FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

IDEA INTUITIVA: Hasta el momento hemos trabajado con función de una sola variable, es decir, que van de R a R. Ahora vamos a trabajar con funciones escalares, que reciben un vector de Rn y devuelven un valor de R, y con funciones vectoriales que reciben un vector de Rn y devuelven uno de Rm. La dificultad de estas funciones reside en que no tienen representación gráfica posible, a excepción de las funciones de R2 en R, que se pueden representar como superficies tridimensionales. Además, los cálculos de límites se complican mucho llegando a ser imposibles. Por ello nos ocuparemos casi siempre de las más sencillas de este tipo de funciones, aunque toda la teoría se referirá a funciones de n variables.

• CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Sea
una aplicación que a cada
le asigna
. Entonces
es una función escalar de varias variables.

NOTACIÓN: En el caso de que n=2, haremos:

Y en el caso de que n=3

DEFINICIÓN: Sea
. Llamamos DOMINIO de la función al conjunto de puntos de
en el que está definida

Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Sea
. Llamamos GRÁFICA de
al conjunto
. A dicha gráfica la llamaremos superficie:

Ejemplo:

Llamamos CURVAS DE NIVEL a los puntos de la forma
. Son los puntos obtenidos al intersercar la superficie generada por
con un plano z=cte, y proyectarla en el plano.

OBSERVACIÓN: Sea
. Llamamos SUPERFICIES DE NIVEL de
a los conjuntos de la forma conjunto
.

DEFINICIÓN: Sea
una aplicación que a cada
le asigna un vector
. Entonces
es una función vectorial de varias variables.

Y a las
se las llama funciones coordenadas.

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea
. Llamamos DOMINIO de la función a la intersección de los dominios de las funciones coordenadas de
.

• LÍMITES:

DEFINICIÓN: Sea
y
un punto de acumulación de
. Entonces se dcice que:

si:

Graficamente podemos verlo así: Siempre existe un  tal que las imágenes de la parte de la bola de centro
y radio  que pertenece a
pertenecen a una bola de radio  con centro en
.

Ejemplo:

Demostrar que

como

Con lo que queda comprobado.

DEFINICIÓN: Decimos que el límite de
es infinito si:

Es decir, si por mucho que nos acerquemos a
, la distancia de la función al cero es muy grande.

DEFINICIÓN: Si
es un contorno de
es, llamamos ENTORNO PERFORADO de
a

PROPIEDADES:

Si
tiene límite en
, este es único.

Si
tienen límites
en
respectivamente, entonces:

Si
tienen límites
en
respectivamente, entonces:

Si además
en un entorno perforado de
y
, entonces:

OBSERVACIÓN: El principal problema que nos encontramos a al hora de calcular límites es como acercarnos al punto. Hay muchas maneras(por rectas, parabolas, cubicas, etc). Pero como el límite ha de ser siempre el mismo, podemos asegurar que no existe si el límite nos da diferente para varios modos de acercarse. El caso más sencillo a probar es acercarse al origen por una recta de pendiente m.

Ejemplo:

Nos acercamos por una trayectoria recta:

El límite depende de la pendiente, luego el límite no existe.

Sin embargo, el hecho de que por un tipo de trayectorias el límite sea el mismo no indica que el límite exista; solo dice que si existiera debería ser ese.

Ejemplo:

Si
tuviera límite, debería ser cero. Si probamos ahora con otro tipo de trayectorias, como por ejemplo:

Luego el límite no existe.

PROPOSICIÓN: Sea
, y sea
,
Entonces

TEOREMA(Del Sandwich): Supongamos que tenemos
, y sea
un punto de acumulación de
. Si existe un entorno
de
tal que
y se verifica que:

Entonces:

Ejemplo:

OBSERVACIÓN: Otro metodo de acercarnos al origen consiste en usar coordenadas polares, haciendo que r tienda a cero. Muchas veces este sistema es muy comodo.

Ejemplo:

1)

Luego el límite dependen del ángulo. Por tanto, no existe el límite.

