Pràctica 4 y 5

PROBLEMA 1

Els pesos d'una mostra de 8 gossos de raça gos d'atura polonès de Podhale eren, en Kg:

Suposant normalitat en els pesos,

1.- Doneu una estimació puntual de la mitjana:

2.- Trobeu un interval de confiança amb nivell de confiança del 95% per a la mitjana:

3.-Feu el mateix amb un nivell de confiança del 90%. Compareu les amplades dels dos intervals obtinguts:

1	2	3	4	5	6	7	8	Mitjana
58	50	60	65	64	62	56	57	59,00

95% : (54,93 ; 63,07)

90% : (55,74 ; 62,26)

PROBLEMA 2

Una empresa que fabrica pinsos per a gats, indica en un paquet que el seu pes mitjà és de 900 g. En una inspecció que es fa a la empresa, s'agafen 10 paquets de pinso, que pesen en grams,

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	Mitja
894	890	900	892	895	895	896	903	897	899	896,10

a) Suposem normalitat al pes dels paquets de pinso. Trobeu un interval de confiança pel pes mitjà dels paquets, amb un nivell de confiança de 99%:

(892,15 ; 900,05)

b) Suposem normalitat en el pes dels paquets de pinso. Podem dir, amb una probabilitat d'equivocar-nos del 1% que l'empresa enganya els consumidors?

En aquest cas tenim que σ és desconeguda i ð = 900

<ð = 900 p= 0,005

Ho: ð ≥ 900

H1: ð ð 900

n=10

ð 1= 0,005 < ð =0,1

One-Sample T: pes

Test of mu = 900 vs mu < 900

Variable N Mean StDev SE Mean

pes 10 896,10 3,84 1,22

Variable 99,0% Upper Bound T P

pes 899,53 -3,21 0,005

Mitja: 896,10

Rebutgem H0 : L'empresa ens enganya.

PROBLEMA 3

En un cert estudi es té una mostra de 140 pacients asmàtics, dels quals el 35% va tenir reaccions positives a la pell davant la presència de pols. Doneu una estimació puntual per la proporció de pacients asmàtics amb al·lèrgia a la pols, i també construïu un interval de confiança asimptòtic per a aquesta proporció, amb nivell de confiança del 95%

t de Student

Mitja: 0,3500

Desv. Tipus: 0,4787

95% : (0,2700 ; 0,4300)

b)Llei binomial:

p ð ð,ð

n = 140

x = 49

sample p = 0,3500

95% : (0,2713 ; 0,4351)

p- valor: 0,000

Distribució Normal:

p ð ð,ð

n = 140

x = 49

sample p = 0,3500

95% : (0,2709 ; 0,4290)

z-valor: -3,55

p-valor: 0.000

PROBLEMA 4

Un cert medicament produeix augments de la pressió arterial que es distribueixen normalment amb una mitjana de 5.5 unitats i una desviació tipus de 2.3 unitats. S'espera que un nou medicament també produeixi augments distribuïts normalment, però potser amb uns altres valors de ð i de σð Es va administrar el medicament nou a 10 persones i es varen obtenir els arguments de pressió següents:

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	mitja
4.4	6.7	5.7	3.8	4.6	3.7	4.6	5.1	4.3	2.1	4,500

Hi ha evidència que ð < 5.5? I que σ <2.3? (Agafeu ð= 0.05 com a nivell de significació)

H1 : ð < 5.5

H0 : ð ≥ 5.5

p-valor: 0.15 < =0.55

X² = (9)

Š = 1.229

Š² = 1.5104

σ² = 2.3

(n-1)S² = 2.57

σ²

Aquest és un cas de comparació de variancies. Utilitzem X² (ji quadrada)

One-Sample T: pressió arterial

Test of mu = 5,5 vs mu < 5,5

Variable N Mean StDev SE Mean

pressió arte 10 4,500 1,229 0,389

Variable 95,0% Upper Bound T P

pressió arte 5,213 -2,57 0,015

Descriptive Statistics: pressió arterial

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

pressió 10 4,500 4,500 4,525 1,229 0,389

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

pressió 2,100 6,700 3,775 5,250

Cumulative Distribution Function

Chi-Square with 9 DF

x P( X <= x )

2,5700 0,0211

p-valor: 0.0211

ðð ðððð

p< ð : Rebutjem H0

PROBLEMA 5

Es va administrar un cert fàrmac a una mostra aleatòria d'animals que patien una malaltia. Per tal d'estudiar els efects del fàrmac, es van valorar uns paràmetres fisiològics, inicialment i després d'un mes de tractament. Per a un d'aquests paràmetres, que suposarem que segueix una llei normal, es va obtenir:

Animal	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Inicialment	56	56	147	58	121	57	49	118	63	75
Després 1 mes	47	63	125	26	99	36	34	90	50	59

Podem dir, amb una probabilitat d'equivocar-nos del 1%, que és significativa la variació del paràmetre deguda al tractament amb el fàrmac?

