DIRECCIÓN FINANCIERA I

3º A.D.E.

UNIVERSIDAD DE SALAMANCA

CURSO 2003-2004

ÍNDICE

1. LA INVERSIÓN EN LA EMPRESA

1.1.1 DEFINICIÓN GENERAL DE INVERSIÓN

Inversión es un proceso mediante el cual tiene lugar el cambio de una satisfacción inmediata y cierta, a la que se renuncia, por una esperanza que se adquiere en el futuro, cuyo soporte es el bien invertido.

1.1.2 ELEMENTOS QUE INTERVIENEN EN EL PROCESO DE INVERSIÓN

Esta definición es muy genérica. Ejemplo de inversión: estudiar una carrera.

1.1.3 ACEPCIONES DE INVERSIÓN.

La inversión en un periodo es la diferencia entre el stock de capital al inicio y al final del periodo.

Si
es positivo: existe formación de capital. Si
es negativo: existe consumo de capital.

Ejemplo:

Una empresa que se dedica a la extracción de áridos tiene 6 excavadoras al final del periodo, y al comienzo 4

*
*
Excavadoras: * “inversión”

La inversión es una variable “flujo” y el capital es una variable “stock”. De estas variables se puede hablar desde tres puntos de vista:

Sentido jurídico:

CAPITAL es todo aquel bien que puede ser objeto de un derecho de propiedad (casa, coche, etc.)

INVERSIÓN es el proceso o acto mediante el cual se adquiere esa propiedad.

Sentido financiero:

CAPITAL es toda la suma de dinero que no ha sido consumida por su propietario, sino que ha sido ahorrada y colocada en el mercado financiero con la intención de obtener una renta posterior

INVERSIÓN es el proceso de colocación de los excedentes de renta no consumidos en el mercado financiero.

Sentido económico o productivo:

CAPITAL es todo aquel conjunto de bienes que sirve para producir otros bienes o para prestar servicios.

INVERSIÓN es el proceso mediante el cual se aceptan o anexan bienes económicos a tareas productivas.

Los puntos de vista jurídico y financiero solo tienen sentido a nivel microeconómico, ya que a nivel macroeconómico se trata de transacciones entre unidades económicas elementales sin creación de capital.

Ejemplo: Venta de un piso entre particulares. Desde el punto de vista microeconómico tiene mucha importancia para ambas personas, pero carece de importancia macroeconómica.

De las inversiones económicas o productivas se habla desde los puntos de vista macroeconómicos y macroeconómicos.

MACROECONÓMICO: Inversión económica son todos los bienes materiales o inmateriales que pueden ser destinados o afectados a una unidad productiva.

MICROECONÓMICO: La inversión de una empresa se encuentra en el activo del balance.

Las inversiones en activo fijo son inversiones a largo plazo, con carácter estratégico y comprometen a la empresa durante un largo periodo de tiempo, recuperándose lenta y gradualmente a través del proceso de amortización.

Las inversiones en activo circulante son inversiones a corto plazo, que se recuperan al final del ciclo dinero / mercancías / dinero (“periodo de maduración”)

La empresa en función de sus necesidades, que vendrán determinadas por la demanda, realizará inversiones en activo fijo. Estas inversiones y el periodo de maduración nos condicionan la inversión en activo circulante. Por tanto, podemos decir que la inversión en activo circulante es una inversión derivada de la inversión en activo fijo.

Ejemplo 1: Jamones de Guijuelo

ACTIVO FIJO Compra de una nave y maquinaria

ACTIVO CIRCULANTE: Hay que comprar cerdos, pagar al contado, sacrificarlos, despiece,…, almacén (2 años), distribución, venta y cobro. Periodo de maduración muy largo.

Conclusión: Alta inversión en activo circulante por el periodo de maduración muy largo.

Ejemplo 2: Carrefour

ACTIVO FIJO: nave, expositores, etc.

CIRCULANTE Hay que comprar productos, pagar en un gran plazo, almacén (días), venta y cobro al contado. Periodo de maduración muy bajo.

Conclusión. La inversión en activo circulante es muy baja. El fondo de rotación es negativo.

Ejemplo 3: Industria láctea.

ACTIVO FIJO: nave, maquinaria, etc.

CIRCULANTE Hay que comprar productos, pagar a los ganaderos, vender a grandes superficies con un plazo largo en el cobro, exigencia de promociones, Periodo de maduración muy alto.

Conclusión. Es una mala inversión.

Vamos a estudiar la inversión productiva o inversión en activos reales. Distinguimos dos conceptos: versión renta y versión monetaria de los flujos de caja.

Supongamos una empresa que se dedica a la compra-venta de sillas y mesa:

La compra se formaliza mediante la factura (por tanto incurre en un gasto). El pago se realiza posteriormente.

La venta se formaliza en factura (por tanto incurre en un ingreso). El cobro se produce posteriormente.

Tenemos que distinguir entre la corriente económica y la financiera.

Ejemplo: una empresa que compra mesas y luego las vende.

Factura Factura

Compra gasto Venta ingreso corriente económica.

Corriente financiera.

Pago Cobro

Corriente económica: Como entran y como salen las mesas

Corriente financiera: cuando pago y cuando cobro.

COBRO - PAGO = BENEFICIO

Todo proyecto de inversión genera una corriente de cobros y pagos que se originan en el tiempo.

DIAGRAMA TEMPORAL:

Donde: A = desembolso inicial (Camión por 120.000 €)

Cj = los cobros o entradas de dinero que se producen al final del periodo j.

Pj = los pagos o salidas de dinero que se producen al final del periodo j.

Qj = Flujo de caja al final del periodo j. (Qj = Cj - Pj)

Si Qj = 0 entonces Cj = Pj

Si Qj > 0 entonces Cj > Pj

Si Qj < 0 entonces Pj > Cj

n= duración de la inversión, es decir, el número de periodos que distan desde el origen al periodo en que se produce el último cobro o pago.

Periodo de análisis

El periodo de análisis es por lo general el año, pero también puede ser inferior (mes, semana, día, etc.). Normalmente la unidad más pequeña de análisis es el día por derivación de la norma bancaria, que calcula diariamente los saldos de valor y nos devengan intereses. Es cuando el dinero toma valor en el tiempo.

Para elegir el periodo de análisis hay que tener en cuenta dos factores:

• La facilidad y seguridad con la cual se pueden prever los flujos de caja (en el caso de apartamentos alquilados a estudiantes tomaríamos el mes, que es cuando pagan y cuando nos cargan determinados gastos)

• La magnitud de los tipos de interés. Cuantos mayores son los tipos, los periodos de análisis largos generan errores. (Brasil y Argentina)

• LAS ETAPAS DEL PROCESO DE INVERSIÓN.

La inversión es un proceso y como tal tiene etapas:

• Identificación de oportunidades de inversión: ver que oportunidades de inversión tiene la empresa. Tiene fuertes connotaciones estratégicas.

• Estimación de las magnitudes de un proyecto de inversión (los flujos de caja y adicionalmente el coste del capital).

• Valoración de los distintos proyectos de inversión (VC, TR, ...).

• Decisión de aceptación o rechazo del proyecto.

• LA PROBLEMÁTICA DEL PRESUPUESTO DE CAPITAL.

El presupuesto de capital es limitado, y está formado por el capital propio y la capacidad de endeudamiento. Al ser limitado, se restringen las posibles inversiones que la empresa puede llevar a cabo, y ello, le exige una asignación óptima de su presupuesto de capital.

Aquellas empresas que disponen de oportunidades de inversión rentables, pueden aumentar su presupuesto de capital en la misma cuantía en que aumente su capacidad de endeudamiento.

La empresa dará preferencia a los proyectos de inversión más rentables. Por tanto, la rentabilidad marginal es decreciente.

