EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Antes veamos lo que es una expresión aritmética. Una expresión aritmética es una cadena de símbolos (números y signos de operación), que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre dichos números. Las operaciones básicas son la suma, resta, multiplicación y división.

Una expresión algebráica es una cadena de símbolos matemáticos que indican una cantidad finita de operaciones básicas entre funciones elementales, como raíces, exponenciales, logaritmos, funciones trigonométricas y también composiciones de dichas funciones. Suena muy revuelto pero como ejemplo veamos las siguientes tres expresiones:

En estas expresiones vemos involucrados: números y letras sumados, multiplicados, divididos, con exponentes de varios tipos, con raíces cuadradas y hasta logaritmos; así de complejas pueden ser las expresiones algebráicas. Pero lo complicado de una expresión algebráica es: imaginemos que tuvieramos a la mano una calculadora, y se nos pidiera hallar el resultado final de la siguiente expresión algebráica si x = 125.

¿Por dónde empezamos a hacer las cuentas? Es decir, ¿En qué orden? Para responder esta pregunta, necesitaremos conocer los elementos de las expresiones algebráicas, y establecer un orden para las operaciones:

Son cantidades expresadas con letra que pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales. Casi siempre se utilizan las últimas letras del abecedario (x, y, z, etc.) para denotar variables.

Son cantidades fijas expresadas con letra, casi siempre se utilizan las primeras letras del abecedario para denotar constantes (a, b, c, etc).

Son los números que aparecen multiplicando a las variables.

Son los superíndices que afectan a los diversos términos de las expresiones.

Son ciertas partes que componen una expresión algebráica que en los polinomios se identifican muy fácilmente, pero no así en otras expresiones. Así que veremos lo que es un término, pero en polinomios.

Los polinomios resultan ser expresiones algebráicas muy importantes y los definimos a continuación.

Un polinomio de grado n es una expresión algebráica de la forma:

donde n es un número natural, las 's son números reales cualesquiera y . Se dice que es de grado n porque el exponente mas grande que aparece es n (por eso se pidió la condición ) . A las 's se les llama coeficientes del polinomio.

A continuación veamos varios ejemplos de polinomios:

.......... ( 1 )

.............. ( 2 )

En realidad sí aparecen, porque éste último polinomio lo podemos ver de un modo distinto:

Es por eso que el término correspondiente a la no se escribe.

Veremos qué es un término pero no en cualquier expresión algebráica, sino en un polinomio. Para hacerlo sencillo tomemos el siguiente polinomio:

Términos son las partes del polinomio que no involucran sumas (ni restas). El polinomio que tenemos arriba consta de 4 términos, en el siguiente dibujo los encerramos en cuadritos:

Suma y resta de monomios y polinomios

Ejemplos :

x + x2 no se puede sumar , porque no son semejantes

x + y no se puede sumar , por la misma razón

8x -5x = (8-5)x = 3x

-5xyz2 +2xyz2 = -3xyz2

5xy +8xy -2xz = 13xy -2xz

Para sumar polinomios debemos por tanto sumar los monomios que sean semejantes . Ejemplo :

(3x2 - 5x +1) + (x2 -7x -3) = 4x2 -12x -2

También se suele hacer así : 3x2 - 5x +1

+ x2 -7x - 3

4x2 -12x -2

Para restar polinomios debemos restar los monomios que los conforman, puede ser ;

(3x2 -5x +1) - (x2 -7x -3) = 2x2 +2x +4 directamente

o también eliminando paréntesis :

(3x2 -5x +1) - (x2 -7x -3) = 3x2 -5x +1 -x2 +7x +3 = 2x2 +2x +4

O también :

3x2 - 5x +1

- x2 -7x -3

2x2 +2x +4

cambiando los signos del sustraendo, queda

3x2 -5x +1

+ -x2 +7x +3

2x2 +2x +4

Producto de monomios

El producto de dos monomios es otro monomio que tiene :

- como coeficiente el producto de coeficientes

- como parte literal las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la suma de los exponentes

Ejemplo :

(2x)(4x3)=(2)(4)x(1+3) = 8x4

(2x2y3z)·(4xt5y) = (2)(4)x(2+1)y(3+1)zt5 = 8 x3y4zt5

División de Monomios

El cociente o división de dos monomios es otro monomio que tiene :

-como coeficiente la división de los coeficientes

-como parte literal las letras que aparecen en los monomios con exponente igual a la resta de los exponentes respectivos.

Ejemplo :

Para desarrollar 24x3 / 3x primero se dividen los coeficientes 24 y 3 , luego las partes literales x3 / x

24x3 / 3x = (24/3)(x(3-1)) = 8x2

Ejemplo :

Si los coeficientes no dan un número entero , se puede dejar en forma de fracción .

Si el exponente de alguna letra es mayor en el divisor que en el dividendo se puede poner negativo o pasarlo abajo .

Si alguna letra no aparece se supone que está elevado a 0 o simplemente esta variable no se tiene en cuenta a la hora de dividir .

Ejemplo:

Multiplicación de polinomios

El producto de dos polinomios es igual a otro polinomio cuyos términos se obtienen multiplicando todos los términos del primero por todos los términos del segundo , y reduciendo luego los términos semejantes .

Ejemplo :

(7x2 +3x -1)·(6x2 -2x +4) =

= 42x4 -14x3 +28x2 +18x3 -6x2 +12x -6x2 +2x -4

= 42x4 +4x3 +14x2 +14x -4

También se puede hacer así :

7x2 +3x -1

* 6x2 -2x +4

28x2 +12x -4

-14x3 -6x2 +2x

42x4 +18x3 -6x2

42x4 +4x3 +14x2 +14x -4

Productos y potencias notables

(a + b)2 = a2 + b2 + 2·a·b

(a - b)2 = a2 + b2 - 2·a·b

(a + b)·(a - b) = a2 - b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

(2x - 3x4)2 = (2x)2 + (3x4)2 - 2·(2x)·(3x4) = 4x2 +9x8 -12x5

En el caso de que se olvide la fórmula o se encuentre dificultad en su aplicación siempre queda el recurso de multiplicar los polinomios .

(2x - 3x4)2 = (2x - 3x4)·(2x - 3x4) =

4x2 -6x4 -6x4 +9x8 = 4x2 +9x8 -12x5

División de polinomios

En el caso de que el dividendo sea un polinomio y el divisor un monomio , se puede hacer la división (si se puede) sumando a sumando .