INTRODUCCIÓN

AL

MUNDO

FRACTAL

INTRODUCCIÓN

Fractal:

1-Se dice de los objetos cuya creación depende de reglas de irregularidad o de fragmentación y del proceso matemático que los estudia.

2-Objeto matemático de dimensión no entera.

Esta seria la definición que nos daría un diccionario del tema que vamos a tratar durante los próximos minutos; pero nosotros, que no somos demasiado matemáticos, podemos usar otra definición que se acerque más a nuestros conocimientos como:

Fractal: Imagen harto complicada que responde a una formula mas complicada aun con varias propiedades características como la dimensión fraccionaria y la autosemejanza o simetría de escala.

Seguramente al finalizar este trabajo podamos ofrecer una definición más correcta de lo que es un Fractal y no como esta que puede calificarse como una definición para “andar por casa”.

Lo que pretendemos con esto es conocer lo que es un fractal y profundizar de un modo matemático en una disciplina casi totalmente extraña para los miembros de este grupo, que no somos ninguno alumnos de ciencias.

Y dejándonos de explicaciones previas pasamos directamente al trabajo...

FRACTALES Y CAOS

Según B. Mandelbrot se considera fractal a aquel objeto o estructura que consta de fragmentos con orientación y tamaño variable pero de aspecto similar.

Esta característica confiere al fractal algunas propiedades geométricas especiales en cuanto a su longitud y a la relación existente entre el área de su superficie y su volumen.

Estas propiedades especiales hacen que se requieran otras herramientas matemáticas diferentes s las comunes para poder explicar sus características.

En el cuerpo humano existen estructuras con geometría fractal, como son la red vascular, las ramificaciones bronquiales, la red neuronal, la disposición de las glándulas, etc.

La importancia que tiene esta geometría fractal en el organismo es que permite optimizar la función de los sistemas debido a que en el mínimo espacio tienen la máxima superficie.

Al existir estructuras con geometría fractal deducimos que deben ser posibles los fenómenos con características fractales al poder poseer estos fenómenos unos patrones que se repiten constantemente en diferentes escalas de tiempo. Estos fenómenos los podemos caracterizar con el uso de herramientas matemáticas de la geometría fractal.

Según dijo H. P. Koch, la teoría fractal puede ser considerada como una herramienta válida y útil para el estudio de fenómenos dinámicos en el cuerpo humano o en la naturaleza y nos permite una aproximación más acorde con la complejidad y la ausencia de linealidad existente en dichos procesos.

La dimensión fractal es un índice matemático que podemos calcular y que nos permite cuantificar las características de los objetos o fenómenos fractales.

Este índice se puede calcular de varias formas. Una de estas formas de calcular la dimensión fractal es el exponente de Hurst.

La concepción de dimensión que nosotros usamos normalmente es la euclidiana clásica, es la que una dimensión es una recta, dos dimensiones forman un plano y tres dimensiones forman un objeto con volumen.

Sin embargo una línea irregular tiende a formar una superficie, y una superficie si se dobla se convierte en un volumen; ya hemos podido, partiendo un objeto de una dimensión, pasar a ese mismo objeto en tres dimensiones. Muchas estructuras naturales tienen estas características; por lo que, geométricamente, estas estructuras podrían tener una dimensión no entera entre 2 y 3.

Así la dimensión fractal es un índice que nos permite cuantificar mejor las características geométricas de objetos con geometría fractal. Los fenómenos con comportamiento fractal pueden ser representados por medio de gráficos de líneas, y en estos gráficos podemos medir su dimensión fractal y lograr así cuantificar la complejidad de su dinámica caótica.

En cuanto a la relación existente entre los fractales y el caos, nosotros, profanos en la materia podríamos decir sin equivocarnos demasiado que los fractales son la representación grafica del caos.

Profundizando un poco en la materia y basandonos en las ideas de Carlos Sabino podriamos decir que la relacion existente entre el caos y los fractales se debe a que los fractales son figuras geométricas con un cierto patrón que se repite infinitamente y a múltiples escalas y si uno las observa detenidamente descubre que ese patrón se encuentra en los componentes, y en las partes de sus componentes, y en las partes componentes de sus componentes, y así hasta el infinito. Esto lo podemos constatar si podemos observar el fractal a diversas escalas cada vez más pequeñas.

