Fonaments de la música

Versió 1.0

M. Riat

riat@pobox.com

Borriana, Juny 2001

M. Riat

Fonaments de la música

Borriana, 2001

Índex

Nota de l'autor

Pròleg

Introducció

La corda com a font sonora

Superposició de tons

Representació gràfica del so i unitats de mesura

L'oïda

El teorema de Fourier

La generació del so en els instruments musicals

El timbre

La reproducció del so

Les escales musicals

Instruments electroacústics

Apèndix: L'afinació d'un piano

Apèndix: Sinestèsia

Apèndix: L'efecte de Doppler

Resum històric

Bibliografia

Dades biogràfiques

Índex alfabètic

Agraïments

Nota de l'autor

El meu pare era músic i tota la meva infantesa estava ambientada amb música clàssica. Això possiblement explica el meu interès per tot el que està relacionat amb aquest art. Quan al principi dels anys 1980 va venir un tècnic per a afinar el meu piano, vaig fer-li alguna pregunta sobre el seu art i aquest home va tenir l'amabilitat d'ensenyar-me algunes propietats acústiques de l'instrument que encara desconeixia. Entre altres em va parlar dels tons parcials i de les pulsacions, que en dies consecutius vaig arribar a sentir.

Ple de curiositat vaig anar a la meva llibreria habitual, amb la intenció de comprar un llibre que parlés de tots aquests fenòmens tan interessants. No vaig trobar cap introducció en la matèria que no fos o bé trivial, o bé tan complexa que quedés reservada als especialistes. Un dia, a la Biblioteca Central de Barcelona vaig trobar alguna obra de l'estil de la que anava buscant. Però tots aquests llibres estaven exhaurits, i no n'hi havia ni un de sol en llengua catalana. Aleshores em vaig plantejar la possibilitat d'escriure'n un sobre el tema.

Els llibres de divulgació escrits per autors no especialitzats en la matèria moltes vegades són més adaptats a les circumstàncies del lector profà, ja que per un especialista sovint és molt difícil fer-se entendre per una persona no especialitzada.

Vaig començar a llegir diferents obres sobre el tema, a prendre apunts i a ordenar-los mitjançant un fitxer. I un dia em vaig posar a escriure els primers fragments de text amb una romàntica màquina d'escriure, ja que els elevats preus em van dissuadir de comprar-me un ordinador personal. Finalment vaig començar a ordenar els meus fragments, afegir assumptes que encara era necessari explicar, expel·lir text que sobrava i finalment numerar les pàgines. Vaig deixar les il·lustracions per més endavant, i de moment només vaig traçar uns esbossos molt esquemàtics.

La meva idea era la següent: buscaria un editor i intentaria costejar l'edició intercalant pàgines amb publicitat d'empreses relacionades amb el tema, com ara botigues de partitures, d'instruments de música o de discos. De moment vaig lliurar fotocòpies del meu mecanoscrit sense corregir a diferents editors i vaig intentar buscar clients que es volguessin anunciar en el meu llibre. Aquest sistema m'hauria permès vendre el llibre a un preu molt assequible, ja que els llibres de tirada curta sempre resulten molt més cars que els altres i que ja vaig veure que aquest no seria un llibre de gran venda.

Però no vaig aconseguir prou anunciants i cap dels editors a qui m'havia adreçat no estava gaire entusiasta a col·laborar. I em vaig recordar, que quan havia escrit el meu primer llibre, "Tècniques gràfiques", tots els disgustos van començar a partir del moment en què havia lliurat el manuscrit a la impremta. Així que vaig arxivar la meva feina, com suposava, per sempre.

