TEMA 1 VECTORES

Producto de un escalar por un vector

Modulo : m A = m . A

Dirección : la del vector A

Sentido : el mismo que A si m es +

el opuesto que A si m es -

Vector nulo

Vector unitario

A = A . A0 siendo A0 un vector cuyo modulo es 1

Adicion de vectores

A + B = C

Diferencia de vectores

A - B = A + (-B) =C

Descomposición de un vector

Construyendo el paralelepipedo cuyas aristas son paralelas a las rectas dadas y del cual A

es la diagonal

Componentes cartesianas de un vector

*A = Ax i + AY j + Az k y por tanto : Ax = A cos ð

Ay = A cos ð

Az = A cos δ

*A 2 = Ax 2 + Ay 2 + Az 2 >>>>>>>>>>>>> cos2ð + cos2ð + cos2δ = 1

*El vector unitario en la dirección y sentido de A sera:

A0 = i cos ð + j cos ð + k cos δ

Suma y diferencia de vectores

Producto escalar de dos vectores

A . B = A . B cos ð

Proyección de un vector sobre una recta

Ar = A . r0 siendo r0 el vector unitario de la dirección de la recta ya que A . r0 = A . cos ð

Producto vectorial de dos vectores

Dirección perpendicular a A y B

A ^ B : Sentido el de la regla del sacacorcho

Modula A B sen ð = S (superficie del paralelepipedo formado por los dos vectores)

Producto mixto de tres vectores

Ax Ay Az

A . ( B ^C ) = Bx By Bz que coincide con el volumen del paralelepipedo creado

Cx Cy Cz

Doble producto vectorial

A ^ ( B ^ C ) = B ( A C ) - C ( A B )

Cambio de sistema de referencia cartesiano

Sea un sistema de referencia A = Ax i + Ay j + Az k >>>>> A . i = Ax

A . j = Ay

A . k = Az

En un nuevo sistema de referencia nos permitira expresar A en funcion de sus nuevas

Componentes cartesianas de forma que : Ax´ =A . i ´

Ay´= A . j´

Az´= A . k´

Quedando: A = Ax´i + Ay´j + Az´k

Momento de un vector respecto un punto

Sea un vector A deslizante sobre la recta r y un punto o arbitrario; se define el momento

del vector A respecto del punto o y lo indicamos por Mo: Mo =rpo ^ A

(siendo p un punto cualquiera de la recta r)

*Si tomamos otro punto ó la relacion existente entre este y el otro es Mo = Mo´+ rpo ^ A

*Si o y ó estan en la misma recta Mo = Mo´

Momento de un vector respecto de un eje

Sea un vector A deslizante sobre una recta r y p un punto sobre dicha recta y otro punto q

que pertenece a otra recta llamada eje de la dirección de un vector unitario u:

Mo = u ( rpq ^ A ) ( si la recta r y el eje estan contenidas en el mismo plano Mo=0)

Momento resultante de un sistema de vectores deslizantes

Mo = ð rio ^ Ai

*Si las rectas se cortan en un punto en comun p entonces: Mo = rpo ^ R ( R = ð Ai )

*Si tomamos el momento respecto ó : Mo´= Mo + roo´^ R

*Si R = 0 >>>>> no existe traslación

*Si Mo = 0 >>>> no existe rotación

Derivada de un vector ligada a un plano

dA = d A r + A dð n

dt dt dt

*como calcular la componente tangencial:--1 metodo: . calculamos la expresión general de A(t)

. derivamos la expresión obtenida d A(t)

dt

. particularizamos para un tiempo cocreto

2 metodo: . d A . r = d A

dt dt

*Como calcular la componente normal ; A dð = [ dA 2 - ( d A )2 ] ½

dt dt dt

*Si d&= 0 >>> ð =cte >>>> no existe componente normal

dt

*Si d A =0 >>> A = cte >>>> no existe componente tangencial

Circulación de un vector a lo largo de una linea

Sea L una linea cualquiera y un vector A (x,y,z) definido para todos los puntos de la linea

L, se define la circulación de A a lo largo de L desde un punto P1 hasta P2 de la forma

C= ð A . dl

*Algunos campos llamados conservativos tienen la propiedad de que el camino que tomes para

llegar de un punto a otro en indiferente ya que el valor de su circulación siempre sera 0.

