“ TEORIA DE LA ESTIMACION ESTADÍSTICA “

Estimación de Parámetros

La teoría de muestreo puede emplearse para obtener información acerca de muestras obtenidas aleatoriamente de una población conocida. Sin embargo, desde un punto de vista practico, suele ser mas importante y ser capaz de inferir información acerca de una población a partir de muestras de ellas. Dichos problemas son tratados por la inferencia estadística que utiliza principios de muestreo. Un problema importante de la inferencia estadística es la estimación de parámetros poblacionales o simplemente parámetros ( como la media y la varianza poblacionales ), a partir de los estadísticos muéstrales correspondientes o estadísticos ( como la media y la varianza muestral.

Estimados sin Sesgo

Si la media de la distribución muestral de un estadístico es igual al parámetro poblacional correspondiente, el estadístico se denomina estimador sin sesgo del parámetro; de otra manera, es denominado estimador sesgado. Los valores correspondientes de dichos estadísticos se llaman estimados sin sesgo o sesgados, respectivamente.

1.- La media de la distribución muestral de las medias  es x , la media poblacional. Por lo tanto, la media muestral x es un estimado sin sesgo de la media poblacional .

2.- La media de la distribución muestral de las varianzas es :

s2 = ( N-1/ N ) 2

donde 2 es la varianza poblacional y N es el tamaño de la muestra .Entonces, la varianza muestral s2 es un estimado sesgado de la varianza poblacional 2. Usando la varianza modificada.

2 =( N/ N-1 )s2

Se encuentra que 
2 = 2 , de modo que
2 es un estimado sin sesgo de 2 .Sin embargo
es un estimado de .En términos de esperanza matemática se podía decir que un estadístico no esta sesgado si su esperanza es igual al parámetro poblacional correspondiente. Por lo tanto, x y
2 no están sesgados , porque E

Estimados Eficientes

Si las distribuciones muéstrales de dos estadísticos tienen la misma media o esperanza matemática entonces el estadístico con la menor varianza se denomina estimador eficiente de la media , mientras que el otro estadístico se le llama estimador ineficiente. Los valores correspondientes de los estadísticos se conocen, respectivamente , como estimadores eficientes. Si se consideran todos los estadísticos posibles, cuyas distribuciones muéstrales tienen la misma media, aquel con la menor varianza suele denominarse el mejor o mas eficiente estimador de dicha media.

La distribución muestral de la media y la mediana tienen la misma media; a saber la media poblacional. Sin embargo, la varianza de la distribución muestral de las medias es mas pequeña que la varianza de la distribución muestral de las medianas . por lo tanto, la media muestral ofrece un estimado ineficiente de esta De todos los estadísticos que estiman la media poblacional, la media muestral ofrece el mejor o mas eficiente estimado. En la practica , suelen usarse los estimados ineficientes debido a la relativa facilidad con que se obtienen algunos de ellos.

Estimados por Punto y Estimados por Intervalo; su Confiabilidad

El estimado de un parámetro poblacional dado por un solo numero se denomina estimado puntual del parámetro. El estimado de un parámetro poblacional dado por dos números , entre los cuales se considera esta el parámetro, se denomina estimado por intervalo del parámetro. Los estimados por intervalo indican la precisión de un estimado y son, por lo tanto preferibles a los estimados por punto.

Ejemplo: Si se dice que una distancia medida es de 5.28 metros se esta dando un estimado por punto. Si por otro lado, la distancia es de 5.28 mas menos 0.03metros ( es decir , la distancia esta entre 5.25m y 5.31 m ) , se esta dando un estimado por intervalo .

La información sobre el error o precisión de un estimado se conoce como confiabilidad.

Estimados por Intervalo de Confianza de Parámetros Poblacionales

Sean s y s la media y la desviación estándar ( error estándar ), en ese orden, de la distribución muestral de un estadístico S. Entonces, si la distribución muestral de S es en formas aproximadas a la normal ( lo cual es verdadero para muchos estadísticos si el tamaño de la muestra es N mayor o menor que 30.

