C1.- En el interior de una esfera hueca de radios R1 y R2, R1 < R2, hay un dipolo eléctrico de momento dipolar
. Calcule el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio R > R2, concéntrica con la esfera original, en los casos:

RESPUESTA

.- El dipolo, de cargas -q y +q, crea un campo eléctrico,
, el cual actúa sobre las esferas (conductora o dieléctrica), que son eléctricamente neutras, induciendo una redistribución de carga. Así:

C2.- Un campo escalar tiene por superficies equipotenciales planos paralelos al plano XY. ¿Cuál es la dirección del gradiente de dicho campo escalar?. Justifique su respuesta.

RESPUESTA

.- Sea  (x,y,z) el campo escalar; entonces del enunciado se cumple que  (x,y,z) = c = z, donde "c" es una constante real, son las superficies equipotenciales. De la ecuación general de un plano se verifica que un vector director (vector perpendicular al plano) unitario es
donde
es el vector unitario según el eje de las zetas. Como sabemos que en cada punto el vector gradiente es perpendicular a las superficies equipotenciales deducimos que su dirección es el eje de las zetas,

C3·.- Un condensador plano paralelo tiene una capacidad C0 cuando el dieléctrico es el vacío y está conectado a una batería de potencial ð0. Al introducir un dieléctrico ideal de permitividad relativa ðr = 4:

RESPUESTA

El condensador plano, dieléctrico el vacío, de capacidad C0 al estar conectado a una fuente de tensión de 0 Voltios, adquiere una carga Q0 = C0·0. Si A es el área de la placa y d la distancia entre ellas, entonces su capacidad es
. Al introducir el dieléctrico cambia la permitividad y no cambia la diferencia de potencial entre placas ya que está conectado a una fuente de tensión, por tanto:

C4.- ¿Qué condición tiene que cumplir un campo magnético
para que una carga eléctrica en reposo se ponga en movimiento?

RESPUESTA

.- El campo magnético no ejerce fuerza sobre una carga en reposo, así que para que pueda mover dicha carga, ya que inicialmente está en reposo, debe aparecer una fuerza de otro tipo inducida por nuestro campo magnético. La única forma de conseguir esto es que el campo magnético sea variable con el tiempo, ya que así, debido a la ley de Faraday, surge un campo eléctrico, E, que actúa sobre la carga con una fuerza, F = q E, que la pone en movimiento. La secuencia es por tanto:

la cual pone en movimiento la carga q.

C5.- Por tres conductores rectilíneos muy largos, paralelos y equidistantes circulan corrientes del mismo valor. ¿Cómo tienen que ser los sentidos de las corrientes para que la fuerza sobre el conductor central debida a las otras dos sea nula?

RESPUESTA

Las corrientes por los conductores (1), (2) y (3) son tales que I1 = I2 = I3 = I. El campo magnético creado por las corrientes I1 e I3 en los puntos donde está el conductor (2), debido a la configuración geométrica, es perpendicular al plano formado por los 3 conductores, por tanto
, donde
es un vector unitario en la dirección de la corriente I2. Como la fuerza por unidad de longitud sobre el conductor (2) es,
; la única forma de que la fuerza sea nula es que el campo magnético sea nulo.

ya que están a la misma distancia del conductor (2) y están recorridos por la misma intensidad de corriente; por lo que para que tengan sentidos contrarios los campos magnéticos creados por los conductores (1) y (3) sobre el conductor (2) deben circular las corrientes en el mismo sentido en (1) y (3) pues el conductor (2) está en distinto lado respecto de (1) y (3).

P1.- Un satélite artificial de 1000 kg gira en una órbita circular alrededor de la Tierra a una altura de 100 km. Si se lleva al satélite a otra órbita circular de altura 200 km, calcule:

Datos: Radio de la tierra, Ro = 6500 km; intensidad de campo gravitatorio en la superficie de la Tierra, go = 9.81 N/kg.

