ECONOMIA DIAMOND CON BURBUJAS EXPECULATIVAS

Por:

Esteban Rozo 405609

Miguel Casallas 405540

Presentado a:

Enrique Lopez

Economía Dinamica en Matlab

Facultad de Economia

Universidad nacional de Colombia

Bogota, 18 de diciembre de 2008

MODELO DE GENERACIONES TRASLAPADAS BASICO

En esta economía (como en una economía real) los agentes poseen varios periodos de vida, por lo que permite entre otras cosas observar las implicaciones agregadas de las decisiones individuales como el nivel de ahorro que se convierte en una variable endógena, o permitir la introducción de activos como el dinero de una forma más satisfactoria, el modelo que se trabaja es de dos periodos de vida, ya que así se puede modelar la decisión de ahorro de manera sencilla.

En el modelo que se va a trabajar nos limitaremos a un caso específico, en el que no existen herencias, o no existe altruismo intergeneracional, la oferta de trabajo es constante e inelástica y es igual al tamaño de la población. El tiempo esta dividido en tiempo discreto, y no existe un periodo final.

El Equilibrio descentralizado

Cada periodo t, Nt nace una generación, esta vive dos periodos, t y t+1, luego desaparecen de la economía, el periodo de vida se denomina joven y el periodo t+1 viejo. Cada uno de esos agentes esta dotado con una unidad de trabajo, cuando son jóvenes, que ofrece de forma inelástica, luego, no tiene recurso iniciales cuando es viejo, es decir no trabaja en el periodo t+1 por lo que tiene que ahorrar de su salario una parte para financiar el consumo en este periodo de vida. Los agentes de todas las generaciones son idénticos, con las mismas dotaciones de trabajo y las mismas preferencias, representadas por la función de utilidad donde C1t representa el consumo en el periodo 1 cuando la generación t es joven, y C2 t+1 el consumo en el periodo en el que la generación t es vieja, esta generación asume lo ocurrido en el periodo t-1 como dado, se asume que esta función es separable, lo que permite representarla como:

con θ>0; u'()>0, U''()<0

El consumo agregado en un periodo esta determinado por la suma del consumo de la generación vieja más el consumo de la joven en ese periodo, por ejemplo el consumo en el periodo t seria:

En este modelo se asume que la población crece a una tasa constante mayor a cero, que se define como “n” así la población en el periodo t+1 seria definido como .

En la producción hay una colección de firmas j, todas producen cada periodo t un mismo bien de múltiple propósito, que podemos llamar producto, utilizando capital y trabajo, con la tecnología invariante que de forma agregada seria representada como donde la función F es la producción agregada de todas las firmas y es continua, cóncava, estrictamente creciente y homogénea de grado 1. El producto de la firma puede ser usado para consumo o para la generación de capital, este capital se deprecia completamente durante el periodo t, y necesita ser instalado un periodo antes de ser usado, es decir el capital usado por la firma en el periodo t es el capital acumulado en el periodo anterior.

El problema del consumidor seria:

max

Sujeto a:

Donde wt es el salario recibido en el periodo t y rt+1 es la tasa de interés pagada en el periodo t+1 por el ahorro hecho en el periodo t, en el segundo periodo el consumidor consume todo tanto el interés como el principal.

Sustituyendo las restricciones en la función de utilidad, se convierte en un problema de maximizar sin restricciones en función del ahorro:

y derivando con respecto al ahorro obtenemos las condiciones de primer orden para el consumidor:

De esta condición de primer orden, suponiendo la existencia de la función inversa de la función de utilidad podemos definir la función de ahorro, despejándola de la ecuación anterior, como sigue:

, donde el nivel de ahorro definido por esta función es el argumento maximizador de la función de utilidad del agente. y cumple con:

Derivando con respecto a w la primera derivada utilizando derivada implícita y despejando :

Esta derivada es el cociente de dos fracciones negativas, al ser la función de utilidad concacava, y es menor que uno por que la expresión del denominado siempre será mayor en valor absoluto que la del numerador.

Por otro lado siguiendo el mismo procedimiento para rt+1

El signo de la derivada esta determinada por el signo del numerador, que esta determinado por las influencias contrarias que sobre el ahorro ejercen el efecto renta y el efecto sustitución ínter temporal de un aumento de la tasa de interés.

