Introducción

Las leyes que gobiernan los fenómenos de la naturaleza se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales. Las ecuaciones del movimiento de los cuerpos (la segunda ley de Newton) es una ecuación diferencial de segundo orden, como lo es la ecuación que describe los sistemas oscilantes, la propagación de las ondas, la transmisión del calor, la difusión, el movimiento de partículas subatómicas, etc.

Pocas ecuaciones diferenciales tienen una solución analítica sencilla, la mayor parte de las veces es necesario realizar aproximaciones, estudiar el comportamiento del sistema bajo ciertas condiciones. Así, en un sistema tan simple como un péndulo, la amplitud de la oscilación ha de ser pequeña y el rozamiento ha de ser despreciable, para obtener una solución sencilla que describa aproximadamente su movimiento periódico.

ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA DE PRIMER ORDEN

Sea la ecuación diferencial ordinaria de orden n, que típicamente es de la forma:

En que
es una función de n+2 variables definida en una región

Ahora, considérese el caso en que n = 1. Luego, se tiene la ecuación diferencial de primer orden, del tipo:

Que se puede expresar explícitamente como sigue:

Luego, el problema de hallar en un intervalo
una función diferenciable
, tal que
, se cumpla:

1.-

2.-

Es llamado ecuación diferencial ordinaria de orden I, el cual se denota por:

Y' = f(x,y)

Luego, si tal función
existe, y se verifican las condiciones 1 y 2 en I, entonces
es llamada una solución de (*)

Ecuación diferencial exacta

En matemáticas, una ecuación diferencial exacta es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden que presenta la forma:

En donde las derivadas parciales de las funciones M y N: y

Son iguales. Esto es equivalente a decir que existe una función F(x,y)=0 tal que

Donde y

Dado que F(x,y) es una función diferenciable entonces las derivadas cruzadas deben ser

Iguales y esta es la condición.

Método de resolución

Para resolver una ecuación diferencial de este tipo, se ha de seguir los siguientes pasos:

• Comprobar la exactitud de la ecuación, esto es, verificar si las derivadas parciales de M (con respecto a y) y de N (con respecto a x) son iguales.

• Se integra M o N a conveniencia (M respecto a x o N respecto a y) obteniéndose de este modo la solución general de la ecuación aunque con una función incógnita g que aparece como constante de integración. Esto es:

• Para despejar la función g se deriva
  con respecto a la variable independiente de g.

• Se iguala g' con M o N (si se integró M se iguala a N y viceversa.), despejando y luego integrando con respecto a la variable dependiente de g; de este modo se encontrará la función g.

• Finalmente se reemplaza el g encontrado en la solución general
  .

Factor integrante

Si una ecuación diferencial no es exacta, pudiera llegar a serlo si se la multiplica por una función especial
llamada factor integrante, tal que:

Sea exacta.

Cabe destacar que sólo algunas ecuaciones diferenciales poseen un factor integrante, de tenerlo puede que pertenezca a alguno de los siguientes casos:

Factor integrante solo en función de x

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a x (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Factor integrante solo en función de y

Si la ecuación diferencial posee un factor integrante respecto a y (es decir,
), entonces se puede encontrar por medio de la fórmula siguiente:

Cabe mencionar que:

Teorema de existencia y unicidad

Considérese la ecuación diferencial
, donde la función
está definida en un rectángulo o región R del plano XY, que contiene al punto
. Luego, si la función
satisface que:

• 
  es continua en las dos variables
  

Admite derivadas parciales continuas en

las variables
respectivamente.

Entonces, existe una y solamente una solución

de la ecuación diferencial que satisface la condición inicial

Variables separables

Se dice que una ecuación diferencial se puede separar si es posible escribir la ecuación en la forma

El factor integrante
, es decir, si multiplicamos esta expresión por esta cantidad tendremos

lo cual resulta fácil de integrar siendo
 una función de la variable x y
una función de y, sin embargo, para la obtención de la solución es importante considerar si las funciones son integrables.

Ejemplo

1.- Encontremos la solución de la ecuación diferencial

Solución:

Despejando tenemos:

Integrando:

Despejando

 

 

Resultado:

 

ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1er ORDEN

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

donde P(x) y Q(x) son funciones reales, se llama ecuación diferencial lineal.

Teorema:

La solución general de la ecuación diferencial de primer orden

(1.1)

está dada por

Demostración:
Reescribiendo la ecuación (1.1) como

podemos comprobar que
es un factor integrante. Multiplicando la ecuación (1.1) por este factor tenemos que

de donde

e integrando con respecto a

como se quería.

Ejemplo:

 
Resolver la ecuación

Reescribiendo la ecuación tenemos

El factor integrante está dado por

Con lo cual la solución está dada por

Y obtenemos que,

Operador Diferencial Lineal de 1er Orden

En cálculo la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula, esto es, dy/dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función; por ejemplo, D(cos4x) = -4 sen4x y D(5x3 - 6x2) = 15x2 - 12x.

Toda ecuación diferencial lineal se puede expresar en notación D; por ejemplo, la ecuación diferencial y'' + 5y' + 6y = 5x - 3 se puede escribir en la forma D2y + 5Dy + 6y = 5x - 3 o como (D2 + 5D + 6)y = 5x - 3.

Ecuación de Bernoulli

Una ecuación diferencial de primer orden que puede escribirse en la forma

donde P(x) y Q(x) son funciones reales y continuas en un intervalo [a,b] y
es una constante real diferente de
y
se conoce como ecuación de Bernoulli (1.2).

Teorema:

La ecuación de Bernoulli

(1.2.1)

se reduce a una ecuación lineal de primer orden haciendo la sustitución u = y1 - n.

