“El Primer Escalón”

Trabajo sobre los aportes de Galileo a la Física

Mecánica

Indice

“El Primer Escalón”

Introducción

Toda ciencia actual, por más moderna, exacta y novedosa, necesita una base, un lugar de donde haber salido, un nacimiento, “El primer escalón” de esa escalera que alguna vez nos llevará al cielo.

Tal es el caso de la física mecánica y, a nuestro gusto, su verdadero nacimiento, acontecido en los pensamientos y estudios de Galileo Galilei.

Galileo era un hombre sabio, curioso y obstinado, si él no se convencía de algo por si mismo, nadie lo haría, tal como lo demuestra la siguiente cita:

“Tenía setenta y nueve años de edad y su cabello y su barba eran tan blancos como la espuma. Sus ojos, que miraron al cielo a través de sus telescopios y observaron más que cualquier ser humano desde el principio de los tiempos, estaban apagados por la edad. Su reputación de ser uno de los más brillantes científicos de su tiempo fue la razón de que reyes, reinas disputaran sus servicios. Ahora estaba arrodillado ante el temido tribunal de la Inquisición, obligado a confesar públicamente un error que no era error: " Yo Galileo Galilei..., abandono la falsa opinión... de que el Sol es el centro (del Universo) y está inmóvil....Abjuro, maldigo y detesto los dichos errores". Algunos dicen que cuando el anciano se puso de pie murmuró para su interior: "E pur si muove”: Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol). “

Es de esta perseverancia, de esta necesidad por saber y descubrir que les vamos a hablar, acompañenos en este viaje por los estudios de este maestro de la ciencia, empezando por sus experimentos de la caída hasta el fin de sus estudios como físico, el péndulo.

Galileo Galilei

Nació: 15 de Febrero de 1564 en Pisa (Ahora Italia)

Falleció: 8 de Enero de 1642 en Arcetri (cerca de Florencia), (Ahora Italia)

Galileo nació en una familia de siete hijos, con un padre que era un talentoso músico y un hombre de considerable cultura. A temprana edad, Galileo prometía mucho tanto mental como manualmente. Tenía diecisiete años cuando ingresó a la Universidad de Pisa, donde se especializó en medicina y estudió también matemáticas y ciencias físicas.

Una vez cuando todavía estudiaba en Pisa, observó la regularidad con que oscilaba una lámpara en la catedral. Apenas pudo esperar hasta que volvió a su casa para experimentar con bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes. Descubrió que, cualquiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita necesitaba el mismo tiempo para completar un viaje de ida y vuelta. Sólo el cambio de la longitud afectaba el tiempo de la oscilación (periodo de vibración). Esta observación condujo al invento del péndulo, usado en los relojes y otros instrumentos para medir con precisión el tiempo. Leyó las obras de Arquímedes y usó las matemáticas para probar algunos de los experimentos de este último con líquidos y aleaciones. Como estudiante, tuvo una mente inquisitiva y fama de disputador.

A los veinticinco años fue nombrado profesor de matemáticas de la Universidad de Pisa. Como profesor Galileo prosiguió su búsqueda de la verdad, analizando las teorías científicas de Aristóteles mediante la aplicación de las matemáticas y las observaciones experimentales.

Creó el concepto de la aceleración que se usa en la física moderna (la aceleración es el incremento de la velocidad por unidad de tiempo) y el concepto moderno de la fricción y la inercia con respecto a los objetos en movimiento. Analizó los componentes de la fuerza, demostrando, por ejemplo, que las fuerzas que afectan a la trayectoria de una bala son hacia abajo y hacia adelante, de tal manera que pueden medirse sistemáticamente. Estos experimentos iniciados antes del 1590, fueron perfeccionados y publicados en 1638 en su obra Diálogos sobre dos nuevas ciencias (movimiento y mecánica).

La obra de Galileo, que inició la comprensión de estas esferas, llevó a la formulación de las leyes de movimiento de Newton, más precisas, y al perfeccionamiento que de esas leyes hicieron más tarde otros científicos.