TEMA 2 CINEMATICA

Vector velocidad

t

* v(t) = dr(t) tangente a la trayectoria r(t) - r(0) = ð v . dt

dt 0

*(mov circular)

dδ = w >>>>>>>> v = w . R

dt

Vector aceleración

t

* a(t) = dv v(t) - v(0) = ð a . dt

dt 0

*componentes intrínsecas del vector aceleración: a = dv r + v dð n = at r + an n

dt dt

at: nos informa como varia el modulo de v en el tiempo(acel tang)

an: nos informa como cambia la dirección de v en el tiempo(acel norm)

*a2 = at2 + an2

*(mov circular)

dw = ð *at = R . ð

dt *an = v . w = R . w2 = v2

R

M.R.U

* V = E

T

M.R.U.A

• V = Vo + a . t

• S - So = Vo .t + ½ a . t2

• V2 = Vo2 + 2 . a .(S - So)

• V = Vx i + Vy j ---------------------------- V = Vx 2 + Vy 2

• Tiro horizontal: descomponemos el mov en dos; en el eje X (MRU) y el eje Y (MRUA)

a) eje X (longitud) Vo = Vx = const

X = e = Vo . t

b) eje Y (altura) Vo ; a = g = 9,8

Y = h = Voy . t + ½ . g . t2

Vy = Voy + g . t

• Tiro oblicuo: descomponemos el mov en dos; en el eje X (MRU) y el eje Y (MRUA)

a) eje X (longitud) Vo = Vx = const

Vox = Vo . cos ð

X = e = Vox . t = Vo . cos ð . t

b) eje Y (altura) a = g = 9,8

Vox = Vo . sen ð

Y = h = Voy . t - ½ . g . t2 = Vo . sen ð . t - ½ . g . t2

Vy = Voy - g . t = Vo . sen ð - g . t

• Tiro oblicuo desde una altura:

a = g = -g j = cte

V(0)= Vo ( i cos ð + j sen ð )

t=0

r(0)= j h

a) dv = a . dt >>>>>>> v(t) = ( Vo . cos ð ) i + ( Vo . sen ð - gt ) j

b) dr = v . dt >>>>>>>> r(t) = ( Vo . cos ð . t ) i + ( h + Vo . sen ð . t - ½ . g .t2 ) j

M.C.U

• ð = W . t

M.C.U.A.

• W = Wo + ð . T at = ð . R

• ð = Wo . t + ½ . ð . t2 an = v2

• W2 = Wo + 2 . ð ð ð R

V = W . R

TEMA 3 MOVIMIENTO DE UN PUNTO DESDE DOS SISTEMAS DE REFERENCIA

Velocidad

• Vp = Vo´ + Vp´ + W ^ rp´

Velocidad de p velocidad de E´ velocidad de p velocidad vector posicion desde E desde E desde E´ angular de p respecto

E´

Aceleración

ap = ap´ + ao´ + ð ^ rpo´ + W ^ ( W ^ rpo´) + 2 W ^ Vp´

a de p a de p a de E´ a angular pos de p v angular pos de p v angular v de p

dde E dde E´ dde E resp E´ dde E´ dde E´

TEMA 4 LEYES CLÁSICAS DEL MOVIMIENTO

Primer postulado

“todo cuerpo permanece en su estado inicial de reposo o de movimiento uniforme si esta libre de accion exterior”

S.R.I. >>>>>> se cumple el primer postulado de Newton (a = 0)

Segundo postulado

“la aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza exterior que sobre el actua e inversamente proporcional a la masa del cuerpo”

F = m . a

Tercer postulado

“si un objeto A ejrce una fuerza sobre un objeto B, este ejerce sobre A una fuerza de igual modulo, direccion pero de sentido contrario “

Fi j = -Fji

S.R.N.I. >>>>>>>>> desde un SRNI a un punto material se le miden las mismas fuerzas que desde

un SRI y ademas las fuerzas de inercia.