Però l'any 1999, després d'haver adquirit un programa Microsoft Word ®, que permet incloure els gràfics en el text, vaig decidir introduir tota la feina d'aquell temps a l'ordinador. Així el podria distribuir a qui l'interessi, enviant-li un disquet o àdhuc enviant els fitxers corresponents per correu electrònic. Així cada un pot imprimir-se ell mateix el llibre amb una impressora, o llegir-lo a la pantalla. Autoritzo a tothom a fer servir els textos d'aquest llibre, sempre quan es respectin les condicions següents:

Tot i que sóc un apassionat de la tipografia de qualitat i que sempre em sentiré més vinculat a la lletra impresa que als medis electrònics he decidit presentar aquest text sota aquesta forma, ja que les noves tecnologies ens brinden unes possibilitats de distribució i una flexibilitat de variació sense dubte molt superiors a la lletra impresa. De la mateixa manera que els antics amanuenses miraven el naixement de la tipografia amb mals ulls, sense dubte gran part dels amants de la tipografia estan observant recelosament els desenvolupaments dels últims 20 o 30 anys. Però crec, que també amb les noves tècniques s'arribarà a trobar una estètica i una tradició que permetran crear obres d'una gran qualitat. I el naixement d'una tècnica nova no necessàriament implica una superació de la tècnica antiga, però en aquest cas ofereix unes llibertats que queden més enllà dels límits dels procediments tradicionals. Així com la tipografia en cap moment ha desprestigiat la noble i valuosa feina dels antics copistes, que a vegades han dedicat tota una vida a omplir les pàgines de pergamí d'un sol llibre amb llur minuciosa cal·ligrafia.

He triat el programa Word ® de Microsoft ® sobretot per la seva gran difusió, que garanteix una compatibilitat futura. He compaginat el text de cara a la seva impressió mitjançant una impressora làser o ink jet, sobre paper de mida DIN A4. Tot i que es tracta d'un text de caràcter essencialment tipogràfic, he intentat organitzar-lo una mica com un hipertext en el sentit següent: la lectura dels capítols comença amb els conceptes més intel·ligibles que es van aprofundint successivament. La lectura dels capítols es pot perseguir sense necessitat d'haver entès enterament els anteriors.

Aquest text no té la pretensió de ser un curs d'acústica o de música. La meva idea només era d'escriure un assaig que introduís el lector en els diferents temes que fan l'objecte d'aquest llibre.

Prego a tots els lectors d'enviar-me els seus comentaris, correc­cions i suggeriments, per correu electrònic o per carta. Els col·laboradors seran esmentats en els agraïments al final de la propera versió d'aquest text.

Pròleg

De totes les arts, la música es sol considerar la més abstracte, la menys palpable. Des de la invenció de la tipografia al segle XV, la cultura occidental s'ha anat orientant més i més envers una forma de pensar basada essencialment en la vista, descartant progressivament les altres fonts de percepció. Per ajudar a entendre uns fets científics o per esquematitzar un programa d'ordinador, per exemple, fem servir representacions gràfiques, conscients de que "una imatge val mil paraules". Acostumats com estem a aquest tractament prioritari de l'òrgan de la vista, cedim fàcilment a la temptació de considerar als nostres altres òrgans sensorials com a fonts de percepció de segon ordre. L'exemple dels invidents comprova que sobretot el rendiment de l'oïda i del tacte són proclius a un increment considerable de sensibilitat, si se'ls educa mitjançant uns exercicis portats a terme d'una manera sistemàtica i atenta. Aquest llibre no és un llibre de música en el sentit estricte de la paraula, ja que es limita a comentar els fonaments físics, matemàtics, anatòmics, fisiològics, psicològics i tècnics de la música, sense parlar de la música en sí, que és l'art que explota els principis exposats aquí. Però tampoc es tracta d'un llibre científic, assequible als especialistes, sinó tot el contrari: És de divulgació i s'adreça a totes les persones d'una cultura mitjana, interessada en adquirir unes nocions bàsiques en el camp de l'acústica musical, sense haver de dedicar-hi uns esforços considerables.

