Formulas

Ejemplo

Distancia de un

segmento

¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos calcular la distancia de un segmento.

Para ello debemos conocer dos puntos cualesquiera.

Calcular la distancia del segmento , donde y , son sus extremos.

Solución.

Primero obtenemos los valores

3 , 0 , -2 , 2

Segundo reemplazo en la formula de la distancia y queda:

R: La distancia del segmento es 5.

Punto Medio

¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos hallar el punto medio de un segmento. Para ello debemos conocer dos puntos cualesquiera.

Hallar el punto medio del segmento, donde y , son sus extremos.

Solución.

Primero obtenemos los valores

-5 , -3 , -2 , 2

Segundo reemplazamos en la formula del punto medio y queda:

R: El punto medio del segmento es

Pendiente

¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos calcular la pendiente de una recta que pasa por dos puntos.

Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos y :

Solución.

Primero identificamos:

2 , 4 , 5 , 3

Segundo reemplazamos los valores en la formula de la pendiente

R: La pendiente de la recta es -1 lo que significa que es hacia abajo (descendente)

Observación:

Debemos recordar que existen 4 casos posibles:

1) Si m es positivo la recta es hacia arriba (ascendente) 2) Si m es negativo la recta es hacia abajo(descendente)

3) Si m es cero la recta es horizontal con respecto al eje x. 4) Si m es indeterminada la recta es vertical con respecto al eje x.

Ecuación de la recta en su forma Principal

m es la pendiente “inclinación de la recta”

n es el Coeficiente de posición, es donde la recta intersecta al eje y.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos y :

Solución.

Primero calculamos la pendiente de la recta que se forma con los punto P y Q:

Segundo reemplazamos en la formula principal, la pendiente y cualquiera de los puntos P o Q, en este caso vamos a reemplazar el punto P , nos queda:

R: La ecuación de la recta que pasa por los puntos P y Q es: .

Observación

Cuando queremos determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos. Para ello se hace lo siguiente:

1.- Se calcula la pendiente del segmento formado por los dos puntos. (Aquí obtenemos m)

2.- Se reemplaza uno de los puntos en la formula y se despeja el coeficiente de posición (Aquí obtenemos n)

3.- Se escribe la formula con su respectivo m y n.

Esta formula nos permite identificar fácilmente la pendiente y el coeficiente de posición de la recta.

Ecuación de la recta en su forma Punto Pendiente

¿Cuándo se utiliza?

Cuando queremos determinar la ecuación de la recta que pasa por un punto cualquiera y tiene una pendiente dada.

Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene pendiente 4.

Solución.

Primero identificamos:

2 , 7 , m=4

Segundo reemplazamos en la formula Punto Pendiente, nos queda

R: La ecuación de la recta es

Ecuación de la recta en su forma General

¿Cuándo se utiliza?

En nuestro curso no estudiamos la utilidad de esta forma de la recta. Pero si debemos saber identificar la pendiente y su coeficiente de posición. Para ello la escribimos en su forma principal, esto se hace despejando la variable y.

Identificar la pendiente y el coeficiente de posición en la siguiente ecuación.

Solución.

Primero escribimos esta ecuación en su forma principal, o sea, despejamos la variable y.

R: La pendiente es -2 y el Coeficiente de posición es .

Intersección con el eje x.

No existe formula.

¿Cuándo se utiliza?

Para saber en que punto la recta intersecta con el eje x, debemos hacer que la variable y sea igual a cero

Encontrar el punto donde la recta intersecta con el eje x.

Solución.

Debemos hacer que la variable y tome el valor cero y lo reemplazamos en la ecuación . Esto nos queda:

R: El punto donde intersecta con el eje x es (4,0)

Intersección con el eje x.

No existe formula.

¿Cuándo se utiliza?

Para saber en que punto la recta intersecta con el eje y. En este caso lo podemos identificar de inmediato con el coeficiente de posición.

Encontrar el punto donde la recta intersecta con el eje y.

Solución.

Sabemos que el coeficiente de posición nos indica donde se intersecta la recta con el eje de las ordenadas, por lo tanto lo deducimos de inmediato.

R: El punto de intersección con el eje y es el (0, -25).

Paralelismo

No existe formula

Por teorema podemos estar seguro que dos rectas son paralelas si sus pendientes son iguales, es decir si:

1.- Verificar si las rectas y son paralelas

Solución.

Las rectas son paralelas ya que sus pendientes son iguales.

2.- Verificar si las rectas y son paralelas

Solución.

Las rectas no son paralelas ya que sus pendientes no son iguales.

Perpendicularidad

No existe formula

También podemos afirmar por teorema que dos recta son perpendiculares si sus pendientes multiplicadas es igual a -1, es decir si:

1.- Verificar si las rectas y son perpendiculares

Solución.

Las rectas son perpendiculares ya que sus pendientes multiplicadas resultan -1.

2.- Verificar si las rectas y son perpendiculares

Solución.

Las rectas no son perpendiculares ya que sus pendientes multiplicadas resultan 2