Los fractales de los que se dice que no tienen dimensión entera (como 2,37 o 2,84) representan la forma grafica en que pueden resolverse las ecuaciones caóticas. Serian, pasándonos al campo de la literatura, el equivalente a una metáfora de las parábolas de las ecuaciones tradicionales. Los fractales nos muestran en que puntos de un espacio matemático determinado caerían las soluciones de nuestra ecuación caótica.

La parte más curiosa de este tema es que tanto sus ecuaciones como los fractales se pueden construir con elementos que todos hemos visto en nuestro pasado colegial, pero los resultados que se obtienen pueden llegar a ser de una complejidad increíblemente elevada.

Así puede considerarse, de algún modo, la vida...

CARACTERÍSTICAS DE LOS FRACTALES

A grandes rasgos podríamos definir un fractal como una figura geométrica con una estructura muy compleja y pormenorizada a cualquier escala. Ya en el siglo XIX se diseñaron muchas figuras con estas características pero no eran consideradas más allá de simples curiosidades y rarezas matemáticas. Sin embargo, en la década de los setenta del siglo pasado, su estudio se desarrollo íntimamente ligado con los estudios sobre el caos.

Como ya hemos señalado anteriormente, los fractales son básicamente la representación gráfica del caos, pero, además tienen una serie de características propias que a continuación vamos a tratar de enumerar.

En primer lugar, debemos considerar que los fractales no dejan de ser figuras geométricas, aunque no se ajusten y sea imposible su definición por medio de los conceptos y métodos clásicos vigentes desde Euclides. Sin embargo, la anterior afirmación está muy lejos de convertirlos en figuras raras o anómalas, ya que con un simple vistazo a nuestro alrededor podemos percibir la inexistencia de formas euclídeas perfectas, sensación que se acentuará en gran medida si nos encontramos en plena naturaleza. De hecho, nos sorprendemos muchísimo cuando tropezamos, por ejemplo, con una piedra de apariencia esférica. En consecuencia, aunque siempre intentemos aplicarlas a la realidad, las formas euclídeas (circunferencias, cuadrados, cubos...) se limitan al campo de nuestra mente y la más pura abstracción matemática. Por el contrario, como veremos más adelante, los fractales se manifiestan por doquier.

Al igual que cuando hablamos del caos, una de las propiedades más significativas de los fractales y que resulta especialmente llamativa es el hecho de que se originan a partir de unas situaciones iniciales o reglas muy básicas, que darán lugar a figuras extremadamente complejas, aparentemente diabólicas. Un claro ejemplo es el conjunto de Cantor, ya que se origina simplemente partiendo de un segmento de recta, lo dividimos en tres partes y eliminamos la parte central y así sucesivamente.

Otra característica esencial del concepto de fractal es la autosemejanza.. Esta idea en un sentido más amplio y filosófico, ha atraído desde el principio de la humanidad del hombre. Johnattan Swift lo refleja en parte en su libro Los viajes de Gulliver cuando concibe la idea de la existencia de hombres más diminutos, los liliputienses, y de gigantes, todos ellos con una morfología similar pero a una escala muy diferente. Desde luego, se trata de algo muy atractivo e incluso romántico, pero rechazado frontalmente por la ciencia durante mucho tiempo. Sin embargo, los avances de este siglo que desvelaron cierto parecido de un átomo con sus electrones girando en torno al núcleo y el Sistema Solar con el Sol y sus planetas, rehabilitaron en cierta medida este concepto. En el caso más concreto de los fractales, se aprecia como un objeto fractal cada vez que cambiamos la escala, revela un claro parecido con la imagen anterior. Por lo tanto, podemos definir la autosemejanza como simetría dentro de una escala, es decir, los fractales son recurrentes.

Esto resulta evidente en figuras como la curva de Koch, en la que cada ampliación resulta en una copia exacta de la imagen anterior. Pero para ilustrarlo de una forma general, podemos observar la línea de la costa del continente europeo. En principio, podemos considerar Europa como una península de Asia Además, dentro de Europa hay grandes penínsulas como la Balcánica y si reducimos la escala, descubrimos otras pequeñas como la península del Peloponeso y así podemos seguir hasta diferenciar entre los entrantes y salientes entre los granos de arena de la playa.