R' = Rentabilidad marginal

C' = Coste marginal

A = inversión

Suponemos que disponemos de 5 proyectos con las siguientes rentabilidades y costes marginales:

R' C'

18 14

17 15

16 16

15 17

14 18

Primero se realizarán los proyectos más rentables por lo que la rentabilidad marginal decrece.

Se utilizan las fuentes de financiación con menor coste, ya que el coste es creciente.

Se invierte hasta que se iguale el coste a la rentabilidad. Se invertiría hasta A2, ya que en A3 el coste es superior a la rentabilidad.

La adecuada gestión de los activos (inversiones) y de los pasivos (recursos financieros) llevaría a la empresa a realizar inversiones hasta un nivel A2, en el cual, se maximizaría la riqueza de los accionistas.




• METODOLOGÍA PARA EL ANÁLISIS DE LA VIABILIDAD DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN

• LA GENERACIÓN DE PROYECTOS DE INVERSIÓN.

La primera etapa es la identificación de proyectos que se adaptan a la estrategia elegida por la empresa. Tiene un alto componente estratégico.

¿Qué debe conocer la empresa para incrementar una estrategia que la relacione ventajosamente con el entorno? La empresa debe conocer dos cosas:

• El campo de actividad que tiene la empresa, que viene definido por:

CLIENTES: Grupo de clientes atendidos (¿A quién se satisface?).

FUNCIONES: Las funciones desarrolladas por el producto o servicio prestado por la empresa (¿Qué necesidades se satisfacen?)

TECNOLOGÍA: La tecnología empleada para ello (¿Cómo se satisface?).

Ejemplo: Proyección con manita, varita o puntero.

• El diagnóstico de la empresa. Se realiza a partir de:

Análisis externo que consiste en determinar las amenazas y oportunidades que se le presentan a la empresa en el desarrollo de su actividad.

Ejemplo: una empresa de comercio de seguros. Se le presenta una oportunidad cuando surge el comercio electrónico. Una amenaza para los fabricantes de PCS con marca es cuando ocurrió el auge de la venta de clónicos.

Análisis interno en el que se identifican las debilidades y fortalezas que tiene la empresa (puntos fuertes y débiles).

Ejemplo: Un punto fuerte es disponer de la tecnología (comercio electrónico) y un punto débil es no disponer de una cartera de clientes para una empresa de seguros.

2.1.1 Análisis externo

El análisis externo de la empresa se hace respecto del entorno, y el elemento más significativo de ese entorno es la situación de la competencia del sector industrial, que depende de las 5 fuerzas competitivas básicas, identificadas por Porter (1982):

• Posibilidad de entrada de nuevos competidores en el sector, que se analiza a través de las barreras de entrada (patentes, tecnología, etc.).

• Imposibilidad de salir del sector, que se debe a la existencia de barreras de salida (los altos hornos necesita unos activos gigantescos que solo sirven para esa actividad).

• La existencia de productos sustitutivos (que por diseño o coste inferior pueden dejar a nuestro producto fuera del mercado).

• El poder de negociación con proveedores y clientes (grandes superficies)

• El grado de rivalidad entre los competidores del sector (a mayor grado de rivalidad peor oportunidad de inversión, ya que con nuestra entrada aumentaría aún más la rivalidad).

2.1.2 Análisis interno.

El análisis interno de la empresa abarca los siguientes elementos

• Estructura. Hay que hacer un autoanálisis de la estructura de la empresa. Por ejemplo, una empresa con una plantilla de avanzada edad no será competitiva en negocios que requieran un uso masivo de nueva tecnología.

• Tecnología. Conocer la tecnología es muy importante.

• Los procesos de información, toma de decisiones y control. Ejemplo de información, en algunas actividades se necesita que los procesos de información sean fluidos para tomar decisiones rápidamente, por ello algunas administraciones públicas contratan empresas privadas para realizar algunas funciones. Ejemplo de control, la subcontratación en la construcción y en el transporte.

• PLANIFICACIÓN ESTRATÉGICA DE LA CARTERA DE INVERSIONES.

Una vez determinadas las oportunidades de inversión que se adaptan a la estrategia de la empresa, se debe proceder a la planificación estratégica de la cartera de inversiones. En este sentido la empresa debe decidir que estrategia genérica de actuación elige para relacionarse con el entorno.

Hay tres tipos de estrategias genéricas:

• Liderazgo en costes: Se trata de producir productos y ofertar servicios a un menor coste. Se hace a través de economías de escala o economías de experiencia. Ejemplo: producción en serie.

• Diferenciación de nuestros productos: Buscamos encontrar algo que diferencie nuestros productos para que nuestros clientes quieran comprarlos. Ejemplo coca-cola.

• Segmentación: orientada a:

• Grupo de clientes. Ejemplo jóvenes.

• Línea de producto. Ejemplo Volvo (mayor seguridad).

• Mercado geográfico. Ejemplo las cementeras (el mayor de los costes lo supone el transporte)

• ESTIMACIÓN DE LOS FLUJOS NETOS DE CAJA

La segunda parte del proyecto de inversión es estimar los flujos netos de caja.

Un flujo de caja
, donde:


= Flujo neto del periodo j,
= Cobros del periodo j, y
= Pagos del periodo j.

Para su estimación nos bastará con estimar por una parte los cobros y por otra los pagos.

2.3.1 EL DESEMBOLSO INICIAL.

Suele ser fácil de determinar pues es el precio que debemos de pagar por el bien objeto de la Inversión. Sin embargo hay tres observaciones.

• En determinadas ocasiones es necesario realizar estudios previos para ver si la inversión es adecuada. Estos estudios suponen unos costes independientemente de que el proyecto se lleve a cabo o no. En estos casos no debe incluirse estos costes para analizar si el proyecto se lleva a cabo o no. Hay dos excepciones a esta regla.

• Cuando estos costes van anexados al propio proyecto de inversión.

• Cuando me planteo si debo realizar esas pruebas o no.

• Se debe incluir como desembolso inicial o eventualmente como salida de dinero, si se produce en periodos distintos del de origen, el rendimiento dejado de obtener por activos propios anexados al proyecto de inversión (Ejemplo voy a montar un negocio y ya tengo una nave, podría venderla o alquilarla).

• No tiene sentido incluir los incrementos de activo circulante en el desembolso inicial del proyecto. El incremento del activo influye sobre los flujos de los cobros y los pagos.

2.3.2 ESTIMACIÓN DE LOS COBROS.

En principio los cobros no son conocidos, la base para su estimación será la corriente económica, concretamente los ingresos, que serán una función directa de las ventas. Hay casos excepcionales donde el cobro si es conocido, como una subvención.

El aspecto de previsión de los cobros se reduce, en principio, a la previsión de las ventas.

La previsión de las ventas es un dato para el departamento financiero, quien fija el plazo de cobro a los clientes.

Hay que tener en cuenta también el porcentaje de impagados, que se puede estimar fácilmente en función del sector al que pertenece la empresa.

Previsión de ventas

Cobros Plazo de cobro

Porcentaje de impagados

2.3.3 ESTIMACIÓN DE LOS PAGOS.

También existe una serie de ellos que son fijos y, por tanto, perfectamente conocidos (ejemplo los impuestos)

También serían fijas las cuotas de los arrendamientos financieros y los préstamos, así como alquileres o incluso los salarios.

Para el resto de los pagos hemos de volver a la corriente económica. Por tanto, teniendo en cuenta la corriente económica y en función de la demanda, debemos hacer una previsión de las compras.

Una vez conocidas las compras, teniendo en cuenta el plazo de pago a nuestros proveedores podremos estimar los pagos.