Aquest problema ens dona dades aparellats, és a dir, la segona variable depen de la primera .

ðð ðððð

H0: ð ðð ð ð ð ð

H1: ð ðð ð ð > ð

X < ð : X1 - X2 < 0

Descriptive Statistics: inicialment

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

inicialm 10 80,0 60,5 75,5 35,0 11,1

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

inicialm 49,0 147,0 56,0 118,8

Mitja inicial: 80,0

Descriptive Statistics: despres 1 mes

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

despres 10 62,9 54,5 59,8 32,1 10,1

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

despres 26,0 125,0 35,5 92,3

Mitja desprès d'un mes: 62,9

Paired T-Test and CI: inicialment; despres 1 mes

Paired T for inicialment - despres 1 mes

N Mean StDev SE Mean

inicialment 10 80,0 35,0 11,1

despres 1 me 10 62,9 32,1 10,1

Difference 10 17,10 10,92 3,45

99% lower bound for mean difference: 7,35

T-Test of mean difference = 0 (vs > 0): T-Value = 4,95 P-Value = 0,000

80-62,9 > 0

P= 0

ðð 0.01 Per tant rebutjem H0

PROBLEMA 6

Els valors següents corresponen a les longituds (que suposarem distribuïdes normalment) , en milímetres, de 24 ous de cucut que es varen trobar en nius d'ocells de dues espècies A i B:

	A
21.2	21.6	21.9
22.0	22.0	22.2
22.8	22.9	23.2

		B
19.8	20.2	20.3	20.8	20.9
20.9	21.0	21.0	21.0	21.2
21.5	22.0	22.0	22.1	22.3

Calculeu les dues variàncies mostrals. Quina és més gran? Podem dir, amb una probabilitat d'equivocar-nos del 5% , que la corresponent variància poblacional també és més gran?

En aquest cas comparem les dues variàncies:

Test for Equal Variances

Level1 A

Level2 B

ConfLvl 95,0000

Bonferroni confidence intervals for standard deviations

Lower Sigma Upper N Factor Levels

0,416563 0,650000 1,38570 9 A

0,529345 0,754226 1,27837 15 B

F-Test (normal distribution)

Test Statistic: 0,743

P-Value : 0,690

Levene's Test (any continuous distribution)

Test Statistic: 0,124

P-Value : 0,729

σ²A= 0.4225

σ²B= 0.5688

H0 : σ² b ð σ²a

H1: σ² b > σ²b

S²b > S²a

p-valor a : 0.690

p-valor b : 0.729

ð= 0.05 > pa: 0.690 Acceptem H0

ð= 0.05 > pb: 0.729 Acceptem H0

PROBLEMA 7

Per a una certa malaltia que pateixen els gats, es vol comparar l'efecte de dos medicaments diferents, que anomenarem A i B. Per això, es va fer un experiment amb 21 gats, 9 dels quals, agafats a l'atzar, es van tractar amb un medicament A i la resta amb el medicament B. Els valors següents corresponen a les lectures d'un paràmetre fisiològic dels gats, expressat en unes certes unitats. Suposarem que aquestes lectures es distribueixen segons una llei normal i que com més altes són, millor ha estat l'efecte del medicament per al gat.

Med A	22.2	22.6	22.9	22.0	22.0	22.2	22.8	22.9	23.2
Med B	19.8	19.0	20.3	20.8	20.9	22.0	21.0	21.0	21.5	21.5	22.0	19.7

Calculeu les mitjanes de les lectures amb els dos medicaments. Quina és més gran? Quin medicament sembla, doncs, millor? Podem dir, amb una probabilitat d'equivocar-nos de 5% , que és millor?

H0: ð ð ð ð ð ð ð

Hðð ð ð ð ð ð > ð

X1 - X2 > 0

ðð ðððð

Interval de confiança: 95%

Descriptive Statistics: med A; med B

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean

med A 9 22,533 22,600 22,533 0,444 0,148

med B 12 20,792 20,950 20,850 0,937 0,270

Variable Minimum Maximum Q1 Q3

med A 22,000 23,200 22,100 22,900

med B 19,000 22,000 19,925 21,500

Two-Sample T-Test and CI: med A; med B

Two-sample T for med A vs med B

N Mean StDev SE Mean

med A 9 22,533 0,444 0,15

med B 12 20,792 0,937 0,27

Difference = mu med A - mu med B

Estimate for difference: 1,742

95% lower bound for difference: 1,203

T-Test of difference = 0 (vs >): T-Value = 5,65 P-Value = 0,000 DF = 16

	Mitja	Desv. tipus	n
Medicament A	22.533	0.444	9
Medicament B	20.792	0.937	12

• A és més gran

• A sembla millor

p-valor= 0.00

ðð ðððð Per tant rebutjem H0