ESPACIOS VECTORIALES

• CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo, y V un conjunto no vacio. Entonces se dice que (V,+,·) es un ESPACIO VECTORIAL SOBRE K, o un K espacio vectorial (Kev) si se verifica que:

1)(V,+) es Grupo Abeliano

2)
Es una aplicación llamada operación externa tal que:

a)","K, "u"V ! (+)u=u+

b)""K, "u,v"V ! (u+v)=u+v

c)","K, "u"V ! (u)=()u

d)"u"V ! 1u=u

OBSERVACIÓN:

1)A los elementos de V se les llama vectores, y a los de K, escalares.

2)Al elemento neutro de V se le llama vector cero, y se representa por

3)0K·u=

4)( -)u=-(u)= (-u)

• EJEMPLOS BASICOS:

DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo, y V={(x1,.....,xn)/xi"K}, y consideremos dos operaciones:

+:KnxKn	!	Kn
(x1,.....,xn) (y1,.....,yn)		(x1,.....,xn)+(y1,.....,yn)= (x1+ y1,.....,xn+ yn)
·:KxKn	!	Kn
(x1,.....,xn)		 ·(x1,.....,xn)= (·x1,....., ·xn)

Entonces se verifica que (Kn,+,·) es un Kev

Algunos ejemplos de espacios vectoriales de ese tipo son:

K=Z3 V=
es un Z3ev

K=Q V=Qn es un Qev

K=R V=Rn es un Rev

K=C V=Cn es un Cev

Por estar incluido Q en R y R en C, Qn es un Rev y Rn es un Cev, pero no al reves.

DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo, V=Mnxm(K) y consideremos la suma habitual de matrices y el producto usual de una matriz por un escalar. Entonces (Mnxm(K), +, ·) es un Kev

Por ejemplo consideremos V=M2x3(Z3) es un Z3ev.

DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo, V=Kn[x](polinomios con coeficiente en K, variable x y grado máximo n) y consideremos la suma habitual de polinomios y el producto usual de un polinomio por un escalar. Entonces (Kn[x], +, ·) es un Kev

Por ejemplo (Z7)3[x] es un Z7ev

DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo, V=K[x](polinomios con coeficiente en K, variable x y grado cualquiera) y consideremos la suma habitual de polinomios y el producto usual de un polinomio por un escalar. Entonces (K[x], +, ·) es un Kev

DEFINICIÓN: Sea el cuerpo R, V=F(R,R)={f:R!R/f funcion} Entonces (F(R,R),+,·) es un Rev

• SUBESPACIOS VECTORIALES:

DEFINICIÓN: Sea (V,+,·) un Kev y W"V,W"". Entonces se dice que W es un SUBESPCAIO VECTORIAL DE V si (W,+,·) es un espacio vectorial. Por ejemplo, R es un Sev de Rn.

TEOREMA: Sea (V,+,·) un Kev y W"V,W"". Entonces W es Sev de V si:

1)"u,v"W ! u+v"W

2)"u"W, ""K ! ·u "W

Demostración:

W es Sev de V!(W,+,·) es un Kev!

2.1-2.4 se heredan de V por ser V un Kev. Basta que se cumpla 2.

Por W"V ! (W,+) GA ! (W,+)"(V,+) ! "u,v "W ! u-v "V

Por 2 ·u "W!(=-1)!-u"W

luego

1)"u,v"W ! u+v"W

2)"u"W, ""K ! ·u "W

OBSERVACIÓN:

Si W es Sev de V

"W

{
},V son Sev de V

EJEMPLOS:

V=R3 W={(x,y,z)" R3/x+y+z=1} No es Sev. No contiene a

V=R3 W={(x,y,z)" R3/x+y+z=0}Es Sev. Contiene a
y cumple 1 y 2

V=R2 W={(x,y)" R2/y=x2}No es Sev. Contiene a
, pero 2·(1,1) "W

V=R3 W={(x,y,z)" R3/x2+y2=1}No es Sev. No contiene a

V=R2 W={(x,y)" Q2/x+y=0}No es Sev. Contiene a
, pero ·(1,-1) "W

V=R2 W={(x,y)" Q2/ x2-y2=0}No es Sev. Contiene a
, pero (1,1)+(-,1)=(0,2) "W

V=R2 W={(x,y)" R2/ x2+y2=0}={(0,0)} Es Sev

V=C2 W={(x,y)" C2/ x2+y2=0}={(x,y) " C2/x=±yi}No es Sev.