Previsión de compras

Pagos Plazo de pago

La previsión de los flujos de caja es un problema de diseño de un sistema de información

Problema 1. Empresa FLUCASA

La empresa FLUCASA (FLUJOS DE CAJA, S.A.) está planteándose realizar un proyecto de inversión que tendría un carácter exploratorio del mercado, por lo que la maquinaria comprada será de corta duración. En concreto, únicamente durará dos períodos. Las ventas previstas para el primer período serán 1.000.000 de euros y 1.500.000 de euros para el segundo. Asimismo, para desarrollar su actividad necesita realizar unas compras de 900.000 euros para el primer período y 1.000.000 de euros para el segundo. Además, existen otros gastos para cada uno de los períodos, donde también se incluye el gasto del personal por importe de 150.000 euros, que se pagan siempre al contado.

La política de ventas a plazo es el 60% en el período en que se realiza la venta y el 40% para el período siguiente. La empresa logra cobrar todas sus ventas, por lo que no tiene impagados. De otra parte sus proveedores le exigen que realice el pago de las compras el 30% en el período que se realizan y el 70% en el siguiente.

Se desea determinar los flujos de caja de este proyecto de inversión realizado por FLUCAJA.

PERIODO	0	1	2	3
VENTAS		1.000	1.500
COMPRAS		900	1.000
O. GASTOS		150	150
PLAZO Cj	60%	40%
PLAZO Pj	30%	70%

Periodo 1

Cobros:


Pagos:


Flujos de caja:


Periodo 2

Cobros:


Pagos:


Flujos de caja:


Periodo 3

Cobros:


Pagos:


Flujos de caja:


SI LO HACEMOS CON EXCEL

Definimos las fórmulas

Arrastramos hasta completar

• EL COSTE DE CAPITAL EN LA DECISIÓN DE INVERSIÓN.

Definiremos a toda la empresa como una sucesión de proyectos de inversión y financiación.

La empresa se crea cuando existe una demanda insatisfecha. Para ello necesita invertir en bienes necesarios para el desarrollo de la actividad.

Para organizar estas inversiones la empresa necesita recursos financieros.

Así, las decisiones de inversión y financiación son dos aspectos interdependientes que configuran a la empresa como una verdadera estructura económica-financiera.

En este contexto, la empresa va a realizar inversiones siempre que la rentabilidad de éstas sea mayor que el coste de los recursos financieros utilizados para su financiación. Este coste se conoce como Coste de Capital que denominaremos [K] y que viene a ser una especie de bisagra que enlaza inversión y financiación, fundamentales en toda empresa.




• VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE CERTIDUMBRE (I)

• Criterios aproximados de selección de inversiones.

Estos criterios no tienen en cuenta la cronología de los flujos de caja y operan con ellos como si fueran cantidades de dinero percibidas en el mismo periodo de tiempo.

Ejemplo de proyectos de inversión que utilizaremos en este tema

Proyecto	Desembolso	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6
A	-10.000	8.000	4.000	5.000
B	-5.000	2.000	2.000	2.000	2.000	2.000	2.000
C	-8.000	4.000	6.000
D	-11.000		-2.000			8.000	19.000
E	-4.000	1.000	1.000	1.000	1.000	1.000
F	-4.000	3.000	1.200

3.1.1 El criterio del flujo neto de caja total por unidad monetaria comprometida

Este método consiste en sumar todos los flujos de caja de cada inversión y luego el total se divide por el desembolso inicial correspondiente, obteniendo así el flujo neto total medio por unidad monetaria comprometida en la inversión, que constituye una medida de su rentabilidad; es decir:




Las mejores inversiones serán aquellas que proporcionen una tasa r' mayor. Ahora bien, una inversión interesa realizarla en cuanto r' sea superior a la unidad, ya que de lo contrario la inversión no permitiría recuperar el capital invertido.

Este criterio adolece de los siguientes defectos:

1. No tiene en cuenta el momento en que son obtenidos los diferentes flujos netos de caja, agregando de este modo cantidades heterogéneas. No se puede olvidar el mayor valor de los ingresos percibidos durante los primeros años, ya que pueden producir intereses en los años siguientes.

2. En realidad, sólo la parte de r' que excede a la unidad es rentabilidad en sentido estricto, porque la otra parte es recuperación del capital invertido. Por ello proponemos una rectificación de la fórmula en el siguiente sentido:




3. La rentabilidad de las inversiones se expresa generalmente refiriéndola a una base temporal anual. Sin embargo, las fórmulas anteriores nos proporcionan una rentabilidad referida a toda la vida de la inversión.







3.1.2 El criterio del flujo neto de caja medio anual por unidad monetaria comprometida

A diferencia del criterio anterior, que relaciona el flujo neto de caja total con el de desembolso inicial, este segundo criterio relaciona el flujo neto de caja medio anual con el desembolso inicial, es decir:




De esta forma se logra resolver el tercer inconveniente del criterio anterior.




3.1.3 El criterio del plazo de recuperación o “PAYBACK”

El plazo de recuperación o Payback (también llamado paycash, payout o payoff) de una inversión, es el tiempo que tarda en recuperarse (amortizarse) el desembolso inicial A.

• Cuando los flujos netos de caja son constantes, el plazo de recuperación o Payback vendrá dado por la fórmula:

Si Q1 = Q2 = ... = Qj = Qn, Plazo de recuperación =


• Si los flujos netos de caja no son constantes, el plazo de recuperación se calculará acumulando los sucesivos flujos de caja hasta que su suma sea igual al desembolso inicial A. Pero cuando además del desembolso inicial A los flujos netos de caja de los primeros años son negativos, el plazo de recuperación vendrá definido por el tiempo que tarda en recuperarse la suma de esos flujos negativos.

Si Q1 * Q2 * ... * Qj * Qn, Plazo de recuperación =

Según este criterio, las mejores inversiones son aquellas que tienen un plazo de recuperación más corto.







Inconvenientes

1) No considera los flujos netos de caja obtenidos después del plazo de recuperación.

2) No tiene en cuenta la diferencia en los vencimientos de los flujos netos de caja obtenidos antes de alcanzar el plazo de recuperación.

3) este criterio más que un criterio de rentabilidad es un criterio de liquidez que suele aplicarse en épocas y/o países con inestabilidad económica.

3.1.4 El criterio de la tasa de rendimiento contable

Este criterio también se conoce con el nombre de “método contable”. Está considerando la corriente económica en lugar de la financiera (se consideran los beneficios en vez de los flujos de caja), por tanto, no es válido para tomar las decisiones de inversión y financiación.




• Los criterios clásicos de evaluación y selección de inversiones: Valor capital y Tasa de Retorno.

Estos criterios si tienen en cuenta la cronología de los flujos de caja, es decir, tiene en cuenta el valor del dinero en el tiempo, a través del proceso de actualización.

3.2.1 El criterio de Valor Capital

El valor Actual Neto (VAN) de una inversión es igual al valor actualizado de todos los flujos netos de caja esperados, a un tipo de actualización (K) que coincide con el coste de oportunidad del capital.

Suponemos que en cada periodo hay un coste de capitalización diferente

Considera el valor del dinero en el tiempo, a través de proceso de actualización:




Si suponemos que el coste de capital (K) es distinto en cada periodo:


:




Ahora bien, si suponemos que en todos los periodos hay un mismo coste de capitalización:




*


Si Q1 = Q2 = Q3 = … = Qn = Q


*


Otra posibilidad: que la duración de la inversión es ilimitada:



*
*


El criterio deberá venir acompañado de una norma de decisión:

NORMA DE DECISIÓN:

1.- Serán realizables todos aquellos proyectos cuyo valor capital sea positivo (VC>0).

2.- Si tenemos que jerarquizar entre varios PI, serán preferibles los que tienen mayor VC.

En el ejemplo anterior, supuesto K = 7%, vamos a calcular el VC del Proyecto de inversión A

Valor Capital de A:


Igual para el resto de los proyectos

Proyecto	Valor Capital	Orden de preferencia
A	5.051,73	2
B	4.533,06	3
C	978,86	4
D	5.617,44	1
E	100,19	5
F	-148,18

3.2.2 Pay back Descontado

Soluciona el 2º inconveniente del tercer precriterio.

