Matemáticas

Funciones

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F. Creciente, Decreciente, Máximos, Mínimos, Valores Críticos, Puntos De Inflexión Y Concavidades

¿Qué es una función creciente?

Una función y= f(x) es creciente si al aumentar algebraicamente “x”, también “y” aumenta, es decir, la función es creciente en un intervalo si es creciente en todos los valores del intervalo.

Cuando la derivada de la función es positiva, la tangente forma un ángulo agudo con el eje x y tiene pendiente positiva.

¿Qué es una función decreciente?

Una función y= f(x) es decreciente si al aumentar algebraicamente “x”, la “y” disminuye, es decir, la función es decreciente en un intervalo si es decreciente en todos los valores del intervalo.

Cuando la derivada es negativa, la tangente forma un ángulo obtuso con el eje x y tiene pendiente negativa.

Ejemplo grafico

FUNCIÓN CRECIENTE FUNCIÓN DECRECIENTE

Numero critico

Si f está definida en c, se dirá que c es un número crítico de f si f'(c) = 0 o si f' no está definida en c.

Existen 2 tipos de números crítico.

f' © no está definida

Número crítico o valor crítico para la primera derivada

Sea c un número crítico de una función f continua en un intervalo abierto I que contiene a c. Si f es derivable en el intervalo, excepto quizá en c, f' (c) puede clasificarse como sigue:

Si f' cambia de negativa a positiva en c, f (c) es un mínimo relativo de f.

Si f' cambia de positiva a negativa en c, f ( c) es un máximo relativo de f .

Si f' no cambia su signo en c, f ( c) no es ni mínimo ni máximo relativo.

Ejemplo:

Usando el criterio de la primera derivada para halla todos los máximos y mínimos relativos de la función dada por

F(x)= 2x3 - 3x2 + 14

Solución:

F'(x) = 6x2 -6x - 36 = 0

6(x2 - x - 6)= 0

6(x - 3)(x + 2)=0

x= -2, 3 Números críticos

¿Qué es el máximo de una función?

Es cuando de f existe un intervalo (a,b) que contienen a “c” tal que f(x)<= f (c) es mayor que cualquiera de los valores de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

¿Qué es el mínimo de una función?

Es cuando en f existe un intervalo (a,b) que contiene a “c” tal que f( x) >=(c) para todo “x” en dicho intervalo, es decir, sí f(c) es menor que uno cualquiera de los valore de f(x) que le anteceden o le siguen inmediatamente en el intervalo dado.

Con las definiciones anteriores se hace notar que no deben confundirse los “Máximos y Mínimos relativos” con los puntos máximos y mínimos de la función, que son aquellos donde la ordenada `y' es mayor o menor en la gráfica, por lo que se denominan 2absolutos”, por ejemplo:

Número critico o valor crítico para la segunda derivada

Una función y= f(x) tiene un máximo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor negativo; tendrá un mínimo relativo si su primera derivada es igual a cero y su segunda derivada es igual a un valor positivo”.

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA

Sea f una función tal que f'(c)= 0 y tal que la segunda derivada de f existe en un intervalo abierto que contiene a c.

Si f''(c)> 0, entonces f(c)es un mínimo relativo.

Si f''(c)< 0, entonces f(c)es un máximo relativo.

Si f''(c)= 0, entonces el criterio no existe.

¿Qué es un punto de inflexión?

Es aquel que separa arcos de una curva que tiene su concavidad en sentidos opuestos.

En cada punto de inflexión la recta tangente cruza a la curva, observándose que el signo de la segunda derivada cambia en dichos puntos.

Para hallar estos puntos se necesita calcular los valores de “x” para los que la segunda derivada es igual a cero.

0 x

Cóncava hacia arriba

Si f(c) es un mínimo relativo de la función diferenciable y= f(x), será cóncava hacia arriba para el intervalo que contiene a “c”, cuando la función sea creciente en ese intervalo.

Cóncava hacia abajo

Si f(c) es un máximo relativo de la función diferenciable y= f(x), su gráfica es cóncava hacia abajo en el intervalo que contiene a “c”, para cuando f' es decreciente en el intervalo.