ECUACIÓN DIFERENCIAL

Condiciones Iniciales

A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial sujeta a condiciones prescritas, que son las condiciones que se imponen a y(x) o a sus derivadas. En algún intervalo I que contenga a xo, el problema

Resolver: dny = F(x, y, y',..., y(n-1))

dxn

Sujeta a: y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , Y(n-1)(x0) = y n-1,

En donde y0, y1 ,..., y n-1 son constantes reales especificadas arbitrariamente, se llama problema de valor inicial. Los valores dados de la función desconocida, y(x), y de sus primeras n-1 derivadas en un solo punto x0: y(x0) = y0, y'(x0) = y1,...,y(n-1) (x0) = y(n-1) se llaman condiciones iniciales.

Condiciones De Linealidad

Se dice que una ecuación difenecial de la forma y(n) = f(x, y, y',..., y(n-1)) es lineal cuando f es una función lineal de y, y',..., y(n-1). Esto significa que una ecuación es lineal si se puede escribir en la forma

an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)

dxn dx n-1 dx

en esta ultima ecuación, vemos las dos propiedades características de las ecuaciones diferenciales lineales:

La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado; esto es, la potencia de todo termino donde aparece y es 1.

Cada coeficiente solo depende de x, que es la variable independiente.

Factor Integrante

El factor integrante e " P(x)dx se utiliza en las ecuaciones lineales y en las ecuaciones tipo bernoulli para poder obtener su solución.

Familia De Curvas

Una ecuación F(x) + c, donde c es una constante arbitraria que determina el desplazamiento vertical u horizontal de la grafica de la función, genera una familia de curvas.

función Homogénea

Cuando una función f tiene la propiedad

F(tx,ty) = ta f(x,y)

Para un numero real a, se dice que es una función homogénea de grado a; por ejemplo, f(x,y) = x3 + y3 es homogénea de grado 3, porque

F(tx,ty) = (tx)3 + (ty)3 = t3(x3 + y3)= t3f(x,y).

mientras que f(x,y = x3 + y3 + 1 no es homogénea. Una ecuación diferencial de primer orden,

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

es homogénea si los coeficientes M y n, a la vez, son funciones homogéneas del mismo grado.

Ecuación Diferencial

Se llama ecuación diferencial a una ecuación que liga la variable independiente x, la función incógnita y = y(x) y sus derivadas y´, y´´,...,y(n), es decir, una ecuación de la forma:

En otras palabras, se llama ecuación diferencial a una ecuación en la que figura la derivada o la diferencial de la función incógnita.

Diferencial Exacta

Una ecuación diferencial M(x,y) + N(x,y) es una diferencial exacta en una región R del plano xy si corresponde a la diferencia de alguna función F(x,y). Una ecuación diferencial de primer orden de la forma

M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

Es una ecuación diferencial exacta o ecuación exacta), si la expresión del lado izquierdo es una diferencial exacta.

Ecuación de Bernoulli

La ecuación diferencial

dy + P(x)y = f(x)yn

dx

en que n es cualquier numero real, es la ecuación de Bernoulli. La sustitución u = y 1-n reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuacion lineal.

Clasificación De Las Ecuaciones Diferenciales

• TIPO

Ordinarias y parciales

Para desarrollar sistemáticamente la teoría de las ecuaciones diferenciales, es útil clasificar los diferentes tipos de ecuaciones. Una de las clasificaciones mas obvias se basa en si la función desconocida depende de una o de varias variables independientes. En el primer caso solo aparecen derivadas ordinarias en la ecuación diferencial y se dice que es ecuación diferencial ordinaria. En el segundo caso, las derivadas son parciales y la ecuación se llama ecuación diferencial parcial.

Ejemplos de las ecuaciones diferenciales ordinarias:

1.-

2.-

• ORDEN.

El orden de una ecuación diferencial ordinaria, es igual al de la derivada de mas alto orden que aparece en la ecuación. Por lo tanto, la ecuación (1) y (2) son ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo orden.

El orden de una ecuación diferencial (ordinaria o en derivadas parciales) es el de la derivada de mayor orden en la ecuación. Por ejemplo,

d2y + 5 [dy]3 - 4y = ex

dx2 dx

es una ecuación diferencial de segundo orden.

• GRADO.

Es la potencia a la que esta elevada la derivada mas alta, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial.