Sin embargo, esta autosemejanza no debe confundirse con una absoluta identidad entre escalas, es decir, siguiendo con el ejemplo interior, no se trata de que las penínsulas más pequeñas tengan una forma exactamente igual a las mayores. Más bien lo que lleva implícita esta idea es la existencia de una complejidad infinita en las figuras fractales puesto que, dada su recurrencia, podremos ir ampliando su imagen una y otra vez hasta el infinito sin que aparezca una forma totalmente definida. De hecho, estas ampliaciones irán revelando un entramado cada vez más complicado y aparentemente inexplicable. Por ejemplo, podemos tomar una superficie aparentemente lisa pero si la ampliamos, el microscopio nos mostrará montañitas y valles que irán siendo más abruptos conforme vamos utilizando más aumentos.

Pero este descubrimiento nos guía hacia una pregunta más difícil, ¿cuál es el tamaño de un fractal? Esta misma pregunta se hacía Mandelbrot en su artículo How long is the coast of Britain? en el que plantea el concepto de dimensión fractal. De acuerdo con la geometría de Euclides, nos movemos en un espacio de tres dimensiones, ya que para situar un punto en el plano necesitamos tres coordenadas (altura, anchura y fondo). De igual manera, un plano tendrá dos dimensiones, la recta, una y el punto, cero. Sin embargo, si tomamos, por ejemplo, la curva de Koch que se supone que pertenece a un mundo unidimensional, veremos como su longitud varía dependiendo de la regla de medir que utilicemos y, por lo tanto, resulta imposible calcularla de forma exacta. Evidentemente, tampoco se trata de un plano pues como su propio nombre indica es una curva ya que está dentro del plano. En consecuencia, se considera que su dimensión debe encontrarse a medio camino entre uno y dos.

Este planteamiento puede parecer un simple malabarismo matemático, ya que esta dependencia del tamaño de la unidad de medida y, en definitiva, de la relatividad sobre el punto de referencia del observador se escapa entre las manos. Sin embargo, resulta muy útil, ya que como mostraremos en el siguiente apartado puede calcularse y, por lo tanto, nos sirve para ponderar cualidades de los objetos fractales como su grado de escabrosidad, discontinuidad o irregularidad. Esto además implica que se considere que este grado de irregularidad sea constante a diferentes escalas, lo que se ha demostrado en numerosas ocasiones apareciendo una increíble irregularidad regular y pautas de comportamiento dentro del más completo desorden.

CÁLCULO DE DIMENSIONES FRACTALES

En el apartado anterior, se ha definido el concepto de dimensión fractal como aquella que no se ajusta tradicionalmente consideradas desde tiempos de Euclides: dimensión 0, el punto; dimensión 1, la línea; etc.…Pero este concepto no es solamente teórico, sino que puede calcularse como vamos a mostrar a continuación. De todas maneras, no debemos olvidar que partimos de una idea subjetiva, ya que se trata de averiguar y cuantificar la parte que ocupa el fractal del espacio en el que se encuentra.

Si tomamos una figura fractal cuya dimensión se encuentra entre uno y dos como, por ejemplo, la línea de costa, el resultado de su longitud dependerá de la longitud de la regla que utilicemos, es decir de la unidad de medida. Por lo tanto, si conseguimos que esta unidad sea infinitamente pequeña podremos medir con una gran exactitud

Ahora, basándonos en esta simple idea, nos será más fácil comprender el siguiente desarrollo matemático

• Denotemos un espacio métrico completo como (X, d), donde A"H(X) es un subconjunto compacto no vacío de X. Considerando que >0, tomemos B(x, ) como esferas cerradas de radio  y con centro en un punto x"X.

• Deseamos definir un número entero, N(A, ) que sea el menor número necesario de esferas cerradas de radio  que necesitamos para cubrir el conjunto A.. Esto sería:

• N(A, )= el número entero positivo más pequeño de forma que A" "Mn=1 B(xn, ) para un conjunto de puntos distintos {xn; 1, 2, 3,…,M}. Para saber que este número existe, rodeamos todos los puntos x"A con una esfera abierta de radio >0 para cubrir A con conjuntos abiertos. Dado que A es compacto, esta cubierta tiene una subcubierta finita, que es un número entero, que llamaremos M'. Si cerramos estas esferas, obtenemos una cubierta M' de esteras cerradas.

