Economía y Empresa
Econometría
Año | PNB, US$ miles de Mill. | M1 |
M2 |
1970 | 992.70 | 216.6 | 628.2 |
1971 | 1077.6 | 230.8 | 712.8 |
1972 | 1185.9 | 252.0 | 805.2 |
1973 | 1326.4 | 265.9 | 861.0 |
1974 | 1434.2 | 277.6 | 908.5 |
1975 | 1549.2 | 291.2 | 1023.3 |
1976 | 1718.0 | 310.4 | 1163.6 |
1977 | 1918.3 | 335.4 | 1286.7 |
1978 | 2163.9 | 363.1 | 1389.1 |
1979 | 2417.8 | 389.1 | 1498.5 |
1980 | 2631.7 | 414.9 | 1632.6 |
1981 | 2957.8 | 441.9 | 1796.6 |
1982 | 3069.3 | 480.5 | 1965.4 |
1983 | 3305.8 | 525.4 | 2196.3 |
M1=Circulante+Depósitos a la Vista +Cheques Viajeros y Otros depósitos a Corto Plazo
M2=M1+ Transacciones de Recompra entre Bancos Y Eurodólares a Corto Plazo + Saldos FMMM+ Cuentas de Ahorro del Mercado Monetario+ Ahorros y Pequeños Depósitos.
Fuente:Economic Report of the President, 1985, datos del PNB de la tabla B-1, p.232; Datos de la oferta monetaria de la tabla B-61, p.303.
PNB
3304 *
3069 *
2957 *
2631 *
2417 *
2163 *
1918 *
1718 *
1549 *
1434 *
1326 *
1185 *
1077 *
992 *
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
M1
525 *
480 *
441 *
414 *
389 *
363 *
335 *
310 *
291 *
277 *
265 *
252 *
230 *
216 *
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
M2
2196 *
1965 *
1796 *
1632 *
1498 *
1389 *
1286 *
1163 *
1023 *
908 *
861 *
805 *
712 *
628 *
70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83
P
N P
B N
B
992.7 992
216 M1 628 M2
La Relación entre el PNB y la M1 es positiva. Al igual que su relación con M2, ante incrementos del PNB, se producen incrementos en la M1 y la M2, pues M2 es combinación lineal de la M1
Ejercicio:
Yt=0+1X1+2X2+t.
Estimamos el modelo:
992.70 1 216.6 628.2
1077.6 1 230.8 712.8
1185.9 1 252.0 805.2
1326.4 1 265.9 861.0
1434.2 1 277.6 908.5
1549.2 1 291.2 1023.3
1718.0 1 310.4 1163.6
Y= 1918.3 X= 1 335.4 1286.7
2163.9 1 363.1 1389.1
2417.8 1 389.1 1498.5
2631.7 1 414.9 1632.6
2957.8 1 441.9 1796.6
3069.3 1 480.5 1965.4
3304.8 1 525.4 2196.3
-520.6607475
^=(XtX)-1XtY. ! ^= 5.167769491
0.5741853677
El Modelo queda como: Yt=-520.6607475 +5.167769491M1+0.5741853677M2.
^2=YtY-^tXtY!^2=(62952281.9-62885395.63/14-3) =66886.27.34/11=6080.57
n-k
171522.0063 -1821.907522 354.8536847
V(^)=(XtX)-1^2 .= -1821.907522 19.76762589 -3.877092161
354.8536847 -3.877092161 0.7623730907
Las calculadas por MCO tienen las siguientes propiedades:
A) Son Insesgados
B) Son Eficientes, es decir, no hay otro estimador lineal insesgado que tenga una varianza menor, lo cual no quiere negar la existencia de otros estimadores con menor varianza, pero estos, serán insesgados o no lineales.
Cálculo de los t-ratios:
H0:0=0
H1:0"0
t0=^0/"V(^0)= -520.6607475/"171522.0063 =-1.257172619.
RR={t"t/2, n-k} como t0´025, 14-3=2´201 se acepta la Hipótesis nula
H0:1=0
H1:1"0
t1=^1/"V(^1)=5.167769491/"19.76762589=1.162320445.
RR={t"t/2, n-k} como t=2´201 se acepta la Hipótesis nula
H0:2=0
H1:2"0
t2=^2/"V(^2)= 0.5741853677/"0.7623730907=0.657609898.
RR={t"t/2, n-k} como t=2´201 se acepta la Hipótesis nula.
Calculo la R2=1-SRC/STC para saber si el modelo es bueno.