Galileo resultó un rebelde en otros sentidos. Así, por ejemplo, se negaba a ponerse las ropas académicas que usaban sus colegas, aduciendo que estorbaban innecesariamente sus movimientos. Por no usarlas, se le obligó a pagar varias multas, hasta que fue despedido de la facultad de Pisa.

Galileo fue un hombre muy generoso con su familia. Asumió la responsabilidad de una considerable dote para el matrimonio de su hermana. Un hermano joven le pedía constantemente dinero para poder vivir con elegancia. El hecho de que Galileo tuviera que abandonar la Universidad de Pisa resultó afortunado, pues obtuvo un empleo mejor pagado en la Universidad de Pasuda. Su vida fue feliz y productiva durante muchos años.

Estableció un taller para fabricar instrumentos como brújulas magnéticas, termómetros y telescopios. También llegó a ser un experto en la construcción de fortificaciones militares. A principios del siglo XVII escuchó que un óptico holandés logró unir una lente cóncava y una lenta convexa, de tal manera que hacia que los objetos distantes parecieran más cercanos. Usando esa idea construyó un telescopio que ampliaba los objetos treinta veces, y en 1609 dio una demostración pública de su uso.

Cuando Galileo volvió su telescopio hacia el cielo, por la noche, abrió nuevos campos de conocimiento que describió en su libro Mensajero de las estrellas. En el dice : "Doy gracias a Dios, que ha tenido a bien hacerme el primero en observar las maravillas ocultas a los siglos pasados. Me he cerciorado de que la Luna es un cuerpo semejante a la Tierra...He contemplado una multitud de estrellas fijas que nunca antes se observaron....Pero la mayor maravilla de todas ellas es el descubrimiento de cuatro nuevos planetas (cuatro satélites de Júpiter)...He observado que se mueven alrededor del Sol".

Descubrió que la Vía Láctea consistía en una miríada de estrellas; que el Universo no era fijo ni inmutable, como creían sus contemporáneos, pues aparecían ante su vista nuevas estrellas que luego desaparecían; que los planetas Venus y Mercurio se movían también alrededor del Sol y que el Sol mismo giraba sobre su eje.

En 1632 publicó otro libro, Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo, brillante sátira que demostraba por medio del diálogo las fallas del sistema geocéntrico tolomeico en comparación con el sistema heliocéntrico copernicano. Su último libro, Diálogo sobre dos nuevas ciencias, en la que resumía todas sus investigaciones sobre el movimiento y la mecánica, lo envió subrepticiamente a Holanda, donde fue publicado en 1638.

Lamentablemente, Galileo no lo vio impreso jamás porque, en 1638, a la edad de setenta y cuatro años, quedó ciego. Cuando murió en 1642, venerado por los ciudadanos y muchos hombres principales de la Iglesia y de los seglares, la Inquisición se negó a permitir la realización de un funeral público.

Galileo y las matemáticas del movimiento

La ley de la caída.

Es el primero de los experimentos significativos de Galileo y base para sus próximos estudios, ya sea el de planos inclinados, como el de los péndulos y los lanzamientos parabólicos, ya que todos estos se podrían catalogar como formas especiales de caída.

Además de ser la base de sus propios estudios, Galileo establece, con esta teoría, la piedra angular de la dinámica universal.

Ninguno de los descubrimiento del gran florentino, alcanza la jerarquía de su descripción matemática de la caída libre, buscada durante siglos en vano, pese a los muchos esfuerzos. Es la máxima hazaña de Galileo y el punto de arranque de toda la dinámica.

Como todo descubrimiento, parte a raíz de una curiosidad innata que conlleva a una pregunta. Él se preguntó si es que la velocidad de caída aumentaba con un patrón establecido o dependía de cada caso en particular, y si era así, a que se debía esto, porque no podía ser simple, como la mayor cantidad de verdades según los físicos del renacimiento. Como decía el mismo, Simplex est sigillum veri: la sencillez es el sello de la verdad.