Si ponemos un sistema de referencia en donde hay un movimiento con aceleración

ese sistema de referencia es SRNI, ahora si aplicamos la 2ª LN a un cuerpo

desde ese sistema de referencia tendremos que sumarle las fuerzas de inercia.

. F inercia = -m a'o - m dw ^r' - m w ^( w ^ r' ) - 2 m w ^ v '

dt

TEMA 5 LEYES DE FUERZA EN LA NATURALEZA

Interaccion gravitatoria

“la presencia del punto material(a) modifica las propiedades del espacio que le rodea, de forma que aparece en cada punto una propiedad vectorial que llamamos campo gravitatorio g que valdra:

g = - G a ro

r2

si colocamos un 2º punto material(b) en el 1º entonces sobre el 2º actua una fuerza definida por

f = b . g >>>>>>>>>>>>> f = - G a . b ro fuerza de atraccion

r2

(a esta fuerza en el campo gravitatorio terrestre se le denomina peso)

Fuerzas electromagnéticas

“la presencia de una carga(q) en el espacio(p) modifica las propiedades del mismo, de forma que en cada punto aparece una propiedad vectorial que llamamos E “

E (p) = 1 q ro

4ððð r2

si en p situamos otra carga q' sobre ella actua una fuerza que admitimos que vale

E (p) = 1 q q' ro

4ððð r2

si las cargas son de distintos signos la fuerza será de atracción mientras que si son del mismo signo la fuerza será de repulsión. Este tipo de fuerzas es electrica.

Si la carga q se mueve con una velocidad bastante inferior de la de la luz, en cada punto (p) del espacio aparece una propiedad vectorial que podemos descomponer en dos:

• E (campo electrico conservativo)

• B (campo magnetico) (depende de la velocidad de la carga)

La suma de estas dos propiedades vectoriales recibe el nombre de campo electromagnético. Si determinado instante se encuentra en p una carga q' que se mueve con velocidad v , se vera sometida a una fuerza f llamada fuerza electromagnética que vale

F = q' ( E + v ^ B ) v: velocidad de q'

B: aparece porque se esta moviendo con una determinada v

La fuerza magnetica aparecera siempre que la carga q' tenga velocidad distinta de 0 y ademas en distinta dirección que B. La fuerza será max si v y B son perpendiculares y la fuerza será nula cuando v y B tengan la misma direcicon.

Fuerzas nucleares

El núcleo tiene diferentes particulas como neutrones y protones. La estabilidad del núcleo se debe a la existencia de unas determinadas fueras nucleares que contrarrestan el efecto de las interacciones de tipo electrico de las particulas.

0 < distancia < 4 . 10 -16 f. repulsiva

4 . 10 -16 < distancia < 10-15 f. atractiva

distancia > 10-15 f. casi nula

Fuerzas de contacto

Una fuerza de contacto la denominamos NORMAL y es perpendicular a la superficie de contacto. Aparecen siempre que este en contacto con una superficie

Otra fuerza de contacto la denominamos TENSIÓN que aparece cuando utilizamos hilos, cuerdas, etc….. y que va del cuerpo al otro extremo a traves de la cuerda

Fuerzas elasticas

Una deformación es elastica cuando la fuerza que se ejerce sobre el cuerpo cesa y este vuelve a su estado inicial, en caso contrario la deformación será plastica. Estas fuerzas las estudiaremos mediante resortes elásticos, que consideraremos sin masa, caracterizados por su longitud en reposo llamada longitud natural. La fuerza elastica tiene la forma:

f = K . r ro

Fuerzas de rozamiento

*fuerzas de rozamiento estaticas-------------depende de la superficie en la que se trabaje.