R2=1-(YtY-^tXtY)/YtY-n×øY2.= 1-[(62952281.9-62885395.63/(62952281.9-14×3928493.888)]=1-(66886.27/7953367.468)=1-0.008409805063=0.991590194
R2 Ajustado ó øR2=1-[(n-1)/(n-k)]×(1-R2)=1-[13/11]×(0.008409805062)=0.990061139
Como ajusta bien y los t-ratios son pequeños, hay indicios de Multicolinealidad
Contraste de Hipótesis:
Contraste de Significatividad Global: Todas las =0, excepto el intercepto. El Modelo Yt=0+1X1+2X2+t.
H0:1=2=0. R2
H1:Algún "0. F= k-1 . RR=øF"Fk-1,n-kø
1-R2
n-k
R2=0.991590194, 1-R2=0.008409805063, k=3 , n=14.
0.991590194
F= 3-1= 648´4985123
0.008409805063
14-3
RR=ø648´4985123"4.75ø rechazo la hipótesis nula, es decir, acepto la hipótesis alternativa
Revisión de Hipótesis:
La Hipótesis de Autocorrelación dice que la Cov(dt,dt-k)=0, esto se puede deber a que:
Se ha omitido alguna variable explicativa
Hay tendencia en las d.
Se ha equivocado la forma funcional
Contraste de Durbin-Watson:
H0: =0
H1:"0 ó >0 ó <0
^=Y-X×^.
992.7 1 216.6 628.2
1077.6 1 230.8 712.8
1185.9 1 252.0 805.2
1326.4 1 265.9 861.0
1434.2 1 277.6 908.5
1549.2 1 291.2 1023.3
1718.0 1 310.4 1163.6 -520.6607475
Y= 1918.3 X= 1 335.4 1286.7 ^= 5.167769491
2163.9 1 363.1 1389.1 0.5741853677
2417.8 1 389.1 1498.5
2631.7 1 414.9 1632.6
2957.8 1 441.9 1796.6
3069.3 1 480.5 1965.4
3304.8 1 525.4 2196.3
DW=2(1-^): ^=("^t×^t-1)/"2t-1.
^t ^t-1 ^t×^t-1 2t-1 .
33.3186279
-3.739780976 33.3186279 -124.6043708 1110.130985
-58.05122215 -3.739780976 217.0988562 13.98596175
-21.42276159 -58.05122215 1243.617492 3369.944393
-1.359469592 -21.42276159 29.12359296 458.9347141
-22.55761488 -1.359469592 30.66679934 1.848157572
-33.53699618 -22.55761488 756.5247052 508.8459891
-33.11345221 -33.53699618 1110.52572 1124.730113
10.54275125 -33.11345221 -349.1068897 1096.500717
67.26486527 10.54275125 709.1567424 111.1496039
70.8381546 67.26486527 4764.918925 4524.562146
163.2419781 70.8381546 11563.70521 5018.044147
-21.65641435 163.2419781 -3535.219019 26647.94341
-149.7686659 -21.65641435 3243.452285 469.0002825
19659.86005 44455.62055
^=19659.86005/44455.62055=0´442235645
DW=2×(1-0´442235645)=1´115528709
Región de Rechazo:
Rechazo Incert Acepto Incertidumbre Rechazo
dl=0.595 du=1.928 4-du=2´072 4- dl=3´405
D-W=1´115528709, se sitúa en la región de incertidumbre, con lo que el estadístico D-W no me soluciona la duda. Por lo que vamos a utilizar el test de Breusch-Godfrey.
1º Obtengo el valor de t. y t-1.
2º Ajusto el modelo: ^t=0+1X1+2X2+t-1+t.
3º Obtengo el estadístico (N-1)×R2.
4º Expongo las hipótesis:
H0:Ausencia de Autocorrelación.
H1: Presencia de Autocorrelación
1 230.8 712.8 33.3 -3.7
1 252.0 805.2 -3.7 -58.0
1 265.9 861.0 -58.0 -21.4
1 277.6 908.5 -21.4 -1.3
1 291.2 1023.3 -1.3 -22.5
1 310.4 1163.6 -22.5 -33.5
1 335.4 1286.7 -33.5 -33.1 =Y
X= 1 363.1 1389.1 -33.1 10.5
1 389.1 1498.5 10.5 67.3
1 414.9 1632.6 67.3 70.8
1 441.9 1796.6 70.8 163.2
1 480.5 1965.4 163.2 -21.6
1 525.4 2196.3 -21.6 -149.8
Mi objetivo ahora es obtener la R2. Obtengo el valor de los estimadores que se obtienen de ^=(XtX)-1XtY. !