Observando la caída de una piedra, a simple vista, se aprecia que la velocidad de esta aumenta constantemente durante el recorrido, y siguiendo su principio de simplicidad, el llegó a la conclusión de que debía existir una constante que hiciera aparecer este incremento.

Como es natural creer que un cuerpo que es más pesado, cae más rápido que otro, y siguiendo con su afán de descubrir la naturaleza arraigada en la caída, se dirigió a la torre de Pisa, donde lanzó dos cuerpos, uno más liviano que el otro, obteniendo como resultado que ambos cuerpos llegaban a la tierra al mismo tiempo. Con este fenómeno, descubre que tanto la velocidad de caída como la aceleración del cuerpo es independiente del peso de este.

Existían dos posibilidades de este incremento de velocidad, primero que este dependiera de la distancia recorrida, esto es que en iguales intervalos de trayecto el aumento de velocidad sea el mismo. Esta teoría es claramente errónea puesto que la velocidad crecería en forma lineal respecto de la distancia recorrida, o sea posición. El error de él fue el de tratar de geometrizar un fenómeno físico de la naturaleza, pero la geometría carece de dimensión temporal.

V=g*s

El segundo caso era el de que la velocidad creciera proporcionalmente en razón de la duración de la caída, teoría más acertada.

V=g*t

Para comprobar esta teoría dividió el tiempo de caída en dos, ocupando métodos rústicos de medición de tiempo (cabe recordar que en ese tiempo no había nada que midiera el tiempo como un cronómetro.) ocupados por los griegos. Para que quede bien explicado se cita:

“Como a incrementos iguales de tiempo corresponden incrementos iguales de velocidad, resulta de la comparación que las velocidades perdidas en la primera parte del tiempo están exactamente compensadas por las velocidades ganadas en la segunda parte de la duración de la caída. Por lo tanto, se puede considerar el camino recorrido en el movimiento acelerado, como si hubiera sido recorrido en un movimiento uniforme, con la velocidad media, siendo ésta igual a la mitad de la velocidad final. Síguese de esta sustitución que los espacios serán entre si como los semi-productos de las velocidades finales por los tiempos de caída. Pero como la velocidad adquirida es, por hipótesis, proporcional al tiempo, los espacios recorridos estarán en la misma relación que los cuadrados de los tiempos empleados en recorrerlos, en símbolos:

s= ½ gt2

Hoy en día esto resulta obvio, pero Galileo no sabía si esto era verdad, ¿Acaso esta era la ley que él buscaba? Él sabía que esto si le presentaba una verificación, sólo sería una verificación aproximada, ya que se necesitaría de un medio geométrico, libre de ningún tipo de fuerza resistente y ajeno a todo a todo agente perturbador, y además requeriría una medición exacta del tiempo, pero no habían relojes con segundero ni bombas neumáticas para generar vacío, se podría decir que Galileo estaba adelantado a su época, pero él no desiste, y se propone utilizar el plano inclinado para solucionar su problema.

Con esta decisión él pasa de un problema casi resuelto a uno por resolver, pero con la mentalidad de que si establecía una ley para caídas inclinadas, y llevaba esta al caso límite, es decir, una inclinación de 90º, la ley se conservaría y sería posible aplicarlo a la caída libre con el fin de comparar resultados.

Los Experimentos en Planos Inclinados

Detrás del personaje de la foto está una reproducción del taller de Galileo -- según lo reconstruido en el museo de Deutsches en Munich, Alemania. Como se puede ver, contiene muchos de los instrumentos matemáticos y del equipo experimental usado por Galileo en sus estudios -- el más prominente de cuál es el plano inclinado. Esto fue construido ciertamente para ayudar con su estudio del movimiento -- movimiento acelerado en detalle.

Discutimos anteriormente la demostración de Galileo realizada en la torre inclinada de Pisa -- que refutó la teoría de Aristóteles del movimiento mostrando que los objetos de diverso peso caen con la misma aceleración, golpeando la tierra, virtualmente, en el mismo tiempo.