RESPUESTA

El satélite en órbita circular de radio r está sometido a una fuerza centrípeta

La única fuerza que actúa sobre él es la atracción gravitatoria de la Tierra:

Por lo tanto

La energía cinética es

y la energía potencial

Por lo que, en órbita circular, la energía mecánica

a)

y sustituyendo datos,

b)

Como el numerador es negativo (h1 < h2), ððc < 0 por lo que la energía cinética ha disminuido. Sustituyendo datos

c)

y sustituyendo datos,

d) No se conserva la energía porque se ha realizado trabajo sobre el satélite. El trabajo realizado se ha invertido en variar su energía cinética y su energía potencial; es decir,

P2.- Un solenoide toroidal de circunferencia media l = 0.50 m está formado por 2500 espiras de radio 0.010 m, y tiene por núcleo aire de permeabilidad ðo = 4ð×10-7 H/m. Por el solenoide circula una corriente
amperios. Un espira circular de radio 0.020 m que presenta una resistencia de 4.0 ð se sitúa con su centro en la circunferencia media del solenoide y paralela al plano de una de las espiras. Suponiendo que el error cometido al aplicar el teorema de Ampère es despreciable y que el campo magnético en todos los puntos del solenoide tiene el mismo valor que en su circunferencia media,

RESPUESTA

En el solenoide se produce un campo magnético, cuyo valor en la circunferencia media es

y por las condiciones del enunciado puede suponerse que su valor es el mismo en cualquier punto del interior del solenoide. Las líneas de campo de este campo son circunferencias concéntricas con la circunferencia media. Por lo tanto, es normal a la sección recta del solenoide. Como la intensidad que circula por el solenoide es variable, el campo magnético creado es asimismo variable.

A través de la espira circular hay un flujo magnético variable de valor

ya que el campo magnético sólo existe en los puntos de S comunes con S'. Así que

a) Si la fuerza electromotriz inducida es Ei La intensidad inducida en la espira circular es

La fuerza electromotriz se calcula a partir de la ley de Faraday:

b) Al aumentar el radio de la espira circular no aumenta el flujo a través de ella, porque el flujo magnético sólo existe a través de la superficie de radio r. No existe ,pues, diferencia con la variación de flujo magnético del apartado anterior, y la fuerza electromotriz inducida es la misma que el el apartado anterior.

c) La resistencia de la espira circular es

siendo ρ la resistividad, l la longitud de la espira y SR su sección recta. Si el radio inicial de la espira circular es r1 y después es r2,

y las intensidades correspondientes son

La intensidad varia con la inversa del radio de la espira circular. Al aumentar el radio ( es decir al ser r2' > r1') la intensidad disminuye. Para una radio cualquiera r,

P3.- Calcule el módulo del campo magnético
producido en el centro de una espira cuadrada de lado
m. por la que circula una corriente de 1 A (ðo = 4ð×10-7 H/m).

Consideremos al cuadrado en el plano XY. Tomamos como origen de coordenadas el centro del cuadrado, punto en el cual vamos a calcular el campo magnético. Los ejes los tomamos paralelos a los lados del cuadrado, como se indica en la figura.

La corriente la vamos a descomponer en los cuatro tramos correspondientes a los lados del cuadrado: AC, CD, DB y BA. Cada uno de estos tramos crea un campo magnético dado por

en donde
es el vector de posición del punto en el cual se calcula el campo (en este caso se trata del origen de coordenadas y, por tanto
);
es un elemento de longitud en el sentido de la corriente;
es el vector de posición del elemento
; y el denominador de la integral es la distancia desde el elemento de corriente hasta el punto en que se calcula el campo. Para cada uno de los tramos considerados, la integral se extiende a cada uno de los lados del cuadrado. Por la simetría de la figura, los campos magnéticos creados por cada lado del cuadrado en su centro son iguales. Si calculamos uno de ellos, el resultado será el cuádruplo del calculado para él.

Lado DB

Como el campo se calcula en el origen de coordenadas,
, la expresión del campo es

El producto vectorial del numerador de la integral es

Calculemos la integral:

con el cambio de variable (ver la figura)

con lo que

y el campo total es

y sustituyendo datos,

m = 1000 kg

h1 = 100 km = 10×103 m

h2 = 200 km = 200×103 m

Ro = 6500 km = 6500×103 m

go = 9.81 N/kg

l = 0.50 m

N = 2500

r = 0.010 m

ðo = 4ð×10-7 H/m

I = 5cos(100ðt)

r' = 0.020 m

R = 4.0 ð

I = 1 A

ð ð ðð×10-7 H/m