Fr estatico = ð ð ð

*fuerzas de rozamiento dinamicas--------------no depende de la superficie en la que se trabaje

Fr dinamica = ð ð ð

TEMA 6 DINAMICA DEL PUNTO MATERIAL. TEOREMAS DE CONSERVAVION.

Momento lineal o cantidad de movimiento. Teorema de conservación

P = m . v

-teorema del momento lineal de una particula

f = dP f = 0 >>>>>>> P = cte

dt

-relacion con el impulso

t

ð f dt = m . v (t) - m . v (0)

0

Momento angular. Teorema de conservcacion

Sea un punto p que se mueve con velocidad v con respecto a un punto fijo, se define su momento angular como

ho = r po ^ m . v

-Momento

d ho = r po ^ f = Mo

dt

.si P esta libre de fuerza externa >>>> Mo = 0 >>>>>>> ho = cte

.si P no esta libre de accion exterior pero Mo = 0 >>>>>> ho = cte

-teorema de conservación del momento angular

t

ð Mo dt = ho (t) - ho (0)

0

Trabajo realizado por una fuerza(julio)

P2

W p1 p2 = ð f . dl

P1

-concepto de potencia (watio)

N = d W >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>> N = f . v (potencia realizada por la

dt fuerza f en un instante de

tiempo determinado)

.si nos desplazamos a lo largo de una linea L desde p1 hasta p2:

t

W = ð N dt

0

Teorema del trabajo y de la energia cinética

P2

W p1 p2 = ð f . dl = Ec (2) - Ec (1) ; Ec = ½ m v 2

P1

TEMA 7 DINAMICA DEL PUNTO MATERIAL. TEOREMA DE CONSERVACIÓN II

Gradiente de un campo escalar

Sea ð (x,y,z) funcion matemática

Donde dð representa la variacion de ð al pasar de un punto a otro infinitamente proximo.

La forma de estudiar los campos escalares es mediante su gradiente. Para ello vamos a estudiar primero el operador nabla.

ð

Cuando aplicamos (multiplicando escalarmente) el operador nabla a un escalar obtenemos su gradiente.

ððð = gradiente de ð

ðð

ðð ð dl = dð

por tanto podemos decir que un campo escalar se caracteriza por su gradiente.

Supongamos que queremos calcular la circulación de ðð a lo largo de una linea cualquiera que va de p1 a p2

p2

ð ðð ð dl = ð dð ð ð ( p2 ) ð ð ( p1)

p1

Este resultado es lo que varia ð al pasar de p1 a p2 y no depende de la linea ya que es un campo conservativo

Conclusión: siempre que tengamos un campo de vectores conservativos, asociado a el tendremos un campo escalar, ð ,del cual procede. El campo de vectores conservativo se obtiene a partir de la operación gradiente.

A = - ðð

dð = -A . dl

Divergencia

Resulta de aplicar escalarmente el operador nabla ð a un vector A

-teorema de la divergencia: Sea P un punto del campo de vectores A en el que esta definido ð ðA.

Sea dv un elemento de volumen que contiene a P. Este elemento de volumen esta envuelto por una superficie cerrada S

ð A . ds = ð (ð . A ) dv

donde

ð A . ds flujo del vector A a través de la superficie cerrada S

. Si A = cte >>>>> ðA = 0 >>>>>> ð A . ds = 0

Rotacional

Resulta de aplicar vectorialmente el operador nabla (ð)a un campo de vectores A

.Si el rotacional del campo de vectores A es nulo entonces A es conservativo.

-Teorema de Stokes: La circulación de A a lo largo de una linea cerrada L, que delimita la superficie

abierta S, es igual al flujo de ð ^ A a traves de dicha superficie S.