Galileo deseó estudiar la gravedad -- y cómo la aceleración era afectada -- en detalle, pero los objetos que caían aceleraban demasiado rápido, y el tiempo era demasiado corto para hacer observaciones exactas.

¿Había una manera que él podría intentar para retrasar el efecto de la gravedad y observar el índice de la aceleración en la cámara lenta? Esto es exactamente lo que hace Galileo en el plano inclinado.

La imagen nos muestra un plano inclinado en 60º.

En el plano inclinado en 60º la aceleración de gravedad no es tanto más lenta que en caída libre. Pero en 30º se puede ver que es posible ahora comenzar a medir relaciones de transformación del tiempo y de la distancia con exactitud razonable.

La fuerza de la gravedad continúa actuando en la bola de billar mientras que comienza en el tiempo t0 a rodar por el plano, y va cada vez más rápido, hasta que al final rueda sobre el plano horizontal.

En este punto, como razonó Galileo, la gravedad ya no hace efecto sobre la bola para que esta continúe acelerando su movimiento; en lugar, el efecto de la gravedad ahora es uniforme, o constante, y la bola de billar ahora continuará idealmente moviéndose en una línea recta, con un movimiento uniformemente constante. Éste, en efecto, era una de las observaciones importantes de Galileo sobre el movimiento, y es una versión de la ley de la inercia.

Si ahora bajamos el plano aún más, la fuerza de la gravedad será incluso más diluida, como por ejemplo, si nosotros ahora rodamos la bola de billar por un plano inclinado más bajo que el resto en el tiempo t0, podremos medir los intervalos del tiempo y la distancia más exactamente.

¿Pero cómo? Galileo no tenía ningún cronómetro - ni siquiera un reloj de péndulo. Lo que él utilizó era una Clepsidra(Ver apéndice), una versión del reloj antiguo de agua, que proporcionó a una medida relativa de distancias en términos de las cantidades de agua recogidas en un tarro mientras que la bola de billar rodó abajo del plano inclinado. Pero había otra manera de medir los intervalos del tiempo que Galileo también utilizó.

Los intervalos iguales del tiempo son medidos fácilmente por intervalos musicales y Galileo encontró algo que sorprendía absolutamente cuando él intentó esto.

Veámoslo con un plano inclinado en 20º, comenzamos a rodar la bola en un tiempo t0 y contamos iguales intervalos de tiempo, como rueda ella plano abajo.

En el primer segundo la bola cubre una distancia de una unidad. En el segundo siguiente cubre tres veces esta distancia, y en el segundo siguiente, porque la aceleración continúa haciendo el movimiento de la bola más rápido, cubre una distancia cinco veces mayor a la distancia inicial. Como Galileo descubrió, a partir de un segundo al otro del como la bola rueda por del plano inclinado, las relaciones de transformación que las distancias cubrieron aumento por números impares, por intervalos de 1, de 3, de 5, de 7, de 9, del etc.

Intentar esto en planos de diversos ángulos produce siempre la misma progresión de las distancias cubiertas en intervalos iguales del tiempo. Esto está siempre en proporción con la secuencia de números impares: 1, 3, 5... etcétera

Esta progresión de distancias por números impares, como Galileo había observado para los objetos uniformemente acelerados es absolutamente notable, pero hay más. Ahora analicemos más cuidadosamente.

Después de 1 segundo la bola había cubierto una distancia de una unidad. En el segundo siguiente, cubre tres más unidades, así que en el final de los primeros dos segundos ha cubierto un total de cuatro unidades de la distancia. En el tercer segundo, cubre 5 unidades más, para después de tres segundos recorrer una distancia total de 9 unidades. Si la bola continúa para otro segundo, cubrirá 7 más unidades para recorrer una distancia total de 16 unidades después de cuatro segundos.