126.9253601
-1.100245227
^= 0.1894798858
0.5827590135
R2=1-SRC/STC=1-(65741´02-11189´53569)/( 65741´02-13×6´48289941)=0´16914116
Ahora obtengo el estadístico: (N-1)×R2=(13)× 0´16914116=2´19883508
H0:Ausencia de Autocorrelación del tipo AR(1)
H1:Presencia de Autocorrelación del tipo AR(1).
Región de Rechazoø(N-1)×R2"21,ø = ø 2´19883508"3´84ø 21,0.95=3´84
Con lo que acepto la hipótesis nula de que no hay autocorrelación del tipo AR(1), así pues, aunque D-W me haya salido en la región de incertidumbre, este test me confirma la no presencia de Autocorrelación
Heterocedasticidad: el supuesto básico dice que V(t)=2. Es decir, los errores tienen varianza constante. Cuando esto no se cumple, hablamos de Heterocedasticidad, esta provoca que al aplicar MCO para estimar ^, estos son insesgados, pero no de mínima varianza. Para detectarla,, se puede usar el contraste de G-Q, el de Breusch-Pagan y el de Jarque-Bera.
Contraste de Goldfeld-Quandt para detectar la Heterocedasticidad:
Ordeno las observaciones de menor a mayor en función de la primera vaviable.
992.70 1 216.6 628.2 2631.7 1 414.9 1632.6
1077.6 1 230.8 712.8 2957.8 1 441.9 1796.6
Y1= 1185.9 X1= 1 252.0 805.2 Y2= 3069.3 X2= 1 480.5 1965.4
1326.4 1 265.9 861.0 3305.8 1 525.4 2196.3
Ordeno en función de la segunda variable:
992.70 1 628.2 216.6 2631.7 1 1632.6 414.9
1077.6 1 712.8 230.8 2957.8 1 1796.6 441.9
Y*1= 1185.9 X*1= 1 805.2 252.0 Y*2= 3069.3 X2*= 1 1965.4 480.5
1326.4 1 861.0 265.9 3305.8 1 2196.3 525.4
Calculo ^ de cada uno:
-916.843313 2750.582998 -916.8433137 2750.58
^1= 12.64248666 ^2= -21.82594732 ^*1= -1.314784223 ^*2= 5.482546
-1.31478422 5.482546215 12.64248666 -21.8259
H0:Ausencia de Heterocedasticidad
H1:Presencia de Heterocedasticidad
SRC1=5312370.82-5311387.789=983.031
SRC2=36023341.86-36021845.04=1496.82
F=SRC2/SRC1=1496.82/983.031=1.522657983. RR=øF" Fn1-k, n2-k, ø
SRC*1=5312370.82-5311387.785=983.035
SRC*2=36023341.86-36021845.16=1496.7
F=SRC2/SRC1=1496.7/983.035=1.522529717. RR=øF" F4,4,0.05ø
RR=ø1.522657983"161.4ø Como no se encuentra en la Región de Rechazo, acepto la Hipótesis nula, de ausencia de Heterocedasticidad.
Multicolinealidad:
Una forma de detectarla es si los t-ratios tienen un valor pequeño y la R2. Tiene un valor elevado, es casi seguro que hay presencia de Multicolinealidad, esta situación provoca que los datos obtenidos no son muy seguros .La eliminación de la Multicolinealidad es muy difícil, ya que si elimino la variable que provoca la Multicolinealidad, se produce un sesgo en la estimación de los .
Intervalos de confianza:
Con =0.05
IC[^0]=[ ^0 +/-t/2,n-k×"^V(^0)]=[390.8881425,-1432.209637]
( -520.6607475+2.201×"171522.0063, -520.6607475-2.201×"171522.0063)
IC[^1]=[ ^1 +/-t/2,n-k×"^V(^1)]=[14.9535912,-4.618052225]
(5.167769491+2.201×"19.76762589, 5.167769491-2.201×"19.76762589)
IC[^2]=[ ^2 +/-t/2,n-k×"^V(^2)]=[2.495966043,-1.347595307]
(0.5741853677+2.201×"0.7623730907, 0.5741853677-2.201×"0.7623730907)
Predicción:
Vamos a predecir un valor para el PNB en el año 84, con un valor de la M1=576.3 y M2=2338.3 con un nivel de significación de 0.05
IC[Y0]=[^Y0+t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1],^Y0-t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1]
X0=(1 576.3 2338.3) Yt==-520.6607475+5.167769491M1+0.5741853677M2. Y84=3800.142455
IC[^Y]=[4019.952677,3468.560333]
[3800.142455+2´201×"[6080.57×2.54905694+1],
[3800.142455-2´201×"[6080.57×2. 54905694 +1]
Conclusión: El modelo es bueno para predecir, pero padece de Multicolinealidad, sin embargo si quisiera hacer predicciones más precisas, no me serviría, por ello, sería aconsejable eliminar del modelo la variable M2 para comprobar los resultados obtenidos en ambos, para así, poder obtener un modelo mucho más preciso.