Es el nº de periodos que se necesita para que el valor actualizado de los flujos de caja sea superior o igual al desembolso inicial.

Este criterio se define para suplir el inconveniente b) del plazo de recuperación.

Para tener en cuenta la diferencia en el vencimiento de los flujos de caja que se producen antes del plazo de recuperación se define el Payback Descontado:




3.2.3 Tasa de Retorno (TR)

La Tasa de Retorno es aquel tipo de actualización o descuento que iguala a cero el Valor Capital.

Hay que distinguir entre TIR: Tasa interna de retorno y TR: Tasa de retorno.

TR= r
*


Podríamos pensar que los flujos son constantes (Q1=Q2=…=Qn)


*

Supongamos que la duración de la inversión es ilimitada:



* *


NORMA DE DECISIÓN

1.- Un proyecto es realizable siempre que la tasa de retorno sea superior al coste de capital. Esto se conoce como la condición de efectuabilidad del proyecto de inversión.

2.- Si la empresa debe elegir entre varios proyectos de inversión efectuables dará prioridad a aquellos que tengan una mayor tasa de retorno.

Para el cálculo de la TR podemos utilizar varios procedimientos:

a) si n*2. En este caso despejamos r.

PIF:
*(1+r) = x * , operamos y despejamos




Elegimos la positiva por la idea que tenemos de interés:

b) Cuando n>2. Hay que utilizar una hoja de cálculo o el procedimiento de prueba y error.

En el ejemplo anterior referido al proyecto de inversión A:

1.- Determinar o elegir una TR prevista. Por ejemplo 9%.

PIA:
no satisface la ecuación ya que el segundo miembro = 14567,0

Luego tiene que ser mayor, probamos con 36%


no satisface la ecuación pero nos da un valor bastante aproximado ya que el segundo miembro = 10032,6939. Como con el 37% obtenemos 9915,09139, sabemos que está en el intervalo entre 36% y 37%

• Examen crítico y comparación de los criterios clásicos.

3.3.1 VENTAJA DE LOS CRITERIOS CLÁSICOS SOBRE LOS APROXIMADOS.

Consiste en tener en cuenta los diferentes vencimientos de los flujos de caja, por lo que se produce una homogenización de corrientes monetarias que se generan en los distintos periodos de tiempo. Se hace a través de la tasa de actualización.

En definitiva estamos estableciendo una relación de indiferencia entre recibir una cantidad en el periodo de tiempo determinado u otra equivalente en un periodo distinto.

C0 C1

k

0 1

Se valora al precio de K


El coste de capital (K) es diferente para cada empresa.

Vamos a ver la importancia de la actualización mediante un sencillo ejemplo.

EJEMPLO: La ONCE ofrece en su cuponazo 250.000.000 en un solo cobro ó 10.000.000 en 25 años ¿Cuál es más rentable?

a) Suponemos un tipo de interés del 10%

b) Suponemos un tipo de interés del 5%

3.3.2 INCONVENIENTES DEL VC Y DE LA TR

A.- LA DETERMINACIÓN DEL COSTE DE CAPITAL.

Aunque podemos calcular la TR sin conocer K, no podemos tomar una decisión si no la conocemos.

El Coste del Capital es el coste de los recursos financieros utilizados para financiar el proyecto de inversión. Si para financiar un proyecto hacemos una emisión de obligaciones, entonces K será el coste de la emisión. Sin embargo, normalmente se utilizan varias fuentes de financiación para financiar un proyecto, en cuyo caso sería el coste medio ponderado de los fondos empleados (fuentes utilizadas).

B.- MERCADO DE CAPITALES IMPERFECTO.

Ambos criterios parten de la hipótesis de la existencia de un mercado de capitales perfecto. Según esta hipótesis cualquier empresa puede acudir al mercado financiero en demanda de fondos y sin limitación alguna al tipo de interés de equilibrio K, y por el contrario la empresa puede acudir ofreciendo sus recursos financieros excedentes sabiendo que el mercado le va a proporcionar la rentabilidad de K.

Bajo esta hipótesis las empresas llevarían a cabo todos los proyectos de inversión con valor K positivo.

De otra parte cuando la empresa tuviera excedentes de fondos y no dispusiera de proyectos con valor capital positivo podría colocar estos excedentes en el mercado financiero sabiendo con anterioridad que la rentabilidad que va a obtener es K.

¿Cuál sería el VC de esta inversión? Su VC entonces, es cero, porque la rentabilidad = VC

Sea E el montante de los excedentes de fondos

Es una inversión financiera




Esta hipótesis no se cumple en la realidad, pues el mercado financiero es quizás el más imperfecto de los mercados, pues se descompone en mercados parciales según su naturaleza y a cada uno de ellos les corresponde un precio o tipo de interés diferente. Por ejemplo, el mercado de préstamos engloba tanto a los hipotecarios como los créditos al consumo, y éstos tienen un tipo de interés superior a aquellos.

En definitiva: no coincide el precio en función de si se demandan u ofertan fondos en el mercado.

C.- FLUJOS DE CAJA INTERMEDIOS.

Ambos criterios parten de la hipótesis poco realista de reinversión de los flujos de caja intermedios al coste de capital o a la tasa de retorno, según se trate de los criterios de VC o de la TR respectivamente.

Sea un PI

Expresión del VC




¿Qué implica esto?

a) SI LOS FLUJOS DE CAJA SON POSITIVOS (Qj > 0), se invierte inmediatamente de ser obtenidos y hasta el final del límite temporal de la inversión a una tasa de reinversión que coincide con el coste de capital (K), o con la tasa de retorno (r), según se trate del criterio del VC o de la TR

b) SI LOS FLUJOS DE CAJA SON NEGATIVOS (Qj<0), se financia inmediatamente de ser obtenidos y hasta el final de la duración de la inversión con recursos financieros, cuyo coste medio ponderado coincide con el coste de capital (K), o con la tasa de retorno (r), según se trate del criterio del VC o de la TR

Esta hipótesis no se ajusta a la realidad.

a) Caso del Valor Capital

Esta hipótesis sólo es cierta si el mercado financiero fuera perfecto, lo que implica que las empresas llevarían a cabo todos sus proyectos de inversión con VC>0. En consecuencia, cuando un proyecto produce un flujo de caja positivo, éste se debe destinar a la inversión financiera cuya rentabilidad conocemos que es K, y, del mismo modo, si el flujo de caja es negativo, éste se financiaría con recursos financieros obtenidos en el mercado financiero, cuyo coste es de nuevo el coste de capital K.

Pero hemos visto que el mercado de capitales no es perfecto. En consecuencia, cuando la empresa obtenga un flujo de caja positivo, éste podrá ser utilizado para financiar otra inversión productiva, siendo ahora su rentabilidad la de su inversión productiva.

Su tasa de reinversión sería la rentabilidad de la inversión productiva K', que no tiene que coincidir con K si la empresa no tuviera más inversiones productivas, ese dinero lo utiliza en una inversión financiera, y la rentabilidad ahora, en este caso, sería K'<K.

De otra parte, si el proyecto de inversión genera flujos de caja negativos, éstos se refinancian con recursos financieros que procedan o no del mercado financiero, cuyo coste será K'', que puede ser distinto de K

La nueva formulación del criterio del VC suponiendo que K' y K'' son iguales, por simplicidad, y que la llamaremos K':




donde, K' sería la tasa de reinversión y K el coste de capital.




Ejemplo:

Sea la inversión A. La tasa de reinversión es del 4%. Calcular el valor capital.

b) Caso de la Tasa de Retorno

De igual forma, esta hipótesis para la TR implica que:

• La Tasa de Retorno coincida con la rentabilidad del proyecto, lo cual no tiene porqué cumplirse, dado que lo más probable es que ésta reinversión se haga con otra inversión productiva.