Demostración:

Al dividir la ecuación 1.2.1 por yn, resulta

(1.2.2)

Usando la regla de la cadena, calculemos y' a partir de la sustitución u = y1 - n

Sustituyendo en la ecuación 1.2.2, esta se transforma en

la cual es una ecuación diferencial lineal de primer orden, como se quería.

Ejemplo:

Resuelva la ecuación

Ésta es una ecuación de Bernoulli con n = 3, P(x) = -5 y Q(x) = -5x/2. Para resolverla primero dividamos por y3

Ahora efectuemos la transformación u = y -2. Puesto que du/dx = -2ydy/dx, la ecuación se transforma en

Simplificando obtenemos la ecuación lineal

Cuya solución es

y al sustituir u = y -2 se obtiene la solución de la ecuación original

Ecuación de Clairaut

Una ecuación diferencial de primer orden f(x,y,y') = 0 que puede escribirse en la forma

se conoce como ecuación de Clairaut . Donde g(x) es una función continuamente diferenciable.

El interés que presenta este tipo de ecuación se debe al hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut.

Teorema

La ecuación de Clairaut

(1.3)

donde f(x) es una función derivable, tiene como solución general y = cx + f(c) y como solución singular

Demostración

Para resolver la ecuación (1.3) hacemos la sustitución u = y' para obtener

(1.3.1)

Derivando ambos lados respecto a x

de donde obtenemos que

Surgen dos casos:

Caso1:
Si u' = 0, entonces u = c y sustituyendo en la ecuación (1.3.1) obtenemos la solución general

.

Observe que la solución general se obtiene simplemente sustituyendo en la ecuación (1.3) y' por c.

Caso2:
Si x + f'(u) = 0, entonces x = -f'(u) y sustituyendo en la ecuación (1.3.1) y = -uf'(u) + f(u), es decir

Estas son las ecuaciones paramétricas de una curva donde u es el parámetro.

Ejemplo:
Resuelva la ecuación diferencial

La solución general es la familia de rectas

y como

la solución singular está dada por

Observe que estas son las ecuaciones paramétricas de una círculo de radio 2, x2 + y2 = 4. En la figura se muestra la familia de rectas tangentes

y la envolvente

.

Ecuacion de Riccati

La ecuación diferencial dy/dx=P(x) +Q(x)y + R(x)y2 es llamada ecuación de Riccati

Una ecuación de Riccati se puede resolver con dos sustituciones consecutivas, siempre y cuando se conozca la ecuación particular, y1, de la ecuación. Primero se emplea la sustitución. Primero se emplea la sustitución y=y1 + u, y luego se discute como continuar

Se halla la familia monoparametrica de soluciones de la ecuación diferencial

2

Operadores diferenciales

En cálculo la diferenciación suele identificarse con la D mayúscula; esto es, dy/dx=Dy. El símbolo D se llama operador diferencial por que transforma una función diferencial en otra función; por ejemplo, D ( Cos4x)= -4sen 4x y D(5x3 - 6x2)= 15x2 - 12x. las derivadas de orden superior se pueden expresar en términos de D en forma naturas:

= D(Dy)= D2 y en general
= Dny.

En donde y representa una función suficientemente diferenciable. Las expresiones poligonales donde interviene D, como D +3, D2 - 4 y 5x3 D3 - 6x2 D2 + 4xD + 9 también son operadores diferenciales. En general, el operador diferencial de orden n se define:

L= an(x)Dn + an-1(x)Dn-1 + . . . + a1(x)D + a0(x).

Solución general de la ecuación homogénea

Sean y1,y2, . . ., yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, entonces la solución general de la ecuación en el intervalo es:

Y = CiY1(X)+C2Y2(X)+…+ Cn Yn(X),

Donde Ci, i= 1,2…, n son constantes arbitrarias.

Ecuación Característica:

Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden.

Ay´´ + by´´ +cy = 0.

Si probamos con una solución de la forma y =
, entonces, después de sustituir y´´ = m
y Y´´ = m2
la ecuación se tranforma en:

am2
+ bm
+ c
= o sea
(am2+bm +c)=0.

Como
nunca es cero cuando x tiene el valor real, la única forma en que la función exponencial satisfaga la ecuación diferencial es cuando se elige una m como una raíz de la ecuación cuadrática.

Am2+ bm + c+=0.

Esta ecuación se llama ecuación característica de la diferencial. Como las dos raíces de la ecuación son m1 y m2= , habrá tres formas de solución general de la ecuación. Que corresponden a los tres casos siguientes:

• M1 y m2 reales y distintos (b2 - 4ac > 0).

• M1 y m2 reales e iguales (b2 - 4ac = 0).

• M1 y m2 números complejos conjugados (b2 - 4ac < 0).

Cada uno de estos casos se discuten a continuación.

Caso 1. Raíces ralaes distintas:

Si la ecuación tiene dos raíces reales distintas, m1 y m2, llegamos a dos soluciones, Y1=
y Y2=
. Estas funciones son linealmente independientes en (-∞) y en consecuencia, forman un conjunto fundamental. Entonces, la solución general de ecuación en ese intervalo es:

Y = c12 .

Caso 2. Raíces reales repetidas:

Cuando m1 = m2 llegamos, necesariamente, solo a una solución exponencial, y1 = según la formula cuadrática, m1= -b/2ª porque la única forma de que m1 =m2 es que b2-4ac =0. Asi de la ecuación en una segunda solución de la ecuación es:

Y2 = =

= x

en esta ecuación aprovechamos que -b/a=2m1. La solución la solución general es consecuencia.

Y=C1em1x + C2xemix

Caso III. Raices complejas conjugadas.

Si m1 y m2 son complejas, podremos escribir m1 = α + iβ y m2 = α + β > 0 son reales, e i2 =-1, no hay diferencial formal entre este caso y el casi I: por ello,

Y = Cie(a+b)x + C2e(a+b)x

Sin embargo, en la practica se prefiere trabajar con funciones reales y no con exponenciales coplejas. Con este objeto se usa la formula de euler:

= cos ѳ + i sen ѳ,

En que ѳ es un número real. La consecuencia de esta formula es que :

= cos βx + i sen βx y cos βx + i sen βx - i sen βx.

