Fórmula de suma de cuadrados

En nuestro estudio “ Suma de cuadrados ”, ya publicado por Vds. en el apartado b) citábamos como condición , que el número , N , fuese igual a la suma de dos cuadrados consecutivos , más dos veces el producto de dos números consecutivos . Por otra parte decíamos que “ N “ es un número entero, positivo, impar, primo o compuesto no múltiplo de tres, ni múltiplo de cuadrado. Sobre estos dos casos tratamos al final de este trabajo.

N = C(1)² + C(2)² + ( 2 a ² + 2 a )

Pues bien, esta fórmula no solo nos da a conocer nuevos números que son suma de dos cuadrados , sino que todos deben estar representados en ella.

Si partimos de dos cuadrados consecutivos , tomados al azar , y para cual-

quier valor entero ,positivo de “a” , a > 0 , nos proporcionará siempre números que son

suma de dos cuadrados.

Ejemplo :

C(1) = 13 ; C(2) = 14

N = 13² + 14² + ( 2 a² + 2 a ) a > 0

da lugar a la sucesión ,

N = 369 ; 377 ; 389 ; 405 ; 425 ; 449………..785…..

en la cual podemos comprobar que todos los valores de “ N ” , son suma de dos cuadra- dos. Pero lógicamente , no está todos , 373 , 397 etc..

Si comenzamos la sucesión para todo valor de C(1) , a partir de “cero” ,ten-

dremos la relación completa de números que son suma de dos cuadrados.

N = 0² + 1 ² + ( 2 a² + 2 a) = 5 ; 13 ; 25 : 41 : 61 : 85……………

N = 1² + 2 ² + ( 2 a ² + 2a) = (9); 17 ; 29 ; (45): 65 ; 89……………

N = 2² + 3 ² + ( 2 a ² + 2ª ) = 17 ; 25 ; 37 ; 53 ; 73 ; 97……………

- - - - - - - - - - - - - -- - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - -- - - - - - - - - - - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

N = 85 ² + 86 ² + ( 2 a² + 2a) = 14625; 14633 ; 14645 ; 14661 ; 14681………

14625 = 85 ² + 86 ² + 4 = 87 ² + 84 ² = 67 ² + 68 ² + 2( 52 x 53 ) = 120 ² + 15 ²

14633 = 85 ² + 86 ² +12= 88 ² + 83 ² = Número primo

14645 = 85 ² + 86 ² +24= 89 ² + 82 ² = 61 ² + 62 ² + 2( 59 x 60 ) = 121 ² + 2 ²

14681 = 85 ² + 86 ²+60 = 91 ² + 80² = 75 ² + 76 ² + 2( 40 x 41 ) = 116 ² + 35 ²

Podemos observar :

Números que son múltiplos de cuadrados

En este caso se trata de números de la forma :

N = x . y . d ²

lo que procedería en este caso , es dividir “N” por d ² . Con el cociente se seguiría el

mismo proceso.

Números que son múltiplo de tres.

Hemos de distinguir :

a).- “N” es múltiplo de 3 , pero no de 9.

b).- “N” es múltiplo de 3 elevado a potencia par.

c).- “N” es múltiplo de 3 elevado a potencia impar.

En el primer caso “ N “ no puede ser suma de dos cuadrados , porque la su-

ma de dos cuadrados no puede ser divisible por 3 y no divisible por 9.

En el segundo caso dividiríamos “N” por 3 elevado a la potencia par , Con

el cociente se seguiría el proceso general .

En el tercer caso aunque dividamos “N” por 3 elevado a potencia par , el co-

ciente sería múltiplo de 3 , coincidente con el primer caso.

-----------------------------------------------------