En consecuencia, el módulo presenta una ondulación que es habitualmente expresada por el factor de ondulación debido por

A la frecuencia de corte, y parra cualquier orden del filtro, se tiene

La figura F2.5.2 muestra la representación gráfica de la función de módulo en la banda pasante referida al factor de ondulación de filtro de órdenes comprendidos entre 1 y 8.

4.1 Función de modulo de banda atenuada.

La función atenuada se caracteriza por una pendiente asintomático de 20n (dB/ déc) para el filtro de orden n. La ganancia a frecuencia elevad se determina por la siguiente aproximación

O bien:

Las curvas representativas de la función de módulo en la banda atenuada, correspondientes a filtros de ordenes comprendidos entre 1 y 8 con factores de ondulación de 0,1 a 3 (dB), se encuentran en las figuras F2.5.3( a hasta d),. Es descártable el compromiso del coeficiente de ondulación . cuanto mayor sea, mas elevado será el factor de ondulación en la banda pasante ( ) pero menor ganancia mayor atenuación se tendrá en la banda atenuada de ondulación de la banda pasante 00000oero menor ganancia mayor atenuación se tendrá en la banda atenuada.

Ejemplo E2.7

Comparar repuesta de frecuencia alta (u0100) de los filtros de ordenes 4 y 8 de Butterworth y Tchebychev de 0,1 (dB) y de 1 (dB).

Repetir el aparato A con filtros de orden 3 de Butterworth y Tchebychev de 0,01 (dB)

Solución.

Se aplica la aproximación a frecuencia alta, ecuaciones F2.5.2 10 a que conducen a los resultados expuestos en la tabla E2.7.1

Filtro Tchebychev 0,1 (dB) =0,1526

Filtro Tchebychev 1 (dB) =0,5089

La comparación se presenta en la tabla E2.7.2

Filtro Tchebychev 0,01 (dB) =0,0480

Comentarios

la tabla E2.7.1 pone en evidencia el dilemma existente entre ondulación en banda pasante y atenuación en banda atenuada, en lo que respecta a los filtros de Tchebychev.

en general, a igualdad de orden del filtro, la respuesta del filtro de Tchebychev en la banda atenuada es mejor que la de Butterworth, tabla E2.7.1, salvo para factores de alteración y ordenes de filtro muuuy bajos, tabla E2.7.2

Problemas resueltos

PROBLEMA P2.1

Se desea separar la componente fundamental de una tensión cuadrada, de amplitud Vm y frecuencia f, por medio de un filtro pasivo pasa- banda de segundo orden de forma que , en salida del filtro, la amplitud que se obtenga para el tercer armonico no supere al 1% de la correspondiente a la fundamental.

Transformar un filtro PL, tipo RC normalizado, para obtener el correspondiente filtro PB2

Repetir el apartado anterior si se conecta al filtro una impedancia de carga Rl, supuesta resistencia pura.

Aplicación: Proyectar el filtro PB2 en los dos casos siguientes:

De manera que la perdida de tensión de salida por inserción de la carga no sea superior a 1 (dB)

Objetivos del problema

Aplicar el procedimiento de transformación de filtros pasivos

Analizar el efecto de la carga

Poner en evidencia los campos de aplicación de los filtros pasivos.

Problema P2.1

Solución.

Se proyecta el filtro PB2 con frecuencia igual a la de la componente fundamental de la señal de la entrada (f=fc) y a partir del filtro PL1 normalizado equivalente. Las funciones de transferencia y de modulo de este son:

Como la amplitud del tercer armónico de la tensión de entrada es la tercera parte de la componente fundamental, la ganancia del filtro PB2 a la frecuencia 3f debe ser, como máximo, de 0,03 (-30.5 dB). La pulsación del filtro PL 1 normalizado a la que se presenta dicho valor es

La transformada superior de la pulsación uL al filtro PB2 es

Lógicamente, se consigue el requisito de atenuación del tercer armonico si su frecuencia (3f) corresponde a dicha pulsación normalizada (UB2=3). Imponiendo esta condición en la ecuación P2.1.3 se obtiene

Se elige a 0=0.04 y el filtro PB2 normalizado queda definido por las funciones de transferencia y modulos siguientes

Filtrado analógico

La figura P2.1.1 representa las curvas reales de módulos de los dos filtros PL 1 (curva de 1) y PB2 con factor de amortiguamiento de 0.04 (curva 2). En la propia figura se señalan los puntos límites, definidos por las correspondientes pulsaciones normalizadas (000000) y el valor máximo de ganancia impuestos, de 0,03 o -30,5 (dB).

