TEMA DESARROLLADO: LA ELIPSE.

INTRODUCCIÓN

LA ELIPSE.

Definición: Una elipse es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre igual a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.

Los dos puntos fijos se llaman focos de la elipse. La definición excluye el caso en que el punto móvil esté sobre el segmento que une los focos.

Designemos por F y F´ (fig. 1) los focos de una elipse. La recta l que pasa por los focos tiene varios nombres; veremos que es conveniente introducir el término de eje focal para designar esta recta. El eje focal corta a la elipse en dos puntos, v y v´, llamados vértices

La porción del eje focal comprendida entre los vértices, el segmento vv´ , se llama eje mayor. El punto C del eje focal, punto medio del segmento que une los focos, se llama centro. La recta l´ que pasa por C y es perpendicular al eje focal l tiene varios nombres; encontraremos conveniente introducir el término eje normal para designarla. El eje normal l´ corta a la elipse en dos puntos, A y A´ , y el segmento AA´ se llama eje menor. Un segmento tal como BB´ que une dos puntos diferentes cualesquiera de la elipse, se llama cuerda. En particular, una cuerda que pasa por uno de los focos, tal como EE´, se llama cuerda focal. Una cuerda focal, tal como LL´ perpendicular al eje focal l se llama lado recto. Evidentemente como la elipse tiene dos focos, tiene también dos lados rectos. Una cuerda que pasa por C, tal como DD´, se llama diámetro. Si P es un punto cualquiera de la elipse, los segmentos FP y F´P que unen los focos con el punto P se llaman radios vectores.

Ecuación de la Elipse de centro el origen y ejes de coordenadas los ejes de la Elipse.

Consideremos la elipse de centro en el origen y cuyo eje focal coincide con el eje X (fig. 2). Los focos F y F´ están sobre el eje X. Como el centro O es el punto medio del segmento FF´ las coordenadas de F y F´ serán, por ejemplo, (c,0) y (-c,0), respectivamente, siendo c una constante positiva. Sea P(x,y) un punto cualquiera de la elipse. Por la definición de la curva, el punto P debe satisfacer la condición geométrica

(1)

En donde a es una constante positiva y mayor que c.

Por el teorema de la distancia d entre dos puntos, tenemos

=
,
=
, de manera que la condición geométrica (1) está expresada analíticamente por la ecuación

+
= 2a (2).

Para simplificar la ecuación (2), pasamos el segundo radical al segundo miembro, elevamos al cuadrado, simplificamos y agrupamos los términos semejantes. Esto nos da

cx+a2 = a

Elevando al cuadrado nuevamente obtenemos

de donde,

(3)

Como 2a >2c es a2>c2 y
-c2 es un número positivo que puede ser reemplazado por el número positivo b2, es decir,

b2=
- c2 (4)

Si en (3) reemplazamos
- c2 por b2 obtenemos,

b2x2+a2y2= a2b2

y dividimos por a2b2 , se obtiene, finalmente,

(5)

Ahora discutiremos la ecuación (5). Por ser a y -a las intercepciones con el eje X, las coordenadas de los vértices V y V´ son (a, 0) y (-a, 0) respectivamente, y la longitud del eje mayor es igual a 2a, la constante que se menciona en la definición de la elipse. Las intercepciones con el eje Y son b y - b por tanto, las coordenadas de los extremos A y A´ del eje menor son (0, b) y (0, - b) respectivamente la longitud del eje menor es igual a 2b.

Por la ecuación (5) vemos que la elipse es simétrica con respecto a ambos ejes coordenados y al origen.

Si de la ecuación (5) despejamos y, obtenemos

(7)

Luego, se obtienen valores reales de y solamente para valores de x del intervalo

(8)

Si de la ecuación (5) despejamos x, obtenemos ,

De manera que se obtienen valores reales de x solamente para valores de y dentro del intervalo
(9).

De (8) y (9) se deduce que la elipse está limitada por el rectángulo cuyos lados son las rectas
y
. Por tanto la elipse es una curva cerrada.

La abscisa del foco F es c (figura 2). Si en (7) sustituimos x por este valor se obtiene las ordenadas correspondientes que son

de donde por (4) resulta

Por tanto la longitud del lado recto para el foco F
, y de forma análoga la longitud del lado recto para el foco F´ es
.

Un elemento importante de una elipse es su excentricidad que se define como la razón
y se representa por la letra e , de (4) tenemos que
(10).

Y como c<a, la excentricidad de una elipse es menor que la unidad.

Hasta aquí hemos considerado el caso en que el centro de la elipse es el origen y su eje focal coincide con el eje X. Si consideramos el caso en que el centro de la elipse es el origen, pero su eje focal coincide con el eje Y, las coordenadas de los focos son entonces F(0,c) y F´(0,-c). Luego por el mismo procedimiento empleado para deducir la ecuación (5) hallamos que la ecuación de la elipse es

(11)

Veamos la siguiente que resume los resultados obtenidos hasta este momento.