Intervalos de Confianza para Medias

Si el estadístico S es la media muestral x , entonces los limites de confianza de 95% y 99% para estimar la media poblacional  están dados por x mas menos 1.96 x y 2.50x respectivamente. De manera mas general , los limites de confianza están dados por x ± zc x donde zc que depende del nivel particular de confianza deseado , usando los valores de x obtenidos se ve que los limites de confianza para la media poblacional están dados por :

X ± Zc /

si el muestreo se lleva a cabo a partir de una población infinita o de una población finita con reemplazamiento y están dados por :

X ± Zc /

si el muestreo se realizo sin reempalzamiento de una población de tamaño finito Np . generalmente , la desviación estándar poblacional  es desconocida ; por consiguiente , para obtener los limites de confianza anteriores, se utiliza la estimación muestral
o s .Esta mostrara ser satisfactoria cuando N­ se mayor o menor que 30 para N menor que 30 , la aproximación es pobre y se debe usar la teoría de pequeñas muestras .

Intervalos de Confianza para Proporciones

Si el estadístico S es la proporción de “éxitos “ en una muestra de tamaño , obtenida de una población binomial en la que p es la proporción de éxitos es decir la probabilidad de éxito, entonces los limites de confianza para p están dados por la proporción de éxitos en la muestra de tamaño N. Usando los valores de p obtenidos, ve que los limites de confianza para la proporción poblacional están dados por :

P ± Zc

Si el muestreo se efectuó de una población finita o de una población infinita con reemplazamiento y están dados por :

P± Zc

Si el muestreo se hizo sin el reemplazamiento de una población de tamaño finito Np. Para calcular estos limites de confianza se puede usar el estimado muestral P que por lo general , mostrara ser satisfactorio si N es mayor o igual a 30.

Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas

Si S1 y S2 son dos estadísticos muéstrales con distribuciones de muestreo aproximadamente normales, entonces los limites de confianza se puede usar para la diferencia de los parámetros poblacionales correspondientes a S1 y S2 están dados por :

S1 y S2 ± zc s1 - s2

Intervalos de Confianza para Desviaciones Estándar

Los limites de confianza para la desviación estándar  de una población normalmente distribuida, estimados a partir de una muestra con desviación estándar s, están dados por :

S + - Zc s = s ± Zc /

Para calcular estos limites de confianza se utiliza s o
para estimar 

Error Probable

Los limites de confianza de 50% de los parámetros poblacionales correspondientes al estadístico S dados por S + - 0.675 s la cantidad de 0.675 s es conocida como error probable de la estimación.

“ Problemas Resueltos “

• Estimados sin Sesgo y eficientes

1.- De un ejemplo de estimadores y estimados que sean a).- sin sesgo y eficientes , b).- sin sesgo e ineficientes y c).- sesgados e ineficientes

Solución

a).- La media maestral x y la varianza maestral modificada

2 =( N/ N-1 ) s2

b).- La media muestral y el estadístico muestral ½ (Q1 + Q3) donde Q1 y Q3 son los cuartiles inferior y superior , son dos de dichos ejemplos. Ambos estadísticos son estimados sin sesgo de la media poblacional, ya que la media de sus distribuciones muéstrales es la media poblacional.

c).- La desviación estándar muestral s , la desviación estándar modificada
, la desviación media y el rango semiintercuartilar son cuatro de dichos ejemplos

2.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.32, 6.37 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.32 + 6.37 / 5 = 6.35 cm

b).- El estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera , es decir la varianza poblacional es :

2 = ( N / N - 1 ) s2

(6.33 - 6.35 )2 + ( 6.37 - 6.35 ) 2 + ( 6.32 - 6.35 ) 2 + ( 6.37 - 6.35 )2 / 5 - 1 = 5.5 x 10 - 4 cm2

3.- Suponga que las estaturas de 100 estudiantes hombres de la universidad XYZ representan una muestral aleatoria de las estaturas del total de 1546 estudiantes de la universidad. Determine los estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.

Solución

a) Del problema , el estimado sin sesgo y eficiente de la estatura media verdadera es x = 67.47 pulgadas

b) Del problema el estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera es :

2 = ( N/ N-1 ) s2 = (100/99 ) 8.5275 = 8.6136

Por lo tanto
= "8.6136 = 2.93 pulgadas. Obsérvese que dado que N es grande esencialmente no existe diferencia entre
y
2 .

4.- De un estimado sin sesgo e ineficiente del diámetro medio verdadero de la esfera del problema 2.

