ECUACIONES DIFERENCIALES

Soluciones Complementarias y Particulares Mediante Variación De Parámetros

Lo que necesitamos suponer con respecto al miembro derecho R(x) en la ecuación

(1) f(D)y = R(x)

es que R(x) tiene un comportamiento adecuado para que las integrales que encontremos existan.

Para la ecuación (1), una vez que se conocen las raíces de la educación auxiliar f(m) = 0, la función complementaria se escribe por inspección. Supóngase, por ejemplo, que (1) es de orden dos y su función complementaria esta dada por

(2) yc = c11(x) + c22(x),

donde c1 y c2 son constantes arbitrarias o (parámetros) y las 1 y 2 por supuesto funciones conocidas.

En este caso se sigue el método de variación de parámetros. Primero, reemplazamos las constantes c1 y c2 por funciones desconocidas de x. digamos A y B. Esto es, hagamos.

(3) y = A1(x) + B2(x),

donde A y B puedan considerarse como dos nuevas variables dependientes. Aquí A y B reemplazan a los parámetros c1 y c2 de (2), solo que ahora estas cantidades pueden variar. Esta peculiaridad es lo que le da el nombre al método su nombre.

Ahora tenemos presentes tres variables independientes A, B, y y. Ellas deben satisfacer las ecuaciones (1) y (3) aunque, en general, tres variables pueden satisfacer a un conjunto de tres ecuaciones. Por tanto aquí en este caso, somos libres de imponer una condición más sobre A, B, y y.

De (3) se sigue que

(4) y' = A'1(x) + B'2(x) + A'1(x) + B'2(x),

Ahora vamos a imponer una tercera condición demandando que

(5) A'1(x) + B'2(x) = 0

Entonces se transforma en

(6) y' = A'1(x) + B'2(x),

de lo cual se tiene

(7) y'' = A''1(x) + B''2(x) + A''1(x) + B''2(x),

Que no involucra más derivadas de primer orden de Ay B.

Finalmente (3), (6) y (7) pueden usarse para eliminar y de (1), y podemos por tanto obtener una ecuación en A' y B' para compararla con (5). De aquí se ve que es posible encontrar A' y B', y entonces determinar A y B, por integración. Una vez que A y B son conocidas, la ecuación (3) nos da la y deseada.

El método se generaliza fácilmente a ecuaciones de un orden mayor que dos, pero no aparecen ideas esencialmente nuevas y los detalles pueden ser tediosos.

Ejemplo 1: Resolver la ecuación

(D2 + 1)y = secx tanx

Por supuesto

yc = c1cosx + c2senx,

Vamos a buscar una solución particular por el método de variación de parámetros. Hagamos.

(9) yc = A cosx + B senx,

De lo cual se obtiene

y' = -A senx + B cosx + A' cosx + B' senx

En seguida hagamos

(10) A' cosx + B' senx = 0

Tal que

(11) y'' = -A cosx - B senx - A senx + B' cosx

Ahora eliminaremos y combinando las ecuaciones (9) y (11) con la ecuación original (8). Obtenemos entonces la relación.

(12) -A' senx + B' cosx = secx tanx

De (10) y (12) se elimina fácilmente A'. El resultado es

B' = tan x,

Así que

B = ln x,

en la que la constante, arbitraria ha sido descartada porque estamos buscando solo una solución particular para sumarla a nuestra función yc complementaria, previamente determinada.

A' = -senx secx tanx,

o

A' = -tan2x.

Entonces

A = - tan2x dx = (1- sec2x)dx,

Así que

(14) A= x - tan x,

otra vez desdeñando la constante arbitraria.

Volviendo a la ecuación (9), con la A conocida de la ecuación (14) y la B de la ecuación (13), escribimos la solución particular

yp = (x - tanx)cosx + senx ln sec x

o

yp = x cosx - senx + senx ln sec x

entonces la solución general de (8) es

(15) y = c1 cosx + c3 senx + x cosx + senx ln secx

donde el término (- senx) en la yp ha sido absorbido en el término de la función complementaria c3 senx, ya que c3 es una constante arbitraria.

La solución (15) puede, como es usual, verificarse por sustitución directa en la ecuación diferencial original.

Ejemplo 2: Resolver la ecuación

Aquí

yc = c1ex + c2e2x,

de tal forma hacemos que

(17) yc = Aex + Be2x,

ya que

y'= Aex + 2Be2x + A'ex + B'e2x,

Imponemos la condición

(18) A'ex + B'e2x = 0

Entonces

(19) y' = Aex + B2e2x= 0,

De lo que se sigue que

(20) y' = Aex + 4Be2x + A'ex + 2B'e2x,

Combinando (17), (19), (20) y la ecuación original (16) encontramos que

La eliminación de B' de las ecuaciones (18) y (21) nos conduce a

Entonces

A = ln(1 + e-x)

Similarmente

Así que

o

B= -e-x + ln(1 + e-x)

o entonces, de (17),

yp = ex ln(1 + e-x) - ex + e2x ln(1 + e-x).