Hay otra clasificación importante de las ecuaciones diferenciales ordinarias la cual se basa en si éstas son lineales o no lineales. Se dice que la ecuación diferencial

Es lineal cuando F es una función lineal en las variables y,y´,y(n). Por lo tanto, la ecuación diferencial ordinaria lineal de orden n es . 3.-

La ecuación que no es de la forma (3), es un ecuación no lineal.

Un problema físico sencillo que de origen a una ecuación diferencial no lineal es el péndulo oscilante.

ecuación Diferencial Lineal

La forma general de una ecuación diferencial lineal de orden n es como sigue:

an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)

dxn dx n-1 dx

Recuérdese que linealidad quiere decir que todos los coeficientes solo son funciones de x y que y todas sus derivadas están elevadas a la primera potencia. Entonces, cuando n = 1, la ecuación es lineal y de primer orden.

La ecuaciones Diferencial lineal invariante en el tiempo.

Es aquella en la cual una variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales.

Ejemplo: (4 )

Puesto que los coeficientes de todos los términos son constantes, una ec. Diferencial lineal invariante en el tiempo también se denomina ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

En el caso de una ecuación diferencial lineal variante en el tiempo la variable dependiente y sus derivadas aparecen como combinaciones lineales, para algunos de los coeficientes de los términos pueden involucrar a la variable independiente.

Ejemplo: (5)

Es importante recordar que un objeto de que sea lineal, la ec. No debe contener potencias productos u otras funciones de las variables dependientes y sus derivadas

Origen De Las Ecuaciones Diferenciales (Modelos Físicos).

• Modelos Físicos, Modelos Matemáticos

Cualquier tentativa de diseño de diseño de un sistema debe empezar a partir de una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente.

Tal predicción se basa en una descripción matemática de las características dinámicas del sistema. A esta descripción se le llama modelo matemático. Para los sistemas físicos, la mayoría de los modelos matemáticos que resultan útiles se describen en términos de ecuaciones diferenciales.

Coeficientes Indeterminados

Supongamos que L(y ) = g(x) es una ecuación diferencial lineal con coeficientes constantes, y que la entrada g(x) consiste en sumas y productos finitos de las funciones mencionadas, esto es, que g(x) es una combinación lineal de funciones de la forma.

k(constante), xm , xmeax, xmeaxcosBx y xmeaxsenBx,

en donde m es un entero no negativo y  y B son números reales. Ya sabemos que esa función g(x) se puede anular con un operador diferencial, L1, de orden mínimo, formado por un producto de los operadores Dn, (D -)n y (D2 - 2D + 2 +B2)n. Aplicamos L1 a ambos lados de la ecuación L(y) = g(x) y obtenemos L1(y) =L1(g(x)) = 0.

Conjunto Fundamental De Soluciones

Todo conjunto y1, y2,...,yn de n soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n, en un intervalo I, se llama conjunto fundamental de soluciones en el intervalo.

Dependencia O Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo Iv si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que

C1f1(x) + C2F2(x) + ... + CnFn(x) = 0

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente.

ecuación Auxiliar

Comenzaremos con el caso especial de la ecuación de segundo orden

ay + by + cy = 0 (2)

Si probamos con una solución de la forma y = emx, entonces y = memx y y = m2emx , de modo que la ecuación (2) se transforma en

am2emx + bmemx + cemx = 0 o sea emx(am2 + bm + c) = 0

Como emx nunca es cero cuando x tiene valor real, la única forma en que la función exponencial satisface la ecuación diferencial es eligiendo una m tal que sea una raíz de la ecuación cuadrática

am2 + bm + c = 0

Esta ecuación se llama ecuación auxiliar o ecuación característica.

función Complementaria

La combinación lineal yc(x) = C1y1(x) + C2y2(x) + ... + Cn yn(x), que es la solución general de (6), se llama función complementaria para la ecuación (7). En otras palabras, para resolver una ecuación diferencial no homogénea primero se resuelve la ecuación homogénea asociada y luego se determina cualquier solución particular de la ecuación no homogénea. La solución general de la ecuación no homogénea es, entonces,

Y = función complementaria + cualquier solución particular

Ecuaciones lineales homogéneas

Una ecuación lineal de orden n de la forma

an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = 0

dxn dx n-1 dx

se llama homogénea, mientras que una ecuación

an(x)dny + a n-1(x) d n-1y + ... + a1(x)dy +a0(x)y = g(x)

dxn dx n-1 dx

donde g(x) no es idénticamente cero, se llama no homogénea.