2)

Por el teorema del Sandwich

• CONTINUIDAD:

DEFINICIÓN: Decimos que
es continua en
, punto de acumulación de
, si:

1) Existe

2) Existe y es finito

3)

PROPIEDADES:

Si
son continuas en
, entonces
es continua en

Si
son continuas en
, entonces
es continua en

Si además
, entonces
es continua en

PROPOSICIÓN:
es continua en
si y solo si
son continuas en
para

• DIFERENCIABILIDAD:

IDEA INTUITIVA: Queremos aplicar el concepto de derivada y pendiente que estudiamos en una variable a varias variables. La idea básica consiste en coger un vector
y ver que pasa en la función según nos movemos en la recta dada por el punto que queremos estudiar y el vector, cuando el módulo del vector tiende a cero. Es decir, lo que hacemos es convertir la función a una variable, cortándola por el plano vertical que pasa por la recta ya mencionada.

DEFINICIÓN: Sea
,
, punto interior de
, y
. Entonces llamamos derivada de
según el vector
a:

OBSERVACIÓN: Si
, entonces:

Demostración:

NOTACIÓN: Sea
. Entonces definimos la norma de
cómo:

DEFINICIÓN: Llamaremos derivada direccional de
según una dirección definida por
a la derivada según el vector :

Ejemplo:

Existen todas las derivadas direccionales de
, pero
no es continua en (0,0)

Si hacemos

Luego el límite no existe y la función no es continua.

OBSERVACIÓN: Si
, entonces:

DEFINICIÓN: Sea
,
, punto interior de
. Entonces llamamos derivada parcial respecto de
a la derivada direccional de
según el vector
de la base canónica de
. Lo representamos de la siguiente manera:

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea
,
abierto. Entonces se dice que
es diferenciable en
si existe una aplicación lineal
, que llamaremos diferencial de
en
, tal que:

Pedimos que el numerador, que es el error que cometemos al aproximar
, sea una `o pequeña' de
, de tal manera que tiende más rapidamente a 0 que
. Es decir, pedimos que el error tienda a cero.

OBSERVACIÓN: Debido al carácter vectorial de las funciones de varias variables, podemos tratarlas en un plano algebraico, y aplicar en ellas todo lo que sabemos acerca de representación matricial de homomorfismos

Ejemplo:

¿Existe
?

Acercándonos por h=0:

Y por k=0

Luego la función no es diferenciable

IDEA INTUITIVA: Veamos una interpretación geométrica de la diferencial, para el caso de n=2.

Sea
(pequeño), y
diferenciable en
,
para ciertos
y
. Entonces

Puedo hacer
igual a la función en
más el plano en un punto (x,y) tangente en
, más un error pequeño.

Por tanto, si se cumplen las condiciones anteriores, llamamos plano tangente a una superficie
en el punto
al plano

PROPIEDADES:

1) Si
es diferenciable en
, entonces la diferencial es única.

2)
es diferenciable en
si y solo si
es diferenciable en
. Además la diferencial es:

3) Si
son diferenciables en
, entonces
,
,
son diferenciables en
, y se verifica:

PROPOSICIÓN: Sea
. Si
es diferenciable en
, entonces existe
, y además

Demostración:

OBSERVACIÓN: Sea
, y
. Entonces:

DEFINICIÓN: Sea
. Entonces llamamos VECTOR GRADIENTE de
en
a:

OBSERVACIÓN:

Si
es diferenciable en
, entonces

(Si
es unitario)=
. Dicha expresión es máxima cuando
tienen la dirección del gradiente. Como el gradiente nos da el crecimiento de la función, deducimos que el vector gradiente tiene la dirección de máximo crecimiento de la función.

PROPOSICIÓN: Una función derivable direccionalmente puede no ser diferenciable.

Ejemplo:

Está función es derivable direccionalmente, pero no es diferenciable. Estudiando la diferencial por la definición:

Luego si
fuera diferenciable, su difernecial sería cero

Luego la función no es diferenciable.

DEFINICIÓN: Sea
diferenciable en
. Entonces a la matriz asociada a la aplicación
en las bases canónicas de
y
se le llama MATRIZ JACOBIANA de
en
, y se denota

OBSERVACIÓN: Estudiemos como es la matriz. Si
, tomamos
. Las coordenadas de su imagen son la primera columna de la matriz:

Ejemplo: Calcular la matriz jacobiana de la siguiente aplicación:

Sea
y

PROPOSICIÓN: Si
es diferenciable en
, entonces es continua en

Demostración: La haremos para

Hay que demostrar que:

Como
es diferenciable en

DEFINICIÓN: Sea
,
abierto. Decimos que
es de clase
en
si todas las derivadas parciales de
están definidas en un entorno de
y además son continuas en
.