ð A . dl = ð (ð ^ A ) ds = ð ( p1 ) ð ð ( p2)

si A es conservativo

Fuerzas conservativas

Decimos que en una region del espacio tenemos un campo de fuerzas si sobre un punto material situado en cualquier punto del campo puede aparecer una fuerza f (x,y,z,&,t) , donde & es una característica del punto material. Si f no depende de t decimos que es etacionario (por ejemplo la masa para el campo gravitatorio).

Un campo de fuerzas será conservativo si ð ^ f = 0, es decir, ð f . dl no depende de L.

A la circulación de la fuerza se le llama trabajo >>>>>>> si la fuerza es conservativa el trabajo realizado por f en el desplazamiento del punto material desde p1 a p2 es independiente del camino que siga.

Como f es un campo de fuerzas conservativo, tendra asociado una funcion escalar, de la cual procede, mediante la operación gradiente. A este campo escalar asociado a la fuerza conservativa se le denomina energia potencial ( Ep )

f = - ð ð Ep d Ep = - f . dl

de la 2ª expresion

P2 p2

ð f . dl = - ð d Ep = Ep (1) - Ep (2) = W p1 p2

P1 p1

El trabajo realizado por la fuerza conservativa viene dado por la diferencia de energia potencial en la posición inicial menos la posición final. (Ep = m g h)

-Teorema de conservación de la energia mecanica: La energia mecanica de un punto material se

conserva si sobre el no actuan fuerzas

conservativas o que no realicen trabajo.

Ec ( p1 ) + Ep ( p1 ) + Ep' ( p1 ) = Ec ( p2 ) + Ep ( p2 ) + Ep' ( p2 )

si sobre un punto material actuan fuerzas que no son conservativas

P2

Em ( p1 ) + W (f no cons) = Em (p2 )

P1

Curvas de energia potencial

(ver apuntes)

TEMA 8 DINAMICADE LOS SISTEMAS DE PUNTOS MATERIALES

Sistemas de particulas

El estudio de los cuerpos finitos lo abordamos considerando que los cuerpos estan constituidos por un gran numero de particulas

.sistema discreto : formado por n particulas(cada una de ellas se caracteriza por la masa, aceleración, velocidad…)

.sistema continuo: distribución continua de masa. Consideramos el sistema formado por infinitos dv.

A la masa elemental contenida en dv la llamamos dm.

Asi para cada punto P(x,y,z) estara definida la densidad de masa como

ρ = dm

dv

Si el cuerpo que se considere se caracteriza porque una dimension se desprecia frente a las otras dos se define para cada punto P (x,y,z) su densidad superficial como

ρs = dm

ds

Si el cuerpo que se considere se caracteriza porque dos dimensiones se desprecian frente a la otra se define para cada punto P (x,y,z) su densidad lineal como

ρl =dm

dl

- si ρ, ρs, ρl son constantes para todo el sistema se dice que el sistema es homogéneo y en caso contrario se dice que es hetereogeneo.

ð ð m dm =ðv ρ dv m =ρ v

ð ð m dm =ðs ρs ds m =ρs s

ð ð m dm =ðl ρl dl m =ρl l

-sistemas rigidos: masa que no cambia de forma ni de volumen

-sistemas deformables: masa que se deforma o cambia de volumen

Fuerzas interiores y exteriores

Sea un sistema discreto; sobre cada una de las particulas actuaran dos tipos de fuerzas que son interiores y exteriores

-fuerzas interiores: resultan de la interaccion de cada particula con las del resto del

sistema. En general sobre una particula genérica i

fi = fi 1 + fi 2 +………..+ fi n

-fuerzas exteriores: resultan de la interaccion de las particulas con el mundo exterior

(pej peso). Designaremos por Fi a la suma de todas las fuerzas exteriores

para cada particula del sistema se verifica entonces:

fi + Fi = mi . ai

que generalizando para el sistema

ð fi + ð Fi = ð mi . ai

y llamando R = ð fi + ð Fi quedara

R = ð mi . ai

Resumiendo, se confirma que el movimiento de una particula del sistema depende tanto de las fuerzas internas como de las externas mientras que la velocidad del sistema solo depende de las fuerzas externas.