Se deduce de estos ejemplos una regla muy útil para saber si algo es Sev, pero que no siempre funciona. “Si la ecuación es lineal(de grado1) y la verifíca el 0, es un Sev”

V= M2x2(R)

W={A"M2x2(R)/det(A)"0} No es Sev. No contiene a

W={A"M2x2(R)/det(A)= 0}=

No es Sev. La ecuación no es lineal

W={A"M2x2(R)/Tr(A)= 0}=
Es Sev.

V=R3[x]

W={p(x)" R3[x]/p'(0)=0}={a0+a1x+a2x2+a3x3/a1=0} Es Sev

W={p(x)" R3[x]/p'(0)+p''(0)=0}={a0+a1x+a2x2+a3x3/a1+2a2=0} Es Sev

W={p(x)" R3[x]/p'(0)·p''(0)=0}={2a1a2=0} No es Sev. La ecuación no es lineal

PROPIEDADES:

1)W1"W2 es Sev de V

2)W1"W2 en general no es Sev de V

3)W1+W2={u+v/u"W1 y v"W2}es Sev de V

Demostración

IDEA INTUITIVA: Si tengo un espacio vectorial, y un conjunto de él, que no sea subespacio ¿Existe algún subespacio que contenga a dicho conjunto? Si, por lo menos el total ¿Cual será el más pequeño que lo contenga?. Lo hallamos inflando el conjunto hasta obtener un subespacio. A eso le llamaremos clausura lineal.

DEFINICIÓN: Sea V un Kev, entonces se dice que v"V es combinación lineal de los vectores {u1,...,un}"V si existen 1,...,n"K/v= 1u1,......,nun

DEFINICIÓN: Sea V un Kev y A"V, A"", entonces se define la CLAUSURA LINEAL de A como el conjunto de todas las combinaciones que se pueden formar con los vectores de A. Se representa por L(A). L(A)={ 1u1,......,sur/i"K, ui"V}

EJEMPLO:

V=R2 A={(1,0)} L(A)={u/u"A}={u0/"R}={(,0)/"R}={(x,y)/y=0}

V=M2x2(R) A=

L(A)=

V=R2[t] A={t,t2} L(A)={t+t2/,"R}={polinomios con la raíz cero}

PROPOSICIÓN:

1)A"L(A)

2)Si A"B!L(A)"L(B)

3)L(A) es un Sev

4)

5)L(A) es esl Sev más pequeño que contiene a A

6)Si W es Sev ! L(W)=W

7)Si W1,W2 son Sev de V ! W1+W2=L(W1"W2)

IDEA INTUITIVA: Sabemos pasar de un conjunto a un Sev. ¿Es posible pasar de un subespacio a un conjunto tal que al inflarlo me dé el subespacio del que vengo? ¿Cual es el más pequeño? No existe el más pequeño como tal, pues todos tendrán igual número de vectores. Pero generalmente existe, y además existen varios.

DEFINICIÓN: Sea V un Kev, y W un Sev de V. Entonces se dice que G"W es un SISTEMA GENERADOR de W si L(G)=W

EJEMPLO:

Un SG de V=R2 es {(1,0),(0,1)}

Un SG de V=Rn es {(1,0,...,0),.....,(0,...,0,1)}

Un SG de Mnxm es

Un SG de Rn[t] es {1,t,...,tn}

Un SG de R[t] es {1,t,...,tn,...}

F(R,R) no tiene SG

DEFINICIÓN: Un espacio vectorial se dice de tipo finito si tiene al menos un -SG con una cantidad finita de vectores. En caso contrario se dice de tipo infinito.

IDEA INTUITIVA: Hay infinitos sistemas generadores. ¿Podemos saber cual es el más pequeño?. En un plano solo necesito dos vectores, pero un sistema generador puede tener más, siendo unos combinaciones lineales de otros. Vamos a hallar uno de los sistemas generadores más pequeños(Hay infinitos de ese tamaño). Para ello vamos a expulsar del SG a los vectores sobrantes.