En donde hemos empleado cos (-β) = -sen βx. Observe que si primero sumamos y después restamos las dos ecuaciones, obtenemos dos soluciones:

Y1 = ѳ(α+iβ)x + ѳ(α+iβ)x y Y2= ѳ(α+iβ)x - ѳ(α+iβ)x,

Como Y= C1e(α+iβ)x es una solución de la solución de la ecuación para cualquier elección de las constantes C1= C2= 1 y C1=1 , C2= -1

Obtendremos dos soluciones:

Y1 = Y1 = ѳ(α+iβ)x + ѳ(α+iβ)x y Y2= ѳ(α+iβ)x - ѳ(α+iβ)x,

+ ѳ(α+iβ)x y Y2= ѳ(α+iβ)x - ѳ(α+iβ)x,

y1 = eax(eibx  + e-ibx) = 2eax  cos βx

y2 = eax(e¡bx - e-¡bx) = 2¡eax sen βx.

los dos Ultimos resultados demuestran que las funciones reales eax cos bx y eax sen bx son soluciones de la ecuación (2). Además, esas soluciones forman un conjunto fundamental en (-∞, ∞); por lo tanto, la solución general es

y = c1eax  cos βx + c2eax  sen βx = eax (c1 cos βx  + c2 sen βx).

ECUACIONES NO HOMOGÉNEAS: EL MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

Usaremos una “estimación juiciosa” y deduciremos un procedimiento sencillo para determinar una solución de una ecuación lineal no homogénea con coeficientes constantes

ay'' + by' + cy = f(t) ,

donde la no homogeneidad f(t) es un único término de un tipo especial. Nuestra experiencia indica que en (1) tendrá una infinidad de soluciones. Por el momento nos conformaremos con obtener una solución particular. Para motivar el procedimiento, veremos un ejemplo ilustrativo.

Ejemplo

Determinar una solución particular de

y'' + 3y' + 2y = 3t .

Solución

Necesitamos hallar una función y(t) tal que la combinación y'' + 3y' + 2y sea una función lineal de t, a saber, 3t. ¿Qué tipo de función y “termina” como una función lineal después de combinar sus derivadas de orden cero, uno y dos? Una respuesta inmediata esotra función lineal, así que hacemos la prueba con y1(t) = At y trataremos de hacer corresponder y''1 + 3y'1 + 2y1 con 3t.

Tal vez se habrá notado por qué esto no funciona: y1 = At, y1' = A y y1'' = 0 implica que

y''1 + 3y'1 + 2y1 = 3A+ 2At,

y para que esto sea igual a 3t, necesitamos que A = 0 y que A = 3/2. Tendríamos mejor suerte si agregamos un término constante a la función de prueba: y2(t) = At + B. Entonces y'2 = A, y''2 = 0 y

y''2 + 3y'2 + 2y2 = 3A + 2(At + B) = 2At + (3A+ 2B),

lo que concuerda exitosamente con 3t si 2A = 3 y 3A + 2B = 0. Al resolver este sistema tenemos que A = 3/2 y B = -9/4. Así la función

y2(t) = 3/2t - 9/4

es una solución de (2).

El ejemplo sugiere el método siguiente para determinar una solución particular de la ecuación

ay'' + by' + cy = Ctm, m = 0, 1, 2, …;

a saber proponemos una solución de la forma

yp(t) = Amtm + … + A1t + A0;

con coeficientes indeterminados Aj, y hacemos corresponder las potencias de t en ay'' + by' + cy con Ctm.† Este procedimiento implica resolver m + 1 ecuaciones lineales con m + 1 incógnitas A0, A1,…,Am con la esperanza de que tengan solución. La técnica se llama el método de coeficientes indeterminados. Como lo muestra el ejemplo, debemos conservar todas las potencias tm, tm-1,…, t1, t0 de la solución de prueba, aunque no estén presentes en la no homogeneidad f(t).

EL PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN Y REVISIÓN DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS

El siguiente teorema describe el principio de superposición, una observación sencilla que sin embargo, dota al conjunto solución de nuestras ecuaciones de una estructura poderosa.

Extiende la aplicabilidad del método de coeficientes indeterminados y nos permite resolver problemas con valores iniciales para ecuaciones diferenciales no homogéneas.

Principio de Superposición

Teorema

Sea y1 una solución de la ecuación diferencial

ay'' + by' + cy = f1(t),

y sea y2 una solución de

ay'' + by' + cy = f2(t),

Entonces, para cualesquiera constantes c1 y c2, la función c1y1 + c2y2 es una solución de la ecuación diferencial

ay'' + by' + cy = c1f1(t) + c2f2(t)

Demostración

Esto es directo; al sustituir y reordenar tenemos que

a(c1y1 + c2y2)'' + b(c1y1 + c2y2)' + c(c1y1 + c2y2)

= c1(ay''1 + by'1 + cy1) + c2(ay''2 + by'2 + cy2)

= c1f1(t) + c2f2(t).

EJEMPLO

Determinar una solución particular de

y'' + 3y' + 2y = 3t + 10е3t y

y'' + 3y' + 2y = -9t + 20е3t

Solución

En el ejemplo anterior vimos que y1(t) = 3t/2 - 9/4 era una solución de y'' + 3y' + 2y = 3t.

Así por superposición, y1 + y2 = 3t/2 - 9/4 + е3t/2 resuelve la ecuación (1).

El lado derecho de (2) es igual a menos tres veces (3t) más dos veces (10е3t). Por tanto, esta misma combinación de y1 y y2 resuelve (2):

y(t) = -3y1 + 2y2 = -3(3t/2 - 9/4) + 2(е3t/2) = -9t/2 + 2/4 + е3t.