• La tasa de refinanciación coincide con la rentabilidad de la inversión, lo cual sólo se cumple si el mercado de capitales fuera perfecto y para la inversión financiera.

En definitiva, según el criterio de la tasa de retorno, los flujos de caja positivos se reinvertirán a una tasa r' que no tiene porqué coincidir con la rentabilidad de la inversión. Mientras que los flujos de caja negativos se refinanciarán con recursos financieros cuyo coste sería r'', que tampoco tiene porqué coincidir con r.

La nueva formulación de la TR suponiendo que r' y r'' son iguales, por simplicidad, y que la llamaremos r':




donde, r^ sería la tasa de retorno reformulada *r y *r'.

El valor que tome r^ depende del valor de r, porque el cociente tiene que ser = A, para que el resultado sea =0




Ejemplo:

Sea la inversión A. Suponiendo la tasa de reinversión del 20%.

D.- DEPENDENCIA DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN.

Ambos criterios consideran independientes los proyectos de inversión propuestos, es decir, se están negando las posibles relaciones entre los proyectos de inversión, por ejemplo, financiamos un proyecto con flujos positivos de caja de otro proyecto.

Hemos de tener en cuenta que las inversiones no están aisladas y que repercuten sobre todo el sistema operativo de la empresa. Esto se soluciona mediante la programación de inversiones y que, como herramienta, utiliza la programación lineal.

3.3.3. INCONVENIENTES EXCLUSIVOS DEL VC

A.- EL VC PUEDE CONDUCIR A DECISIONES ERRÓNEAS CUANDO SE COMPARAN PROYECTOS DE INVERSIÓN QUE TIENEN DIFERENTE DESEMBOLOSO INICIAL.

Ejemplo:

PI 1 A= 8.000 VC=3.000

PI 2 A=18.000 VC=6.000

Elegiríamos el PI 2, porque el VC es mayor. Pero el desembolso inicial es más del doble, por ello, la elección es errónea.

Para resolver este problema utilizamos el índice de rentabilidad:



y

Como IR1 > IIR2 elijo el PI 1 y evito una decisión errónea.

El Índice de Rentabilidad se define como:


Plantea el problema de que sólo aquella parte de la rentabilidad que supere la unidad es rentabilidad en sentido estricto, porque el resto, es recuperar la inversión. Para evitar este problema lo reformulamos como


B.- EL VC PUEDE CONDUCIR A DECISIONES ERRÓNEAS CUANDO SE COMPARAN PROYECTOS DE INVERSIÓN QUE TIENEN DIFERENTE DURACIÓN.

Ejemplo:

PI 1 duración = 2 años VC = 3.000

PI 2 duración = 18 años VC = 6.000

Elegiríamos el PI2, porque el VC es mayor. Pero la duración es mucho mayor, por ello, la elección es errónea.

Para resolver este problema utilizamos el Método del Coste Anual Equivalente

Coste anual equivalente:

3.3.4. COMPARACIÓN DE CRITERIOS CLÁSICOS: EL VALOR CAPITAL Y LA TASA DE RETORNO.

El Valor Capital mide la rentabilidad en términos absolutos, mientras que la Tasa de Retorno nos propone una medida de la rentabilidad en términos relativos.

Vamos a ver una jerarquización de los criterios para nuestro ejemplo.

Proyecto	FNC	FCMA	P-B	VC	TR
A	3	2	1-2-3	2	1
B	1	4	4	3	2
C	4-5	1	1-2-3	4	3
D	2	5	6	1	4
E	4-5	6	5	5	5
F	6	3	1-2-3	6	6

CONCLUSIÓN; en cuanto a los precriterios, no hay ninguna relación.

Comparamos VC y TR. Según el criterio del VC y de la TR, los PI se aceptan o se rechazan. Para el VC se rechaza el PI F y en la TR se rechaza también, Para este ejemplo coinciden en los rechazados y no coinciden en la jerarquización por muy poco, por el PI D.

Vamos a compararlos en función de:

1) En cuanto a la aceptación o rechazo del PI.

2) En cuanto a la jerarquización de una lista de PI.

Para ello hemos de definir:

• PROYECTO DE INVERSIÓN SIMPLE

Es aquel cuyo desembolso inicial es positivo y todos sus flujos son positivos o nulos.

A < 0, Qj * 0, j = i, …, n.

• PROYECTO DE FINANCIACIÓN SIMPLE

Es aquel que tiene un desembolso inicial negativo y todos sus flujos son negativos (no es un proyecto de inversión).

A > 0, Qj < 0.

• PROYECTO DE INVERSIÓN NO SIMPLE

Es aquel cuyo desembolso inicial es positivo y alguno de sus flujos es negativo.

Para hacer la comparación entre los dos criterios, vamos a estudiar solamente los proyectos de inversión simples, que además sean viables


1.- EQUIVALENCIA DE LOS CRITERIOS VC Y TR EN LA CAPTACIÓN O RECHAZO DE PI SIMPLE.

Si tenemos un PI simple y es aceptado (rechazado) por la TR, también es aceptado (rechazado) por el VC y viceversa.

Demostración (gráficamente).


Regla de los signos de descartes: toda ecuación de grado n, puede tener tantas raíces positivas como cambios de signo.

Como hay un cambio de signo, esa ecuación puede tener como mucho una raíz positiva, y además, en nuestro, caso la tiene, porque exigimos a nuestras inversiones que sean viables.

Si

VC = 0 * r = K.

ASÍNTOTAS:

K * * * VC * -A (porque Qj* 0).

K * -1 * VC * *. (porque Qj/(1+K)n* 0)

No tiene significado económico porque K sólo puede tener valores positivos.

CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO,


Decreciente (1>K<*)

CONCAVIDAD, CONVEXIDAD


Convexa (1>K<*)

RESULTADO DEL CRITERIO	TR	VC
Aceptación	r > K	VC > 0
Rechazo	r < K	VC < 0
Indiferencia	r = K	VC = 0

Ambos criterios coinciden para aceptar o rechazar PI simples.

Analíticamente:

1)

2)

Si restamos ambas expresiones.

I)-2) !





RESULTADO DEL CRITERIO	TR	VC
Aceptación	r > K	VC > 0
Rechazo	r < K	VC < 0
Indiferencia	r = K	VC = 0

2.- CONDICIÓN PARA QUE LOS CRITERIOS VC Y TR CONDUZCAN A LA MISMA JERARQUIZACIÓN EN UN PI SIMPLE.

Tasa de Retorno sobre el coste de Fisher: si tenemos 2 PI Fisher denomina Tasa de Retorno sobre el coste, a aquel tipo de actualización o descuento que iguala el VC de ambas inversiones.




Analíticamente:




de esta expresión obtenemos rF

Ejemplo: Sean los proyectos de inversión

PI 1 A = 50.000 Q1 = 65.000

PI 2 A = 100.000 Q1 = 120.000

K = 0,07

Calculamos el VC de 1 y de 2

VC 1 = 10.747,66 r1 = 30%

VC 2 = 12.149,53 r2 = 20%.

Calculamos rF




Figura T3




VC=F(K)

Según el criterio del VC es preferible el PI 2 Los criterios coinciden para K=rF.

GENERALIZANDO: si tenemos una lista de oportunidades de inversiones simples, la condición suficiente para que los criterios VC y TR conduzcan a la misma jerarquización, es que en el primer cuadrante no exista ninguna intersección de Fisher

Figura T4




Preferible el PI A

Esta condición suficiente no es necesaria, pues aún existiendo intersección de Fisher en el primer cuadrante, ambos criterios conducen a la misma jerarquización siempre que el Coste de Capital sea superior a la Tasa de Retorno, sobre el Coste de Fisher.


HAY 2 CASOS PARTICULARES:

1) Existen varias intersecciones de Fisher en el primer cuadrante.

En este caso siempre hemos de mirar la Tasa de Retorno.

r1>r2. Hay que realizarlo intervalo a intervalo.