L'increment extraordinari dels coneixements humans en els últims dos-cents anys requereix una especialització cada dia més pronunciada de tots els científics. Les ciències extremadament desenvolupades com ara la física o les matemàtiques, ja no poden ésser dominades per una sola persona, de manera que després d'uns estudis generals de la matèria, és impossible aprofundir en tots els camps d'una ciència alhora. Els grans genis universals com ara Leonardo da Vinci, que dominaven la quasi totalitat de les ciències de la seva època, avui dia no poden existir, car la ment humana també té les seves limitacions. El segle XIX va crear els últims genis universals, com ara Helmholtz. Avui dia una persona culta que vol estar informada sobre una gran diversitat de temes, no té cap altra solució que recórrer a la literatura de divulgació o a les enciclopèdies, ja que llegint exclusivament obres rigorosament científiques, no viuria prou temps per adquirir una noció general del món en el qual viu.

Per tota persona culta sempre serà especialment interessant disposar d'uns coneixements fonamentals de les estructures palpables que ens volten diàriament, com ara els fenòmens acústics, entre molts altres temes. Qui no s'ha preguntat alguna vegada com era possible seguir el discurs d'una persona determinada enmig d'una xerrameca general? O com podia ser que un sol solc fonogràfic contingués la informació sonora total de diferents instruments musicals alhora? O per què era possible distingir els trucs donats contra la pròpia porta dels donats contra la porta del veí? Un lector atent del present assaig trobarà l'explicació d'aquests fenòmens, entre molts altres més.

Certs conceptes idèntics porten noms diferents en publicacions diferents, i certs noms es solen trobar aplicats a conceptes diferents. Adoptem aquí una terminologia que pot ésser tan vàlida com qualsevol altra, emprada en altres treballs. Ens referim per exemple a les definicions dels conceptes "harmònic", "to parcial", "sobreto", etc., el sentit dels quals està sotmès a certes variacions d'un autor a l'altre.

Tenint en compte que el present assaig també està dedicat a persones que no tenen cap noció del formulisme matemàtic, el llibre està estructurat de tal forma, que el lector pugui passar per alt totes les fórmules, considerant-les com si fossin unes anotacions marginals, sense que això perjudiqui l'enteniment de l'aspecte qualitatiu de la matèria. Els pocs capítols que formen una excepció a aquest principi, ja que estan dedicats precisament a l'aspecte quantitatiu, s'han disposat al final del llibre. Així per exemple els integrals que s'han introduït en el capítol El teorema de Fourier no són essencials per l'enteniment del significat qualitatiu d'aquest teorema, sinó que il·lustra el tipus de càlcul que permet aplicar el teorema a certes funcions matemàtiques periòdiques. Les taules numèriques ofereixen 5 o 6 decimals, moltes més de les que es necessiten per il·lustrar els fets. Aquestes indicacions irraonablement precises es faciliten per a oferir un control numèric a aquells lectors que es vulguin entretenir a recrear alguns dels càlculs, a fi de verificar si han entès bé la matèria presentada. Per aquesta mateixa raó s'ha renunciat a arrodonir l'última xifra; seguint aquesta regla, per exemple el valor 1,712829 es deixaria en 1,71282 en comptes de 1,71283 que aproxima més satisfactòriament el valor donat, però que altera una xifra del valor original. El notable lligam que sempre ha existit entre la música i la matemàtica, justifica plenament el capítol que tracta de les interpretacions aritmètiques de les notes emprades en la música occidental, sota el títol de "Les escales musicals". En efecte, molts dels grans compositors han mostrat un viu interès per les matemàtiques i viceversa.

Avui es considera que fou Sauveur qui va constituir l'acústica musical en ciència independent. Es captivador que aquest honor s'escaigui precisament en una persona castigada per una deficiència física relacionada amb el tema: Sauveur fou sord i mut fins a l'edat de sis anys, circumstància que sembla haver-lo motivat especialment a dedicar gran part del seu intel·lecte a estudiar detingudament els fets físics relacionats a la seva deficiència. Fins a l'aparició del llibre "Die Lehre von den Tonempfindungen" de Helmholtz, els escrits de Sauveur formaven la base més sòlida de l'acústica musical. Així mateix el llibre de Helmholtz forma la base de l'acústica moderna, encara que s'hi hagin d'introduir algunes esmenes.