Si consideramos una solución particular yp de una ecuación no homogénea como

ay'' + by' +cy = f(t)

y le agregamos a una solución general c1y1 + c2y2 de la ecuación homogénea asociada a (3),

ay'' + by' + cy = 0,

la suma

y(t) = yp(t) + c1y1(t) + c2y2(t)

es, de acuerdo con el principio de superposición, de nuevo una solución de (3):

a(yp + c1y1 + c2y2)'' + b(yp + c1y1 + c2y2)' + c(yp + c1y1 + c2y2)

= f(t) + 0 + 0 = f(t).

Como (5) contiene dos parámetros, es de esperar que sea posible elegir c1 y c2 para que satisfagan condiciones iniciales arbitrarias. Es fácil verificar que esto ocurra.

EXISTENCIA Y UNICIDAD: CASO NO HOMOGÉNEO

TEOREMA

Para cualesquiera números reales a, b, c, t0, Yo y Y1, supóngase yp(t) es una solución particular de (3) en un intervalo I que contiene a to y que y1(t) y y2(t) son soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea asociada (4) en I. Entonces existe una única solución en I al problema con valores iniciales

ay'' + by' + cy = f(t), y(to) = yo, y'(to) = y1,

y está dada por (5), para la elección adecuada de las constantes c1, c2,

Demostración

Ya hemos visto que el principio de superposición implica que (5) resuelve la ecuación diferencial. Para satisfacer las condiciones iniciales en (6) debemos elegir las constantes de modo que

(7) yp(to) + c1y1(to) + c2y2(to) = yo,

y'p(to) + c1y'1(to) + c2y'2(to) = y1.

Un sencillo procedimiento algebraico muestra que la elección

c1 = [Yo - yp(to)]y'2(to) - [Y1 - y'p(to)]y2(to)

y1(to)y'2(to) - y'1(to)y2(to)

c2 = [y1 - y'p(to)]y1(to) - [Yo - yp(to)]y'1(to)

y1(to)y'2(to) - y'1(to)y2(to)

resuelve (7), a menos que el denominador sea cero, cosa que no ocurrirá.

¿Por qué es única la solución? Si y1(t) fuese otra solución de (6), entonces la diferencia yII(t) = yp(t) + c1y1(t) + c2y2(t) - y1(t) satisfaría

ay''II + by'II + cyII = f(t) - f(t) = 0,

yII(to) = Yo - Yo = 0, y'II(to) = Y1 - Y1 = 0.

Pero el problema con valores iniciales (8) admite la solución idénticamente nula, es homogénea. En consecuencia, (8) tiene solamente la solución idénticamente nula. Así, yII + 0 y y1 = yp + c1y1 + c2y2.

Estas deliberaciones nos llevan a decir que y = yp + c1y1 + c2y2 es una solución general de la ecuación de la ecuación no homogénea (3), ya que cualquier solución yg(t) se puede expresar de esta forma. (Demostración: simplemente elegimos c1 y c2 de modo que yp + c1y1 + c2y2 concuerde con el valor y la derivada de yg en cualquier punto; por unicidad, yp + c1y1 + c2y2 y yg deben ser la misma función

EJEMPLO

Dado que yp(t) = t² es una solución particular de

y'' - y = 2 - t²,

encontrar una solución general y una solución que satisfaga y(0) = 1, y'(0) = 0

Solución

La ecuación homogénea correspondiente

y'' - y = 0,

tiene la ecuación auxiliar asociada r² - 1 = 0. Como r = ± 1 son las raíces de esta ecuación, una solución general de la ecuación homogénea es c1еt + c2е-t. Al combinar esto con la solución general particular yp(t) = t² de la ecuación no homogénea, vemos que una solución general es

y(t) = t² + c1еt + c2е-t.

Para cumplir las condiciones iniciales, sea

y(0) = 0² + c1е0 + c2е-0 = 1,

y(0) = 2 x 0 + c1е0 - c2е-0 = 0,

lo que da c1 = c2 = ½. La respuesta es

y(t) = t² + ½(еt + е-t) = t² + cosht.

MÉTODO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS

Para determinar una solución particular de la ecuación diferencial

ay'' + by' + cy = Pm(t)еrt,

donde Pm(t) es un polinomio de grado m, usamos la forma

yp(t) = ts(Amtm + …+ A1t + A0)еrt;

si r no es raíz de la ecuación auxiliar asociada, hacemos s = 0; si r es una raíz simple de la ecuación auxiliar, hacemos s = 1; y si es una raíz doble de la ecuación auxiliar asociada, hacemos s = 2.

Para determinar una solución particular de la ecuación diferencial

ay'' + by' + cy = Pm(t)еαt sen βt,

donde Pm(t) es un polinomio de grado m y Qn(t) es un polinomio de grado n, usamos la forma

yp(t) = ts(Aktk + … + A1t + A0)еαt cos βt + ts(Bktk + … + B1t + B0)еαt sen βt,

donde k es el máximo de m y n. Si α + iβ es raíz de la ecuación auxiliar asociada, hacemos

s = 0; si α + iβ es raíz de la ecuación auxiliar asociada, hacemos s = 1.

EJEMPLO

Escriba la forma de una solución particular de la ecuación

y'' + 2y' + 2y = 5е-t sent + 5t³е-t cost.

Solución

Las raíces de la ecuación homogénea asociada y'' + 2y`+ 2y = 0 se calcularon en el ejemplo , como -1 ± i. La aplicación indica la forma

yp(t) = t(A3t³ + A2t² + A1t + A0)е-t cos t + t(B3t³ + B2t² + B1t + B0)е-t sen t.

El método de coeficientes indeterminados se aplica a las ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes.