Solución

La mediana es un ejemplo de un estimado sin sesgo e ineficientes de la media poblacional. Para las cinco mediciones, ordenadas por magnitud, la media es 6.36 cm

5.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.33, 6.38 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.33 + 6.38 / 5 = 6.354 cm

6.- Suponga que las estaturas de 10 estudiantes hombres de la universidad XYZ representan una muestral aleatoria de las estaturas del total de 100 estudiantes de la universidad. Determine los estimados sin sesgo y eficientes de

Solución

a) Del problema el estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera es :

2 = ( N/ N-1 ) s2 = (10/9 ) 8.5275 = 9.47

7.- De un estimado sin sesgo e ineficiente del diámetro medio verdadero de la esfera del problema 2.

Solución

La mediana es un ejemplo de un estimado sin sesgo e ineficientes de la media poblacional. Para las cinco mediciones, ordenadas por magnitud, la media es 6.36 cm

• Intervalos de Confianza para Medias

8.- Calcule los intervalos de confianza a) a 95% y b) 99% para estimar la estatura media de los estudiantes de la universidad veracruzana del problema 3.

Solución

a) Los limites de confianza a 95% son x ± 1.96 / ( N )1/2 . Usando x = 67.45 pulg. y
= 2.93 pulgadas como un estimado de , los limites de confianza son 67.45 ± 0.57 pulgadas. Por lo tanto, el intervalo de confianza a 95% para la media poblacional  es de 66.88 a 68.02 pulg. Que puede expresarse como 66.08 menor que  menor que 68.21.

Para obtener los intervalos de confianza anteriores, se considero que la población era infinita o tan grande como para realizar un muestreo con remplazamiento. En el caso de poblaciones finitas, donde el muestreo se hace sin remplazamiento se debe utilizar :

/

Sin embargo se puede considerar el factor:

= 0.967

Es esencialmente 1 por lo tanto no será necesario usarlo. Si se utiliza, los limites de confianza anteriores se convierten en 67.45 ± 0.56 pulgadas y 67.45 ± 0.73 pulgadas respectivamente .

9.- Una empresa de árboles navideños tienen 5000 árboles listos para cortarse. Se seleccionan aleatoriamente cien de estos árboles y se mide su altura. Las alturas, en pulgadas se muestran en la siguiente tabla. Utilice minitab para establecer un intervalo de confianza a 95% de la altura media a los 5000 árboles. Si estos se venden a $ 2.40 por pie de un limite superior y uno inferior sobre el valor de los 5000 árboles .

56	61	52	62	63	34	47	35	44	59
70	61	65	51	65	72	55	71	57	75
53	48	55	67	60	60	73	74	43	74
71	53	78	59	56	62	48	65	68	51
73	62	80	53	64	44	67	45	58	48
50	57	72	55	56	62	72	57	49	62
46	61	52	46	72	56	46	48	57	52
54	73	71	70	66	67	58	71	75	50
44	59	56	54	63	43	68	69	55	63
48	49	70	60	67	47	49	69	66	73

Solución

El intervalo de confianza del minitab presentado a continuación indica que la altura media de los 5000 árboles puede ser tan pequeña como 57.24 o tan grande como 61.20 pulgadas. El numero total de pulgadas para los 5000 árboles oscila entre (57.24) (5000) = 286200 y (61.20) (5000) = 306000. Si los árboles se venden a $ 2.40 por pie , entonces el costo por pulgada es de $ 0.2. El valor de los árboles oscila entre ( 286000)(0.2) = $ 57200 y (306000)(0.2) = $ 61200 con 95% de confianza

10.- Para medir el tiempo de reacción ,un psicólogo estima que la desviación estándar de 0.05 segundos ¿ Que tan grande debe ser una muestra de mediciones para tener a) 95 % y b) 99 % de confianza en que el error de este estimado no excederá de 0.01 segundos ?

Solución

a) Los limites de confianza a 95 % son de x ± 1.96  / con el error de estimación 1.96  / tomando  = s = 0.05 segundos se debe ver que el error será igual a 0.01 segundos si ( 1.96) ( 0.05 )/ = ( 1.96 ) ( 0.05 )/ 0.01 = 9.8 o N = 96.04

b) Los limites de confianza a 99 % son x ± 2.58  /

11.- Una muestra aleatoria de 50 calificaciones ,de un total de 200 mostró una media de 75 y una desviación de 10

a).- ¿ Cuales son los limites de confianza a 95 % para estimados de la media de las 200 calificaciones ?

b).- ¿ Con que nivel de confianza se puede decir que la media de las 200 calificaciones es de 75 ± 1?