Como Galileo había observado, existe una relación entre el tiempo y la distancia -- es decir esa aceleración actua uniformemente en un objeto que cae

Usando el símbolo matemático que representa la relación de ser proporcionales escribimos esto como:

Análisis de Galileo del movimiento del proyectil

Galileo dedico su vida a la experimentación - como un matemático -y como una conclusión de su mas grande trabajo, publico en 1938, Dialogues of the Two New Sciences. Aquí en la segunda mitad del libro, él se preocupo del lanzamiento de proyectiles.

La imagen de arriba refleja la opinión general antes de Galileo, que siguió líneas en gran parte aristotélicas, pero incorpora también una teoría más nueva del " ímpetu " -mantuvo que un objeto tirado de un cañón, por ejemplo, sigue una línea recta hasta que " pierde su ímpetu, "y en este punto precipita a tierra. Más adelante, simplemente por una observación más cuidadosa, como esta ilustración de un trabajo de Niccolo Tartaglia muestra claramente.

Fue observado que los proyectiles siguen realmente una cierta clase de camino curvado, pero ¿qué clase de curva? Nadie sabía hasta Galileo.

Era otra observación esencial que condujo a Galileo, finalmente, a su conclusión más notable sobre el movimiento del proyectil. Primero que todo, él razonó que un tiro del proyectil de un cañón no es influenciado solamente por un solo movimiento, sino que por dos -- el movimiento que actúa verticalmente es la fuerza de gravedad, y ésta tira hacia abajo el proyectil por la ley de tiempos al cuadrado. Pero mientras que la gravedad está tirando hacia abajo el objeto, al mismo tiempo el proyectil también se está moviendo hacia delante, horizontalmente. Y este movimiento horizontal es uniforme y constante según su principio de la inercia. Pero ¿podría él demostrar esto? En efecto, usando su plano inclinado otra vez, Galileo podía de hecho demostrar que un proyectil está sujeto a dos movimientos independientes, y se combinan para proporcionar una clase exacta de curva matemática.

¿Qué sucedería si, en vez de rodar a lo largo del plano horizontal, la bola ahora se le permitiera caer libremente una vez que llegara al fondo del plano? Si Galileo estuviera en lo correcto a cerca de la independencia de los movimientos horizontales y verticales, el cuerpo continuaría moviéndose horizontalmente con una velocidad uniforme, constante, pero la gravedad ahora comenzaría a tirarla hacia abajo verticalmente al mismo tiempo, la distancia que aumentaba proporcionalmente al cuadrado del tiempo transcurrido... y esto es exactamente lo que encontró Galileo.

Usted puede ver el experimento simulado en las siguientes imágenes

Usted notará cómo el camino de la bola rastrea una curva exacta como la de abajo.

Aquí está una imagen de uno de los manuscritos de Galileo en los cuales él anota las figuras que él obtuvo en la ejecución de este experimento mismo.

Lo que realmente se viene a ver es que, de hecho, la curva describe una curva matemática exacta -- es una que los Griegos habían estudiado y que ya habían llamado parábola. “La extraordinaria conclusión que Galileo había alcanzado en este libro es que el camino descrito por cualquier proyectil sigue una parábola, y las consecuencias exactas del descubrimiento que, como el dijo, sólo podían ser alcanzada gracias a un exhaustivo análisis que las sólo matemáticas hicieron posibles”.

Galileo y el Péndulo Simple.

¿Qué es un Péndulo?

Péndulo, dispositivo formado por un objeto suspendido de un punto fijo y que oscila de un lado a otro bajo la influencia de la gravedad. Los péndulos se emplean en varios mecanismos, como por ejemplo algunos relojes.

En el péndulo más sencillo, el llamado péndulo simple, puede considerarse que toda la masa del dispositivo está concentrada en un punto del objeto oscilante, y dicho punto sólo se mueve en un plano. El movimiento del péndulo de un reloj se aproxima bastante al de un péndulo simple. El péndulo esférico, en cambio, no está limitado a oscilar en un único plano, por lo que su movimiento es mucho más complejo.