El resum històric pot ajudar a facilitar una visió general de la història de la ciència acústica.

La Bibliografia es limita essencialment a obres d'interès històric i no menciona les obres actualment disponibles en llibreria.

La part del present llibre intitulada "Dades bibliogràfiques" intenta situar breument els personatges que s'han mencionat anteriorment. Hem escollit sobretot persones que no siguin conegudes per tothom; en aquest sentit ens ha semblat insubstancial de mencionar-hi personatges tan coneguts com en J.S. Bach o en Newton, entre molts altres.

Finalment un índex alfabètic, tant de matèries com de persones, pot facilitar la lectura del present llibre, ja que s'hi poden trobar les pàgines en les quals es defineixen, es mencionen o s'expliquen els diferents conceptes o noms allistats.

Introducció

Un to musical és un so caracteritzat per una freqüència (nombre de vibracions al segon) determinada. Nota musical és la denominació d'un to musical determinat. La nota pot tenir forma de nom propi, com ara "Do", "Re", ... o bé pot ser representat per un símbol abstracte del sistema internacional de notació musical.

Aquest sistema no es va inventar d'un dia a l'altre. Fins cap a l'any 1000 els cants litúrgics portaven unes anotacions anomenades neumes, que consistien essencialment en unes indicacions de caràcter mnemotècnic sobre les variacions d'altura dels tons, sense permetre cap interpretació rítmica, és a dir sense facilitar informació sobre la duració de cada to.

Sembla que el monjo Hucbald al segle IX fou un dels primers en introduir la primera ratlla horitzontal del que més endavant es convertiria en el nostre pentagrama. Al mateix Hucbald se li atribueix el mèrit d'haver completat un sistema de notació alfabètica amb una setena lletra, la gamma grega. D'aquí sembla que prové el nom de gamma per designar una escala musical, o a vegades només una octava d'ella.

A un altre monjo, Guido d'Arezzo, se li atribueix la instauració del sistema de notació de quatre pautes. Es també a Guido d'Arezzo que devem els noms de les notes que s'utilitzen en els països llatins, derivats de les inicials d'un himne a Sant Joan Bautista:

UT queant laxis

REsonare fibris

MIra gestorum

FAmuli tuorum

SOLve polluti

LAbii reatum

Sancte Iohannes

Amb excepció de França, tots els països occidentals van substituir posteriorment les sigles Ut per Do.

Fins al segle XVI els músics no es posaren d'acord sobre l'actual sistema de cinc pautes i sembla que Frescobaldi encara utilitzava un sistema de vuit pautes.

El pentagrama ha d'anar sempre encapçalat d'un símbol anomenat clau que ens indica la posició del Do. Aquí ens limitarem a indicar les dues claus més importants, la de Sol, *, i la de Fa, *, que en les partitures de piano usualment s'utilitzen en una doble pauta, a fi d'indicar la grafia de les notes que corresponen a les tecles blanques de les dues octaves centrals del piano.

Per evitar de sobrecarregar la figura, no s'han representat les notes que corresponen a les tecles negres. Entre la tecla Do i la tecla Re hi trobem una de negra que representa alhora el Do augmentat de mig to, el Do #, i el Re reduït de mig to, el Re *. En la notació musical el signe d'alteració, la díesi, #, o el bemoll, *, s'anteposa a la nota. El mateix passa amb el Re # que és alhora el Mi *, etc. Un altre símbol, el becaire (*), serveix per a suprimir l'alteració de les notes.

Ara bé: Quin sentit té això d'assignar dos noms diferents a dues notes idèntiques? La resposta és ben fàcil: No ho són pas, d'idèntiques! Expliquem-nos: L'escala ben temprada que avui dia s'ha adoptat quasi universalment per a l'afinació dels instruments de tons fixes és una invenció bastant recent i J.S. Bach féu una de les primeres demostracions pràctiques de la utilitat d'aquest sistema, composant els seus dos reculls de 24 preludis i fugues coneguts pel nom de "Clavecí ben temprat".