Solución

a) Dado que el tamaño de la población no es muy grande comparado con el de la muestra , se debe de ajustar. Entonces , los limites de confianza a 95% son :

x ± 1.96  x = x ± 1.96 /

75 ± 1.96 (10/ " 50 )( / 199) = 75 ± 2.4

b) Los limites de confianza pueden representarse así :

x ± zc  x = x ± zc / =

75 ± zc (10/)( / 199) = 75 ± 1.23 zc

12.- Una empresa de árboles navideños tienen 5000 árboles listos para cortarse. Se seleccionan aleatoriamente cien de estos árboles y se mide su altura. Las alturas, en pulgadas se muestran en la siguiente tabla. Utilice minitab para establecer un intervalo de confianza a 95% de la altura media a los 5000 árboles. Si estos se venden a $ 2.80 por pie de un limite superior y uno inferior sobre el valor de los 5000 árboles .

60	61	52	62	63	34	47	35	44	52
70	61	65	51	65	72	55	71	57	75
53	48	55	67	60	60	73	74	43	74
71	53	78	59	56	62	48	65	68	51
73	62	80	53	64	44	67	45	58	48
50	57	72	55	56	62	72	57	49	62
46	61	52	46	72	56	46	48	57	52
54	73	71	70	66	67	58	71	75	50
44	59	56	54	63	43	68	69	55	63
48	49	70	60	68	47	49	69	66	75

Solución

El intervalo de confianza del minitab presentado a continuación indica que la altura media de los 5000 árboles puede ser tan pequeña como 57.24 o tan grande como 61.20 pulgadas. El numero total de pulgadas para los 5000 árboles oscila entre (57.24) (5000) = 286200 y (61.20) (5000) = 306000. Si los árboles se venden a $ 2.80 por pie , entonces el costo por pulgada es de $ 0.23. El valor de los árboles oscila entre ( 286000)(0.23) = $ 65780 y (306000)(0.23) = $ 70380 con 95% de confianza

13.- Una muestra de 15 aves tomadas al azar en un establecimiento con 5000 aves, (que elabora alimentos balanceados), permitió establecer un aumento de peso promedio de 90 g por semana y por ave, y un desvío típico de 10 g. Se busca estimar el incremento de peso promedio para las 5000 aves del establecimiento con un intervalo de confianza del 90%.

Solución

X = aumento de peso por ave

n = 15
= 90 g S = 10 g ¿ICM0,90?

Por tabla:

y el intervalo resulta:

• Intervalos de Confianza para Proporciones

14.- La encuesta de una muestra de 100 volantes ,elegidos aleatoriamente de todos los votantes de un distrito, indica que 55 % de ellos estaban a favor de un candidato en particular. Calcule los limites de confianza a) 95% , b) 99% y c) 99.73% para la proporción de todos los volantes del candidato.

Solución

a) Los limites de confianza a 95 % para la población dada p son P ± 1.96 P

b) Los limites de confianza a 99 % para p son 0.55 ± 2.58 =

0.55 ± 0.13

c) Los limites de confianza a 99.73 % para p son 0.55 ± 2.58 =

0.55 ± 0.13

15.- ¿ Que tan grande debe ser una muestra de votantes , en el problema 9 para tener una confianza a) del 95% y b ) 99.73% de que el candidato será electo ?

Solución

Los limites de confianza para p son P ± zc =

0.55 ± zc = 0.55 ± 0.50 zc donde se emplea el estimado P = p = 0.55 con base al problema anterior. Como el candidato ganara solo si recibe mas de 50 5 de los votos de la población se requiere que 0.50 zc / sea menor que 0.05

a) Para el nivel de confianza a 95 %, 0.50 zc / = 0.50 (1.96 ) / = 0.05

b) Para el nivel de confianza a 99.73 %, 0.50 zc / = 0.50 (3) / =0.05

16.- En 40 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 24 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% y b) 99.73% para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 24 / 40 = 0.6 y N = 40

b) Al nivel del 99.73 % zc = 3 . Usando la formula del problema 10 se obtiene p = 0.37 y 0.79

Con la formula aproximadamente p = P ± zc / N se obtiene p = 0.60 ± 0.23 produciendo el intervalo de 0.37 a 0.83

• Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas

17.- Una muestra de 150 focos de la marca A mostró un promedio de vida de 1400 horas y una desviación estándar de 120 horas. Una muestra de 200 focos de la marca B mostró un promedio de vida de 1200 horas y una desviación estándar de 80 horas . Calcule los limites de confianza a) 95% y b) 99% para la diferencia de medias de los promedios de vida para las poblaciones de las marcas A y B.