Problema del Productor

Las firmas maximizan su beneficio en un mercado competitivo, su problema en términos per-capita, normalizando por el precio del producto seria:

Max

de donde se tiene que:

en un mercado competitivo con rendimientos constantes a escala se tiene que los beneficios de la firma son cero, remplazando la condición anterior se tiene que

El mercado de bienes:

Para que exista un equilibrio la oferta de bienes tiene que ser igual a la oferta en cada periodo de tiempo, o lo que es equivalente la inversión igual al ahorro

It=Kt+1-Kt

Mientras el ahorrote la economía en un periodo seria igual al tamaño de la población multiplicado por el ahorro individual de los jóvenes, descontando el des-ahorro que realiza la generación vieja para financiar su consumo

El equilibrio estaría dado por:

o despejando y expresando en términos per cápita

El mercado de factores:

El equilibrio en el mercado de factores esta determinado por las cantidades demandadas de estos por parte de las firmas, puesto que la oferta de trabajo por parte de la generación joven es inelástica, y en el mercado de capitales, el capital en el periodo t es determinado por el ahorro de la generación joven en el periodo t-1, (generación vieja en el periodo t)

y

Dinámica y estado estable:

Del equilibrio del mercado de bienes se tiene:

Remplazando las condiciones del mercado de factores:

Que expresa la dinámica del capital en este modelo; la estabilidad vendría dada por la derivada

La estabilidad del modelo dependerá de:

si el valor de esta derivada es positivo se tendrá un estado estable como el siguiente

INTRODUCCION BURBUJA (Activo inultil)

Suponga que M piezas de papel son introducidas en la economía, se examinara las condiciones bajo las cuales esas piezas tienen un valor positivo y afectan la asignación de recursos

Los individuos pueden ahorrar en capital o en burbujas, si invierten en capital ganarían 1+rt+1 = 1+f'(kt+1) por peso invertido. si invierte en bonos ganaría pt+1 / pt (Valorización de los papeles) por arbitraje se tendría que 1+f'(kt+1) = pt+1 / pt

El valor total de las burbujas en la economía seria

BT=MPT

en términos per cápita

de donde se obtiene la dinamica de la burbuja:

Lo que nos muestra que la burbuja solo crecería si

El equilibrio en el mercado de bienes viene dado, por su equivalente igualdad de inversión e ahorro pero descontando del ahorro, la parte que los individuos destinan a la burbuja:

o en términos per cápita y despejando el capital

que nos indica la dinamica del capital

se supone que las burbujas tienen libre disposición por lo que son positivas.

En una economía de Diamond ineficiente, hay un estado estable con una burbuja positiva en le punto E. La tasa de interés es igual a n (la tasa de crecimiento de la población). Removiendo la ineficiencia y llevando la economía al nivel de la regla de oro. La burbuja crece con una velocidad igual a la tasa de crecimiento de la población igual que la economía. Todavía queda sin embargo otro estado de equilibrio, el de la economía Diamond, donde la burbuja no tiene valor y la economía permanece en un estado ineficiente.

Dinámica

Para entender cuando la economía tiende a una tasa de equilibrio en ves de a otra, hay que revisar la dinámica del sistema. Rescribiendo la ecuación de la dinámica del capital como:

. (13)

Se dibuja donde Kt+1-Kt es igual a cero como KK; es obvio que esto es igual a lo que dibujamos anteriormente como la curva OA

De la ecuación que nos mostraba la dinámica de las burbujas

De la ecuación 13 despejamos Kt+1 y la remplazamos Obteniendo:

Dibujamos el lugar donde , o equivalente como BB. Dado el supuesto de que el ahorro es una función creciente de los ingresos, BB es creciente y cruza la curva KK, en el estado de equilibrio el punto E.

La dinámica de k y b son las siguientes. Si, comenzamos en un punto sobre g (k, b) = 0, incrementaremos bt, se reducirian los ahorros destinados a capital y el capital disminuye, el capital es decreciente, por lo tanto, en todos los puntos por encima de KK.

Ahora Partiendo de un punto sobre BB, si se disminuye K, se aumentara el producto marginal del capital y la tasa a la cual el valor de la burbuja requiere aumentar. La burbuja per cápita, por lo tanto, es creciente en todos los puntos a la izquierda del BB, y decreciente en todos los puntos a la derecha,

el equilibrio, con un valor positivo para la burbuja en el estado de equilibrio es un punto silla estable.

El punto de equilibrio de Diamond es estable.

Trayectorias

En la figura suponemos que la economía tiene un capital inicial K0 y miramos las posibles trayectorias, considere primero la posibilidad de un punto por encima de la senda estable, digamos C. En ese momento la burbuja es grande y creciente, ya que aumenta, esta, disminuye la acumulación de capital. Hasta que finalmente el nivel de capital comienza a reducir. Mientras la tasa de interés aumenta, con lo que el valor de la burbuja debe crecer aún más rápido. En algún momento la burbuja se vuelve tan grande que la desacumulación de capital es superior al actual capital. Por supuesto esto es imposible y esto descarta cualquier burbuja estable por encima de la senda estable. Burbujas no puede ser tan grandes.