Ecuaciones Lineales No homogéneas

Toda función yp libre de parámetros arbitrarios que satisface la ecuación (7) se llama solución particular o integral particular de la ecuación; por ejemplo, se puede demostrar directamente que la función constante yp = 3 es una solución particular de la ecuación no homogénea y + 9y = 27.

Dependencia O Independencia Lineal

Se dice que un conjunto de funciones, f1(x), f2(x), ... , fn(x) es linealmente dependiente en un intervalo I si existen constantes, C1, C2, ... , Cn no todas cero, tales que

C1f1(x) + C2f2(x) + ... + Cnfn(x) = 0

Para toda x en el intervalo. Si el conjunto de funciones no es linealmente dependiente en el intervalo, se dice que es linealmente independiente

Método De Variación De parámetros

Para resolver a2y + ay + ay = g(x), primero se halla la función complementaria yc = C1y1 + C2y2, y después se calcula el wronkiano W(y1(x),y2(x)). Se divide entre a2 para llevar la ecuación a su forma reducida y + Py + Qy = f(x) para hallar f(x). Se determina u1 y u2 integrando, respectivamente u1 = W1/W y u2 = W2/W, donde se define W1 y W2 de acuerdo con (7). Una solución particular es Yp = u1y1 +u2y2, la solución general de al ecuación es, por consiguiente, y = yc + yp.

Operador Diferencial

En calculo, la diferenciación suele indicarse con la D mayúscula; esto es dy/Dx = Dy. El símbolo D se llama operador diferencial porque transforma una función diferenciable en otra función; por ejemplo, D(cos4x) = -4sen4x y D(5x3 -6x2) = 15x2 - 12x. Las derivadas de orden superior se pueden expresar en temidos de D en forma natural:

d (dy) = d2y = D(Dy) = D2y y en general dny = Dny

dx dx dx2 dxn

en donde y representa una función suficientemente diferenciable.

Principio De Superposición

Sean k soluciones particulares yp1, yp2, ... ,ypn de la ecuación (7), diferencial lineal no homogénea de orden n, en el intervalo que, a su vez, corresponden a k funciones distintas, g1, g2, ... ,gk. Esto es, supongamos que yp, representa una solución particular de al ecuación diferencial correspondiente.

an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + ... + a1(x)y + a0(x)y = g1(x),

en donde i = 1, 2, ... , k. Entonces

yp = yp1(x) + yp2(x) + ... + ypn(x)

es una solución particular de

an(x)y(n) + an-1(x)y(n-1) + ... + a1(x)y + a0(x)y = g1(x)+ g2(x) + ... + gk(x)

Método De Variables Separables

Se dice que una ecuación diferencial de primer orden, de la forma

dy = g(x)h(x)

dx

es separable, o de variables separables.

Soluciones Explicitas E Implícitas

Una solución en el que las variables dependientes se expresan tan solo en términos de la variable independiente y constantes, se llama solución explicita. Una relación G(x,y) = 0 es una solución implícita de una ecuación diferencial ordinaria, como la ecuación satisfaga la relación, y la ecuación diferencial, en I. En otras palabras, G(x,y) = 0 define implícitamente a al función .

solución General

Si toda solución de una ecuación de orden n, F(x, y, y´,..., y(n) ) = 0, en un intervalo I, se puede obtener de una familia n-parametrica G(x, y, c1, c2,..., cn) = 0 con valores adecuados de los parámetros c1(i = 1, 2, ..., n), se dice que la familia es la solución general de la ecuación diferencial.

solución Particular

Una solución de una ecuación diferencial que no tiene parámetros arbitrarios se llama solución particular; por ejemplo, podemos demostrar que, por sustitución directa, toda función de la familia monoparametrica y = cex también satisface la ecuación

dy = 2xy

dx

solución Singular

En algunos casos, una ecuación diferencial tiene una solución que no se puede obtener particularizando alguno delos parámetros en una familia de soluciones. Esa solución se llama solución singular.

Teorema De Existencia Y Unicidad

Sea R una región rectangular del plano xy, definida por a " x " b, c " y " d, que contiene al punto (x0,y0). Si f(x,y) y "f/"y son continuas en F, entonces existe un intervalo I,