El término (-e-x) en yp puede absorberse en la función complementaria. La solución general de la ecuación (16) es

y = c3ex + c2e2x + (ex + e2x) ln (1+ e-x)

La ecuación (16) puede resolverse igualmente sin el método de variación de parámetros, empleando adecuadamente el método de cambio exponencial.

Solución de y''+y = f(x)

Considere ahora la ecuación

(D2 + 1)y = f(x),

en la que requerimos que f(x) sea integrable en el intervalo sobre el cual buscamos la solución. Por ejemplo, f(x) puede ser cualquier función continua o cualquier función con solo un número finito de discontinuidades finitas sobre el intervalo a<x<b.

Se aplicará ahora, a la solución e (1), el método de variación de parámetros. Hagamos

(2) y = A cosx + b senx.

Entonces

y'= -A senx + B cosx + A' cosx + B' sen x,

y si elegimos

(3) A' cosx +B'sen x = 0,

obtenemos

(4) y''= -A cosx - B senx - A' senx + B' cosx.

De (1), (2) y (4) se sigue que

(5) -A' senx + B' cosx= f(x)

Las ecuaciones (3) y (5) pueden resolverse para A' y B', conduciéndonos a

A'= -f(x)senx, B'= f(x)cosx.

Podemos escribir

(6) A= f()sen d,

(7) B= f() cos d

Para cualquier x en a<x<b. Aquí es donde ahora usaremos la condición de integrabilidad de f(x) sobre el intervalo a<x<b.

La A y la B de (6) y (7) pueden insertarse en (2) para darnos la solución particular

yp= - cosx f() sen d + senx f() cos d,

= f() [senx cos - cosx sen ] d.

Por tanto tenemos

(8) yp= f() sen(x - ) d,

y podemos escribir la solución general de la ecución (1):

(9) y= c1 cosx + c2 senx + f() sen(x - ) d.

Ecuación De Lineal General De Segundo Orden

El primer método que mencionamos se aplica igualmente a la ecuación

(1) y'' + p(x)y' + q(x)y= f(x),

donde p(x) y q(x) no necesariamente son constantes, en cuanto conozcamos las dos soluciones linealmente independientes y= y1(x) y y= y2(x) de la ecuación homogénea correspondiente.

y'' + p(x)y' + q(x)y= 0

Denotemos al wronskiano de y1(x) y y2(x) por w(x).

(3)

Y supóngase que w(x)" 0 sobre el intervalo a<x<b. Entonces el método de variación de parámetros conduce a la siguiente solución particular de la ecuación (1).

(4)

La solución particular de (1) es, por supuesto,

(5) y= c1y1(x) + c2y2(x) + yp(x).

Ya que aun no tenemos métodos para obtener y1 y y2 a menos que la ecuación (1) tenga coeficientes constantes, la solución (5) es, por el momento, de interés puramente teórico para nosotros. En general, se usan los métodos de serie de potencias para encontrar y1 y y2 cuando la ecuación (1) tiene coeficientes variables.

Para el wronskano (3) de cualesquiera dos soluciones linealmente independientes y1 y y2 de la ecuación (1), no es difícil deducir la formula de Abel,

w(x)= c exp [ p(x) dx],

donde c es una constante.

Reducción De Orden Usando Factores Del Operador

Considere la ecuación

(1) (D - a)(D - b)y = R(x).

El cambio de variable dependiente

(2) (D - b)y = w,

nos conduce a la ecuación

(3) (D - a)y = R(x),

que el lineal de primer orden. Entonces (3) puede presentarse en forma estándar.

dw - aw dx = R(x) dx

y resolverse con la ayuda del factor de integración e-ax

Una vez que w se conoce podemos volver a la ecuación (2) para encontrar y. La ecuación (2) es también de primer orden, de tal forma que puede resolverse de igual manera que (3).

El problema de resolver la ecuación (1) de orden dos es reemplazado, por tanto, por una sucesión de dos problemas, cada uno consistente en resolver una ecuación de orden uno. En general este artificio nos permite reemplazar una ecuación lineal de orden n (con coeficientes constantes), con n ecuaciones lineales sucesivas de orden uno. La única dificultad es la de llevar al cabo las integraciones. En la práctica, esta dificultad es a menudo bastante seria.

Ejemplo: Resolver la ecuación

Interpretando la ecuación (4) en la forma

Entonces

(5) (D - 1)y = w

Entonces necesitamos resolver

que puede escribirse como

(6)

un factor de integración de (6) es ex. Entonces

es exacta por tanto

de lo cual se tiene

exw = ln(e2x + 1),

como de constumbre, la constante arbitraria será desdeñada ya que sólo estamos buscando una solución particular.