Considere ahora un punto por debajo de la senda estable. Digamos D, En D la burbuja es tal que a pesar de que reduce la acumulación de capital, deja el estado de equilibrio del tipo de interés por debajo de la tasa de crecimiento de la población. Por lo tanto, la burbuja crece en la tasa r,pero la burbuja per-cápita finalmente disminuye:

; dado que r<n

la burbuja se hace pequeña en comparación con la economía. Asintótica mente, la burbuja per cápita se vuelve tan pequeña que la economía converge al equilibrio de Diamond. Aunque hay una burbuja, no hace ninguna diferencia en el estado de equilibrio. Más en generalmente, las burbujas por debajo de la trayectoria estable del punto de silla (para un valor dado de stock capital) Puede existir en esa economía. Por supuesto que afectan a la dinámica de la aproximación al estado estable y por tanto, no son neutrales con respecto a la asignación de recursos.

El caso filoso (Knife-edge) donde la burbuja es tal que la economía está en la senda convergente. aunque es inverosímil (poco probable) es interesante. En este caso la burbuja es simplemente tal que hace la tasa de interés asintoticamente igual a n. por lo tanto, no sólo la burbuja per cápita siguen siendo grande en comparación con la economía, si no que la burbuja soluciona el problema de la ineficiencia dinámica de conduciendo el valor de la tasa de interés en estado estable al valor n!

Hasta este punto hemos demostrado que las burbujas de activos intrínsecamente inútiles no pueden existir si la economía sin burbujas es dinámicamente eficiente. Si la economía es dinámicamente ineficiente, las Burbujas pueden existir siempre y cuando no sean demasiado grandes. Excepto en el caso
El caso filoso (Knife-edge), no afectan al estado estable, aunque si afectan a la dinámica en la que se aproxima la economía el estado estable. A continuación extender el análisis a un caso más interesante donde la burbuja es un activo útil

Burbujas en activos intrínsecamente útiles

Considere la posibilidad de otro activo. Además de la capital, digamos, un árbol que deja una unidad de bien cada período. Denotando su valor fundamental como pt*, su precio como Pt y Bt la burbuja en el activo de modo que

Por arbitraje se requiere que:

y

Integración la primera ecuación adelante y utilizando la condición de transversalidad da p* como el valor presente descontado de una corriente de un bien cada período. La segunda ecuación dice que el componente de la burbuja debe crecer como tasa de interés, esto implica que la proporción de p* a Bt eventualmente, debe tender a cero 0, equivalentemente que asintótica mente el precio es igual al componente de la burbuja. Asintótica mente si la burbuja esta en un activo intrínsecamente util o inultil no es el caso de estudio, y el análisis anterior se aplica. Si la economía es dinámicamente ineficiente, puede haber burbujas de activos intrínsecamente útiles. Tales como un arbol en el ejemplo, de una pintura, una participación, un título a la corriente marginal de los productos en una unidad de capital. Note, sin embargo, que las burbujas no pueden existir en activos que pagan dividendos que crecen al mismo ritmo que la economía. La existencia de dichos activos implica, en primer lugar, que la economía no puede ser dinámicamente ineficiente y, por tanto, descarta burbujas.

Una versión Estocástica

Ahora la función de producción vendrá dada por:

donde es una función de producción que cumple las condiciones del problema básico. Definiendo un proceso para λ de la siguiente manera:

con 0<γ<1 y ε ruido blanco

El problema del consumidor se convertiría en:

Max

Sujeto a:

Sustituyendo tendríamos:

max

De donde se tiene:

y despejando se puede llegar a:

o suponiendo la posibilidad de despejar s:

El equilibrio del mercado de factores vendría dado por las demandas de las firmas:

y

El equilibrio en el mercado de bienes sin la presencia de burbujas vendría dado por:

o en presencia de burbujas por:

y por:

Blibliografia:

Blanchard, O. Fischer, S.( 1988)  Lectures on macroeconomics.  Cambridge, Ma. : MIT 

MCCANDLESS,G. (2008) The Abcs of Rbcs An Introduction to Dynamic Macroeconomic Models. Harvard University Press.

Este documento esta basado en Blanchard (1989)

equivalentes a:

de donde conseguimos la ecuación de Euler para esta economía

si los beneficios fueran superiores incentivarían la entrada de nuevas empresas