• Llamaremos C al conjunto de cubiertas de A con un máximo de M' esferas cerradas de radio . Por lo tanto, C contiene al menos un elemento. Ahora, vamos a definir f:C {1, 2, 3,…,M'} como f(c) que es igual al numero de esferas en la cubierta c"C. Entonces, {f(c): c"C} es un conjunto finito de números enteros positivos. En consecuencia, este conjunto contendrá un número menor, N(A, ).

• Detrás de la idea intuitiva de dimensión fractal, subyace la idea de que A tendrá una dimensión fractal D si: N(A, ) " C -D donde C es una constante positiva. Interpretamos “"” de forma que f() y g() son funciones reales de la variable positiva real . Entonces, f() " g() significa que lim0{ln(f())/ln(g())}=1.

• Al despejar D, obtenemos:

• Teniendo en cuenta que cuando  tiende a cero, el término ln C/ln (1/) también tiende a cero llegamos a la siguiente definición:

Sea A"H(X) donde (X, d) es un espacio métrico. Para cada >0 sea N(A, ) e menor número de esfera cerradas de radio >0 necesarias para cubrir A. Si

existe, entonces D es la dimensión fractal de A. También se denota como D=D(A) y se lee “A tiene dimensión fractal D”

EJEMPLOS

Este Apartado lo vamos a dedicar al calculo de las dimensiones de algunos de los fractales más conocidos.

Comenzaremos con el conjunto de Cantor:

Este conjunto se puede recrear tomando una línea, dividiéndola en tres partes iguales y quitando la parte central, después de esto se vuelve a hacer lo mismo con las líneas que nos quedan y se sigue haciendo hasta que te aburres o llegas al infinito.

K	E	N
0	1	1
1	1/3	2
2	1/9	4
K

K = Nº de interacciones necesarias

E = Tamaño del instrumento de medida

N = Nº de veces que se usa E

El calculo de las dimensiones seria el siguiente:

Usando las propiedades fundamentales le los Logaritmos no queda así:

Si simplificamos:

Y la resolución es la siguiente:

Con lo que llegamos a la conclusión de que la dimensión el conjunto de Cantor no llega a la 1ª, siendo esta de 0,6309.

Ahora continuamos con la curva de Koch:

Podemos recrear este conjunto de una manera muy sencilla: tomamos una línea y la dividimos en tres segmentos iguales, se elimina la parte central y se sustituye por dos segmentos de una longitud que sea igual a un tercio de la línea original obteniendo así cuatro segmentos, se continua haciendo esto hasta el infinito.

K	E	N
0	1	1
1	1/3	4
2	1/9	16
K

K = Nº de interacciones necesarias

E = Tamaño del instrumento de medida

N = Nº de veces que se usa E

Su dimensión se calcula con la siguiente formula:

Y resolviéndola se obtiene:

Con lo cual observamos que la dimensión de la curva de Koch tiene una dimensión que esta entre la 1ª y la 2ª y que es 1,2618.

Triangulo de Sierpinski

Este fractal se obtiene cogiendo un triangulo equilátero, dividiéndolo en cuatro triángulos iguales y retirando el triangulo central, después se hace lo mismo con los tres triángulos que nos quedan y se sigue haciendo hasta el infinito.

K	E	N
0	1	1
1	1/4	3
2	1/16	9
K

K = Nº de interacciones necesarias

E = Tamaño del instrumento de medida

N = Nº de veces que se usa E

Su dimensión se puede obtener con la siguiente formula:

Lo que nos deja con:

Con lo que vemos que la dimensión es 0,7924

Tomemos ahora la curva de Peano:

Esta curva la obtenemos con una recta a la que dividimos en tres partes iguales, después dibujamos dos cuadrados abiertos por un lado encima y debajo del segmento central y con un lado de igual longitud que los tres segmentos obtenidos, se sigue asi hasta el infinito y así lo obtenemos.

Su dimensión se obtiene con la siguiente formula;

Lo que nos deja con el siguiente resultado:

Esta curva no se consideraría un fractal si atendemos a su definición, que dice que un fractal es un objeto matemático de dimensión no entera.

