Norma de un vector:

Vector unitario:

Producto punto o producto escalar:

Cosenos directores:

Angulo entre dos vectores:

Componente de v a lo largo de u:

Producto cruz o producto vectorial:

Área del paralelogramo generado por u y v:

Área del triángulo es la mitad del área del paralelogramo generado por u y v

Producto cruz o producto vectorial:

Triple producto escalar:

Volumen del paralelepípedo generado por u, v, w:

Volumen de la pirámide inscrita es 1/6 del volumen del paralelepípedo generado por u, v y w.

Rectas y Planos en el Espacio.

Ecuación vectorial de la recta: : donde v es el vector dirección, r0=(x0,y0,z0) y t es un escalar.

Ecuaciones simétricas de la recta:

Ecuaciones paramétricas de la recta:

Ecuación vectorial del plano: donde n es el vector normal al plano, r0 =(x0,y0,z0) y r =(x,y,z).

Ecuación escalar del plano que pasa por P0=(x0,y0,z0) y tiene como vector normal a

n =(a,b,c):

.

Ecuaciones paramétricas del plano:

Distancia de un punto Q a un plano:

Distancia de un punto Q a una recta L esta dada por: , donde P es un punto cualquiera de la recta.

Superficies.

Una superficie de revolución tiene la ecuación:

x2 + y2 = [r(z)]2 girando en torno al eje z

y2 + z2 = [r(x)]2 girando en torno al eje x

x2 + z2 = [r(y)]2 girando en torno al eje y

Superficies cuadráticas:

Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + K = 0

Se clasifican en esferas, elipsoides, hiperboloides de una hoja, hiperboloides de 2 hojas, cilindro elíptico o circular recto, cilindro hiperbólico recto, cono recto, paraboloide elíptico, paraboloide hiperbólico.

DERIVADAS PARCIALES

Derivadas parciales de orden superior:

Gradiente de z=f(x,y) . Gradiente de w=f(x,y,z)

Si F(x,y,z)= z - f(x,y)= 0, entonces un vector normal a la superficie z está dado por:

La derivada direccional de una función z=f(x,y), en la dirección del vector unitario u=(u1,u2) en el punto (x0,y0) está dada por:

Si la función z=f(x,y), es diferenciable en el punto (x0,y0) entonces:

La ecuación del plano tangente a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación del plano tangente en el punto P=(x0,y0,z0) es:

La ecuación de la recta normal a la superficie F(x,y,z)= 0 en el punto P=(x0,y0,z0) está dada por:

Si la superficie es z=f(x,y), la ecuación de la recta normal en el punto P=(x0,y0,z0) es:

Para la superficie z=f(x,y), la diferencial total de z es:

REGLA DE LA CADENA (1ª. Versión)

Si z=f(x,y) en donde x=x(t); y=y(t), entonces:

REGLA DE LA CADENA (2ª. Versión)

Si z=f(x,y) en donde x=g1(s,t); y=g2(s,t), entonces:

DERIVACIÓN IMPLÍCITA. Si F(x,y,z)= 0, en donde z=f(x,y), entonces:

CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA PUNTOS CRÍTICOS DE FUNCIONES z=f(x,y).

Sea D= fxx(x0,y0)fyy(x0,y0)- f2xy(x0,y0), donde (x0,y0) es un punto crítico de z=f(x,y), entonces:

1. f(x0,y0) Es un valor máximo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)<0

2. f(x0,y0) Es un valor mínimo relativo de z=f(x,y) si D>0 y fxx(x0,y0)>0

3. f(x0,y0) Es un punto silla de z=f(x,y) si D<0

4. EL CRITERIO NO DECIDE SI D=0

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE.

Sea z=f(x,y) y h(x,y)=c una función restricción. Para maximizar (minimizar) a z sujeta a la restricción h, se deberá resolver el sistema:

COORDENADAS CILÍNDRICAS Y ESFÉRICAS.

CAMBIO DE VARIABLE

SEA C UNA CURVA (EN EL PLANO O EN EL ESPACIO) DADA POR:

LONGITUD DE ARCO

INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL (TRABAJO REALIZADO)

INTEGRAL DE LÍNEA

SEA F(x,y)=Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, F ES CONSERVATIVO SI

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL. LAS SIGUIENTES CONCLUSIONES SON EQUIVALENTES:

ÁREA DE UNA SUPERFICIE PARAMETRICA.

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, SI F ES CONSERVATIVO, ENTONCES DONDE f(x,y) ES UNA FUNCIÓN POTENCIAL DE F, ES DECIR:

SEA F(x,y)= Mi + Nj UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES

SEA F(x,y,z)= Mi + Nj + Pk UN CAMPO VECTORIAL, LA DIVERGENCIA DE F ES

TEOREMA DE GREEN

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA (DE GAUSS).

Relaciona una integral triple sobre una región sólida Q, con una integral de superficie sobre la superficie de Q

INTEGRALES DE SUPERFICIE

TEOREMA DE STOKES.

Establece la relación entre la integral de superficie sobre una superficie orientada S y la integral de línea sobre una curva espacial cerrada que constituye el borde de S.