Solución

a) Los limites de confianza a 95 % son :

1400 - 1200 ± 1.96 = 510.82

b) Los limites de confianza de 99 5 son 1400 - 1200 ± 2.58 /100= 200 ± 32.6.

Luego se lograría una confianza de 99 5 en que la diferencia de medias poblacionales esta entre 167 y 233 horas.

18.- En una muestra aleatoria de 400 adultos y 600 adolescentes que vieron programa de televisión , 100 adultos y 300 adolescentes manifestaron que les gusto. Construya limites de confianza a) 95% b) 99% para la diferencia de proporciones de todos los adultos y todos los adolescentes que vieron el programa y les gusto.

Solución

Los limites de confianza para la diferencia de proporciones de los dos grupos están dados por :

P1 - P2 ± Zc

Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a los adolescentes y a los adultos respectivamente :

Los limites de confianza a 95 % son : 0.50 - 0.25 ± 1.96 = 0.25 ± 0.06

b) Los limites de confianza a 99 5 son : 0.50 - 0.25 ± 2.58 = 0.25 ± 0.08

19.- La fuerza automotriz media de baterías producidas por una compañía es de 45.1 voltios V y la desviación estándar es de 0.04 V. Si cuatro de dichas baterías se conectan en serie, calcule los limites de confianza a) 95%, b) 99%, c)a 99.73 % y d) 50% de la fem total.

Solución

Si E1 , E2 , E3 y E4 representan la fem de las cuatro baterías entonces se tiene :

Los limites de confianza a 95 % son 180.4 ± 1.96(0.80) = 180.4 ± 0.16 V

Los limites de confianza a 99 % son 180.4 ± 2.58(0.80) = 180.4 ± 0.21 V

Los limites de confianza a 99.73 % son 180.4 ± 3(0.80) = 180.4 ± 0.24 V

Los limites de confianza a 50% son 180.4 ± 0.6745(0.80) = 180.4 ± 0.054 V

• Intervalos de Confianza para la Desviación Estándar

20.- Se calculo que la desviación estándar de las vidas medias de una muestra de 200 focos de 100 h. Calcule los limites de confianza a) 95%, b) 99% para la desviación estándar .

Solución

Los limites de confianza para la desviación estándar poblacional  están dados por s ± zc / " 2N = donde zc indica el nivel de confianza.Se utiliza la desviación estándar muestral para estimar .

Los limites de confianza a 95 % son 100 ± 1.96(100)/" 400 = 100 ± 9.8

21.- ¿ De que tamaño debe ser la muestra de focos del problema 15 para tener un nivel de confianza de 99.73% en que la desviación estándar poblacional verdadera no difiera de la desviación estándar muestral por mas de a) 5% y b) 10 %

Solución

Los limites de confianza de 99% para  son ± 3  / = s ± 3s/ ,usando s como un estimado de .El porcentaje de error en la desviación estándar es :

Si 300/ = 5 entonces N = 1800. Por lo tanto , el tamaño de la muestra debe ser de 1800 o mas .

Si 300/ = 10; así N = 450. Por lo tanto , el tamaño de la muestra debe ser de 450 o mas .

• Error Probable

22.- El voltaje de 50 baterías del mismo tipo tiene una media de 18.2 V y una desviación estándar de 0.5 V . Calcule a) el error probable de la media y b) los limites de confianza de 50%.

Solución

Error probable de la media = 0.674x = 0.6745  / = 0.6475 s/ =

0.6745 s / =

23.- Una medición fue registrada como 216.480 gramos con un error probable de 0.272 g ¿ Cuales son los limites de confianza a 95% para la medición ?

Solución

El error probable es 0.272 = 0.672 x o x = 0.272/ 0.6745. Por lo tanto, los limites de confianza a 95% son x ± 1.96 x = 216.480 ± 1.96( 0.272/ 0.6745 ) = 216.480 ±0.790 gramos

24.- En una muestra de 100 pacientes sometidos a un cierto tratamiento se obtienen 80 curaciones. Calcular el intervalo de confianza al 95% de la eficacia del tratamiento.