EL CONJUNTO DE MANDELBROT

Sin duda, el principal y más conocido representante de los fractales es el conjunto de Mandelbrot. Para muchos expertos se trata con mucha diferencia del objeto más complejo de todas las ciencias exactas. Resulta increible observar su infinita complejidad, que resulta ciertamente indescriptible. Y además esta complejidad se multiplica a todas las escalas apareciendo un sinfín de racimos, penínsulas, islas que realmente no lo son, espirales, etc. No importa cuanto aumentes la escala ni cuantas veces des a la tecla del zoom, en la pantalla seguirán apareciendo más y más figuras infinitamente complicadas. Desde luego que parece una invención diabólica capaz de volver loco al más cuerdo.

Sin embargo, hay algo que no se aprecia a simple vista pero que resulta aun más desconcertante que su intrincada figura. Toda la complejidad antes mencionada puede comprimirse en unas pocas líneas de códigos informáticos, aunque no se trata de un nuevo milagro de la informática sino que todo proviene de un proceso sumamente sencillo y al alcance de todo el mundo.

De todos modos, aunque se construye a partir de un proceso iterativo poco complejo, su descubrimiento y definición sí lo fue. Sus precedentes se remontan a los estudios de Gaston Julia y Pierre Gatou durante la I Guerra Mundial. Estos estudios, realizados sin ordenador, que tuvieron como resultado los conjuntos de Julia fueron redescubiertos por Benoit Mandelbrot a finales de los 70. Estas extrañas figuras toman forma de nubes, regiones de polvo, espirales, colas de caballo de mar…que son representadas en el plano complejo. Mandelbrot mediante un complicado y arduo proceso consiguió confeccionar una figura que fuera catálogo de todos los conjuntos de Julia mediante la iteración de diversas funciones, senos, cosenos…En un principio, resultó muy desconcertante descubrir una complejidad infinita cada vez que se refinaba el proceso sin aparente orden ni concierto, pero al mismo tiempo se veía como iban reproduciéndose las mismas formas a distintas escalas.

En definitiva, el conjunto de Mandelbrot consiste en una serie de números complejos que cumplen una determinada propiedad matemática. Cada número está compuesto por una parte real y otra imaginaria representada por i, que es igual a la raíz cuadrada de -1, de la siguiente forma: 2 + 3i. Entonces, tomamos, un número cualquiera C y lo elevamos al cuadrado. Al número obtenido le sumamos C y lo volvemos a elevar al cuadrado y continuamos una y otra vez con el mismo proceso: z z2 + C.

Pueden darse dos resultados en este proceso iterativo: el número puede escapar al infinito alejándose del centro del plano y no pertenece al conjunto de Mandelbrot, o bien puede que esto no se produzca y el punto se encuadre dentro del conjunto.

El programa repite el proceso para miles de puntos coloreando de un color los que pertenecen y de otro los que no. Además puede seleccionar un color distinto según el número de iteraciones necesarias para decidir si el número se escapa a infinito.

APLICACIONES DE LOS FRACTALES

Aunque puedan parecer simples figuras creadas para entretener a los matemáticos, existen muchas aplicaciones de los fractales tanto a nivel teórico como en el práctico. Teniendo en cuenta la gran amplitud del campo de su aplicación, a continuación nos vamos a limitar a enumerar las más llamativa y, por decirlo de algún modo, las que resultan más espectaculares.

Desde luego, su aplicación en el campo de las ciencias abstractas ha sido realmente grande. Una de sus aplicaciones más inmediatas es el estudio de las soluciones de sistemas de ecuaciones de más de segundo grado. De hecho, en los albores del estudio de los fractales, John Hubbard, matemático estadounidense, represento en un plano el modo como el método de Newton, para resolver ecuaciones, lleva desde diferentes puntos iniciales a cada una de las soluciones. Anteriormente se pensaba que cada solución tendría una cuenca de atracción que dividiría el plano en varias partes y que cuyos puntos condujeran a dicha solución. Sin embargo, mediante la exploración por ordenador y la asignación de un color a cada cuenca, Hubbard comprobó que los límites de estas regiones del plano no estaban de ninguna manera bien definidos. En estos límites se encontraba puntos de un color dentro de otros puntos de color y conforme la rejilla de números se iba ampliando más compleja se iba revelando la frontera. En realidad, podía considerarse que no existía tal frontera.