Yt=0+1X1+t.
992.70 1 216.6
1077.6 1 230.8
1185.9 1 252.0
1 265.9
1434.2 1 277.6
1549.2 1 291.2
1718.0 1 310.4
Y= 1918.3 X= 1 335.4
2163.9 1 363.1
2417.8 1 389.1
2631.7 1 414.9
2957.8 1 441.9
3069.3 1 480.5
3304.8 1 525.4
-787.472350
^=(XtX)-1XtY. ! ^= 8.08630452
El modelo queda como:Yt=-787.472350+8.08630452M1.
^2=YtY-^tXtY!^2=(62945671.3-62875843.59/14-2) =69827.71/12=5818.976
n-k
6078.767239 -16.53536443
V(^)=(XtX)-1^2 .= -16.53536443 0.0482804501
Cálculo de los t-ratios:
H0:0=0
H1:0"0
t0=^0/"V(^0)= -787.472350/"6078.767239 =-10.10014379
RR={t"t/2, n-k} como t0´025, 14-2=2´179 se acepta la Hipótesis nula
H0:1=0
H1:1"0
t1=^1/"V(^1)= 8.08630452/"0.0482804501=36.82811573.
RR={t"t/2, n-k} como t=2´179 se rechaza la Hipótesis nula
Calculo la R2=1-SRC/STC para saber si el modelo es bueno.
R2=1-(YtY-^tXtY)/YtY-n×øY2.= 1-[(62945671.3-62875843.59)/(62945671.3-14×3928493.888)]=1-(69827.71/7946756.868)=1-0.008786944304=0.9911213055
R2 Ajustado ó øR2=1-[(n-1)/(n-k)]×(1-R2)=1-[13/12]× 0.008786944304 =0.99048081
El modelo parece ser bueno, pues ajusta bien, pero a diferencia del anterior modelo, este tiene los t-ratios altos, lo que elimina los indicios de Multicolinealidad.
Contraste de Hipótesis:
Contraste de Significatividad Global: Todas las =0, excepto el intercepto. El Modelo Yt=0+1X1+t.
H0:1=0. R2
H1:Algún "0. F= k-1 . RR=øF"Fk-1,n-kø
1-R2
n-k
R2=0.9911213055, 1-R2 =0.008786944304=, k=2 , n=14.
0.9911213055
F= 2-1= 1353´537163
0.008786944304
14-2
RR=ø1353´537163"3´18ø rechazo la hipótesis nula, es decir, acepto la hipótesis alternativa
Revisión de Hipótesis:
La Hipótesis de Autocorrelación dice que la Cov(dt,dt-k)=0, esto se puede deber a que:
-
1)Se ha omitido alguna variable explicativa
2)Hay tendencia en las d.
3)Se ha equivocado la forma funcional
Contraste de Durbin-Watson:
H0: =0
H1:"0 ó >0 ó <0
^=Y-X×^.
992.70 1 216.6
1077.6 1 230.8
1185.9 1 252.0
1 265.9
1434.2 1 277.6
1549.2 1 291.2
1718.0 1 310.4 -787.472350
Y= 1918.3 X= 1 335.4 ^= 8.08630452
2163.9 1 363.1
2417.8 1 389.1
2631.7 1 414.9
2957.8 1 441.9
3069.3 1 480.5
3304.8 1 525.4
DW=2(1-^): ^=("^t×^t-1)/"2t-1.
Si volviera a fallar este método, nuevamente acudiría al test de B-G, ya que este método me da sólo dos opciones, o se acepta o se rechaza, al contrario que D-W, que me ofrecía una región de Incertidumbre.
^t ^t-1 ^t×^t-1 2t-1 .