Respectant les escales de Pitàgoras i de Zarlino, per mencionar només dos dels sistemes més importants, no es podia afinar un instrument de teclat de manera que s'hi poguessin interpretar satisfactòriament composicions en totes les tonalitats possibles. Ja aviat es van desenvolupar sistemes d'afinació aproximativa que permetien fer coincidir el Do # amb el Re *, etc. Aquests sistemes permetien executar satisfactòriament música en les cinc o sis tonalitats més usuals. Devem la introducció de l'escala ben temprada, que ja havia estat proposada anteriorment, a J.S. Bach i a Werckmeister.

Vet aquí la construcció matemàtica de l'escala ben temprada:

S'agafa una nota arbitrària de l'escala, posem-hi per exemple el La, i se l'afina a l'altura desitjada, posem-hi 440 vibracions al segon. Per a trobar el nombre de vibracions de cada mig to consecutiu es van multiplicant les vibracions del to anterior amb la constant k, que representa la dotzena arrel de 2 (1,05946...), el nombre que multiplicat dotze vegades per si mateix dóna el nombre 2. D'aquesta manera al cap de 12 passos trobarem el to que tindrà el doble de vibracions que el to inicial, la seva octava superior, en el nostre cas el La amb 880 vibracions al segon. Òbviament, en el sentit contrari, una nota inferior de mig to s'obté dividint la nota superior per la constant k. Aplicant aquest procediment trobarem els valors següents per les notes de l'escala ben temprada, a partir del la de 440 Hz:

Totes les notes fora d'aquesta octava bàsica formen octaves amb un dels seus elements; les seves freqüències s'obtenen doncs multiplicant o dividint les freqüències de les notes de l'octava bàsica per 2, 4, 8, ... Aquesta és la construcció matemàtica de l'escala temprada, però, com ho veurem més endavant, no és aquest el camí que s'ha de seguir per afinar un piano, ja que els errors s'acumularien massa.

La nomenclatura de les notes, en els països germànics, és diferent de la nostra, i la nomenclatura germànica tampoc coincideix del tot amb la nomenclatura anglosaxona. Vet aquí la nomenclatura comparada en diferents idiomes:

Tampoc coincideixen les indicacions que permeten determinar l'octava en la qual està situada una nota donada. Aquí denominarem el Do central del piano (el que té la freqüència de 261,625 Hz) com a Do (3). L'índex 3 s'aplicarà a totes les notes entre Do (3) i Si (3). Les octaves baixes portaran índexs més baixos i al revés. El teclat d'un piano modern contindrà doncs totes les notes entre el la (-1) i el Do (7). D'aquesta manera la tessitura del piano inclou tota l'extensió de freqüències usuals de la música, que se'n va aproximadament de 30 a 4000 vibracions al segon.

Finalment mencionarem que en el sistema de notació musical internacional l'aspecte de cada nota determina la seva duració en relació a la de les altres, segons la seva representació gràfica com a rodona (*), blanca (*), negra (*), corxera (*), semicorxera (*), etc. Els silencis estan regulats mitjançant uns símbols anomenats pauses. A la rodona li correspon el símbol *, a les notes entre la blanca i la semicorxera els hi corresponen successivament els símbols *, *, * i *. La intensitat sonora sol anar indicada amb símbols que van de "pppp" a "ffff".

Les limitacions d'aquesta simbologia resideixen essencialment en dos fets: No ens permet representar intervals com ara un quart de to, un sisè de to, etc., i no ens indica res sobre el timbre dels tons musicals. El timbre és aquella qualitat d'un to que ens permet per exemple distingir un la tocat amb una flauta del mateix La tocat amb un violí. Més endavant veurem, que àdhuc la diferència entre els diferents vocals humans és essencialment de timbre. Certs compositors romàntics i postromàntics intentaven compensar les limitacions de la notació musical amb indicacions interpretatives que poden resultar altament suggestives i poètiques, com ho demostra aquesta selecció de les indicacions de la sexta sonata per piano, op. 62, composada a la vora de 1911 per A. Scriabin: "mystérieux, concentré", "étrange, ailé", "avec une chaleur contenue", "souffle mystérieux", "onde caressante", "concentré", "le rêve prend forme", "l'épouvante surgit", ...

