Funciones racionales y potenciales. Asíntotas.

Funciones racionales.

Una función racional es de la forma f(x)=p(x)/q(x), donde p(x) y q(x) son polinomios, con q(x)"0.

El dominio de una función racional es toda la recta real, excepto los valores de x que anulan al denominador.

Ejemplos de funciones racionales:

Funciones potenciales.

Una función potencial es de la forma f(x)=axn, donde a y n pueden ser cualquier par de números reales.

2.1 Funciones potenciales pares.

Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural par.

Propiedades:

• El dominio de la función es la recta real !

• El recorrido de la función es el intervalo [0,"), ya que la potencia par de un número es siempre positivo.

• La función es simétrica respecto del eje Y, ya que f(x)=f(-x).

• La función es continua en todo su dominio.

• La función es creciente para x<0 y creciente para x>0.

Ejemplos:

2.2 Funciones potenciales impares.

Una función potencial par es de la forma f(x)=axn, con a>0 y n un número natural impar.

Propiedades:

• El dominio de la función es la recta real !

• El recorrido de la función es. la recta real !

• La función es simétrica respecto del origen, ya que f(-x)=-f(x).

• La función es continua en todo su dominio.

• La función es siempre creciente.

Ejemplos:

3. Asíntotas.

3.1 Asíntotas horizontales.

Una recta horizontal y=b es una asíntota horizontal de una función f(x) si:

Ejemplo:

Al tender x a +" o a -" la función se aproxima a -2, ya que:

Se dice entonces que la recta y=-2 es una asíntota horizontal.

OBSERVACIONES:

• Una función tiene como máximo dos asíntotas horizontales: cuando x!+" o cuando x!-".

• La gráfica de una función puede cortar a su asíntota horizontal.

Ejemplo de una función cuya gráfica corta a su asíntota horizontal

Ejercicio resuelto:

Hallar las asíntotas horizontales de la función:

• Para hallar las asíntotas horizontales calculamos el límite de la función cuando x tiende a +" y -".

Por tanto y=0 es una asíntota horizontal

Ejercicio:

Hallar las asíntotas horizontales de la función:

3.2 Asíntotas verticales:

Ejemplo:

Cuando x se aproxima a 0, la función tiende a +".

Se dice que la recta x=0 es una asíntota vertical de la función.

OBSERVACIONES:

• Una función puede tener cualquier número de asíntotas verticales.

• La gráfica de una función racional no corta a sus asíntotas verticales.

• Las asíntotas verticales de las funciones racionales se obtienen para los valores de x que anulan al denominador pero no al numerador.

Ejercicio resuelto:

Dada la función

Hallar sus asíntotas verticales.

La función tiende a ±" cuando el denominador se anula; por tanto, x2+6x-7=0, de donde x=1 y x=-7 son las asíntotas verticales.

Ejercicios:

a) Dada la función:

Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.

Dada la función:

Hallar, si las hay, sus asíntotas. Tanto horizontales como verticales.

Asíntotas oblicuas.

Limitamos el estudio de estas asíntotas al caso de las funciones racionales.

OBSERVACIONES:

• La gráfica de una función puede cortar a su asíntota oblicua.

• Si una función racional tiene una asíntota oblicua no puede tener asíntota horizontal, y recíprocamente.

Ejercicio resuelto:

Dada la función:

Hallar, si las hay, sus asíntotas oblicuas.

Dividiendo el numerador entre el denominador resulta

A medida que x tiende a ±" se verifica que 1/x tiende a 0, y en consecuencia la función:

Se aproxima a la recta y=x-1.

Se dice que la recta y=x-1 es una asíntota oblicua.

Ejercicios:

Hallar las asíntotas de las siguientes funciones:

a)

b)

c)

d)

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