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FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES. DERIVADAS.
DEFINICIONES DE FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES.
Hasta ahora se ha estudiado las funciones del tipo real de variable real:
Ahora podemos hablar de funciones más generales, que se “mueven” entre dos espacios vectoriales:
Donde f(x1, x2,… xn) se puede ver como:
Donde hay m funciones del tipo:
que hacen corresponder un numero de R a un “vector” de Rn.
EJEMPLO .
donde f(x,y,z) podía haberse escrito como “vector columna”:
DEFINICIONES PARA DERIVADAS.
DEFINICION 1
Se llama derivada parcial de una función del tipo:
a la expresión:
y se realiza derivando de la manera “usual” dejando las variables QUE NO SON xj constantes.
DEFINICION 2
La derivada de una función del tipo:
sería:
A esta matriz se la llama MATRIZ JACOBIANA y es siempre del tipo m×n.
EJEMPLO
Con la intención de quitarle un poco el miedo a esta expresión, veamos lo que pasa si derivamos la función del ejemplo anterior:
en este caso tendríamos dos funciones:
Basta hacer las parciales para la primera:
y para la segunda:
y las colocamos ordenadamente en la matriz jacobiana:
Ya tenemos la derivada de nuestra función.
Si nos pidieran la derivada en, por ejemplo, a=(x,y,z)=(1,-1,2), basta con sustituir ahora y tendríamos:
No es tan difícil, ¿verdad?.Sigamos pues…
DEFINICION 3
Se llama DERIVADA EN UN PUNTO SEGÚN UN VECTOR:
donde Df(a) es la derivada de la función, y v representa al vector. Este será por tanto un producto de matrices.
DEFINICION 4
Se llama MODULO DE UN VECTOR v =(x1,x2,…,xn) a la operación siguiente:
EJEMPLO
El modulo del vector, digamos, v =(1,-1,2) sería:
DEFINICION 5
Se llama DERIVADA DIRECCIONAL a la DERIVADA EN UN PUNTO SEGÚN UN VECTOR cuando el vector tiene modulo 1.
Además hay una coincidencia interesante, si el punto “a” es genérico: a=(x1,x2,…,xn) y el vector escogido es (1,0,…,0), entonces la derivada direccional es igual a la parcial respecto a x1, si el escogido es (0,1,0,…,0), sería la parcial respecto a x2, y así sucesivamente.
DEFINICION 6
Se llama GRADIENTE DE UNA FUNCION del tipo:
a la operación:
Además existen las siguientes consecuencias del gradiente:
La DERIVADA EN UN PUNTO SEGÚN UN VECTOR puede expresarse según el gradiente de la forma:
En el caso de que el modulo de v sea 1, estariamos en el caso de DERIVADA DIRECCIONAL:
3- En el caso de que ADEMAS la dirección de v y del gradiente sea la misma, entonces cos()=1, y la DERIVADA DIRECCIONAL será máxima .
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