25.- En una muestra aleatoria de 90 pacientes se mide el nivel de glucosa en sangre en ayunas. Se obtiene
= 132 mg/dl y s2=109. Construir el IC al 95% para ¿Qué asunción se ha hecho?

Solución

Para evaluar una vacuna para la gripe se selecciona un grupo de 200 individuos de riesgo. Se eligen aleatoriamente a 100 de ellos y se les suministra la vacuna; de ellos 10 pasan la gripe. Construir un IC al 95% para la probabilidad de pasar la gripe si se está vacunado. En los otros 100 pacientes sin vacunar la pasan 20.

26.- En una muestra de seis mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.32, 6.37 y 6.38 centímetros. Determine la varianza verdadera. La media es de 6.35

a) .- El estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera , es decir la varianza poblacional es :

2 = ( N / N - 1 ) s2

(6.33 - 6.35 )2 + ( 6.37 - 6.35 ) 2 + ( 6.32 - 6.35 ) 2 + ( 6.37 - 6.35 )2 + (6.38 - 6.35 )/ 6 - 1 = 6 x 10 -4

27.- Para medir el tiempo de reacción ,un psicólogo estima que la desviación estándar de 0.48 segundos ¿ Que tan grande debe ser una muestra de mediciones para tener a) 95 % y b) 99 % de confianza en que el error de este estimado no excederá de 0.01 segundos ?

Solución

a) Los limites de confianza a 95 % son de x ± 1.96  / con el error de estimación 1.96  / tomando  = s = 0.05 segundos se debe ver que el error será igual a 0.01 segundos si ( 1.96) ( 0.05 )/ = ( 1.96 ) ( 0.48 )/ 0.01 = 94.08 o N = 94.08

b) Los limites de confianza a 99 % son x ± 2.58  /

28.- La encuesta de una muestra de 400 volantes ,elegidos aleatoriamente de todos los votantes de un distrito, indica que 60 % de ellos estaban a favor de un candidato en particular. Calcule los limites de confianza a) 95% , b) 99% y c) 99.73% para la proporción de todos los volantes del candidato.

Solución

a) Los limites de confianza a 95 % para la población dada p son P ± 1.96 P

b) Los limites de confianza a 99 % para p son 0.55 ± 2.58 =

0.55 ± 0.13

c) Los limites de confianza a 99.73 % para p son 0.55 ± 2.58 =

0.55 ± 0.13

29.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 5.33, 6.37, 6.33, 6.38 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 5.33 + 6.37 + 6.36 +6.33 + 6.38 / 5 = 6.154 cm

30.- En 80 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 12 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 12 / 80 = 0.15 y N = 80

31.- En 100 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 24 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% y para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 24 / 100 = 0.24 y N = 100

32.- Queremos estudiar la influencia que puede tener el tabaco con el peso de los niños al nacer. Para ello se consideran dos grupos de mujeres embarazadas (unas que fuman un paquete al día y otras que no) y se obtienen los siguientes datos sobre el peso X, de sus hijos:

En ambos grupos los pesos de los recién nacidos provienen de sendas distribuciones normales de medias desconocidas, y con varianzas que si bien son desconocidas, podemos suponer que son las mismas. Calcular en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo.

Solución

Si X1 es la v.a. que describe el peso de un niño que nace de madre no fumadora, y X2 el de un hijo de madre fumadora, se tiene por hipótesis que

Si queremos estimar en cuanto influye el que la madre sea fumadora en el peso de su hijo, podemos estimar un intervalo de confianza para
, lo que nos dará la diferencia de peso esperado entre un niño del primer grupo y otro del segundo. El estadístico que se ha de aplicar para esta cuestión es:

donde :

33.- En una muestra de siete mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.32, 6.37, 6.38 y 6.39 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera y b) la varianza verdadera.

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.32 + 6.37 + 6.38 + 6.39 / 7 = 6.36 cm

b).- El estimado sin sesgo y eficiente de la varianza verdadera , es decir la varianza poblacional es :

2 = ( N / N - 1 ) s2

(6.33 - 6.36 )2 + ( 6.37 - 6.36 ) 2 + ( 6.32 - 6.36 ) 2 + ( 6.37 - 6.36 )2 + ( 6.38 - 6.36 )2 + ( 6.39 - 6.36 )2/ 7 - 1 = 6.66 x 10 - 4 cm2

34.- Una empresa de árboles navideños tienen 5015 árboles listos para cortarse. Se seleccionan aleatoriamente cien de estos árboles y se mide su altura. Las alturas, en pulgadas se muestran en la siguiente tabla. Utilice minitab para establecer un intervalo de confianza a 95% de la altura media a los 5015 árboles. Si estos se venden a $ 2.80 por pie de un limite superior y uno inferior sobre el valor de los 5015 árboles .