28.67879185
-1.24673233 28.67879185 -35.75493488 822.473102
-64.3763233 -1.24673233 80.26004354 1.544341503
-36.27602098 -64.3763233 2335.3168553 4144.311002
-23.08578386 -36.27602098 837.4603796 13215.949698
-18.05959533 -23.08578386 416.9199144 932.9534164
-4.516572118 -18.05959533 81.56746473 326.1489835
-6.374185117 -4.516572118 28.78946677 20.3994237
15.23517968 -6.374185117 -97.11185557 40.63023591
58.89126216 15.23517968 897.2189606 332.1106999
64.16460555 58.89126216 3778.734607 4468.180759
171.9343835 64.16460555 11032.1019 4117.096605
-28.69697096 171.9343835 -4933.99601 39561.43223
-156.2720439 -28.69697096 4484.534306 823.5161423
13906.0411 80406.74664
^=13906.0411/80406.74664=0´172947292
DW=2×(1-0´172947292)=1´654105416
Región de Rechazo:
Rechazo Incertidumbre Acepto Incertidumbre Rechazo
dl=0.812 du=1.579 4-du=2´421 4- dl=3´188
Como vemos, ahora D-W me comprueba que no se da la Autocorrelación del tipo AR(1).
Heterocedasticidad: el supuesto básico dice que V(t)=2. Es decir, los errores tienen varianza constante. Cuando esto no se cumple, hablamos de Heterocedasticidad, esta provoca que al aplicar MCO para estimar ^, estos son insesgados, pero no de mínima varianza. Para detectarla,, se puede usar el contraste de G-Q, el de Breusch-Pagan y el de Jarque-Bera.
Contraste de Goldfeld-Quandt para detectar la Heterocedasticidad:
Ordeno las observaciones de menor a mayor en función de la primera vaviable.
992.70 1 216.6 2631.7 1 414.9
1077.6 1 230.8 2957.8 1 441.9
Y1= 1185.9 X1= 1 252.0 Y2= 3069.3 X2= 1 480.5
1326.4 1 265.9 3305.8 1 525.4
Calculo ^ de cada uno:
-424.5707188 370.8816155
^1= 6.50666412 ^2= 5.626817812
H0:Ausencia de Heterocedasticidad
H1:Presencia de Heterocedasticidad
SRC1=5312370.82-5311019.977=1350.843
SRC2=36023341.86-36007331.13=16010.73
F=SRC2/SRC1=16010.73/1350.643=11.85239884. RR=øF" Fn1-k, n2-k, ø
RR=øF" F2,2,0.05ø
RR=ø11.85239884"19.0ø Como no se encuentra en la Región de Rechazo, acepto la Hipótesis nula, de ausencia de Heterocedasticidad.
Multicolinealidad:
Una forma de detectarla es si los t-ratios tienen un valor pequeño y la R2 tiene un valor elevado, es casi seguro que hay presencia de Multicolinealidad, pero ahora, esta situación ya no se presenta, pues los t-ratios tienen un valor elevado.Por ello, es casi seguro, que no hay presencia de Multicolinealidad
Intervalos de confianza:
Con =0.05
IC[^0]=[ ^0 +/-t/2,n-k×"^V(^0)]=[-617.5834567,-957.3612433]
(-787.472350+2.179×"6078.767239,- 787.472350 -2.201×"6078.767239)
IC[^1]=[ ^1 +/-t/2,n-k×"^V(^1)]=[8.56509211,7.60751693]
(8.08630452+2.179×"0.0482804501, 8.08630452 -2.179×"0.0482804501)
Predicción:
Vamos a predecir un valor para el PNB en el año 84, con un valor de la M1=576.3 y con un nivel de significación de 0.05
IC[Y0]=[^Y0+t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1],^Y0-t/2,n-k×"[^2.(X0(XtX)-1Xt0+1]
X0=(1 576.3) Yt=(-787.472350+8.08630452M1. Y84=3872.664945
IC[^Y]=[3752.205638,3993.124252]
[3872.664945+2´179×"[5818.976×0.5250220779+1],
[3872.664945-2´201×"[5818.976×0.5250220779+1]
Conclusión: El Modelo ajusta bien, y no presenta ni Heterocedasticidad ni Autocorrelación, sin embargo, la Muticolinealidad no se puede descartar por completo, pues aunque los t-ratios sea grandes, en el intervalo de confianza de la ^Y, hay mucha amplitud en el intervalo, lo que me haría sospechar de Multicolinealidad, sin embargo, ahora el modelo es mejor para hacer predicciones, pues ha aumentado su precisión, aunque tampoco demasiado, por lo que aún no sería un modelo perfecto para hacer precisiones, ya que deja todavía mucha incertidumbre.
Asignatura: Introducción a la Econometría.
Carrera: Administración y Dirección de Empresas.
Curso:3º
Parcial: Junio
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