FUNCIONES CUADRÁTICAS

TEORIA:

LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS TIENEN LA FORMA: AX2+BX+C

EJEMPLO: 3X2+5X+6

(X+3)2 ESTA FUNCION HABRIA QUE ORDENARLA, SIGUIENDO UNA DE LAS FORMULAS:

(a+b)2= a2+2ab+b2

(a-b)2= a2-2ab+b2

(a+b)·(a-b)= a2-b2

EN ESTE CASO SERÁ CON LA 1ª FORMULA.

(X+3)2= X2+2X·3+32= X2+6X+9.

LAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS SIEMPRE SERÁ UNA PARÁBOLA. VÉRTICE MÁXIMO

VÉRTICE MÍNIMO

LAS PARÁBOLAS SON SIMÉTRICAS RESPETO AL EJE VERTICAL QUE PASA POR SU VÉRTICE.

PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE A:

SI LA A>0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÍNIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER DECRECIENTE A SER CRECIENTE.

SI LA A<0: LA PARÁBOLA TENDRÁ UN VÉRTICE MÁXIMO, ES DECIR, PASARÁ DE SER CRECIENTE A SER DECRECIENTE.

CUANTO MAS GRANDE SEA LA A, MAS ESTRECHA SERÁ LA PARÁBOLA.

PROPIEDADES DEL CUOFICIENTE C:

EL PUNTO EN EL CUAL LA PARÁBOLA CORTARÁ EL EJE DE LAS Y(X,Y), SERÁ EL PUNTO (0,C).

DETERMINACIÓN DEL VÉRTICE:

PARA SABER LA X DEL VÉRTICE, LA FORMULA QUE DEBEMOS UTILIZAR ES:

XV= _ B .

2A

PARA SABER LA Y DEL VÉRTICE, HAY QUE SUBSTITUIR LA XV POR LA X DE LA FUNCIÓN. LA Y QUE NOS SALGA SERÁ LA Y DEL VÉRTICE.

PARA GRAFICAR UNA PARÁBOLA, LO PRIMERO QUE HAY QE HACER, ES CALCULAR DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE. DESPUÉS, CALCULAMOS LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES. Y SI TODAVÍA NO SABEMOS COMO SERA LA PARÁBOLA, CALCULAREMOS PUNTOS CRECANOS AL VÉRTICE.

INTERSECCIÓN CON LOS EJES:

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y:

X=0 SERÁ EL PUNTO (0,C)

EJEMPLO:

EN LA FUNCIÓN:

Y=X2,

INTERSECCINARÁ CON EL EJE DE LAS Y EN EL PUNTO (0,0) PORQUE LA C=0.

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X:

Y=0

EJEMPLO:

EN LA FUNCIÓN:

Y=X2

0=X2

PARA SABER EL VALOR DE LA X SE RESUELVE LA ECUACIÓN CON LA FÓRMULA:

X= -B+- B2-4AC

2A

PRÁCTICA:

GRAFICAR PARÁBOLAS:

SE CALCULA DONDE ESTARÁ EL VÉRTICE, LAS INTERSECCIONES CON LOS EJES, Y SI TODAVÍA NO SE DETERMINA BIEN LA FORMA DE LA PARÁBOLA, SE BUSCAN PUNTOS CERCANOS AL VÉRTICE.

TRASLACIONES:

SI LA TRASLACIÓN ES HACIA ARRIBA, SE LE SUMA EL NUMERO DE UNIDADES SUBIDAS A LA C DE LA FUNCION.

EN CASO DE QUE SE TRASLADE HACIA ABAJO, EN VEZ DE SUMAR, SE RESTARÁ.

EJEMPLO:

FUNCIÓN:

Y=X2 LA TRASLADAMOS 5 UNIDADES HACIA ARRIBA.

C=0 0+5=5 C=5

LA FUNCIÓN QUEDARÁ:

Y=X2+5

CALCULAR EL VÉRTICE:

SE CALCULA LA XV CON LA FÓRMULA:

XV= _ B .

2A

LUEGO SE CALCULA LA YV SUBSTITUYENDO.

EJEMPLO:

FUNCIÓN:

Y=X2

XV = _ 0 = 0

2·1

YV = 02 = 0 POR TANTO V(0,0)

INTERSECCIÓN CON LOS EJES:

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS Y:

EJEMPLO:

Y=X2

X=0 (0,C) (0,0)

INTERSECCIÓN CON EL EJE DE LAS X:

Y=0

0=X2

X= 0+- 02-4·1·0 = 0+- 0 = 0

2·1 2 0

INTERSECCIONARÁ EN EL EJE DE LAS X EN EL PUNTO (0,0).

PARÁBOLAS INDETERMINADAS:

LAS PARÁBOLAS INDETERMINADAS SON LAS PARÁBOLAS QUE TE DICEN PERO QUE LES FALTA UNO O VARIOS CUOFICIENTES. POR CADA CUOFICIENTE QUE FALTE, NOS DEBERAN DAR UNA PISTA. SI NOS DAN EL PUNTO DONDE SE ENCUENTRA EL VÉRTIVE, NOS ESTAN DANDO DOS PISTAS.

EJEMPLO:

FUNCIÓN:

Y= 2X2-3X+C PASA POR EL PUNTO (2,-1)

FALTA UN CUOFICIENTE POR SABER, NOS DAN UNA PISTA.

SE RESUELVE SUBSTITUYENDO:

-1= 2·22 - 3·2 + C

-1=2·4 - 6 + C

-1=8 - 6 + C LA FUNCIÓN QUEDARIA:

-1=2 + C Y=2X2 -3X -3

-1-2= C

-3=C

INTERSECCIÓN ENTRE UNA PARÁBOLA Y UNA RECTA:

PARA CALCULAR LOS PUNTOS EN LOS QUE SE CORTAN UNA PARÁBOLA Y UNA RECTA HAY QUE HACER UN SISTEMA DE ECUACIONES.

EJEMPLO:

PARÁBOLA: Y= -X2 +6

RECTA: Y= -2X+3

Y=-X2 +6 -X2 +6 = -2X +3 -X2+2X+3=0

Y=-2X +3 X= -2+- 22-4(-1)·3 = -2+- 16 =

2(-1) -2

X=-1 = -2+-(4) = -1

Y=-2(-1)+3 = 5 (-1,5) -2 3

X=3

Y=-2·3+3 = -3 (3,-3) PUNTOS DONDE INTERSECCIONAN.