MÉTODO DE VARIACIÓN DE LOS PARÁMETROS

Para determinar una solución particular de ay'' + by' + cy = g:

Se hallan dos soluciones linealmente independientes {y1(t), y2(t)} de la ecuación homogénea correspondiente y se considera

yp(t) = v1(t)y1(t) + v2(t)y2(t).

Se determinan v1(t) y v2(t) resolviendo el sistema en términos de v'1(t) y `2(t) y se integra.

Se sustituye v1(t) y v2(t) en la expresión para yp(t) y así obtener una solución particular.

EJEMPLO

Determinar una solución general en (-π/2, π/2) de

d²y + y= tan t

dt²

Observe que dos soluciones independientes de la ecuación homogénea y'' + y = 0 son cos t y sen t, Ahora hacemos

yp(y) = v1(t)cos t + v2(t)sen t

y, resolvemos el sistema

(cos t)v'1(t) + (sen t)v'2(t) = 0,

(-sen t)v'1(t) + (cos t)v'2(t) = tan t,

en términos de v'1(t) = -tan t sen t,

v'1(t) = -tan t sen t,

v'2(t) = tan t cos t = sen t.

Al integrar obtenemos

v1(t) = - ∫ tan t sen t dt = - ∫ sen² t dt

cos t

= - ∫ 1 - cos²t dt = ∫ (cos t - sec t) dt

cos t

= sen t - ln |sec t + tan t| + C1,

v2(t) = ∫ sen t dt = -cos t + C2.

Sólo necesitamos una solución particular, de modo que igualamos C1 y C2 para simplificar los cálculos. Luego, al sustituir v1(t) y v2(t) obtenemos

yp(t) = (sen t - ln|sec t + tan t|)cos t - cos t sen t,

lo que simplifica como

yp(t) = -(cos t) ln|sec t + tan t|.

Podemos eliminar los símbolos de valor absoluto porque

sec t + tan t = (1 + sen t)/ cos t >0 para -π/2 < t < π/2.

Recuerde que una solución general de una ecuación no homogénea está dada por la suma de una solución general de la ecuación homogénea y una solución particular. En consecuencia, una solución general de la ecuación en el intervalo (-π/2, π/2) es

y(t) = c1 cos t + c2 sen t - (cos t) ln (sec t + tan t).

Observe que en el ejemplo las constantes C1 y C2 que aparecen se igualaron a cero.

De retener estas constantes arbitrarias, el efecto final sería sumar C1 cos t + C2 sen t , lo que es claramente redundante.

Operadores “L”:

Como consecuencia de dos propiedades básicas de la diferenciación D(cf(x)) = cDf(x), donde c es una constante y D{f (x) + g(x)} = Df(x) + Dg(x), el operador diferencial L tiene una propiedad de linealidad; es decir L, operando sobre una combinación lineal de dos funciones diferenciables, es lo mismo que una combinación lineal de L operenado sobre las funciones individuales. En simbolos, esto significa que.

L(Αf(x) + βg(x)} = Αl (f(x)) + βL(g(x)),

Ecuación de Euler

Hay ecuaciones lineales con coeficientes variables que pueden transformarse, mediante cambio de variables, en ecuaciones con coeficientes constantes. Entre ellos están las ecuaciones de Euler o Cauchy-Euler.

En el caso homogéneo, de segundo orden, se trata de la ecuación :

(3)

donde a0, a1, a2 son constantes reales y a0 ≠ 0.

Se verifica :

“El cambio reduce la ecuación (3) a una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes”.

En efecto :

Suponiendo x > 0, se hace ó t = ln x.

Entonces :

Sustituyendo en (3) :

Es decir: (4)

ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes.

Una vez resuelta esta ecuación, se deshace el cambio.

Notas :

El intervalo en el que se aplica el teorema de existencia y unicidad, es cualquier I que no contenga x = 0.

Se ha supuesto en lo anterior que x > 0. Si x < 0 se hace x = - et. Si y(x) es una solución de la ecuación de Euler homogénea para x > 0, lo es y(-x) para x < 0.

La ecuación a0(ax + b)2 y''+ a1(ax + b)y' + a2y = 0, también se transforma, mediante en una ecuación con coeficientes constantes.

Por tanto :

Caso 1: Si la ecuación característica de (4) tiene dos raíces reales r1 y r2 distintas, la solución de (4) es: y(t) = C1 + C2 .

Luego la solución general de (3) es : y(x) =

Caso 2: Si la ecuación característica de (4) tiene una raíz doble r1 la solución de (4) es

: .

Luego la solución general de (3) es : .

Caso 3: Si la ecuación característica de (4) tiene las raíces complejas α ± iβ , la solución de (4) es: y(t) = eαt [C1 cos βt + C2 sen βt].

Luego la solución general de (3) es : y = |x|α [C1 cos (βln|x|) +C2 sen (βln|x|].

Nota

Podría abordarse la resolución de (3), probando soluciones de la forma y = xr (Suponiendo x > 0 ).

Es: y' = r x (r-1) , y'' = r (r-1)x(r-2). Sustituyendo en (3) :

a0 r (r-1) xr + a1 r xr +a2 xr ≡ 0 ⇒ a0 r (r-1) + a1 r +a2 = 0 ⇒

a0 r2 + (a1- a0) r + a2 = 0

llamada ecuación indicial de (3), que coincide con la ecuación característica de (4).

Ejemplo 6:

Resolver la ecuación diferencial: 3x2 y'' - 4x y' + 2y = 0.

Para x > 0 se hace x = et ó t = ln x

.

En la ecuación diferencial : .

Ecuación característica : 3r2 - 7 r + 2 = 0 ⇒ r1 = 2, r2 = 1/3.

Luego y(t) = C1 e2t + C2 e (t/3).