El principio del péndulo fue descubierto por Galileo, quien estableció que el periodo de la oscilación de un péndulo de una longitud dada puede considerarse independiente de su amplitud, es decir, de la distancia máxima que se aleja el péndulo de la posición de equilibrio. (No obstante, cuando la amplitud es muy grande, el periodo del péndulo sí depende de ella). Galileo indicó las posibles aplicaciones de este fenómeno, llamado isocronismo, en la medida del tiempo. Sin embargo, como el movimiento del péndulo depende de la gravedad, su periodo varía con la localización geográfica, puesto que la gravedad es más o menos intensa según la latitud y la altitud. Por ejemplo, el periodo de un péndulo dado será mayor en una montaña que a nivel del mar. Por eso, un péndulo permite determinar con precisión la aceleración local de la gravedad.

“El fenómeno del Péndulo Simple pasó de ser un "formulazo" a un modelo, y de éste a un experimento, pero la historia no estaba terminada aún. Investigando más sobre el péndulo "simple" , llegué a encontrar que Galileo por allá del siglo XVI también tuvo que ver con este artefacto. Se cuenta que un día del año de 1583, en la catedral de Pisa le llamaron la atención las oscilaciones de una lámpara de aceite que pendía del techo, observó que el tiempo que tardaba en completar una oscilación era aproximadamente el mismo, aunque la amplitud del desplazamiento iba disminuyendo con el tiempo. Fue aquí cuando el relato me conmovió, porque yo no sabía que, como nuestro amigo Galileo no tenía cronómetro para medir los intervalos del tiempo y verificar su observación, entonces ¡usó como patrón de medida su propio pulso! Estas mediciones tuvieron una profunda influencia en los estudios científicos de la época”.

Debido a su acercamiento matemático al movimiento, Galileo estaba intrigado por el movimiento hacia atrás y delante de un cuerpo pesado suspendido. Sus consideraciones más tempranas de este fenómeno deben datar de los días anteriores a que aceptara un puesto de maestro en la universidad de Pisa.

Su primer biógrafo, Vincenzo Viviani, afirma que comenzó su estudio de los péndulos después de que observara una lámpara suspendida balanceándose hacía delante y atrás en la catedral de Pisa cuando todavía era un estudiante allí. Las primeras notas de Galileo sobre la materia datan de 1588, pero no comenzó a hacer investigaciones serias hasta 1602.

El descubrimiento de Galileo fue que el periodo del balanceo de un péndulo es independiente de su amplitud - el arco del balanceo - el isocronismo del péndulo. Este descubrimiento tenía importantes aplicaciones para la medida de intervalos de tiempo. En 1602 explicó el isocronismo de péndulos largos en una carta a un amigo, y un año después a otro amigo, Santorio Santorio, un físico de Venecia, que comenzó a usar un péndulo corto, al que llamó "pulsilogium", para medir el pulso de sus pacientes. El estudio del péndulo, el primer oscilador armónico, data de este periodo.

El movimiento del péndulo planteaba interesantes problemas. ¿Qué movimiento era más rápido desde un punto elevado a otro más bajo, aquél a lo largo de un arco circular como un péndulo o aquél a lo largo de una línea recta como en un plano inclinado? ¿Afecta el peso del péndulo al periodo? ¿Cuál es la relación entre la longitud y el periodo? A través de su trabajo experimental, el péndulo nunca se alejó demasiado de los pensamientos de Galileo. Pero también estaba la cuestión de su uso práctico.

Un péndulo podría usarse para medir pulsos o actuar como un metrónomo para estudiantes de música: sus balanceos medían intervalos de tiempo iguales. ¿Podría usarse también para mejorar los relojes? El reloj mecánico, que usaba un cuerpo pesado para proporcionar el movimiento, comenzó a desplazar al reloj de agua en la Edad Media. Por sucesivas mejoras, el sistema se había hecho más pequeño y más fiable. Pero la precisión de los mejores relojes era todavía demasiado mala para, por ejemplo, tener utilidad en astronomía. No solo se adelantaban o retrasaban, sino que además lo hacían de una forma irregular e impredecible. ¿Podría añadirse un péndulo al mecanismo de escape de un reloj para regularlo?