Además podemos resumir todos estos resultados en el siguiente

TEOREMA1.

La ecuación de una elipse de centro en el origen, eje focal el eje X, distancia focal igual a 2c y cantidad constante igual a 2a es

Si el eje focal de la elipse coincide con el eje Y, de manera que las coordenadas de los focos sean F (0,c) y F´(0,-c) la ecuación de la elipse es

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b la del eje menor y a, b, c están ligados por la relación a2= b2+c2.

También, para cada elipse, la longitud de cada lado recto es
, y la excentricidad e está dada por la fórmula e

NOTA: Si reducimos la ecuación de una elipse a su forma canónica, podemos determinar fácilmente su posición relativa a los ejes coordenados comparando los denominadores de los términos x2 y y2. El denominador mayor está asociado a la variable correspondiente al eje coordenado con el cual coincide el eje mayor de la elipse.

Veamos algunos ejemplos.

1. Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2+4y2=36 y trazar su gráfica.

Solución

Debemos proceder de la siguiente forma:

Dividir toda la ecuación por 36

Lo que resulta,
que tiene la forma

Donde el eje mayor es el eje vertical.

Donde b2=4 o bien b=2 y a2=9 o bien a=3.

De esta forma obtenemos los vértices que son V(0,3) y V´(0,-3)

Puesto que c2= b2- a2 entonces c=

Luego los focos están en el eje Y y sus coordenadas son F (0,
) y F´(0,-
) y la gráfica correspondiente es la

2. Encuentre la ecuación de una elipse con vértices V(5,0) y V(-5,0) y focos F(2,0) y F´(-2,0). Trace la gráfica.

Solución

Al ubicar las coordenadas de los vértices y de los focos vemos que estos están en el eje de las X por tanto el eje mayor es el eje X que también podemos decir que es el eje focal.

De donde tenemos que a=5 y c=2 y luego b2=25-4=21 y así b=

Por tanto la ecuación de la elipse tiene la forma

Sustituyendo los valores de a y b tenemos que la ecuación que estamos buscando es

Y la gráfica es

Ecuación de la elipse de centro (h,k) y ejes paralelos a los ejes coordenados

Consideremos, la elipse cuyo centro está en el punto (h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje X tal como se indica en la figura 3

Sean 2a y 2b las longitudes de los ejes mayor y menor respectivamente. Si los ejes coordenados son trasladados d3e manera que el nuevo origen O´ coincida con el centro (h,k) de la elipse, del teorema 1 tenemos que la ecuación de la elipse con referencia a los nuevos ejes X´ y Y´ está dada por

(a).

De la ecuación (a) puede deducirse la ecuación de la elipse referida a los eje originales X y Y usando las ecuaciones de transformación

x=x´+h y=y´+k.

Traslación de coordenadas

Si se trasladan los ejes coordenados a un nuevo origen O´(h,k), y si las coordenadas de cualquier punto P antes y después de la traslación son (x,y) y (x´,y´), respectivamente, las ecuaciones de transformación del sistema primitivo al nuevo sistema de coordenadas son x=x´+h y y=y´+k.

De donde x´=x-h y y´=y-k.

Si sustituimos los valores de x´ y y´ en la ecuación (a) obtenemos

(b)

Que es la ecuación de la elipse referida a los eje originales X y Y.

De forma similar, podemos demostrar que la elipse cuyo centro es el punto C(h,k) y cuyo eje focal es paralelo al eje Y tiene por ecuación

(c)

Las ecuaciones (b) y (c) se llaman la segunda ecuación ordinaria de la elipse.

Estos resultados junto con el teorema 1 nos conducen al siguiente:

Teorema:

La ecuación de la elipse de centro el punto C(h,k) y eje focal paralelo al eje X está dada por la segunda forma ordinaria,

Si el eje focal es paralelo al eje Y su ecuación está determinada por la segunda forma ordinaria

Para cada elipse, 2a es la longitud del eje mayor, 2b es la del eje menor, c es la distancia del centro a cada foco y a, b, c están ligados por la relación a2=b2+c2.

También para cada elipse, la longitud de cada uno de sus lados rectos es y la excentricidad está dada por la relación

e

Ejemplo

Los vértices de una elipse tienen por coordenadas V(-3,7) y V´(-3,-1), y la longitud de cada lado recto es 2. Hallar la ecuación de la elipse, las longitudes de sus ejes menor y mayor, las coordenadas de sus focos y su excentricidad.

Solución:

Como los vértices V y V´ están sobre el eje focal y sus abscisas son ambas (-3) (ver figura 4) se sigue que el eje focal es paralelo al eje Y. Por tanto, por teorema 2, la ecuación de la elipse es de la forma

El centro C es el punto medio del eje mayor VV´ y sus coordenadas son por lo tanto

C(-3,3). C=Pm

La longitud del eje mayor VV´ es 8

Por tanto, 2a=8 de donde a=4.