Por consiguiente
es de clase
en
si lo es en todos los puntos de

TEOREMA: Si
es de clase
en
, entonces es diferenciable en

OBSERVACIÓN: En general, el recíproco no es cierto.

TEOREMA(Regla de la cadena): Sea
, y
, tal que
. Si
es diferenciable en
y
es diferenciable en
, entonces
es diferenciable, y además:

OBSERVACIÓN: Por tanto

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Sea
. Si es diferenciable en todos los puntos de un entorno de
, entonces lo que nos queda es una función de n variables, que es posible volver a derivar. Llamaremos orden de la derivada el,número total de veces que hemos derivado.

NOTACIÓN:
.. Además, para simplificar:

Ejemplo:

TEOREMA(Schwarz): Sea
,
abierto, y
. Si existen
,
,
en un entorno de
y
es continua en
, entonces existe
y además :
: Este resultado es aplicable a derivadas de orden superior.

DEFINICIÓN: Decimos que una función es de clase
en
si existen todas sus derivadas parciales hasta orden m, y además las funciones son continuas en
. Analogamente decimos que una función es de clase
en
si lo es en tofos los puntos de

DEFINICIÓN: Si
es de clase
en
, llamamos diferencial segunda de
en
a:

OBSERVACIÓN:

La diferencial segunda es una forma bilineal.

La diferencial segunda se puede representar matricialmente:

A dicha matriz se la llama MATRIZ HESSIANA o HESSIANO de

Por ser
de clase
, se puede aplicar Schwarz, y la matriz es simétrica.

Si aplicamos la diferencial segunda al mismo vector dos veces, lo que tenemos es una la forma cuadrática asociada. La podemos asimilar simbolicamente a una binomio:

En general:

Donde el exponente indica el número de veces que se ha de derivar.

Ejemplo:

DEFINICIÓN: Si
es de clase
en
, llamamos diferencial de orden
en
a:

Igualmente se puede expresar la diferencial de orden
en
como un binomio a la

DEFINICIÓN: Sea
.
abierto, y
de clase
en
. Entonces se define en POLINOMIO DE TAYLOR de orden
de
en
como:

y el RESTO DE TAYLOR de orden
como:

TEOREMA(Taylor): Sea
.
abierto, y
de clase
en
, y
, tales que el segmento
de extremos
está incluido en
. Entonces existe
tal que:

por tanto:

OBSERVACIÓN: Si hacemos
, entonces:

• APLICACIONES:

PROPOSICIÓN:

1)Sea
entonces
es perpendicular a la curva (
) o superficie (
) de nivel que pasa por
.

Demostración:

Sea
una superficie de nivel de
, tal que

y sea
una curva
, tal que
y

Si componemos
con

(Por ser
)

Como
es genérica,
es perpendicular a toda curva de
, y por tanto es perpendicular a
.

Si
es diferenciable en
, entonces el plano tangente a la gráfica de
en el punto
es:

Ejemplo:

Calcular el plano tangente a
en

DEFINICIÓN: Sea
, y
punto interior de
. Entonces:

alcanza un máximo relativo en
si existe
, entorno de
, tal que

alcanza un mínimo relativo en
si existe
, entorno de
, tal que

alcanza un máximo absoluto en
si

alcanza un mínimo absoluto en
si

Diremos que
alcanza un extremo relativo en
si alcanza un máximo o un mínimo relativo, y que
alcanza un extremo absoluto en
si alcanza un máximo o un mínimo absoluto.

TEOREMA: Si
es continua en
, y
es un conjunto compacto de
, entonces
alcanza un máximo y un mínimo absolutos en
.

TEOREMA(Condición necesaria): Sea
, y
punto interior de
. Si
es diferenciable en
y alcanza un extremo relativo en
, entonces

OBSERVACIÓN: Los puntos en los que
es diferenciable y se verifica
se llaman puntos estacionarios de la función. Por tanto el teorema anterior asegura que los extremos relativos son puntos estacionarios.

OBSERVACIÓN: Para estudiar si una función tienen máximos o mínimos, la definición antes dada no es nada práctica. Necesitamos la diferencial segunda para estudiar como es la función. Para trabajar con la diferencial segunda, usaremos la forma cuadrática.