Si
elegimos 2 (coinciden)

Si
elegimos 1 (coinciden)

Si
elegimos 2 (coinciden)

2) Múltiples inversiones.

En este supuesto nos encontramos con una intersección de Fisher en el primer cuadrante, pero para múltiples inversiones




Se comparan 2 a 2

• El problema de la inconsistencia en el criterio de la tasa de retorno: Inversiones puras y mixtas.

PROBLEMA 2 inconsistencia de la tasa de retorno.

Suponga que acaba de obtener el grado de Licenciado en Administración y Dirección de Empresas, y es contratado por la empresa PEPITO, S.A. para hacerse cargo de la Dirección Financiera de la empresa. El Sr. Pepe, Director General, le pide que determine la rentabilidad relativa del siguiente proyecto de inversión, cuyas cantidades aparecen en millones de euros. Desembolso inicial 6.000 y dos flujos de caja, el primero 10.000 y el segundo -10.000.

Nota: El Sr. Pepe no entiende de Finanzas, luego le tiene que explicar usted el resultado obtenido.

• Partimos de la tasa de retorno que es aquella que iguala a 0 el valor capital.
  

• Denominamos (1+r) = X y sustituimos en la ecuación anterior
  

• Despejamos.
  

• Reducimos para operar más fácilmente.
  

• Reducimos nuevamente.
  

• Estamos en un sistema de ecuaciones de segundo grado, luego aplicamos la fórmula.
  

• Sustituimos los valores.

• Reducimos para operar más fácilmente.

• El resultado obtenido es.

• Por lo que tendremos dos valores para x (x = + 0,15267996 y x =- 1,81934663):

• Como (1+r) = x, sustituimos




• DE LO QUE SE DEDUCE CLARAMENTE LA INCOSISTENCIA DE LA TASA DE RETORNO

La Tasa de Retorno surge de la siguiente expresión


Toda ecuación de grado n tiene n raíces, por tanto, pueden existir dos o más tasas de retorno positivas, o que las raíces fueran imaginarias. Esto no tiene que ver con el concepto intuitivo que todos tenemos del tipo de interés, por eso, decimos que la Tasa de Retorno es inconsistente.

¿Para qué inversiones este criterio se considera inconsistente? Esto es difícil de responder. Lo sustituiremos por ¿para qué tipo de inversiones no existe este problema?

Sea un proyecto de inversión simple, vamos a ver que éstas no tienen problema de inconsistencia.




En esta ecuación aplicamos la regla de Descartes y vemos que como máximo, puede haber una raíz positiva. Si además exigimos que
podemos calcular que todo proyecto de inversión simple que cumpla esta condición, tiene una única y significativa Tasa de Retorno y, por tanto, no tiene problema de inconsistencia.

Las que tienen problema de inconsistencia son las inversiones no simples, pero no necesariamente todas. Para ver cuáles hemos de redefinir los PI en función de su saldo.

Sea el siguiente PI

TR r

Calculamos la relación entre la empresa y el PI. Calculamos los saldos del PI de la empresa.




Definimos el saldo de un PI en el momento t, como:







Dividimos todo entre (1+r)n




INTERPRETACIÓN

La Tasa de Retorno es la rentabilidad relativa que proporciona un PI, de tal manera, que el saldo del PI con la empresa al final del periodo sea nulo. En principio, la empresa pone a disposición del PI A unidades monetarias, que el proyecto le va devolviendo paulatinamente a través de los flujos de caja hasta que el saldo sea 0.

3.4.1. RELACIÓN ENTRE EMPRESA, PROYECTO Y SALDO 0.




La empresa obtiene una cantidad de fondos “A” del mercado financiero. La empresa acude al mercado de PI y realiza un proyecto por un montante de A. La empresa invierte porque espera la sucesión de los flujos de Caja (QJ)

En el marcado financiero esperan la amortización financiera a través de dividendos (acciones) o intereses. La rentabilidad de los inversores es un coste para la empresa, por eso, los procesos de financiación se valoran al coste de capital (K).

Nos fijamos en la relación empresa-mercado de inversiones. Existe una relación entre la empresa y el PI, y existe un saldo de esa relación que podrá ser positivo, negativo o nulo.

• Si el saldo final del PI es negativo: El PI está endeudado con la empresa

• Si el saldo final del PI es positivo: la empresa recibió del PI una cantidad de unidades monetarias superior a la entregada, por esto, la empresa está endeudada con el proyecto.

Teniendo en cuenta esto, vamos a redefinir las inversiones de forma intuitiva.

3.4.2. CLASIFICACIÓN DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN EN FUNCIÓN DE SUS SALDOS.

A.- PROYECTO DE INVERSIÓN PURO.

Gráficamente:




Es un proyecto puro.

La empresa transfiere en el momento inicial “A” unidades monetarias. En el siguiente periodo, el proyecto empieza a devolver a la empresa unidades monetarias a través de los flujos de caja, de tal forma que, los saldos se van haciendo cada vez más pequeños en valor absoluto, hasta el momento n, en el que el saldo es 0.

Todos los proyectos de inversión que cumplan esta condición son puros.




B.- PROYECTO DE INVERSIÓN MIXTO.

Podría darse el caso de que, siendo el primer saldo -A en el momento inicial, que éste fuera disminuyendo hasta llegar a un periodo en que el saldo es positivo y al final del horizonte temporal “n”, el saldo se anula.

Gráficamente.




Es un proyecto mixto.

En estos proyectos de inversión tenemos una mezcla de:

• Procesos de inversión saldo negativo o nulo

• Procesos de financiación saldo positivo.

Por eso, a estas inversiones se las denomina como mixtas

Todos los proyectos de inversión que cumplan esta condición son mixtos.




3.4.3. CONSTRUCCIÓN DE LOS SALDOS DE UN PROYECTO DE INVERSIÓN.

A.- PROYECTO DE INVERSIÓN PURO.




B.- PROYECTO DE INVERSIÓN MIXTO.

Cuando el saldo sea negativo, capitalizamos a la tasa de retorno [multiplicamos por (1+r)], y sumamos el flujo correspondiente




Cuando el saldo sea positivo, es decir, el proyecto sea de financiación, la empresa está endeudada con el proyecto.

El flujo siguiente será igual al anterior capitalizando y sumando el flujo correspondiente.




Ahora ya podemos contestar a ¿para qué PI la tasa de inversión es inconsistente?

3.4.4. RElACIÓN K y “r” SEGÚN LOS SALDOS DEL PROYECTO DE INVERSIÓN.

A.- PROYECTO DE INVERSIÓN PURO.

Sea un proyecto de inversión puro, sabemos que el primer saldo es negativo, y los saldos posteriores, por definición, son todos negativos o nulos, y el último Sn(1+r)=0:




lo que se observa aquí es que la Tasa de Retorno no depende de K, es decir, es una función constante independiente de K y corta a la recta r=K en un solo punto




Este punto K0 es la única raíz de la ecuación de la Tasa de Retorno [VC(r)=O]. Por tanto, es la única tasa de descuento que anula el VC. Por tanto, existe una única y significativa TR y éste criterio no tiene ningún problema de inconsistencia (es consistente).

B.- PROYECTO DE INVERSIÓN MIXTO.







Por definición tiene que existir un saldo positivo St(r)>o, y a partir de aquí, todos los saldos posteriores dependen de r y K, incluido el último que sabemos que es 0.

En los proyectos de inversión mixtos la TR es una función del coste de capital, u al no recoger el criterio de la TR, este aspecto se muestra inconsistente. No es útil para determinar la rentabilidad del proyecto.


3.4.5. CLASIFICACIÓN DE LOS PROYECTOS DE INVERSIÓN.

FLUJOS	SIMPLES	NO SIMPLE
SALDOS	PURO		MIXTO

1.- Todo proyecto de inversión simple es puro. Para demostrar esto, se puede hacer por reducción al absurdo. Todos los PI simples son puros, porque no tienen problema de inconsistencia.