En seguida insertamos la expresión para w en la ecuación (5), la cual se transforma entonces en

(D - 1)y = e-x ln(e2x + 1),

dy - ydx= e-x ln(e2x + 1)dx

Aquí un factor de integración es e-x, de tal forma que escribimos

e-xdy -ye-x dx = e-2x ln(e2x + 1)dx,

e-xy - e-2x ln(e2x + 1)dx,

Se puede integrar por partes para reducir la expresión a la forma

(7) e-x y= -½ e-2x ln(e2x + 1) + -

entonces escribimos

e-x y= -½ e-2x ln(e2x + 1) + [1 - ] dx

y por lo tanto tenemos que

e-x y= -½ e-2x ln(e2x + 1) + x - ½ ln (e2x + 1),

(8) y= ex - ½(ex + e-x ) ln (e2x + 1),

La ecuación (8) es una solución particular de la ecuación original (4). La solución general de la ecuación diferencial (4) es entonces

y = c1ex + c2e-x + xex - ½ (ex + e-x ) ln (e2x + 1).

Tercer Método: Cambio De Variable Independiente

Considérese la ecuación lineal de segundo orden

(1) y'' + py' + qy = R,

Supóngase que conocemos una solución y= y1 de la ecuación homogénea correspondiente

(2) y'' + py' + qy = 0,

Entonces la introducción de una nueva variable dependiente v por la sustitución

(3) y = y1v,

nos llevará a una solución de la ecuación (1) en la forma siguiente.

De (3) sigue que

y' = y1v' + y'1v,

y'' = y1v'' + 2y'1v' + y''1v,

tal que la sustitución de la ecuación (3) en (1) nos da

y1v'' + 2y'1v' + y''1v +py1 v' + pv'1v + qy1v = R

o

(4) y1v'' + (2y'1 + py1)v' + (v''1 + py'1 + qy1 )v = R

Pero y = y1 es una solución de (2). Esto es,

y''1 + py'1 + qy1 = 0

y la ecuación (4) se reduce a

(5) y1v'' + (2y'1 + py1) v' = R

Ahora hagamos v' = w de tal forma que la ecuación (5) se transforme en

(6) y1 w' + (2y' + py1 )w = R

una ecuación lineal de primer orden en w.

Por el método usual (factor de integración), encontramos w de, (6). Entonces obtenemos v' = w, por integración. Finalmente y = y1 v.

Nótese que el método no esta restringido a las ecuaciones con coeficientes constantes. Depende solamente del conocimiento que tengamos de una solución particular de la ecuación (2); esto es, de nuestro conocimiento de la función complementaria, para propósitos prácticos, el método depende solamente de la habilidad para llevar a cabo integraciones.

Ejemplo: Resolver la ecuación

(7) (D2 + 1)y = csc x

La función complementaria es

(8) yc = c1 cosx + c2 senx

Podemos usar cualquier caso especial de (8) como la y1 de la teoría anterior. Hagamos entonces

y = v senx

encontramos que

yc = v'' senx + v cosx

y

y'' = v'' senx + 2v' cosx - v senx

la ecuación para v es

v'' senx + 2v' cosx = cscx,

o

(9) v'' + 2v' cotx = csc2x

Hagamos v' = w; entonces la ecuación (9) se transforma en

w' = + 2w cotx = csc2x,

o

dw + 2w cotxdx = csc2x dx,

de la cual un factor de integración es sen2x. Por tanto

sen2x dw + 2w senx cosx dx = dx

es exacta

w senx = x

Buscando, como de costumbre, solo una solución particular.

Entonces

w = x csc2x

v' = x csc2x

por tanto.

v = x csc2x x dx

v = -x cotx + ln senx,

un resultado fácilmente obtenible usando integración por partes.

Ahora

y = v sen x,

así que la solución particular que buscábamos es

yp = -x cosx + senx lx x.

Finalmente, la solución completa de (7) se que es

y = c1 cosx + c2 senx - x cosx +senx lnx

(16) (D2 - 3D + 2)y =

1

1 + e-x

1

1 + e-x

A'ex + 2B'e2x =

1

1 + e-x

A'ex = -

1

1 + e-x

A' = -

1

1 + e-x

B'e2x =

e-2x

1 + e-x

B =

dx = e-x -

e-x

1 + e-x

dx,

(D2 - 1)y=

y1(x) y2(x)

y'1(x) y'2(x)

2

ex + e-x

d,

W(x) =

f() [ y1() y2(x) - y1(x) y2() ]

W()

yp =

dw + w dx=

2 dx

ex + e-x

(D + 1)(D - 1) y=

2

ex + e-x

(D + 1)w =

2

ex + e-x

ex dw + wex dx=

2ex dx

ex + e-x

exw= = dx

2e2x

e2x + 1

2ex dx

ex + e-x

dx

e2x + 1

e2x

e2x + 1