ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N

1. INTRODUCCIÓN:

Hasta el momento hemos trabajado con ecuaciones diferenciales de orden uno, es decir,
. Ahora vamos a estudiar ecuaciones con derivadas de cualquier orden:

Esta es la ecuación lineal completa de coeficientes variables, dada en un abierto
de la recta real, en el que se debe cumplir que
, y que
y
son funciones continuas en
. En el caso particular de que
se llamara ecuación homogénea de coeficientes variables.

TEOREMA(De unicidad): El teorema de unicidad nos garantiza que para todo conjunto de condiciones de la forma:

Existe una única función definida en dicho intervalo
que verifica dichas condiciones.

Sin embargo, no pasa lo mismo si nos dan una serie de condiciones de frontera, consistentes en:

En tal caso no hay nada garantizado, ya que aquí puede haber varias, una o ninguna solución.

TEOREMA(De superposición): Sean
soluciones de la ecuación diferencial Entonces el teorema de superposición nos garantiza que la suma de soluciones es solución de la ecuación diferencial.

Empezaremos por estudiar la ecuación homogénea asociada a la ecuación completa dada (haciendo
). Después pasaremos a estudiar la ecuación completa. La solución vendrá dada por la solución general de la homogénea más una solución particular de la completa.

2. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN HOMOGENEA:

Primero vamos a estudiar la resolución de ecuaciones diferenciales homogéneas de orden
lineales y con coeficientes constantes:

2.1. RESOLUCIÓN DE LA HOMOGENEA DE COEFICIENTES CONSTANTES:

Dichas ecuaciones son de la forma:

Las soluciones son de la forma
, con lo cual:

Sustituyendo:

Como
, ha de ocurrir que:

A dicha expresión la llamamos ecuación característica. Si
es solución de la ecuación característica, entonces
es solución de la ecuación diferencial. Por tanto la ecuación lineal tiene
soluciones linealmente independientes. Las soluciones de la ecuación característica pueden ser de diversos tipos:

Reales simples:

En este caso tenemos
. Por tanto las soluciones de la ecuación diferencial correspondiente serán:

Reales múltiples:

Tenemos
con multiplicidades
respectivamente. Cada solución
, con mutiplicidad
, da
soluciones:

Complejas simples:

Las soluciones son
(excluimos las raíces conjugadas, ya que aportan las mismas soluciones que las originales). Aportan dos soluciones cada una

Complejas múltiples:

Cada solución (excluyendo las conjugadas)
con multiplicidad
da dos veces su multiplicidad de soluciones:

La solución total será de la forma:

Después de estudiar las ecuaciones diferenciales homogéneas con coeficientes constantes vamos a estudiar las de coeficientes no constantes. Evidentemente las soluciones de la ecuación diferencial deben pertenecer a
. Ahora vamos a enunciar y demostrar un teorema que nos asegura que las soluciones de la ecuación forman un
de
. Definiremos además el wronskiano, concepto que será necesario más adelante.

TEOREMA: El conjunto
de todas las funciones
definidas en
que son solución de la ecuación diferencial dada es un
de
.

Demostración:

Construimos una familia
tal que
sea solución de la ecuación diferencial dada, y esté definida completamente de la forma:

Siendo
.

Veamos ahora que son linealmente independientes. Para ello habrá que comprobar que:

WRONSKIANO: Sea
un conjunto de funciones pertenecientes a
. Vamos a asociar a ese conjunto de funciones una aplicación:

tal que la aplicación parte del intervalo
a los reales, asociando a cada punto
del intervalo
un número dado por:

Si el wronskiano es distinto de cero en algún punto del intervalo
, es decir, no es idénticamente nulo, entonces las funciones de la familia
son linealmente independientes. El recíproco no siempre es cierto.

Queremos estudiar cuando es cierto el recíproco, es decir, bajo que condiciones el hecho de que el wronskiano sea nulo sobre
me garantiza que
son linealmente independientes. Para ello demostraremos el siguiente teorema:

TEOREMA: Sean
pertenecientes a
, y son soluciones de la ecuación diferencial :

Entonces
son linealmente independientes.

Demostración:

Hay que demostrar que existen
tales que:

con algún
. Para ello derivamos y tenemos:

Tenemos así un sistema homogéneo de
ecuaciones con
incógnitas. Podemos representarlo como:

Como sabemos que sabemos que
, entonces la solución trivial no es la única, sino que existe una solución de la forma
, con algún
. Por tanto las funciones son linealmente dependientes.

Dicho teorema tiene el siguiente corolario:

COROLARIO: Un conjunto de soluciones de una ecuación diferencial homogénea de orden
son linealmente independiente en
, y por tanto una base de
, si
no se anula en ningún punto de
. Un conjunto de funciones que cumplan dicha condición se le llama sistema fundamental.

EJEMPLO: Sea la ecuación diferencial
definida en
. Sus soluciones son
. Veamos que su wronskiano no se anula en
:

Pero
solo se anula en
, que no pertenece a
. Por tanto
son linealmente independientes. La solución general será:

Veamos ahora un teorema que nos facilita mucho el cálculo del wronskiano:

TEOREMA(de Abel): Dada una ecuación diferencial de orden
, podemos calcular el valor del wronskiano de sus soluciones
en función de los coeficientes de la ecuación diferencial, de la forma:

Demostración:

Sean
e
las dos soluciones de la ecuación diferencial. Entonces se cumple que:

Si derivamos el wronskiano:

Es decir:

Si
hacemos:

Estudiemos un caso muy importante de las ecuaciones homogéneas con coeficientes variables.