DEFINICIÓN: Sea
una forma cuadrática no nula:

Se dice que
es definida positiva si

Se dice que
es definida negativa si

Se dice que
es semidefinida positiva si

y
no es definida positiva

Se dice que
es semidefinida negativa si

y
no es definida negativa

Se dice que
es indefinida en el resto de los casos, es decir, si existen
, tales que

TEOREMA(Condición suficiente): Sea
,
abierto, y supongamos que
es de clase
en
. Sea
un punto estacionario de
, es decir, tal que
. Entonces:

Si
es definida positiva, entonces
alcanza en
un mínimo relativo.

Si
es definida negativa, entonces
alcanza en
un máximo relativo.

Si
es indefinida, entonces
no alcanza en
un extremo relativo.

OBSERVACIÓN:

Si
es semidefinida(positiva o negativa), el teorema anterior no da ninguna información.

A los puntos estacionarios para los que
es indefinida se les llama puntos de silla de

DEFINICIÓN: Llamamos RANGO de una forma cuadrática al rango de su matriz asociada y SIGNATURA al número de autovalores positivos que posee(contando multiplicidad).

OBSERVACIÓN: Como la matriz asociada a una forma cuadrática es simétrica, siempre tiene
autovalores reales(contando multiplicidad), por lo que el rango de la forma cuadrática es igual al número de autovalores diferentes de cero(contando multiplicidad)

TEOREMA: Sea
una forma cuadrática. Entonces:

es definida positiva si y solo si
y
.

es definida positiva si y solo si
y
.

es semidefinida positiva si y solo si
.

es semidefinida positiva si y solo si
y
.

TEOREMA(Criterio de Sylvester): Sea
el determinante de orden
formado por los elementos de las
primeras filas y las
primeras columnas de la matriz asociada a
. Entonces:

es definida positiva si y solo si
.

es definida negativa si y solo si
.

OBSERVACIÓN: En nuestro caso esto lo aplicaremos al hessiano de la función, ya que por ser la diferencial segunda, su matriz es una forma cuadrática.

DEFINICIÓN: Sea
y
(ligadura). Sea también
, y sea
. Entonces se dice que
tiene en
un extremo relativo condicionado por la ligadura
si existe un entorno
de
tal que se verifica:

. Entonces
es un máximo relativo condicionado por
.

. Entonces
es un mínimo relativo condicionado por
.

OBSERVACIÓN: Lo de condicionado significa que estudiamos la función en el dominio limitado por la superficie
, dada por una función que llamaremos ligadura.

TEOREMA(Condición necesaria): Sea
y
,
abierto, y
y
de clase
en
. Sea también
, y supongamos que
y que el rango de
sea
(Los vectores gradiente son independientes). Si la función
tiene un extremo relativo en
condicionado por la ligadura
, entonces existen
tales que la función
(Función de Lagrange o lagrangiano ) verifica que
(Tiene un punto estacionario en
)

Ejemplo:

Hallar los extremos de
condicionados por

Es facil darse cuenta que
es una elipse dada por la intersección de un cilindro vertical con un plano oblicuo.

Construimos el lagrangiano

Como sabemos que :
, y por ser
, nos queda que

Y además

Tenemos cinco incógnitas y cinco ecuaciones. Resolviendo el sistema tenemos los extremos relativos

OBSERVACIÓN: A menudo es muy difícil la resolución de los sistemas de ecuaciones, al no ser estos lineales.

TEOREMA(Condición suficiente): Además de verificarse el teorema anterior, ahora pedimos que
y
sean de clase
en
. Consideramos entonces la forma cuadrática
Entonces :

Si
es definida positiva, entonces
es un mínimo relativo de
condicionado por

Si
es definida negativa, entonces
es un máximo relativo de
condicionado por

Si
es indefinida, entonces
no es un extremo relativo.

CÁLCULO(Busqueda de extremos absolutos en compactos): Si
,
compacto, sabemos que
tiene máximo y mínimo absolutos en
. Dichos extremos pueden ser del interior de
, y por tanto están en los puntos estacionarios, o pertenecer a la frontera de
. Para encontrarlos buscaremos los puntos estacionarios del lagrangiano y evaluaremos
en dichos puntos.

Vease Topología Usual en

Véase Formas Bilineales y Sesquilineales en Álgebra

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