FUNCIONES HIPERBOLICAS

Definiciones e Identidades

Las combinaciones

Cosh u = ½ ( e ^u + e ^-u) ( coseno hiperbólico de u)

Senh u = ½ ( e ^u - e ^-u) ( seno hiperbólico de u)

se presentan con tanta frecuencia en las aplicaciones que ha creído conveniente darles un nombre especial. De momento puede que no este clara la ecuación de los nombres introducidos, que resultaran obvios mas adelante.

Estas funciones se relacionan entre sí mediante reglas muy parecidas a las reglas que relacionan a las funciones cos u y sen u. Así como cos u y sen u pueden identificarse con el punto ( x, y) en el circulo unitario x² + y² = 1, así también las funciones cosh u y senh u pueden identificarse con las coordenadas de un punto ( x, y) sobre la hipérbola unitaria x² - y² =1.

A propósito suele pronunciarse cosh u como “cosh u” y senh u como “ senh u”.

Para comprobar que el punto de coordenadas x = cosh u e y = senh u esta sobre la hipérbola unitaria, sustituimos las relaciones que las definen en la ecuación de la hipérbola:

x² - y² =1

cosh² u - senh² u = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u) - ¼ (e ^ 2u - 2 + e ^ -2u) = 1

¼ ( e ^ 2u + 2 + e ^ -2u - e ^ -2u + 2 - e ^ -2u) = 1

¼ ( 4) = 1

En realidad, si hacemos

x = cosh u = ½ ( e ^ u + e ^ -u).

y = senh u = ½ ( e ^ u - e ^ -u).

entonces, cuando u varia de - oo a + oo, el punto P ( x, y) describe la rama derecha de la hipérbola x² - y² = 1.

El primer elemento de la trigonometría hiperbólica que acabamos de establecer es la identidad básica

cosh² u - senh ² u = 1.

Esta expresión es análoga, pero no igual, a la identidad trigonometrica ordinaria cos² u + sen² u = 1.

Las funciones hiperbólicas restantes se definen en términos de senh u y cosh u como sigue:

Tangente

Cotangente

Secante

Cosecante

Dividiendo la identidad por cosh² u, resulta

1 - tanh² u = sech² u

Si dividimos por senh² u, obtenemos

coth² u - 1 = csch² u

Se deduce que

cosh u + senh u = e ^ u

cosh u - senh u = e ^ -u

Es, pues, evidente que cualquier combinación de las exponenciales e ^ u y e ^ -u puede sustituirse por una combinación de senh u y cosh u, y viceversa.

Como e ^ -u es positivo, se muestra que cosh u siempre es mayor que senh u. Pero para valores grandes de u, e ^ -u es pequeño y cosh u = senh u.

En x = 0, cosh x = 1 y senh x = 0, de modo que todas las funciones hiperbólicas tienen en x = 0 los mismos valores que las funciones trigonometricas correspondientes. El coseno hiperbólico es una funcion par, esto es,

cosh ( -x) = cosh x,

y el seno hiperbólico es una función impar, es decir,

senh (-x) = - senh x ;

de manera que la primera curva es simétrica respecto al eje x y la segunda lo es respecto al origen. Las funciones hiperbólicas se comportan también en esto como las funciones trigonométricas ordinarias ( o circulares).

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBOLICAS

SENO HIPERBÓLICO:

COSENO HIPERBÓLICO

TANGENTE HIPERBÓLICA

COTANGENTE HIPERBÓLICA

SECANTE HIPERBÓLICA

COSECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIOS Y RANGOS

SENO HIPERBÓLICO

DOMINIO : Reales

RANGO : Reales

COSENO HIPERBÓLICO

DOMINIO : Reales

RANGO : ( 1, oo)

TANGENTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : Reales

RANGO : ( -1, 1)

COTANGENTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( -oo, -1 ) ( 1, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : Reales

RANGO : ( 0, 1)

COSECANTE HIPERBÓLICA

DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

IDENTIDADES

Mediante las definiciones y algo de álgebra se obtienen las identidades

senh ( x + y) = senh x cosh y + cosh x senh y

cosh ( x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y

Las cuales, haciendo y = x,

Senh 2x = 2 senh x cosh x

Cosh 2x = cosh² x + senh² x

La segunda de estas expresiones permite obtener formulas del “ ángulo medio” sin mas que combinar la identidad

1 = cosh² x - senh² x.

Sumando resulta

cosh 2x + 1 = 2 cosh² x

mientras que si restamos se tiene

cosh 2x - 1 = 2 senh² x

Sustituyendo x = u / 2 y extrayendo raíces cuadradas, obtenemos las formulas

Cosh u /2 =* cosh u + 1 / 2

Senh u /2 = ± *cosh u -1 /2

La formula no tiene ( ±) en el segundo miembro porque el coseno hiperbólico es siempre positivo. El signo de senh ( u /2) es ( +) cuando u > 0, y ( -) cuando u < 0. Como el cosh u nuca es menor que 1, las formulas valen para todos los valores de u.