Momento lineal

Se define el momento lineal para un sistema de partículas como:

P = ð mi . vi

“ El momento lineal de un sistema de partículas es igual a la suma de los momentos lineales de cada una de las partículas del sistema “.

• Definimos ahora el centro de masa para un sistema de particulas como un punto asociado a cada sistema de particulas ( no tiene por que coincidir con una particula del sistema )

-vector de posicion

rg =ð mi . ri

ð mi

-vector de velocidad

Vg =ð mi . vi

ð mi

-vector acaleracion

ag =ð mi . ai

ð mi

-vector del momento lineal

Pg =ð mi . v i = m . Vg

Movimiento del centro de masas bajo accion exterior

R = m ag donde R = ð fi

En el movimiento del centro de masas no influyen las fuerzas ineriores, solo las exteriores.

El análisis del movimiento del centro de masas se hace igual que para un punto material.

( C ) >>>>>>>> sistema de referencia ligado al centro de masas

( L ) >>>>>>>> sistema de referencia ligado al tierra

Teorema de conservación del momento lineal y de velocidad del centro de masas

dP = R

dt

de esta expresión se deduce que si R = 0 entonces P = cte. Esto se cumple en los siguientes casos

• en sistemas aislados (no existen fuerzas sobre el)

• en sistemas tales que R = ð fi = 0 (por R = 0 la ag = 0 y por lo tanto vg = cte)

Determinación del centro de masas de un sistema

• sistemas discretos

rg =ð mi . ri nota: si un cuerpo tiene centro de simetria

ð mi y es homogéneo su c.d.m. coincide con el centro de simetria

• sistemas continuos

rg = ð m r dm

ð m dm

Aplicación del teorema de conservación del momento lineal al análisis de colisiones entre particulas

• si el choque es elástico

conserva la Em Em (antes) = Em (despues)

conserva el momento linal P (antes) = P (despues)

• si el choque es inelástico

conserva el momento lineal P (antes) = P (despues)

no conserva la Em Em (antes) ð Em (despues)

• coeficiente de restitución

K = v'1 - v'2 (después) K = 1 >>>> elástico /// 0 < K < 1 >>>>> inelastico

V1 - v2 (antes)

Momento angular de un sistema de puntos

Ho = ð rio ^ mi . vi

La variación del momento angular con respecto al tiempo

dHo = Mo - vo ^ m . vg Mo = ð rio . Fi momento resultante de las fuerzas exteriores

dt vo velocidad del polo del momento

m masa total del sistema

vg velocidad del centro de masa

• casos particulares

a) punto 0 fijo >>>> Vo = 0 >>> dHo = Mo

dt

b) si o es el c.d.m. >>> dHg = Mg ya que vg ^ m . vg = 0

dt

Teorema de la conservación del momento angular

De las expresiones

dHo = Mo dHg = Mg

dt dt

se deduce:

• para un sistema aislado Mo = 0 ; Mg = 0. Por lo tanto Ho = cte ; Hg = cte

• para un sistema no aislado, se verifica

Mo = 0 >>> Ho = cte

Mg = 0 >>> Hg = cte

Aquí vamos a relacionar Ho con Hg

Ho = Hg + rg ^ m . vg

La relacion existente entre el momento angular y el vector rotación es en su caso mas general

Hg = rig ^ m ( - k 2 w r )

Energia cinética de un sistema de partículas

Ec = ð ½ mi vi2

La energia cinética medida desde distintos sistemas de referencia

• movimiento traslatorio

Ec ( L ) = ð ½ mi vi2 sr ligado a tierra

Ec ( C ) = ð ½ mi Vi2 sr ligado al c.d.m.

Vamos a tratar de buscar una relacion para las dos expresiones ( vi = Vi + vg )

Ec ( L ) = Ec ( C ) + ½ m vg2 ------- mov traslatorio --------------- Vi = o (velocidad de i desde c.d.m.)