Aunque también existen muchas aplicaciones en materias tan diversas como la física o la sismología, desde luego el campo en el que más aplicaciones se han encontrado ha sido en el tratamiento de las imágenes. En realidad, más que de aportaciones, debe hablarse de una verdadera revolución. Michael Barnsley fue el pionero en el tratamiento de imágenes a partir de su denominada transformación fractal. Ésta consiste en el proceso contrario a la formación de un fractal, es decir, en lugar de crear una figura a partir de unas reglas determinadas, se buscan las reglas que forman una figura más determinada.

Actualmente, los fractales se utilizan para comprimir imágenes digitalizadas de forma que ocupen menos espacio y puedan ser transmitidas a una mayor velocidad y coste menor. Además, resultan de gran utilidad a la hora de crear los espectaculares efectos especiales de las grandes superproducciones, ya que es relativamente fácil crear todo tipo de paisajes y fondos a través de los fractales. Tan simple que con un pequeño programa de ordenador que ocupa un reducido espacio, puede crearse un bonito árbol a partir de un simple esquema.

Igualmente la revolución de los fractales afecta al mundo de la música, ya que está muy

extendida la utilización de procedimientos fractales para la composición, en especial, de música tecno o de bases rítmicas para cualquier otro tipo de música.

Además, el concepto de fractal y su dimensión han tenido gran repercusión en el campo de la biología. Por un lado, se pueden apreciar grandes ejemplos de estructuras fractales en el cuerpo humano como la red de venas y arterias. A partir de un vaso sanguíneo grande como la aorta van saliendo vasos más pequeños hasta la aparición de los finísimos capilares de forma que cubran el mayor espacio posible para llevar nutrientes a las células. Por otro, se cree adivinar cierta similitud entre la generación de fractales y

el código genético, ya que en ambos casos a partir de una información muy reducida en apariencia, surgen complejas estructuras.

CONCLUSIÓN

A lo largo de este trabajo hemos ido descubriendo en qué consisten ese tipo de figuras tan complicadas de apariencia diabólica. En general, hemos intentado darle un enfoque fenomenológico que esté al alcance de todos los que, como nosotros, no poseemos un gran dominio de las matemáticas.

De todas maneras, no debemos olvidar que tanto el estudio del caos como el de los fractales se encuentra en plena evolución y, en la realidad, son conceptos poco conocidos por una amplia mayoría. Sin embargo, todo el mundo sabe exactamente lo que es un círculo o un cubo, lo que es ciertamente extraño, pues, en nuestra opinión, los fractales representan más ajustadamente la naturaleza de las cosas. Durante miles de años, el hombre ha intentado adaptar el medio, completamente irregular en todos los sentidos, a su forma de pensar y de entenderlo despreciando la complejidad y condenando la irregularidad como producto del azar y del comportamiento caprichoso de la naturaleza.

No queremos decir con esto que el mundo entero se rija por las reglas de los fractales, pues esto sería una simple e inútil simplificación más, pero consideramos que la ciencia del caos y los fractales realizan una gran aportación al mundo de la ciencia, no sólo en conocimientos concretos, sino como una nueva forma de concebir las cosas y resolver los problemas que se nos plantean. En el fondo subyace la comprensión del mundo en movimiento como un proceso global que no para o se detiene en ningún punto, sino que continúa y continúa de la misma manera que iteramos una función para conseguir una figura fractal.

Por último, nos gustaría recordar y alabar el trabajo de muchos hombres como Poincaré, Feigenbaum, Mandelbrot y tantos otros, gracias a los cuales ha sido posible el nacimiento de una nueva disciplina, el caos, y una nueva forma de entender la geometría, los fractales. Sin embargo, en nuestra opinión, el caos no puede ser considerada simplemente como una ciencia en sí misma, ya que, teniendo en cuenta su aplicación en tan diversos campos, la consideramos más bien como una herramienta para entender los distintos procesos que se producen en tan diferentes ciencias como la física o la economía.

Curva de Koch

Desarrollo del método de Newton para una ecuación de grado 3