FUNCIONES HIPERBOLICAS INVERSAS

Usamos las inversas de las seis funciones funciones hiperbólicas en la integración. Dado que d ( senh x) / dx = cosh x > 0, el seno hiperbólico es una función creciente de x. La notación de su inversa es

y = senh ^ -1 x

Para cada valor de x en el intervalo - oo < x < oo, el valor de y = senh ^ -1 x es el número cuyo seno hiperbólico es x.

La función y = cosh x no es inyectiva, en cambio, la función restringida y = cosh x, x > 0, si lo es y, por tanto, tiene una inversa cuya notación es

y = cosh ^ x

para cada valor de x > 1, y = cosh ^ -1 x es el número, dentro del intervalo 0 < y < oo, cuyo coseno hiperbólico es x.

Igual que y = cosh, la función y = sech x = 1 / cosh x no es inyectiva, paro tiene inversa si se restringe a valores no negativos de x, y su notación es

y = sech ^ -1 x.

Para cada valor de x en el intervalo ( 0,1 ), y = sech ^ -1 x es el número no negativo cuya secante hiperbólica es x. La tangente, la cotangente y la cosecante hiperbólicas son inyectivas en sus dominios y por lo tanto, tienen inversas cuya notación es

y = tan^ -1 x, y = ctgh^ -1 x, y = csch ^ -1 x.

GRAFICAS DE LAS FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS

SENO HIPERBÓLICO INVERSO

COSENO HIPERBÓLICO INVERSO

TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIOS Y RANGOS

SENO HIPERBÓLICO INVERSO

DOMINIO : Reales

RANGO : Reales

COSENO HIPERBÓLICO INVERSO

DOMINIO : ( 1, oo)

RANGO : Reales

TANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( -1, 1)

RANGO : Reales

COTANGENTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( -oo, -1) ( 1, oo)

RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

SECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( O, 1)

RANGO : Reales

COSECANTE HIPERBÓLICA INVERSA

DOMINIO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

RANGO : ( -oo, 0) ( 0, oo)

CATENARIAS

La curva catenaria:

Vamos a estudiar el problema de un cable colgante sujeto por sus dos extremos como los que emplean las compañías eléctricas para llevar la corriente de alta tensión entre las centrales eléctricas y los centros de consumo. La catenaria como la fisica/solido/mov_general/cicloide/cicliode.htm">cicloide son dos curvas importantes en la Física y en las Matemáticas.

La curva que describe un cable que está fijo por sus dos extremos y no está sometido a otras fuerzas distintas que su propio peso es una catenaria. La catenaria se confundió al principio con la parábola, hasta que el problema lo resolvieron los hermanos Bernoulli simultáneamente con Leibniz y Huygens.

Formulación discreta:

Sea una cadena de esferas metálicas como las que se utilizan para sujetar los tapones de los fregaderos. Supondremos que hay N esferas igualmente repartidas sobre un hilo de longitud L y de masa despreciable.

Cada esfera estará, por tanto, sometida a tres fuerzas: su propio peso, la fuerza que ejerce el hilo a su izquierda y a su derecha.

La condición de equilibrio para la bolita i de masa m se expresa

Todas las componentes horizontales de la tensión del hilo son iguales, y la denominaremos Tx.

Tx=Tcosð0= Tcosði= Tcosði+1 =TcosðN+1

Formulación continua:

Consideremos un cable de longitud L sujeto por sus dos extremos que están situados a la misma altura y que distan a uno del otro. Sea ρ la densidad del cable (masa por unidad de longitud).

Integrando de nuevo, con la condición de que para x=a/2, y=-h.

Como la catenaria es simétrica para x=a, y=0, por lo que la flecha h vale.

La ecuación de la catenaria es, finalmente

                   

La longitud de la catenaria es

                    

Máquina de Cadenas Colgantes,
Catenaria y Parábola.

1) Breve descripción del Modelo:

Se trata de tablas verticales sobre las que se hacen pender cadenas de densidad de masa proporcional a la longitud de arco (cadena común) y otras de densidad de masa proporcional a la coordenada horizontal (cadena que se ensancha y adelgaza). Toda cadena común colgante entre puntos cualesquiera de la tabla, describe una curva catenaria. La cadena colgante de densidad de masa constante horizontal describe una parábola. 

2)Conceptos Matemáticos en juego:

Catenaria longitud de arco parábola densidad lineal de masa 

3)Guía de Uso Específica del Modelo:

Qué y Cómo hay que mover o realizar. En las parábolas sólo se observa. En las catenarias se prueban las coincidencias con las funciones trazadas. Qué hay que observar. Las funciones trazadas y sus coincidencias. Qué precauciones se deben tener. No tirar de las cadenas de las funciones parábolas. 

4)Breves referencias teórico-técnicas:

En el caso de la catenaria por longitud de arco de cadena hay la misma cantidad de masa, pues la cadena es uniforme. Cada tramo horizontal en la parábola tiene la misma masa. Por lo que la cadena debe ensancharse o angostarse, ya que hay más o menos longitud de arco (de cadena) por tramo horizontal.

CATENARIAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4

PARÁBOLAS PASANTES POR 0,0 Y 4,4

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