• movimiento rototraslatorio

Ec ( L ) = ½ mi vg2 + ½ Ig w2 sr ligado a tierra

Ec ( C ) = ½ Ig w2 sr ligado al c.d.m.

Teorema del trabajo y de la energia cinética para un sistema de particulas

b b

W ( f. Intr. ) + W ( f. Exter ) = Ec (a) - Ec (b)

a a b interna interna

como las fuerzas internas son conservativas W ( f. Intr. ) = Ep (a) - Ep (b) quedara

a

b interne interna

W ( f. Externas ) = [ Ec (b) + Ep (b) ] - [ Ec (a) + Ep (b) ]

a

teorema de conservación de la masa

Ec (L) + Ep interna + Ep = cte

TEMA 10 CAMPO ELECTROESTÁTICO

Propiedades de la carga electrica

Si colocamos una carga puntual q en el espacio dicha carga modifica el espacio que le rodes de manera que en cada punto p de dicho espacio aparece una magnitud vectorial llamada campo electrico:

si colocamos una nueva carga q' y la colocamos en p esta estara sometida a una fuerza

f = q' . E(p)

que podra ser de atracción o de repulsión. Entonces la fuerza de atracción de dos cargas es:

Distribución continua de carga

Consiste en una carga distribuida por un volumen, superficie o linea de manera uniforme o no uniforme. Para poder caracterizar esto definimos el concepto de densidad de carga como una magnitud definida en cada punto de la region que consideremos.

* Volumen:
si es uniforme

* Superficie: si es uniforme

* Lineal: si es uniforme

Calculo de E producido por una distribución continua de carga.

El campo total en el punto p será :

-volumen:

-superficie:

-lineal:

que tiene los siguientes casos particulares:

a)campo electrico E sobre el eje de una carga lineal finita

b)campo electrico E sobre la mediatriz de una carga lineal finita

c)campo electrico E proximo a una carga lineal infinita

d)campo electrico E sobre el eje de una carga anular

e)campo electrico E en el eje de un disco uniformemente cargado

f)campo electrico E en las proximidades de un plano infinito de carga

Potencial electrico.

diferencia de potencial entre p y ð

diferencia de potencial entre A y B

“ la diferencia de potencial entre dos puntos coincide numéricamente con el trabajo que realizaria la fuerza del campo E para trasladar la unidad de carga desde un punto a otro a traves de cualquier linea.”

el potencial en un punto debido a varias cargas se calcularia mediante de la superposición

Calculo del potencial electrico en distribuciones continuas de carga.

Se calcula mediante la siguiente integral

que tiene los siguientes casos particulares

a)potencial sobre el eje de un anillo cargado

b)potencial sobre el eje de un disco uniformemente cargado

c)potencial en las proximidades de un plano infimito de carga

d)potencial en el interior y el exterior de una corteza esferica de carga

e)potencial proximo a una carga lineal infinita

Superficies equipotenciales

Superficie sobre la cual el potencial electrico es constante se denomina superficie equipotencial

Energia potencial de una distribución de cargas

“La energia potencial electroestática de un sistema de cargas puntuales es igual al trabajo necesario para transportar las cargas desde una separación infinita a sus posiciones finales.”

-con la 1ª carga el trabajo es 0; para la 2ª carga el trabajo que resulta es de la interaccion con la primera; para la 3ª carga el trabajo que resulta es de la interaccion con la primera carga mas el trabajo de interaccion con la segunda; para la 4ª carga el trabajo que resulta es de la interaccion con la primera carga mas el trabajo de interaccion con la segunda mas el trabajo de interaccion con la tercera; asi sucesivamente…………..el trabajo total es la suma de todos los trabajos de todas las particulas.