La longitud de cada lado recto es
=2 como a=4 se sigue que 2b2=8 , luego b2=4 por tanto b=2.

Y la longitud del eje menor es 4.

Luego la ecuación de la elipse es

También, c2=a2-b2=16-a=12, de donde c=
por tanto las coordenadas de los focos son F(-3, 3+
) y

F´(-3, 3-
)

Y la excentricidad e

Propiedades de la elipse.

La tangente a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 en cualquier punto P1(x1,y1) de la curva tiene por ecuación b2x1x+a2y1y=a2b2

Las ecuaciones de las tangentes de pendiente m a la elipse b2x2+a2y2=a2b2 son y.

La normal a una elipse en uno cualquiera de sus puntos es bisectriz del ángulo formado por los radios vectores de ese punto.

Consideremos ahora la ecuación de la elipse en la forma

(2)

Si quitamos denominadores, desarrollamos, trasponemos y ordenamos términos obtenemos

(4).

La cual puede escribirse en la forma Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 (5)

En donde A=b2, C=a2, D=-2b2h, E=-2a2k y F=
. Evidentemente, los coeficientes A y C deben ser del mismo signo.

Recíprocamente, consideremos una ecuación de la forma (5) y reduzcámosla a la forma ordinaria (2) completando cuadrados. Obtenemos

(6)

Sea M
. Si M"0, la ecuación (6) puede escribirse en la forma

(7)

Que es la ecuación ordinaria de la elipse. Como A y B deben concordar en signo, podemos suponer, sin perder generalidad, que son ambos positivos. Por lo tanto, si (5) representa una elipse, la ecuación (7) demuestra que M debe ser positivo. El denominador
de M es positivo; por tanto el signo de M depende del signo del numerador
, al que designaremos por N. De acuerdo con esto, comparando las ecuaciones (6) y (7), vemos que si N>0, (5) representa una elipse; de (6), si N=0, (5) representa el punto único , llamado usualmente una elipse punto, y si N<0, la ecuación (6) muestra que (5) no representa ningún lugar geométrico real.

Una discusión semejante se aplica a la otra forma de la segunda ecuación ordinaria de la elipse. Luego tenemos el siguiente:

Teorema3

Si los coeficientes A y C son del mismo signo, la ecuación Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0 representa una elipse de ejes paralelos a los coordenados, o bien un punto, o no representa ningún lugar geométrico real.

Ejemplo

Hallar los elementos de la elipse 25x2+16y2-50x+64y-311=0

Solución: Empezamos reduciendo la ecuación dada a la segunda forma ordinaria de la ecuación de la elipse, esto es:

Como el denominador de la segunda fracción es mayor que el de la primera, entonces el eje mayor de la elipse es vertical o bien paralelo al eje Y de donde a2=25 y b2=16, luego a=5 y b=4.

Además c2=25-16=9, de donde c=3.

Por tanto:

Vértices: B(5, -2); B´(-3,-2); V(1, 3); V´(1, -7).

Focos: F(1,1); F´(1, -5).

Luego su gráfica es

Ejercicios propuestos

Encuentre los vértices y los focos para la elipse 9x2 +3y2=27

Encuentre una ecuación de la elipse con focos (0,±
) tal que la longitud del eje mayor es 12.

3) Encuentre los focos y los vértices de la elipse

4x2+16y2-96y+84=0

4) Encuentre una ecuación de la elipse con centro (2,-1) de eje

Mayor Vertical de longitud 6 y eje menor de longitud 3

5) Encuentre el centro, los focos y los vértices para la elipse

x2+

6) Encuentre la ecuación de la elipse con vértices V (5, 0) y

V´(-5, 0) y focos F(3, 0) y F´(-3, 0)

7) Encuentre la ecuación de la elipse con F(0,3); F´(0,-3) y que

pasa por el punto

8) Encuentre la ecuación de la elipse con centro C(1, 3), un foco

F (1,9) y un vértice V(1, -1)

Respuestas

V(0, 3); V´(0, -3); B(; B´(-; F(0, ; F´(0,- ;

La expresión es la ecuación en la segunda forma ordinaria, de donde fácilmente vemos que los vértices son: V(5, 3); V´(-3, 3); B(1, 5); B´(1, 1); y los focos son F(1+ y F´(1-2
, 3).

o bien

C(0, 0); F(0, ; F´(0, -
; V(0, 4); V´(0, -4); B(1, 0);

B´(-1, 0)

BIBLIOGRAFÍA

Álgebra y Trigonometría, segunda edición. ZILL Y DEWAR.

Geometría Analítica, tercera edición. CHARLES LEHMANN.