En 1641, a la edad de 77 años, totalmente ciego, Galileo centró su atención en este problema. Vincenzo Viviani describe los sucesos tal y como sigue:

"Un día de 1641, cuando yo vivía con él en su pueblo en Arcetri, recuerdo que se le ocurrió la idea de que el péndulo podría ser adaptado a relojes con pesos, sirviendo en lugar del habitual tempo, confiando en que el movimiento natural y uniforme del péndulo corregiría todos los defectos del arte de los relojes. Pero dado que estaba privado de la vista, no pudo hacer dibujos y modelos del efecto deseado, y le contó a su hijo Vicenzio que venía un día de Florencia a Arcetri su idea y discutieron sobre ella. Finalmente decidieron un esquema que debería ser puesto en práctica para aprender de las dificultades que aparecerían y que no se habrían previsto por la teoría."

Vivani escribió esto en 1559, diecisiete años después de la muerte de Galileo y dos años después de la publicación de Horologium de Christiaan Huygens, en el que éste describía su reloj de péndulo.

Conclusión

¿Qué se puede decir? ¿Qué conclusión se puede sacar más que el asombro mismo? Galileo era un genio, de eso no hay duda.

Estableció los pilares de la mecánica actual con herramientas que para nosotros hubiese sido imposible, más aún con cálculos casi tan exactos que asusta.

La habilidad de Galileo de ver un hecho, casi tan cotidiano como que caiga una piedra y desida estudiarlo, comprenderlo y explicarlo es un don, un don del cual hay que estar agradecido, por que sin este, sin personas como él, no habría orden en este planeta. Por todo esto Gracias.

Apéndices.

Clepsidra (del griego kleptein, 'robar', e hydro, 'agua'), también llamado reloj de agua, antiguo instrumento para medir el paso del tiempo a partir del flujo de agua a través de un pequeño orificio. Las horas estaban marcadas en las paredes de la vasija en la que caía el agua o en el recipiente desde donde fluía. Algunos relojes de agua indicaban la hora mediante el nivel de un flotador. Otro tipo de clepsidra, precursor de los relojes modernos, tenía una rueda conectada a un flotador; a medida que cambiaba el nivel de éste, la rueda giraba e indicaba la hora. Se cree que este dispositivo es de origen egipcio, pero también se empleaba en Grecia y en Roma en la antigüedad. En la antigua Atenas se empleaban clepsidras para regular la duración de los discursos y de los alegatos en los tribunales.

Isocronismo: Igualdad de duración de los movimientos de un cuerpo.

Bibliografía.

Desiderio Papp Ideas Revolucionarias de la ciencia. Tomo ¡ (1975)

Enciclopedia Microsoft Encarta 2000

http://www.galileoweb.com

http://www.historyofphysics.com

http://www.upaep.udu

Imágenes obtenidas de:

http://www.crs45.it/Ares/areshtml/mathofmotion1.html

Cita de Internet http://matematicas.reduaz.mx/Biografias/Galilei.html

Desiderio Papp: Ideas Revolucionarias de la Ciencia, Tomo 1.(1975) ,p. 97.

Desiderio Papp Ideas Revolucionarias de la Ciencia (1975) p.99

http://www.galileoweb.com/trabajos.html

http://www.hystoryofphysics.com

Enciclopedia Microsoft Encarta 2000

Extracto de “El Péndulo y yo”, Ensayo de Héctor Durán, estudiante de Ing. Química, UPAEP.

Estrictamente hablando, un péndulo simple no es isócrono, el periodo varía de cierta manera con la amplitud del balanceo. Esto fue demostrado por Christiaan Huygens, en los 1650s.

http://www.gaglileoweb.com

"Clepsidra," Enciclopedia Microsoft® Encarta® 2000. © 1993-1999 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

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