Por tanto : y(x) = C1 x2 + C2 |x|(1/3) x ≠ 0.

Ejemplo 7 :

Resolver la ecuación diferencial: x2 y'' + 3 x y' + y = 0.

Para x > 0 se hace: x = et ó t = lnx.

En la ecuación diferencial : .

Ecuación característica de esta última: r2 + 2 r + 1 = 0 . Raices: r = -1 doble.

Luego : y(t) =

Por tanto : .

Ejemplo 8:

Resolver la ecuación diferencial: x2 y'' +3 x y' + 5 y = 0 (x > 0).

Se hace: x = et ó t = lnx.

En la ecuación diferencial :

Ecuación característica : r2 + 2 r + 5 = 0 . Raices: r = -1 ± 2i.

Luego : y(t) = e-t [C1 cos 2t + C2 sen 2t]

Por tanto :

SOLUCIÓN MEDIANTE SERIES DE POTENCIAS EN EL ENTORNO DE UN PUNTO ORDINARIO

Se va a considerar el caso de la ecuación diferencial lineal homogénea de 2º orden :

[1]

ó en forma canónica :

[1´]

Definiciones.

Un punto x0 se llama punto ordinario de [1] o [1´] si las funciones y son analíticas en x0 (es decir, si p(x) y q(x) tienen desarrollos en serie de Taylor en torno a x0 con radios respectivos de convergencia R1 y R2 no nulos)

Si P(x), Q(x), R(x) son polinomios, entonces x0 es punto ordinario de [1] si y sólo si P(x0) ≠ 0 ( siendo [1] no simplificable ).

Si x0 no es punto ordinario, se llama punto singular de la ecuación [1] ó [1´].

______________

Según el estudio de las ecuaciones diferenciales lineales homogéneas, la simple continuidad de p(x) y q(x) en un entorno I de un x0, es suficiente para garantizar la existencia de dos soluciones linealmente independientes de la ecuación [1´] en dicho entorno, así como para garantizar la existencia y unicidad de solución del problema de valor inicial definido por [1´] y las condiciones: y(x0) = y0 , y´(x0) = b0 con x0 ∈ I

Pero si además es x0 un punto ordinario de [1] ó [1´], las p(x) y q(x) no sólo son continuas en I , sino analíticas. Y cabe preguntarse entonces si las soluciones de tal ecuación heredarán dicha propiedad. Por tanto, si x0 es un punto ordinario de [1] , surgen las preguntas siguientes:

• ¿Existen soluciones analíticas de [1] en un entorno de x0 , es decir, soluciones de la forma :

[2]

En caso afirmativo :

• ¿Cómo se obtienen los coeficientes an?

• ¿Dónde converge la serie [2] ?

Es importante poder responder a estas preguntas, pues sería absurdo intentar buscar soluciones de la forma [2], si no existen. Si existen en I, pueden además derivarse término a término en I.

Las respuestas a estas preguntas las da el siguiente teorema, que será enunciado, pero no demostrado.

Teorema:

Si x0 es un punto ordinario de [1] ( ó [1'] ) entonces la solución general de [1] en un cierto entorno de x0 puede escribirse en la forma [2] y a su vez :

siendo a0 , a1 ctes arbitrarias e y1(x), y2(x) analíticas en un entorno I de x0, y linealmente independientes en I.

El radio de convergencia de las series y1(x) e y2(x) es al menos tan grande como el mínimo de los radios de convergencia de los desarrollos en serie de p(x) y q(x) en torno a x0 (es decir, al menos igual a la distancia de x0 al punto singular más próximo de la ecuación [1], sea dicho punto real o complejo)

Los coeficientes an de la serie [2] se obtienen en términos de a0 y a1 , sustituyendo la serie genérica en [1], (así como los desarrollos de p(x) y q(x) si P(x), Q(x), R(x) no son polinomios) y procediendo por coeficientes indeterminados.

Observaciones:

a) La serie solución puede converger con radio mayor que el indicado en el teorema.

b) Si el punto ordinario es x0 ≠ 0, pueden simplificarse las notaciones trasladando x0 al origen, mediante el cambio x - x0 = t.

c) Según el teorema de existencia y unicidad, cada solución está determinada de manera única por los valores y(x0) e y'(x0), es decir por a0 y a1 . Por eso, todos los coeficientes se obtienen en términos de a0 y a1.

d) El método para resolver una ecuación completa : , siendo x0 punto ordinario y h(x) analítica en x0, es análogo. En este caso, también hay que desarrollar h(x) en serie de potencias en torno a x0 , antes de proceder por coeficientes indeterminados. También podría resolverse en primer lugar la ecuación homogénea y actuar luego por variación de constantes, o por reducción de orden.

e) Es claro que podría usarse un método semejante para ecuaciones diferenciales lineales, de primer orden.

EJEMPLOS

Ejemplo 1

Hallar la solución general de la ecuación diferencial , determinando dos soluciones linealmente independientes en serie de potencias de x . Campo de validez de las mismas. En particular obtener la solución tal que y(0) = 1 y´(0) = 0.

_____________

Es . Ambas analíticas en x0 = 0, con radios de convergencia de sus respectivos desarrollos , es decir x0 = 0 es punto ordinario..

Luego, según el teorema anterior, existe solución de la ecuación en serie de potencias de x, válida para todo x ∈ R .

Sea . Por tanto : ,

En la ecuación diferencial :

- - ≡ 0 en ℜ

Término independiente :

Coeficiente de x :

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn :

Ley de recurrencia :

Luego a0 y a1 son libres y

Por tanto :

Solución particular:

Luego

Ejemplo 2

Hallar, por el método de series de potencias en torno a x0 = 0, la solución general de la ecuación diferencial:

_____________

Es Ambas analíticas en x0 = 0 con R1 = R2 = 1

Luego existe solución analítica en x0 = 0, válida al menos para .