DEFINICIÓN: Sea V un Kev y U={u1,..,us}"V. entonces se dice que:

1)u "V depende linealmente(dl) de {u1,..,us} si "1,...,s/u=1u1+..+sus, es decir, u dl de {u1,..,us}! u "L(u1,..,us)

2){u1,..,us}son linealmente independientes(li) si 1u1+...+sus=
! =..=s=0

3){u1,..,us}son ld si no son li, es decir, si "1,...,s, no todos nulos/1u1+...+sus=
. Equivalentemente, si existe un vector de {u1,..,us} que dependa del resto.

OBSERVACIÓN: Si
"{u1,..,us}! {u1,..,us} es ld.

DEFINICIÓN: Sea V un Kev y W un Sev de V. Entonces se dice que B es una BASE de W si se verifica que:

1)B es SG de W

2)B es li

DEFINICIÓN: Sea V un Kev y B={u1,..,un} una base de V. Entonces "u"V "! 1,...,n/u=1u1+...+nun. A los escalares 1,...,n se les llama coordenadas de u en la base B.

Demostración: Como u"V y B es SG de V ! " 1,...,n"K/u=1u1+...+nun

Supongamos que " 1,..., n"K/u=1u1+...+nun . Entonces:

u-u=
=(1-1)u1+....+(n-n)un=

Por ser vectores linealmente independientes

1-1=0 n=n

n-n=0 n=n

NOTACIÓN: Llamamos BASE CANÓNICA a la base más sencilla de los ejemplos básicos:

Rn Bc={(1k,0,...,0),...,(0,...,0,1k)}

Mnxn(K)

Kn[t] Bc={1k,t,tn}

EJEMPLO:

Sea V=R3 B={(1,00),(1,1,0),(1,1,1)} u1= (1,00), u2=(1,1,0), u3=(1,1,1)

¿Es B base?

Que es un SCD, luego siempre tiene solución. B es SG

Sistema homogéneo, solución trivial

Sea V=R2[t] B={1,t+1,t2-1} u1=1, u2=t+1, u3=t2-1

¿Es B base?

Que de nuevo es un SCD. También se puede ver, de manera análoga al ejemplo anterior, que B es li. Luego B es base.

TEOREMA(de la base): Sea V un Kev de tipo finito. Entonces:

V tiene bases

Todas las bases de V tienen el mismo cardinal.

DEFINICIÓN: En un Kev de tipo finito se define la DIMENSIÓN como el cardinal de una cualquiera de sus bases.

Por ejemplo:

dim(Kn)=n; dim(Mnxm(K))=nxm; dim(Kn[t])=n+1

OBSERVACIÓN: Por convenio dim({
})=0

PROPIEDADES: Si V es un Kev de tipo finito, W1, W2 Sev de V:

1)dim(W1)"dim(V)

2)dim(W1)=dim(V)!v=W1

3)W1={
}!dim(W1)=0

4)dim(W1+W2)=dim(W1)+dim(W2)-dim(W1"W2)

5)Sea n=dim(V) {u1,...,un}li!{u1,...,un}es base

DEFINICIÓN: Sea V u Kev, W1,W2 Sev de V, tales que W1+W2=V y W1"W2={
}. Entonces se dice que V es suma directa de W1+W2, y se representa por: V=W1"W2. Se dice que W1 es el Sev complementario de W2.

• MÉTODOS PARA EL CÁLCULO:

CÁLCULO DE UNA B A PARTIR DE UN SG: Se toman los vectores del sistema generador y se forman una matriz con sus coordenadas en la base canónica. Se triángula dicha matriz, quedando una matriz triángular inferior nula, y otra superior no nula. Los elementos de dicha matriz superior no nula son las coordenadas en la Bc de los vectores de la base.

CÁLCULO DE LA INDEPENDENCIA LINEAL: Se realiza el paso anterior. Si no hay filas nulas(rango máximo) el conjunto es linealmente independiente. Si una fila se anula, es porque el vector del que procedía es ld.

CÁLCULO DE ECUACIÓN, DIMENSIONES Y BASE: Trabajamos en una base, generalmente la canónica.

Al hallar el rango de la matriz, se ha de triángular, quedando en la última fila unas expresiones en función de las componentes del vector, que hay que igualar a cero(rango no máximo). Esas expresiones son las implicitas.

Conviene recordar, por su utilidad a la hora de comprobar que:

dim(W)=Nºecuaciones-Nºincognitas.

Para su aplicación veanse los ejemplos de la hoja de ejercicios.