2.- Todos los proyectos de inversión mixtos son no simples. Lo sabemos por reducción al absurdo y se puede comprobar intuitivamente.

3.- No toda inversión no simple es mixta. Puede ser pura.

4.- No todo proyecto puro es simple.

Nuestro problema es determinar r

1.- Si el proyecto de inversión es simple, es puro, y la TR es consistente ya que VC(r)=0, despejamos r y ya está la solución.

2.- Si el proyecto de inversión es no simple, tenemos el problema de saber si es puro o mixto. Miramos si tiene algún signo negativo. Esto implica que debo conocer el signo de los saldos y dependen de r. Sería un círculo vicioso, y lo solucionamos con la TASA DE RETORNO CRÏTICA, que nos permite saber el signo de los saldos.

• Propuesta de solución al problema de inconsistencia.

Antes de introducir el concepto de TR Crítica, vamos a estudiar la relación que existe entre la TR (r) y el Saldo de un PI: demostrar que existe una relación inversa entre la TR y el Saldo de un PI.

Dado un PI, su saldo es St(r)

DEMOSTRAR:

1.- Siempre existe un valor de r/St(r)0 para todo 0<t<n, o lo que es lo mismo:

Y por tanto A0 (porque al calcular el límite todos los cocientes son 0). Queda demostrado.

De esta definición se desprenden dos colorarios:

COLORARIO I: Existe una relación inversa entre la TR y el saldo de un PI.

COLORARIO II: Dado un PI, siempre existirá un valor de r que anule a cualquier saldo intermedio.

3.5.1. DEFINICIÓN DE LA TASA DE RETORNO CRÍTICA.

Es el menor valor de r que, anulando a un saldo intermedio cualquiera, hace negativos o nulos a los demás saldos intermedios, y al saldo final, lo podrá hacer positivo, negativo o nulo.

3.5.2. CÁLCULO DE LA TASA DE RETORNO CRÍTICA.

La vamos a calcular en tres pasos.

1.- ESCRIBIR LOS SALDOS INTERMEDIOS.

2.- PARA TODOS LOS SALDOS INTERMEDIOS HAY UN VALOR “r” QUE LOS ANULA.




rct: valor que anula el saldo

r: valor que aumenta el saldo.




rct: valor que anula el saldo

r: valor que hace el saldo negativo.

3.- BUSCAR EL MENOR DE LOS rc QUE HACE NEGATIVOS O NULOS A LOS OTROS SALDOS.




3.5.3. UTILIZACIÓN DE LA TASA DE RETORNO CRÍTICA.

La utilizamos para saber si un PI es puro o mixto, para lo que sustituyo rc en el último saldo.

Si
el PI es PURO

Si
el PI es MIXTO

Hemos demostrado que si tengo un PI y no sé si es puro o mixto, ahora sé que si calculo rc y lo sustituyo en el último saldo, si >0 es mixto y si es 0 es puro

DIAGRAMA DE FLUJO




PROBLEMA 3

La empresa ESTUDIANTES, S.A. se plantean llevar a cabo un proyecto de inversión que durará los tres años que estiman tardan en terminar la Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas. Los fundadores de ESTUDIANTES. S.A. no quieren revelar las características de su proyecto. Pero como no saben calcular la rentabilidad absoluta y relativa del proyecto piden a un compañero de un curso superior que les determine las mencionadas rentabilidades. Para ello estiman que en millones de euros el desembolso será 4, y los flujos de caja de los tres años son 7, -2 y 3 respectivamente.

Nota: Preguntados los fundadores sobre el coste del capital, indican que este es del 10%.

• Partimos de los datos que nos proporciona el enunciado del problema (en millones de euros).




• Calculamos la rentabilidad absoluta (V.C.) y la rentabilidad relativa ( T.R)




• Como el proyecto de inversión no es simple, al tener un flujo negativo, tenemos que hallar rc

• Saldos intermedios




• La mínima es 0,39, probamos
  

• Probamos con 0,75
  

• Sustituimos en el último saldo
  

• calculamos los saldos del PI.

PROBLEMA 5

El asesor financiero de la empresa DEFSA se enfrenta con el problema de tener que decidir cuál de las dos inversiones expuestas a continuación es preferible según los métodos de valoración del plazo de recuperación, tasa de retomo y valor actual neto (VAN):

INVERSIÓN / AÑO	Año 0	Año 1	Año 2
Inversión A	-37.316	47.228	7.000
Inversión B	-20.000	10.000	27.000

Hasta el momento se desconocen las fuentes financieras implicadas en la inversión elegida, por lo que se desconoce su coste.

Nota: Cantidades en millones de euros.

PLAZO DE RECUPERACIÓN

• 
  

• 
  

• TASA DE RETORNO

• PI_A:
  

• PI_B:
  

• VALOR CAPITAL

• Desconocemos el coste de capital. Intersección de Fisher: Tasa de Retorno sobre el coste de Fisher VC1=VC2
  

X=1,0518 rF1= 0,0518

2 intersecciones

X=1,0981 rF2= 0,00981




• 
  

• 
  

• La solución de Merret y Sykes.

Es otra alternativa para resolver el problema de inconsistencia que presenta la TR en algunos casos (es más sencillo que la tasa de retorno crítica).

Si tenemos un proyecto de inversión mixto, donde la tasa de retorno (r) sale de igualar a 0 el último saldo y despejar r que es f(K), lo que vamos a hacer es transformar este proyecto mixto en puro, cuya tasa de retorno r coincide con la rentabilidad relativa que proporciona la relación funcional del proyecto mixto original.

Se distinguen 3 casos:

1.- CUANDO EL FLUJO O FLUJOS DE CAJA NEGATIVOS SEAN LOS ÚLTIMOS.

Por simplicidad suponemos n=3.

Sea un PI

donde Q3<0

a) Es un proyecto de inversión mixto porque Q3<0 y su saldo es:




>0

b) Transformamos el proyecto de inversión

A'=A Q1'= Q1 Q2'=


0 1 2

Actualizamos el flujo de caja negativo al periodo siguiente para ser compensado con el flujo de caja positivo de ese periodo. Hemos utilizado K para actualizarlo porque es la empresa la que está endeudada con el proyecto de inversión. Tenemos que demostrar que es puro, es decir, que todos los flujos de caja son ahora positivos, y es por lo tanto un PI SIMPLE y PURO.

c) Falta demostrar que la TR del PI, puro, coincide con r=f(K), la rentabilidad relativa del PI mixto original.

Saldos del PI Mixto





Calculamos la TR del PI PURO




2.- CUANDO EL FLUJO DE CAJA NEGATIVO ES INTERMEDIO.

Por simplicidad suponemos n=3.

Sea un PI

donde Q2<0

a) Es un proyecto de inversión es no simple porque Q2<0. No sé si es puro o mixto y no puedo saberlo a menos que calcule rc, porque así el último saldo =0 y puedo sacarla (No lo veremos)

3.- CUANDO EL FLUJO DE CAJA NEGATIVO ES EL PRIMERO O LOS PRIMEROS

Cuando Qj<0 es el primer o primeros flujos, el PI es puro, porque la aplicación de la regla de los signos de Descartes dice que hay una única raíz positiva, si los primeros flujos de caja son negativos, a partir de así sólo sumamos. Si hubiera alguno positivo, sería el último.




• VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE CERTIDUMBRE (II)

• Método del coste anual equivalente

Se desarrolla para resolver el problema que presenta el VC cuando las inversiones tienen distinta duración.

Por simplicidad, vamos a suponer que los cobros para ambas inversiones son los mismos. Esto se puede generalizar a través del Flujo Anual Equivalente. De momento, vamos a estudiar la elección entre bienes de equipo que cumplan la misma función, pero tienen un coste diferente, y la duración también es distinta.