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

+ +2- 2≡ 0

Término independiente :

Coeficiente de x :

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn :

Luego a0 y a1 libres, a2 = a0 , a3 = 0,

n ≥ 2

Como a3 = 0 ⇒ a5 = a7 = ... = a2n+1 = ... = 0

=

Por tanto :

y =

En este caso puede sumarse la serie :

y =

Nota

En los dos primeros ejemplos, la relación de recurrencia ha consistido únicamente en dos términos y además podía deducirse fácilmente de ella, la forma general de an . Pero, pueden aparecer relaciones con dos o más términos (Con 3 en el Ejemplo 3), que sean más complicadas, tales que no pueda determinarse la forma general de los coeficientes an. Entonces sólo podrán obtenerse algunos términos.

Ejemplo 3

Hallar por el método de series de potencias en torno a x0 = 1 los términos hasta la potencia de grado 4, correspondientes a la solución general de la ecuación diferencial:

Se efectúa el cambio de variable : x - 1 = t ó x = t + 1.

o

Entonces , t0 = 0

Ambas analíticas en t = 0 con R1 = R2 = ∞

Luego existe solución analítica en t = 0, válida para todo t.

Sustituyendo en la ecuación diferencial :

+ + + ≡ 0

Término independiente :

Coeficiente de t :

............................ ................................. ..........................

Coeficiente de tn :

Luego : ;

Ejemplo 4

Hallar, por el método de series, la solución del problema de valor inicial:

y'' - 2xy' + 8y = 0 ; y(0) = 3 , y'(0) = 0.

Son p(x) = -2x y q(x) = 8 , ambas analíticas en xo = 0 , con R1 = R2 = ∞

Por tanto, existe solución y = y(x), analítica en xo = 0, válida para todo x.

Sustituyendo en la ecuación diferencial:

- 2 + 8 ≡ 0

Término independiente :

Coeficiente de x :

............................ ................................. .................

Coeficiente de xn :

Luego : . De donde: n ≥ 2

Se pide la solución tal que : y(0) = 3 e y'(0) = 0 , es decir, tal que ao = 3 y a1 = 0.

Luego: Por tanto: y = 3 - 12 x2 + 4 x4

Ejemplo 5: Ecuación y polinomios de Legendre (1752-1833)

La ecuación de Legendre de parámetro m ≥ 0 es :

[3]

Se trata de hallar soluciones en serie de potencias de x, es decir en torno a x0= 0.

Es Ambas analíticas en x0 = 0 con radio de convergencia de los respectivos desarrollos : R1 = R2 = 1

Luego x0 = 0 es punto ordinario, existiendo solución en serie de potencias de x, válida, al menos para .

Sea . Sustituyendo en la ecuación :

- -2+≡ 0

Habrán de ser nulos los coeficientes de todas las potencias de x.

x0 :

x1 :

xn :

Luego :

Es decir :

Si m = 0, 1, 2, ... una de las dos series es un polinomio de grado m. Dichos polinomios pn(x) son respectivamente :

p0 = 1 p1(x) = x p2(x) = 1 - 3 x2 p3(x) = x - x3 ......

Se llama polinomio de Legendre de orden m y se designa con Pm(x), a la solución polinómica de la ecuación de Legendre de parámetro m ( o sea, el múltiplo de pn(x), tal que Pm(1) = 1.

Será:

P0(x) = 1 P1(x) = x .........

Algunas propiedades : (Sin demostraciones)

• Los polinomios de Legendre pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

• O mediante una función generadora, debida a Legendre :

También mediante fórmulas de recurrencia :

• Cumplen la relación de ortogonalidad :

[4]

La ecuación de Legendre aparece en varios problemas de la Física dotados de simetría esférica.

Ejemplo 6: Ecuación y polinomios de Hermite (1822 -1901)

La ecuación de Hermite

es :

[5]

Aparece esta ecuación, por ejemplo en la mecánica cuántica, a partir de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.

Se trata ahora de obtener su solución por el método de series, en torno a x0= 0.

El x0 = 0 es un punto ordinario de la ecuación [5], pues p(x) = -2x y q(x) = 2λ son analíticas en x = 0. Además los radios de convergencia de los respectivos desarrollos, son ambos infinitos. Luego existe solución de [5] , de la forma , válida para todo x real.

Sustituyendo en la [5] :

Luego :

Coeficiente de 1 :

--------------------------------------------------------------------------------------

Coeficiente de xn-2 : n(n-1)an-2(n-2)an-2+2λan= 0

Relación de recurrencia : n≥ 2

Luego :

Para λ = 0,1,2, ... una de las dos series es un polinomio. Dichos polinomios hn(x), para λ = n = 0,1,2,... son respectivamente :

Se llama polinomio de Hermite de grado n , y se designa Hn(x), a la solución polinómica de la ecuación de Hermite de parámetro λ = n ( o sea el múltiplo de hn(x)), cuyo coeficiente de xn es 2n. Será por tanto :

Algunas propiedades: (sin demostración)

• Los polinomios de Hermite pueden darse mediante la fórmula de Rodrigues :

• También por medio de la función generadora :

• O mediante las fórmulas de recurrencia :

• Cumplen la relación de ortogonalidad:

Conclusión

En las aplicaciones de las matemáticas surgen a menudo problemas de una clase cualitativamente diferente: problemas en los que la incógnita es a su vez una función, es decir, una ley que expresa la dependencia de ciertas variables respecto de otras. Por ejemplo, al investigar el proceso de enfriamiento de un cuerpo hay que determinar cómo varía la temperatura en el transcurso del tiempo; para describir el movimiento de un planeta o de una estrella o de una partícula cualquiera debe determinarse la dependencia de sus coordenadas con respecto al tiempo, etc.