Teorema de Gauss

“el flujo del vector D (
)a traves de una superficie cerrada cualquiera es igual a la suma de todas las cargas contenidas o encerradas en dicha superficie”

Calculo del campo electrico mediante Gauss

a)campo electrico E en el interior y en el exterior de una corteza cilíndrica de carga

b)campo electrico en el interior y en el exterior de un cilindro solido de carga infinitamente largo

c)campo electrico E en el interior y en el exterior de una corteza esferica de carga

c)campo electrico E en el interior y en el exterior de una esfera solida cargada

Propiedades de los conductores en equilibrio

Un conductor es un cuerpo que se caracteriza por tener electrones libres (portadores libres de carga).

-Conductor en equilibrio es aquel en el que no hay movimiento ordenado de carga (no esta sometido a la accion de un campo) por lo que el campo dentro del conductor es nulo.

-Conductor que no esta en equilibrio es aquel que tiene un movimiento ordenado de cargas.

Todos los puntos de un conductor en equilibrio incluidos los de la superficie estan al mismo potencial por lo que la superficie será una superficie equipotencial. Se debe cumplir que

E(p)=E(p)q + E(p) ρ+ + E(p) ρ- = 0

Conductor con cavidades

Supongamos un conductor con tres cavidades; en cada una de las cavidades introducimos cargas puntuales de manera que se produce una acumulación de carga de igual valor que la carga y de signo contrario en la superficie de cada cavidad. Seguidamente como el campo E tiene que ser nulo en la superficie del conductor se producira una acumulacion de carga que consiga que el campo total del conductor sea nulo.

Q conductor = Q (1) + Q (2) + Q(3) + Q ext = 0

* dentro de las cavidades hay campo E producido por las cargas.

* la superficie del conductor que esta cargada produce un campo como el de una carga puntual para puntos exteriores a ella.

Campo en la superficie de un conductor.

Dipolo electrico.

Un dipolo electrico consiste en dos cargas puntuales(sujetas), una positiva y otra negativa, del mismo valor absoluto, separadas una distancia.

Se define momento del dipolo como

:posición de q+ respecto de q-

Fuerza sobre un dipolo bajo la accion de un campo exterior cte.

Un dipolo en un campo electrico uniforme experimenta fuerzas iguales y opuestas que tienden a girar el dipolo, de modo que su momento dipolar tiende a alinearse con el campo electrico.

Dielectricos.

Un material no conductor se denomina dielectrico.

Vamos a definir el momento dipolar de una distribución de cargas tal que la suma de todas las cargas sea cero.

El momento dipolar de una distribución de cargas tal que la suma de todas ellas es cero, es independiente del punto que elijamos para referir los vectores de posición.

El momento dipolar nos informa de cómo estan distribuidas las cargas:

* entonces hay simetría (no polar).

*entonces no hay simetría (polar)

Los dielectricos polares en presencia de campos E tienden a convertirse en dielectricos no polares ya que los dipolos se orientan en la dirección del campo. Para caracterizar este comportamiento se define el vector polarizacion P:

<<<<<<<<<<<

Existe una relacion entre P y E que produce esta polarizacion:

con lo que si P=cte para todos los puntos del dielectrico:

-en el interior del dielectrico no hay acumulación de carga.

-en algunas superficies de dielectricos hay densidades superficiales de carga que llamaremos densidades superficiales de polarizacion y designaremos por ρs* donde siendo
perpendicular a la superficie.

Una carga puntual crea un campo menor en un dielectrico que en el vacio. El hecho de que este campo sea menor se ve reflrjado en una constante que introducimos y que será la constante dielectrica del dielectrico ð que será mayor que la del vacio ðð. Cada dielectrico se caracteriza por su constante pero se acostumbra a utilizar lo que llamaremos constante relativa ðr que viene dada por:

Supongamos un bloque dielectrico bajo la accion de un campo. P varia de un punto a otro apareciendo asi una densidad volumétrica de carga que llamaremos densidad de polarizacion ρ*.

Esto lo podemos expresar mediante la divergencia de P

si P fuese constante no habria densidad de polarizacion.

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