ECUACIONES IMPLICITAS

A.-DOS PLANOS

"
Ax+By+Cz+D=0

"'
A'x+B'y+C'z+D'=0

Ambas ecuaciones forman un sistema que podemos analizar a partir del Teorema de Rouchè.

a) h=h'=2<n Sistema compatible indeterminado , infinitas soluciones , existen infinitos puntos en común luego los planos se cortan en una recta.

b) h=1 h'=2 Sistema incompatible. No tiene solución. No hay puntos en común. Los planos son paralelos.

Condición de paralelismo
=
=

c)h=h'=1<n Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Planos coincidentes.

B.-TRES PLANOS

"
Ax+By+Cz+D=0

"'
A'x+B'y+C'z+D'=0

"''
A''x+B''y+C''z+D''=0

a) h=h'=3=n Sistema compatible determinado. Única solución. Se cortan en un punto.

b)h=2 h'=3 Sistema incompatible. No tiene puntos en común. Los planos se cortan 2 a 2 formando un prisma triangular, o bien 2 son paralelos y el tercero les corta.

c)h=h'=2 <n Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones . Luego se cortan en una recta.

d) h=1 h'=2 Sistema incompatible. No tiene solución. Los tres planos son paralelos.

e) h=h'=1<n Sisatema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Los planos son coincidentes.

C.-RECTA Y PLANO

"
Ax+By+Cz+D=0

r

a)h=h'=3=n Sistema compatible determinado. Solución única. Se cortan en un punto.

b)h=2 h'=3 Sistema incompatible. No tiene solución. Luego la recta es perpendicular al plano.

c)h=h'=2<n Sistema compatible indeterminado. Infinitas soluciones. Larecta esta contenida en el plano.

D.-DOS RECTAS

r

r

a)h=3 h'=4 Sistema incompatible. No hay solución. Las rectas se cruzan.

b)h=h'=3=n Sistema compatible determinado. Solución unica. Un solo punto en común. Se cortan.

c)h=2 h'=3 Sistema incompatible. No hay puntos en común. Estan en el mismo plano. Luego son paralelas.

d)h=h'=2<n Sistema compatible indeterminado. Infinitos puntos en comun. Las rectas son coincidentes.

ECUACIONES VECTORIALES

A.-DOS PLANOS:

"

"

Formamos la matriz con los cuatro vectores directores y analizamos el rango.

a) r[v,w,v',w']=3 Los planos se cortan en una recta.

b) r[v,w,v',w']=2

b.1)r[a-a1,v,w]=3 Los planos son paralelos.

b.2) r[a-a1,v,w]=2 Los planos son coincidentes.

B.-RECTA Y PLANO

"

r

a) r [u,v,w]=3 Se cortan

b) r [u,v,w]=2

b.1) r[a-a1,v,w]=3 La recta y el plano son paralelos.

b.2) r[a-a1,v,w]=2 La recta esta incluida en el plano.

C.-DOS RECTAS

r

r

a) r[u,u']=2 Tienen dos posibilidades (cortarse o cruzarse)

a.1) r[ a-a',u,u'] = 3 Se cruzan.

a.2) r[a-a',u,u'] = 2 Se cortan.

b) r [u,u']=1 Otras 2 posibilidades.

b.1) r[a-a',u] = 2 Las rectas son paralelas.

b.2) r[a-a',u] = 1 Las rectas son coincidentes.

ÁNGULOS

A.-FORMADO POR DOS RECTAS

r

r

B.-FORMADO POR DOS PLANOS

"
Ax+By+Cz+D=0

"'
A'x+B'y+C'z+D'=0

C.-ANGULO ENTRE RECTA Y PLANO

r

"
Ax+By+Cz+D=0

DISTANCIAS

A.-ENTRE DOS PUNTOS

d(AB) =

B.-ENTRE UN PUNTO Y UN PLANO

d(P,")=

C.-ENTRE DOS PLANOS

d(","')=

D.-DE UN PUNTO A UNA RECTA

d(P,r) =

E ENTRE DOS RECTAS

d(r,r')=