Con frecuencia es posible plantear una ecuación que permite encontrar las funciones desconocidas pedidas, y estas ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones funcionales. Su naturaleza puede ser, en general, muy diversa; de hecho podemos decir que ya conocemos el ejemplo más sencillo y primitivo de una ecuación funcional: las funciones implícitas.

La clase más importante de ecuaciones funcionales son las ecuaciones diferenciales; esto es, ecuaciones en las que además de la función desconocida aparecen también algunas de sus derivadas de diversos ordenes.

La enorme importancia de las ecuaciones diferenciales en las matemáticas, y especialmente en sus aplicaciones, se debe principalmente al hecho de que la investigación de muchos problemas de ciencia y tecnología puede reducirse a la solución de tales ecuaciones. Los cálculos que requiere la construcción de maquinaria eléctrica o de dispositivos radiotécnicos, el cálculo de trayectorias de proyectiles, la investigación de la estabilidad de aeronaves en vuelo o del curso de una reacción química, todo ello depende de la solución de ecuaciones diferenciales.

Sucede con frecuencia que las leyes físicas que gobiernan un fenómeno se escriben en forma de ecuaciones diferenciales, por lo que éstas, en sí, constituyen una expresión cuantitativa de dichas leyes: por ejemplo las leyes de conservación de la masa y de la energía térmica, las leyes de la mecánica, etc., se expresan en forma de ecuaciones diferenciales.

La teoría de las ecuaciones diferenciales comenzó a desarrollarse a finales del siglo XVII, casi simultáneamente con la aparición del Cálculo diferencial e integral. En el momento actual, las ecuaciones diferenciales se han convertido en una herramienta poderosa para la investigación de los fenómenos naturales. En la Mecánica, la Astronomía, la Física y la Tecnología han sido causa de enorme progreso. Del estudio de las ecuaciones diferenciales del movimiento de los cuerpos celestes dedujo Newton las leyes del movimiento planetario descubiertas empíricamente por Kepler. En 1846 Le Verrier predijo la existencia del planeta Neptuno y determinó su posición en el cielo basándose en el análisis numérico de esas mismas ecuaciones.

Anexos.

Resolver la ecuación diferencial:

y' = p(x).y = 0

con la condición y(0) = 1 siendo :

Respuesta 1

Esta ecuación es del tipo lineal por ser de primer grado en y' e y. La ecuación tendrá una solución para cada uno de los intervalos indicados. Calculamos la primera de ellas con la condición y(0) = 1.

y' + 2y = 0 ; dy + 2y.dx = 0 ;
dy + 2.dx = 0 ; Ln y + 2x = Ln C

Si tomamos antilogaritmos tenemos :




La ecuación resultante toma para x = 1 el valor e-2 con lo que la siguiente ecuación tenemos que resolverla en la forma :

y' + y = 0 ; con la condición y(1) = e-2

Tenemos según eso :

y' + y = 0 ; dy + y.dx = 0 ;
dy + dx = 0 ; Ln y + x = Ln C ; y = C.e-x

y considerando el valor y(1) = e-2

Resolver la ecuación diferencial:

Respuesta

La ecuación es homogénea ya que se puede poner en la forma :




Por lo tanto, podemos hacer el cambio v = y/x para poner :




y separando variables:




o deshaciendo el cambio de variables :

arc tg(y/x) - Ln x = C

Resolver la ecuación diferencial:

Respuesta

Esta ecuación es homogénea por ser el numerador y denominador funciones del mismo grado. Haciendo el cambio v = y/x , obtenemos :




y separando variables:




Aplicando el método de los coeficientes indeterminados para separar en fracciones simples el primer miembro, tenemos :




o lo que es igual :




Finalmente, deshaciendo el cambio y simplificando :

Resolver la ecuación diferencial:

Respuesta

Tenemos una ecuación homogénea en la que el cambio v = y/x nos permite escribir:




y separando variables:




O lo que es igual :

Resolver la siguiente ecuación:

y' = (x + y)

con la condición y(0) = 1.

Respuesta

La ecuación la podemos transformar haciendo el cambio de variable v = x + y , para obtener :

v' = 1 + y' ; y' = v' - 1 = x + y = v ; v' = v + 1

y separando variables para integrar :




pero teniendo en cuenta que y(0) = 1 :




y tomando antilogaritmos:

Resolver la ecuación diferencial:

Respuesta 6

En primer lugar vamos a comprobar si la ecuación es diferencial exacta :




Puesto que se cumple la condición requerida integramos como sigue :




Para conocer el valor de la función
derivamos la anterior expresión respecto de y e igualamos a Q:




Así pues, la solución general de la ecuación estudiada será :

Resolver la ecuación diferencial:

Respuesta 7

Lo primero que hacemos es comprobar si la ecuación es diferencial exacta :




Según eso, tenemos :




El valor de
se obtiene por :




Con lo que, finalmente, resulta :

Resolver la ecuación diferencial:

(2.y2 - 4.x + 5)dx + (4 - 2.y + 4.xy)dy = 0

Respuesta 8

En primer lugar comprobamos si la ecuación diferencial es exacta ;




Puesto que se verifica la condición necesaria y suficiente para que la anterior ecuación sea diferencial exacta, podemos hacer :




Derivando la última expresión respecto de la variable y e igualando a Q, tenemos :




De ese modo, la solución general de la ecuación estudiada será :

Resolver la ecuación diferencial:

Respuesta 9

Si hacemos el cambio de variable v = xy tenemos dv = x.dy + y.dx y la ecuación se puede poner :




Resulta, por tanto, una ecuación en variables separadas que podemos integrar directamente :




y a partir de ahí :

Resolver la ecuación diferencial:

x.dx + y.dy + (x2 + y2).x2.dx = 0

Respuesta 10

La ecuación puede ponerse en la forma :




o lo que es igual :




Con lo que la solución general será :