Las fases del proceso de transformación del filtro se muestran en la figura P2.1.2. partiendo del PL1 normalizando (a) se realiza la convención de los dos componentes obteniendo el PB2 normalizado (b) y finalmente, se lleva a la frecuente deseada (c). Se obtiene asi una posible solución, con resistencia de base unitaria, que puede ser modificada por un posterior ajuste de resistencia (d)

La función de transferencia real resulta ser.

B. Considerando el efecto de la carga, véase figura P2.1.3, la función de transferencia se modifica según las expresiones P2.1.7

Con:

La comparación de las fórmulas P1.2.7 y P1.2.6 evidencia que la carga influye sobre dos especificaciones del filtro: disminuye el módulo de la ganancia a pulsación central (Ac) y aumenta el ancho de banda; ambas acciones actúan disminuyendo la selectividad del filtro. Por otra parte, el lector puede observar que la pulsación central (wc) y el producto son independiente de la resistencia de carga.

Filtrado analógica

Aplicación.

Para mantener las especificaciones del filtro, tras la conexión de la carga, se imponen dos condiciones:

• Que la pérdida de la tensión en carga no sea superior a 1(dB) obliga que

• R0 < 0.122 R; se adopta

O bien

• Para mantener la atenuación relativa del tercer armónico, es preciso que el ancho de banda en carga coincida con el que se tenia en vacío . la transformación debe realizarse con un nuevo factor de amortiguamiento de

Equivale a

La tabla P2.1.1 contiene los valores de los componentes y las funciones de transferencia de los filtros correspondientes a los dos casos de la aplicación.

Los resultados se presentan en la tabla P2.1.3. las columnas segunda y tercera contienen las amplitudes de los componentes fundamentales y tercer armónico de las tensiones de entrada y de salida respectivamente. La relación entre amplitudes de los armónicos en la salida se expone en la última columna.

Problema P2.1

Comentario.

El problema ha tratado dos filtros que, aunque tienen una misma función, presentan marcadas diferencias.

En el caso B.1 filtro de la frecuencia elevada en baja potencia, el orden de magnitud de la resistencia de filtro (R0) estaría acotado por la solución satisfactoria del compromiso existente entre ganancia a la frecuencia característica (disminuye con ella ) y aplanamiento de la curva de módulo (aumenta con la misma).

El filtro del caso B.2 bajo potencia y frecuencia media, sume a las anteriores consideraciones otras de suma importancia. Deberá notarse primeramente que la resistencia R0 no puede disminuir sin qué aumente la capacidad de condensación que ya presenta un valor enorme, 0.0438 (mF).

Ya que en la salida se obtienen prácticamente la componente fundamental de la tensión, amplitud de 55.5 (V), el lector comprobara fácilmente los siguientes resultados:

• Valor eficaz de intensidad de carga: 0.39 (A)

• Potencia activa suministrada a la carga 15.4 (W)

• Valor eficaz de intensidad por el condensador o la bobina: 54.1 (A)

• Valor absoluto de la potencia reactiva, en bobina o condensador, debida a la componente fundamental 2,13 (kVAr)

Estos valores dan idea de las dimensiones de los componentes del filtro. La intensidad interna del circuito tanque es del orden de 140 veces superior a la de la carga. Debe observarse también la diferencia de órdenes en las potencias activa y reactiva puestas en juego.

A la vista de los resultados y tratándose de un filtro de potencia moderada, el ejemplo pone de manifiesto problema general de la síntesis de filtros pasivos se potencia. No obstante, debe remarcarse que en este caso la solución requiere, indudablemente, un filtro de mayor orden.

Por ultimo, debe destacarse que el diseño es muy ajustado debido a que el enunciado del problema no especifica tolerancia a los componentes. En su caso daría lugar a la elección de un menor valor del factor de amortiguamiento, condición P2.1.4.

Problema P2.2

La función de transferencia de un filtro PL2 normalizado es

Hallar el valor máximo de la función del módulo.

Aplicación. Determinar dicho valor en los dos casos siguientes.

1. b=0.8 2. b= 0.3

Realizar las transformaciones PL-PB, mediante la sustitución de s por

Aplicación Representa las funciones de módulo en los cuatro siguientes casos.