Un fenomen que es repeteix idènticament cada interval de temps T, s'anomena periòdic. El període T és el temps que transcorre entre dos estats idèntics del fenomen. Exemples de fenòmens periòdics són les successives fases de la lluna, el moviment del pèndol d'un rellotge, la marxa d'un motor de benzina (quan aquest funciona amb velocitat constant) o el moviment d'una roda de molí.

Dins el camp dels sons audibles, els sons musicals són essencialment caracteritzats per vibracions periòdiques, mentre que les vibracions aperiòdiques són les causants del que s'anomena soroll. Com ho veurem més endavant, no existeix una limitació rigorosa entre els sons musicals i els sorolls.

Òbviament, un fenomen que té el període T, també tindrà els períodes 2T, 3T, 4T, ... Entre tots els períodes, el més petit sempre té la preferència.

La freqüència f d'un moviment periòdic és el valor recíproc del període, doncs 1/T. La unitat més important en el mesurament de freqüències és 1/segon = 1 Hz (de Heinrich Hertz). Si per exemple un motor fa cinc revolucions al segon, aquest moviment té un període de T = 0,2 segons i la seva freqüència és de f = 1/T = 1/0,2 segons = 5 Hz. Si una massa es mou periòdicament al voltant d'un punt d'equilibri, aquest fenomen s'anomena oscil·lació o vibració. La distància màxima entre el punt que oscil·la i el punt d'equilibri s'anomena amplitud de l'oscil·lació. A vegades es designa com a amplitud doble la distància entre els punts extrems de l'oscil·lació. La distància entre el punt d'equilibri i qualsevol situació momentània o fase de l'objecte vibrant s'anomena elongació. L'amplitud és doncs la màxima elongació d'una oscil·lació.

Entre totes les oscil·lacions, que poden tenir formes molt complexes, la classe més senzilla i alhora més important, està constituïda per les oscil·lacions sinusoïdals. S'anomena oscil·lació sinusoïdal la que descriu la projecció vertical d'un punt fix d'una roda que volta regularment, sobre una paret paral·lela a l'eix de la roda. O bé, dit d'una altra manera: si tenim una roda vertical que volta i un punt que es mou sobre una línia vertical, mantinent en cada moment la mateixa altura que un punt fix determinat sobre la roda, aquest punt descriurà una oscil·lació sinusoïdal. Aquest és el cas, per exemple, d'un pes que puja i baixa penjat d'una molla en forma d'espiral, si prescindim de la pèrdua d'energia deguda a la fricció. Gràficament es pot representar qualsevol oscil·lació mitjançant un diagrama cartesià en el qual l'eix d'abscisses correspon al temps i l'eix d'ordenades a les elongacions. La representació gràfica d'una oscil·lació sinusoïdal que reproduïm a continuació, és idèntica a la representació gràfica de la funció trigonomètrica sin (sinus).

En la figura s'aprecia un triangle rectangle format pel cosinus de l'angle x (el catet horitzontal), pel sinus del mateix (el catet vertical) i pel radi del cercle (que constitueix l'hipotenusa del nostre triangle rectangle).

Les unitats de mesura angular més usuals són els graus i els radians. El cercle es sol subdividir en 360º (graus); un angle recte correspon doncs a 90º en aquest sistema. El sistema que subdivideix el cercle en 400 "graus nous", que ens dóna un angle recte de 100 "graus nous", no s'ha imposat gaire en la pràctica. En els sistema dels radians, l'angle es mesura com a quocient entre l'arc del cercle que li correspon i el radi del cercle. En aquest últim sistema el cercle enter correspon a 2·