2.2.• ECUACIÓN DE EULER:

Dichas ecuaciones son de la forma:

Se puede transformar mediante cambios en ecuaciones lineales homogéneas de orden
. El cambio consiste en hacer:

Y así sucesivamente. Para el caso de

Ejemplo:

Sustituyendo:

Resolviendo y deshaciendo el cambio:

2.3.• MÉTODO DE REDUCCIÓN DE ORDEN:

Se aplica en cualquier ecuación diferencial homogénea de orden
, incluso con coeficientes variables. Se necesita conocer una solución de la ecuación homogénea por cada grado que se quiera disminuir el orden. Veamos el método aplicado a la resolución de ecuaciones de segundo orden:

Sea
una solución de la ecuación diferencial homogénea . En tal caso se verifica que:

Y podemos construir una solución de la forma:

Sustituyendo en la ecuación:

Agrupando términos:

Pero como es
una solución de la ecuación diferencial:

Haciendo el cambio

Simplificando:

Cuya solución es:

Deshaciendo el cambio:

Con lo que:

2.4. MÉTODO DE RESOLUCIÓN POR EL TEOREMA DE ABEL:

Se aplica a ecuaciones de segundo orden con coeficientes variables. Nos da una relación entre las dos soluciones de la ecuación. Veamos un ejemplo teórico de su uso:

Operando:

Dividiendo entre
:

Que es una ecuación lineal completa. La solución es:

Con lo que tenemos definida la segunda solución.

3. ESTUDIO DE LA ECUACIÓN COMPLETA:

Ahora vamos a buscar una solución particular de la completa, que será junto con la general de la homogénea la que nos de la solución general de la completa. Estudiaremos tres métodos.

3.1. MÉTODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS:

Para utilizar este método necesitamos definir una serie de conceptos. Estudiemos las siguientes cuatro funciones:

Es fácil observar que dichas cuatro funciones tiene la propiedades de que sus derivadas y las de sus combinaciones por sumas y productos son linealmente independientes. Las llamaremos funciones principales. Si tomamos una cualquiera de esas funciones, llamaremos familia de dicha función al conjunto formada por ella misma y por todas sus derivadas linealmente independientes, siempre con coeficientes unitarios. Por tanto sus familias serán:

Definiremos entonces una función de tipo
como una función formada por productos y sumas de funciones principales. Asimismo definimos el conjunto
de una función de tipo
como la unión de las familias de los productos de las funciones principales que interviene en dicha función. Por ejemplo:

Asimismo, el conjunto
de un producto de funciones principales se forma como el producto cartesiano de sus familias respectivas. Un ejemplo sería:

El método se puede aplicar a toda ecuación diferencial lineal de orden
con coeficientes variables siempre y cuando se verifique que
sea combinación lineal de funciones de tipo
. El método consta de seis pasos:

Se resuelva la ecuación homogénea, obteniéndolas soluciones linealmente independientes

Se construyen las familias de las funciones de

Si alguna conjunto esta contenido dentro de otro se elimina.

Si alguna conjunto contiene una solución de la ecuación homogénea, se multiplican todos los elementos de dicho conjunto por una potencia de
suficiente para que la solución no esté contenida en el conjunto.

Se forma una combinación lineal con todos los elementos de todos los conjuntos.

Se sustituye dicha combinación lineal en la ecuación diferencial completa y se resuelve el sistema resultante. La combinación lineal resultante será la solución particular.

Veamos un ejemplo:

Resolvemos la homogénea.

Hacemos los conjuntos de las funciones de
.

No procede.

No procede.

Formamos la combinación lineal.

La sustituimos en la ecuación diferencial y resolvemos:

Luego la solución general será:

3.2. MÉTODO DE VARIACIÓN DE CONSTANTES(Formula de Green):

Vamos a buscar el método para
. Será análogo para cualquier valor de
.

Hallamos la solución de la homogénea:

Hacemos:

Imponemos

Tenemos entonces:

Hacemos ahora:

Sustituyendo
,
,
en la ecuación:

Teniendo en cuenta que

Nos queda:

Y junto con la condición impuesta:

Cuyo wronskiano es distinto de cero. Es, pues, un sistema compatible determinado:

Luego basta hacer:

Esto se puede resumir mediante la llamada formula de Green:

Y a
se le llama función de Green.

Veamos un ejemplo:

Resolvemos la homogénea.

Con lo que:

Hacemos la variación de constantes:

Buscamos:

Operando:

Eliminando
:

Nos queda:

Integrando:

Luego:

Por tanto:

3.3. MÉTODO GENERAL:

Tenemos

Podemos escribirlo:

Y también como:

Si podemos invertir el operador
:

Necesitamos operar con
.Aquí tenemos dos posibilidades:

tiene
soluciones:

Luego:

Si llamamos:

Tenemos:

Y de nuevo hacemos:

Así sucesivamente hasta que tengamos:

Si todas las raíces son distintas:

Si llamamos:

Tenemos:

es el conjunto de todas las funciones derivables y continuas
veces en

Es decir, por lo menos en un punto del intervalo
las funciones son No se anulan entre si.

En realidad existen infinitas, pero eso no es importante en el caso.

La hacemos para
, pero es análoga para cualquier valor de

Hemos obviado
, ya que al ser distinta de cero para todo valor de
, podemos dividir toda la ecuación por ella.