1-b=0.8 a=0.3

2-b=0.8 a=0.8

3-b=0.3 a=0.3

4-b=0.3 a=0.8

Objetivos del problema

Aplicación de la transformación PL-PB a un filtro pasa-bajo de orden superior a uno

Analizar las condiciones para que la respuesta frecuencial presente ondulación en la banda pasante

Solución

Designado por u L a la pulsación normalizada, el módulo de la transmitancia isocroma de filtro PL2

La pulsación en que se sitúa el módulo máximo y el valor de este ( ver tabla F2.2.2 de ficha resumen F2.2) son :

Solamente se verifica

Fuera de ese intervalo, el máximo se establece en y se presenta en

Aplicación. Se encuentran los resultados:

la función de módulo de filtro transformado PB4, en función de su pulsación normalizada ( ) resulta ser

Por comparación de las ecuaciones P2.2.1 y P2.2.3 se refiere que el módulo es idéntico en los lugares de pulsación que verifican

Ecuaciones que generalizan el proceso de transformación PL-PB expuesto en las fichas 2.3(tabla F2.3.1) estableciendo la correspondencia entre un valor de pulsación de filtro PL2 y dos del PB4- geométricamente simétricos respecto de la pulsación central de las que una ( ) comprende el intervalo entre uno e infinito mientras que la otra ( ) varia entre cero y uno. Como consecuencia, el filtro PB4 integra dos ramas simétricas respecto a la pulsación unitaria.

Aplicación.

Las funciones de transferencia de cuatro filtros pasa-banda se encuentra en la tabla P2.2.1

Las funciones de módulo de los filtros PL2 y PB4 e los cuatro supuestos indicados en el enunciado, se representan en las figuras P2.2.1 (casos 1 y 2) y OP2.2.2 (casos 3 y 4)

Comentario

En lineas generales, el filtro de origen PL2 indice en dos aspectos sobre la función del módulo, en la banda pasante. Del filtro transformado PB4.

• Impone el valor máximo del módulo de la ganancia

• Obliga a que la respuesta frecuencial sea plana (tipo Butterworth) o bien ondulada (tipo Tchebychev) según que el factor de armortiguamiento (b) sea superior o inferior, respectivamente, a 0.707.

Por otra parte, un determinado filtro de origen, el factor de amortiguamiento de la transformación (a) influye sobre el ancho de banda del filtro transformado.

Estas conclusiones son extensivas a transformaciones realizadas sobre filtros de partida de orden superior

Problema 2.3

determinar la función de transferencia del circuito de la figura F2.3.1 en

función d el constante de tiempo t=RC

¿Qué se consigue variando la posición( ) del cursor de potenciómetro P?

Dimensionar los componentes del circuito para que la pulsación propia del filtro dsea de 250 (rad/s)

Determinar el calor de para obtener un facto Q de 20

Objetivo del problema

Estudio de un filtro CB2 de alta selectividad que permite el ajuste del factor Q mediante un único componente

Solución

El circuito visto desde las entradas de A2 se representa en la figura P2.3.2 a siendo v1 la tensión de salida de l amplificador A1.

Aplicando el teorema de Theevenin a las secciones enmarcadas, se llega a

De acuerdo a la figura P2.3.2 b la tensión de salida es

Por lo que respecta a la etapa de A1, en funcion de la posición del cursor de P ( ) se obtiene

Eliminando V1 entre las dos ultimas, se llega finalmente a:

Se trata de un filtro CB2 en el que la variación de actúa sobre el ancho de banda. Como la frecuencia central permanece constante, para un valor de determinado, la variación de la posición del cursor de P incide en el factor Q que varia el ancho de la banda amortiguada y, en consecuencia, la selectividad del filtro.

B. Puesto que debe verificarse

Se encuentra una posible solución con

El factor Q es

Una de las soluciones se obtiene adoptando

Y ajustando =0,543.

La figura P2.3.3 muestra la función de módulo del filtro en las condiciones del aparato B, curva 1 en trazo grueso . la peor respuesta del filtro se presenta para ( ) curva 2 y trazo fino

PROBLEMA P2.4

Determinar la función de

transferencia del filtro de corte de banda cuyo esquema representa la figura P2.4.1

Si R = 51 ( ) calcular y elegir los valores de

Los condensadores C1 y C2, utilizando la escala normalizada de E24, para que la frecuencia central del filtro sea de fc=50(Hz) y una de frecuencia limite

de la banda pasante a -3 (dB) corresponda a 47.77(Hz).

Determinar el valor del factor Q del circuito.