70	61	52	62	63	34	47	35	44	52
70	61	65	51	65	72	55	71	57	75
53	48	55	67	60	60	73	74	43	74
71	53	78	59	56	62	48	65	68	51
73	62	80	53	64	44	67	45	58	48
50	57	72	55	56	62	72	57	49	62
46	61	52	46	72	56	46	48	57	52
54	73	71	70	66	67	58	71	75	50
44	59	56	54	63	43	68	69	55	63
48	49	70	60	68	47	49	69	66	80

Solución

El intervalo de confianza del minitab presentado a continuación indica que la altura media de los 5000 árboles puede ser tan pequeña como 57.24 o tan grande como 61.20 pulgadas. El numero total de pulgadas para los 5000 árboles oscila entre (57.24) (5015) = 287058.6 y (61.20) (5015) = 306918. Si los árboles se venden a $ 2.80 por pie , entonces el costo por pulgada es de $ 0.23. El valor de los árboles oscila entre ( 286000)(0.23) = $ 65780 y (306000)(0.23) = $ 70380 con 95% de confianza

35.- En 50 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 12 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 12 / 50 = 0.24 y N = 76

36.- En 10 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 4 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 4 / 10 = 0.4 y N = 60

37.- En 200 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 24 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 24 / 200 = 0.12 y N = 88

38.- En 30 lanzamientos de una moneda se obtuvieron 24 caras. Calcule los limites de confianza a) 95% y b) 99.73% para la proporción de caras que se obtendrán en un numero ilimitado de lanzamientos de moneda.

Solución

a) Al nivel de 95 % zc = 1.96 colocando P = 24 / 30 = 0.8 y N = 20

39.- En una muestra de cinco mediciones , los registros de un científico para el diámetro de una esfera fueron 6.33, 6.37, 6.33, 100.66 centímetros. Determine estimados sin sesgo y eficientes de a) la media verdadera

Solución

a).- el estimado sin sesgo y eficiente de la media verdadera , es decir , la media poblacional es :

x = x / N = 6.33 + 6.37 + 6.36 +6.33 + 100.66 / 5 = 25.21 cm

40.- El voltaje de 50 baterías del mismo tipo tiene una media de 18.2 V y una desviación estándar de 0.5 V . Calcule a) el error probable de la media y b) los limites de confianza de 50%.

Solución

Error probable de la media = 0.674x = 0.6745  / = 0.6475 s/ =

0.6745 s / =

INTRODUCCIÓN

La estadística o métodos estadísticos como se llaman algunas veces desempeña un papel cada vez mas importante en casi todas las areas del quehacer humano , aunque en un principio solamente tenia que ver con otras situaciones , el propósito de este trabajo es presentar una ligera introducción al tema de estimación estadística ya que será un poco mas útil a todos los individuos por el tipo de lenguaje que aquí se utiliza , en si la estadística ocupa métodos científicos para recolectar , organizar , resumir presentar y analizar datos así como de sacar conclusiones validas y tomar decisiones con base en este análisis, en un sentido menos amplio el termino estadística se emplea para referirse a los datos mismos o a los valores asociados a estos datos, como por ejemplo los promedios , sin otro particular espero les sirva este manual de estimación estadística.

I N D I C E

Estimación de Parámetros ........................................................................ 1

Estimados sin Sesgo ....................................................................... 1

Estimados Eficientes ....................................................................... 2

Estimados por Punto y Estimados por Intervalo; su Confiabilidad ................ 2

Estimados por Intervalo de Confianza de Parámetros Poblacionales ............... 2

Intervalos de Confianza para Medias ......................................................... 3

Intervalos de Confianza para Proporciones ................................................. 3

Intervalos de Confianza para Diferencias y Sumas ..................................... 4

Intervalos de Confianza para Desviaciones Estándar .................................... 4

Error Probable .................................................................................... 4

Problemas Resueltos .................................................................................... 5