la geometría de los antiguos.

Refiriéndose a la creación de Descartes, escribe el matemático P. Boutroux (1845-1922) que su importancia estriba en “hacer ver cómo en la aplicación sistemática de coordenadas había un método de un poderío y una universalidad desconocidos hasta entonces en la matemática; un método destinado a anular, por la superación, a todos los anteriores; un método que, en colaboración con el concepto de función, debía revolucionar y regenerar todas las ciencias que se hallaban relacionadas con los conceptos del espacio y tiempo”.

Descartes no habla de ejes, ni de abscisas, ni de ordenada, ni de coordenadas. Para la representación de las curvas, escoge una recta, en posición horizontal, que a veces llama diámetro y, para comenzar el calculo, señala en ella un punto fijo (origen); luego toma puntos en el diámetro, y a cada punto asocia otro u otros, según la línea que estudia; en otras palabras: dada la ecuación de una línea y la elegida una recta como eje y en ella un punto fijo, a cada distancia (abscisa) contada desde el origen corresponde otra distancia (ordenada) en una dirección perpendicular al eje; el extremo del segundo segmento u ordenada, determina un punto de la línea, es decir, el punto de la línea queda localizado cuando no es conocido el punto tomado en el eje.

Descartes no introduce formalmente el segundo eje, el vertical.

Las coordenadas x, y las llama cantidades indeterminadas y, contrariamente a lo que se hace en la actualidad, toma las abscisas en el sentido vertical y las ordenadas en el horizontal.

“Observase en Descartes que adopta como principio que la ecuación de un lugar geométrico únicamente es válida para el cuadrante para el cual fue establecida. La generalización de sus propiedades a los demás cuadrantes fue asunto que sólo a la larga llegó a considerarse, y no puede atribuirse a ningún geómetra en particular”, lo anterior lo afirma P. Tannery (1843-1901).

G. F. de L´Hospiatl (1661-1704), que publicó el más importante texto de Geometría Analítica, fue quien introdujo realmente los dos ejes, no forzosamente perpendiculares, y atribuyó signos a las coordenadas, según las convenciones aún hoy en día en uso, aunque advierte al lector que se limitará a describir los fenómenos que se verifican dentro del ángulo (cuadrante) de las direcciones positivas de los ejes.

Con respecto a los signos de las coordenadas, merece particular mención I. Newton (1642-1727) por ser el primer matemático que sacó grandes ventajas de la consideración de dichos signos, mereced a lo cual logró grandes simplificaciones.

Con el mismo Newton comienza, propiamente, a considerarse la hipérbola como una curva de dos ramas, cosa que no se había hecho antes, pues Apolonio no consideraba ambas ramas como pertenecientes a una misma curva.

Justo es advertir que el considerar de una manera sistemática el signo de los segmentos, así como el de los ángulos, de las áreas, etc., sólo se hizo en época posterior, por A. F. Mobius (1790-1868).

En cuanto a los sucesores de Descartes, y a los que siguieron a Newton, le dieron poco impulso a la Geometría Analítica, y únicamente se esmeraron en aclarar las ideas de esos maestros. Entre los continuadores de la obra de Cartesio, además del marqués de L´Hospital, debe mencionarse al ya citado F. de La Hire. Un adelanto importante que se tiene con este matemático, pues enseña que, con respecto a las coordenadas de un punto, puede tomarse indistintamente una de ellas como variable independiente y la otra como dependiente de la primera, y viceversa. Para entender su expresión, necesita tenerse presenta que llama origen del lugar al origen; que las coordenadas de un punto arbitrario las designa con los nombres de tallo y ramas; que entiende por nudo el pie de la ordenada del punto considerado y que por lugar entiende a toda línea o superficie cuyos puntos todos tienen una misma relación con determinados elementos fijos, Su manera de expresar la indicada propiedad es: Pueden cambiarse las partes del Tallo en Ramas y las Ramas en partes del Tallo, sin cambiar el lugar, el origen ni el ángulo comprendido entre el Tallo y las Ramas.

GEOMETRIA ANALITICA, ORIGENES DE LA TERCERA DIMENSION.

Descartes termina el segundo libro de su obra observando que el concepto fundamental de su método puede extenderse del plano al espacio, es decir, mencionó la Geometría Analítica de tres dimensiones, pero nada escribió acerca de ella. F. van Schooten el joven (1615-1660), traductor y comentador de Descartes, fue el que sugirió, en 1657, el uso de coordenadas en el espacio tridimensional.

El que echó los cimientos de la Geometría Analítica de tres dimensiones, fue A. Parent (1666-1716). Enseñó por primera vez a representar una superficie, la de una esfera y otros sólidos, por medio de una ecuación cartesiana, que él llama équation superficielle; pero, aunque habla de un punto como origen o punto de referencia, no menciona ni ejes ni planos coordenados.

El que indicó la consideración de los tres ejes coordenados de un sistema cartesiano, es J. E. Hermann (1678-1733). Con él la Geometría Analítica del espacio, entonces incipiente, recibió notable impulso. Considera tres ejes de referencia, y hace observar que un punto cualquiera de cada eje tiene dos de sus coordenadas nulas. Demuestra que toda ecuación de primer grado con tres variables, ax + by + cz - d = 0, representa un plano; partiendo de ella, deduce las coordenadas de la intersección del plano con cada uno de los ejes cartesianos.

A. C. Clairaut (1713-1765), amplió la obra de Hermann, que constituyo un verdadero tratado de la Geometría Analítica del espacio, pues, además de determinar tangentes y normales a las curvas alabeadas, hace figurar ecuaciones de planos, ecuaciones de las superficies de la esfera, del paraboloide y, en general, las ecuaciones de las superficies de los sólidos de revolución.

L. Euler (1707-1783) establece los fundamentos de la Geometría Analítica del espacio. Estudia las superficies representadas por las ecuaciones de segundo grado, y hace la reducción de ellas a cinco tipos.

COORDENADAS POLARES

Las coordenadas polares en el plano, debe decirse que dichas coordenadas fueron inventadas en 1691 por Jacobo Bernoulli (1654-1705), pues antes se habían usado para el estudio de las espirales solamente.

El apelativo Analítica es posterior a Descartes. Aparece en la edición que de las obras de Newton hizo S. Horsley en 1779, con el nombre de Geometría Analytica, sive specimina artis analyticae, es decir, Geometría Analítica, o especimenes del arte analítico.

Débese al marqués de L´Hospital la introducción de la palabra origen, y son de G. G. Leibniz (1646-1716) las palabras abscisa y ordenada (en el sentido que se les da actualmente) y coordenadas. La palabra parámetro, aplicada a ecuaciones paramétricas, fue usada por este mismo autor.

Arquímedes ya usaba las palabras eje, vértice y diámetro. Con esta última indicaba los ejes de simetría de la elipse y el de la parábola, como recta dada. El mismo Arquímedes usaba también la expresión diámetros conjugados, pero la teoría relacionada con ellos es, tal vez, de fecha anterior.

La palabra asíntota aparece usada por Autolico (cerca del año 320 a. de J. C.), pero sólo llega a ser un término propiamente técnico con Apolonio, el cual consideraba como una recta cuya distancia a la curva disminuye constantemente. El primero que consideró las asíntotas como rectas tangentes cuyo punto de tangencia se halla en el infinito, fue G. Désargues (1593-1661).

Por último, débese a Képler el haber introducido la palabra foco que, en el caso de la elipse, le fue sugerida por la observación de que los rayos luminosos o caloríficos que parten de uno de los focos de esa curva, son reflejados por ella en tal forma que pasan por el otro foco.