Bloque I Vibraciones y ondas

1 Movimiento vibratorio

1.1 Movimientos periódicos

1.2 Movimiento vibratorio

1.3 Movimiento armónico simple

1.4 Cinemática del M.A.S. elongación velocidad aceleración

1.5 Dinámica del M.A.S.

1.6 Energía de un oscilador mecánico

Movimientos periódicos

Se dice que un movimiento es periódico cuando se repite a intervalos iguales de tiempo. El ejemplo mas sencillo es el M.C.U.

Movimiento vibratorio

Los movimientos periódicos que tienen lugar hacia uno y otro lado de una posición de equilibrio (o) reciben el nombre de oscilatorios o vibratorios

Todo cuerpo que tenga una posición de equilibrio estable puede realizar oscilaciones alrededor de dicha posición.

Un cuerpo tiene equilibrio estable si cuando se le desplaza una pequeña distancia de dicha posición en cualquier sentido experimenta una fuerza que le obliga a regresar a dicha posición de equilibrio.

En estos movimientos el objeto oscila entre dos posiciones extremas (A, B) sin pérdida de energía mecánica, porque suponemos que no existe rozamiento.

En toda oscilación mecánica intervienen dos factores:

1º una fuerza que esta dirigida siempre hacia la posición de equilibrio y su inercia le obliga a sobrepasar dicha posición.

2º la inercia del cuerpo sobre la que actúa la fuerza

La fuerza empuja el cuerpo hacia la posición de equilibrio y su inercia le obliga a sobrepasar dicha posición.

• Se llama oscilación completa al movimiento realizado durante un periodo. Es decir una ida y una vuelta.

B--------o--------A Distancia (o-A) máximo desplazamiento € Amplitud (A)

1.3 Movimiento vibratorio armónico simple

De todos los movimientos vibratorios que tienen lugar en la naturaleza son los armónicos simples, se llaman así porque se pueden expresar mediante funciones armónicas como sen y cos de una sola variable

1.4 Cinemática del M.A.S.

Para deducir la ecuación que rige el M.A.S. vamos a utilizar la relación que existe entre este y el M.C.U. con el mismo periodo.

El M.A.S. se puede considerar como una proyección del M.C.U. sobre el diámetro de la misma circunferencia.

X= sen ωt

Sen ωt =x/a

Y=A cos (ωt +φ)

Y=A cos (ωt +φ .π/2

X=A sen (ωt +φ)

X elongación: es la posición de la partícula vibrante en cualquier instante referida a la posición de equilibrio. Se considera positiva hacia arriba y la derecha y negativa hacia abajo y la izquierda

Amplitud (A) es el valor máximo que puede tomar X (elongación) esto ocurre cuando ha transcurrido ¼ de periodo a partir del instante en que la partícula pasa por la posición de equilibrio.

ωt+φ fase en cualquier instante, su valor determina el estado de vibración o fase del movimiento. Permite calcular la elongación (X) en cualquier instante.

φ fase inicial o constante de fase (Angulo inicial)

Indica el estado de vibración en el instante t=0 de la partícula que oscila, también representa la porción angular para t=0 de la partícula que recorre la circunferencia que se proyecta.

ω frecuencia angular o pulsación: representa la velocidad angular constante del hipotético M.C.U que hemos proyectado. Se mide en Rad. /s es el Nº de periodos comprendidos en 2π unidades de tiempo.

Otras magnitudes

T periodo: es el tiempo que tarda el MAS en realizar una vibración completa. Es por tanto el intervalo de tiempo en el que la partícula pasa dos veces consecutivas `por la misma posición y en el mismo sentido.

ω= 2π/T T=2π/ω

f frecuencia (δ) es el Nº de vibraciones completas que la partícula realiza en un segundo. Representa la rapidez con que tienen lugar las vibraciones S-1 ≡ Hz

f=1/T ω= 2πf

A ω φ constantes del movimiento

Velocidad del MAS

MAS X= A sen (ωt + φ)

V=dx/dt = Aω cos (ωt + φ)

V= ± ω √A2-X2

Conclusiones

1. La velocidad del mas es función periódica

2. Su valor depende de la posición de la partícula, tiene su valor máximo en el centro de

la trayectoria y mínima en los extremos.

Aceleración del MAS

a= dv/dt = -ω2 A sen (ω t + φ)

a = -ω2x

Conclusiones

la aceleración es periódica

también depende de x

V y A están desfasados en 90º o π/2

1.5 Dinámica del MAS

La aceleración es directamente proporcional a la elongación pero de sentido contrario, esta relación es propia del MAS, y sirve para si un movimiento periódico es armónico o no.

Todo sistema que se mueva de forma que su aceleración sea proporcional y de sentido contrario a la posición recibe el nombre de oscilador armónico simple.

F = m a = m ω2 x

mω2 = K

F = -K x

K constante elástica o recuperadora

K = ω2 m ω =√K/m

T = 2π/ω = 2π √m/K

f = 1/2π √K/m

1.6 Energía de un oscilador mecánico

En general cualquier sistema que este animado de MAS recibe el nombre de oscilador mecánico. Se llama así porque posee energía mecánica: cinética y potencial

energía cinética constante de un oscilador

Ec 1/2 m v2

V= ± ω √ A2-x2 Ec = ½ m ω2 (A2-x2) = ½ K (A2 - x2)

V= Aω cos (ω t + φ)

Conclusiones

1 la energía cinética es periódica y depende de la elongación.

2 tiene un valor máximo cuando esta en el punto de equilibrio (x=0)

Energía potencial

Es el trabajo que se debe realizar para trasladar el oscilador desde la posición de equilibrio hasta una posición x, venciendo la fuerza recuperadora.

ω = Ep = ∫x F dx = ∫x kx dx = ½ K x2

Conclusiones

la energía potencial depende de la elongación.

Tiene su valor máximo en los extremos Ep = ½ KA2

Energía mecánica

Em = Ec + Ep = ½ K (A2-x2) + ½ Kx2

½ KA2 - ½ Kx2 + ½ Kx2 = ½ KA2

La energía mecánica no depende de la posición, solamente depende de las características de la K y de la amplitud.

En ausencia de rozamiento como ocurre en el MAS la energía mecánica permanece constante lo que implica que la amplitud es constante.

La transmisión o propagación de energía de un oscilador armónico a través de un medio recibe el nombre de onda armónica.

t periodo (s)

fFrecuencia s-1=t/2

A

A

A

o

o

o

B

B

B

F

F

-A

A

o

X<0 X>0

F>0 F<0

F=-Kx

0

P

+A

-A

o

x

-A

A

o

F

F fuerza restauradora o recuperadora