Sobre el filtro diseñado, determinar las frecuencias central y limites de la banda atenuada, así como sus desviaciones respecto a los valores esperados.

Calcula el módulo de ganancia a las frecuencias de :

47.77 (Hz)

50 (Hz)

52.33 (Hz)

Objetivos del problema.

Analizar el efecto de la tolerancia de los componentes pasivos sobre la desviación de parámetros de un filtro.

Solución

La Función de transferencia es

Que corresponde a un filtro CB2 con especificaciones,

El módulo de la ganancia es

Las pulsaciones limites de la banda pasante a -3 (dB) debe satisfacer la condición:

Que conduce a

Imponiendo las condiciones del enunciado,

Problema P2.4 Filtrado analógico

Obteniéndose,

Se eligen los valores normalizados E24,

El valor real del factor Q y su desviación nominal con respecto al teórico (10,96) son

C. Los valores reales de las frecuencias central y limites de la banda pasante del filtro proyectado, así como sus desviaciones nominales, son

El valor del modulo en los puntos solicitados es,

Comentario.

Aunque, aparentemente, las especificaciones del filtro diseñado se ajustan con bastante precisión a las del teórico, la determinación del modulo de la ganancia en los puntos mas relevantes pone en evidencia que el problema de filtrado no puede considerarse resuelto ya que, en principio, el filtro debiera eliminar una componente de 50 (Hz) presente en el espectro en frecuencia de la señal de entrada, objetivo que no puede considerarse conseguido. Conclusión que se ratifica con la observación de la figura P2.4.2 en la que se representan las curvas de modulo lineal del filtro diseñado (trazo grueso) y del teórico (trazo fino).

Este problema se presenta en los casos de generación de filtros con funciones de filtrado PB y CB y elevada selectividad. En estos casos deben utilizarse necesariamente componentes pasivos de baja tolerancia ya que, por disponer de una gama de valores mas extensa permite un mejor ajuste a las especificaciones, a la par que la baja tolerancia provoca menor dispersión de las mismas en el montaje real del filtro (aspecto este ultimo no contemplado en el ejercicio).

Problema P2.5

A-Determinar el valor mínimo del factor de calidad (Q) que debe tener un filtro pasa-banda de segundo orden para obtener la respuesta frecuencial indicada en la figura P2.5.1, siendo:

B-Si con y , elegir y y proyectar el filtro utilizando la estructura de Rauch, con condensadores del mismo valor nominal y eligiendo valores de los componentes en las escalas normalizadas.

E24

E96

C-Con los valores adoptados en el apartado B, determinar los puntos mas significativos de la función de modulo del filtro obtenido.

Objetivos del problema.

1.Proyecto de un filtro en estructura de Rauch.

2.Ponderación del efecto de la tolerancia de los componentes pasivos integrantes del mismo.

Solución.

A. La función de transferencia del filtro PB2 es

Y su función de modulo

Imponiendo la condición del enunciado

Se obtiene la desigualdad,

B. Se adoptan Q=60 y Ac=45 y se proyecta el filtro a partir de los datos

Ya que se verifica la condición , véase tabla F2.4.1, se elige el circuito representado en la figura P2.5.2.

Para el proyecto se fija el valor de los condensadores en

C=100(nF)

Encontrándose los valores de las resistencias del filtro expuestos en las ecuaciones P2.5.5.

B.1. Escala E24.

Se adoptan los siguientes valores normalizados:

B.2. Escala E96.

Se eligen los valores normalizados siguientes:

El programa <<P205>> grabado en el disquete adjunto al libro, permite realizar los calculos de filtros de segundo orden basados en las estructuras de Rauch y Sallen-Key. Su guia de utilización figura en el anexo situado al final de este problema.

C. La tabla P2.5.1 expone las funciones de transferencia y especificaciones del filtro cuando sus componentes adoptan los valores antes elegidos, para las dos escalas normalizadas.

En la tabla P2.5.2 se encuentra, para ambos casos, la expresión de la funcion de modulo, asi como los puntos relevantes de la misma utilizando la notación

Comentario

El filtro proyectado se caracteriza por una elevada selectividad (Q=60); en consecuencia pequeñas desviaciones de frecuencia dan lugar a fuertes variaciones de ganancia. El empleo de componentes de baja tolerancia, como es el caso de la escala E96 permite mejor ajuste a os parámetros.

En el caso de elección de componentes de la escala E24 puede obtenerse que, a pesar del aparente buen ajuste de los valores nominales de las resistencias, no cumple con las especificaciones requeridas.