En este contexto, la simple aplicación del criterio del VC debidamente modificado, nos llevaría a elegir aquel bien de equipo que tiene menos coste. Hablando más técnicamente, aquel cuyo valor actualizado de los pagos, es menor. Ésta decisión pudiera ser errónea, siempre que el equipo cuyo valor actualizado de los pagos (VAP) dure menos.

Por ello, para tomar una decisión, habría que tener en cuenta las futuras decisiones de reemplazo.

4.1.1. LA CADENA DE REMPLAZO.

Problema 6. ALCASA

Sea la empresa ALMACEN DE CALABAZAS, SA. (ALCASA) que necesita una máquina elevadora para descargar los camiones que llegan al almacén. Para ello está estudiando elegir entre dos máquinas que cumplirían la misma función. La máquina A cuesta menos que la B pero también dura menos. En concreto, la máquina A cuesta 50.000 euros, siendo su duración de 3 años en los que hay que pagar unos gastos de mantenimiento de 12.000 euros anuales. De otra parte, la máquina B, cuya duración es mayor de 4 años, tiene un coste de 60.000 euros y los gastos de mantenimiento que deben ser pagados en cada uno de estos años es 10.000 euros. Para efectuar la elección se sabe que el coste del capital es del 10%.

Representamos gráficamente la secuencia de flujos

Hago un análisis basado en los pagos, ya que los cobros son iguales.

Calculo el Valor Actualizado de los Pagos.




¿Qué decisión tomamos? Compraría la máquina A, porque su VAP es menor. Sin embargo, esta decisión puede ser errónea, porque aunque B tenga mayor VAP, dura un año más, luego podría interesar comprar B. Para tomar esta decisión, debo ajustar el ciclo de la vida útil de ambas máquinas. Para ello existen dos métodos:

Método de igualación el ciclo de vida útil de las máquinas. Como el ciclo de la A es 3 años y el de la B 4 años, para poder igualar deberíamos tomar 12 anos, en los que se consumirían 4 máquinas de A y 3 máquinas de B: Calculamos El VAP en 12 años. Gráficamente

A 79.842 79.842 79.842 79.842

B 91.699 91.699 91.699

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12




Sería preferible la B porque para 12 años el valor actualizado de los pagos es menor.

Conclusión: la solución adoptada anteriormente era errónea. Este método es sencillo, pero tiene un inconveniente, y es que, en ocasiones, puede que el número elegido de periodos para igualar el ciclo de vida útil de ambas máquinas haga que los cálculos resulten tediosos.

Método de Coste Anual Equivalente. Consiste en calcular un pago anual equivalente para cada año y que fuera equivalente a la que tengo.

Primero lo calculamos para la máquina A

Trata de buscar otra corriente que se pagará cada año y que fuera equivalente a la que tengo.

(50, 12, 12, 12) = (0, x, x, x)

Para la máquina B

(60, 10, 10, 10, 10) = (0, y, y, y, y)




Lo representamos

Mi decisión es B, porque el Coste Anual Equivalente de esta máquina es menor. La solución coincide con la obtenida anteriormente.

Ambos métodos son dos maneras alternativas de tomar la decisión correcta. Sin embargo, ambos tiene un inconveniente y es que parten de la hipótesis del horizonte temporal indefinido, pero puede que no siempre se necesite la máquina por un largo periodo de tiempo. ¿Qué ocurre si el periodo de tiempo es más corto? Seguiremos el mismo ejemplo con 1 nuevo supuesto.

Supuesto: supongamos que ALCASA conoce que al final del 5º año aparecerá en el mercado una nueva máquina con tecnología superior. Ésta nueva máquina cumple las mismas funciones que A y B, pero cuesta bastante menos que A y que B, y además, su coste de mantenimiento es muy inferior. ¿qué ocurrirá en este escenario?. Las máquinas A y B son reemplazadas de manera inmediata y además su valor residual será nulo. Hay que calcular el valor actualizado de los pagos hasta el 5º año




La decisión que tomo ahora es la de comprar la máquina A. Bajo esta nueva premisa, cambia la decisión, porque cuando llega la de nueva tecnología, la máquina sólo se puede usar un año más, pero la B está casi nueva, la puedo usar 3 años más, por tanto, la máquina B ha sido más perjudicada que la A

4.1.2. GENERALIZACIÓN DEL PROBLEMA DE LA CADENA DE VALOR.

Una decisión frecuente, consiste en reemplazar un equipo ya existente, por otro nuevo. Antes de tomar la decisión de reemplazo hay que seguir unos pasos:

1.- Calcular el Coste Anual Equivalente del nuevo equipo

2.- Calcular el coste de mantener el equipo viejo un año más. Este coste tiene tres componentes:

• El coste de oportunidad por no venderlo ahora.

• El mantenimiento adicional.

• El valor residual: valor por el que puedo vender el equipo viejo después de ser utilizado un año más.

3.- Comparar el Coste Anual Equivalente del equipo nuevo y el Coste de mantener el equipo viejo un año más.

Problema 7. TAXIMUEBLE.

La empresa TAXIMUEBLE tiene un camión para el transporte de muebles. Se plantea reemplazarlo por otro que cumplirá la misma función pero cuyo coste es de 90.000 euros y requiere un mantenimiento de 10.000 euros. La vida útil se estima en 8 años, siendo su valor residual 20.000 euros. De otra parte, el camión viejo requiere un mantenimiento mayor cada año, y su valor residual cae como se muestra en el siguiente cuadro.

AÑO	COSTE ANTENIMIENTO	VALOR RESIDUAL
ACTUAL	-	25.000
1	30.000	25.000
2	10.000	15.000
3	15.000	10.000
4	24.000	0

Como se puede observar el camión viejo puede ser vendido por 25.000 euros, pero si se utiliza un año más, el coste de mantenimiento se eleva a 30.000 euros, debido a que se ha de cambiar el motor, siendo el valor residual al final del año siguiente 25.000 euros. En cualquier caso el camión no durará más de cuatro años. Sabiendo que el coste del capital es del 15%. ¿Cuándo se debe reemplazar el camión?.

90 10 10 10 10 10 10 10 10-20 (valor residual)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Coste anual equivalente:

Coste de mantener el equipo viejo un año más:

Sería igual al coste de oportunidad + coste de mantenimiento - Valor residual

(+) coste de oportunidad = 25.000

(+) Coste de mantenimiento = 30.000

(-) Valor residual = 25.000

TOTAL = [25.000x(1+r)]+30.000-25.000 = 33.750

Comparar:

nuevo: 28.599 …

viejo 33.750 …

0 1 2 3 4

El coste anual equivalente del nuevo, es inferior al coste de mantener el equipo viejo un año más, por lo que, en principio, podríamos optar por reemplazar el camión viejo, pero ésta decisión pudiera ser errónea, porque una vez que hubiéramos decidido reparar el camión viejo, puede, y de hecho ocurre, que este camión continúe funcionando más años con unos costes de mantenimiento inferiores.

Por ello, antes de tomar la decisión, debemos analizar qué ocurre con el equipo en el futuro, hasta un tercer o cuarto año.

Coste de mantener el equipo viejo un 2º año más:

(+) coste de oportunidad = 25.000

(+) Coste de mantenimiento = 10.000

(-) Valor residual = 15.000

TOTAL = 25.000(1,15)+10.000-15.000 = 23.750

nuevo: 28.599 28.599 …

viejo 33.750 23.750

0 1 2 3 4

Vamos a homogeneizar el VAP nuevo y el viejo.




Para un periodo de dos años, el coste de mantener el equipo viejo es mayor que el coste de uno nuevo. Pero eso no quiere decir que lo tenga que reemplazar.

Coste de mantener el equipo viejo un 3º año más:

(+) coste de oportunidad = 15.000

(+) Coste de mantenimiento = 15.000

(-) Valor residual = 10.000

TOTAL = 15.000(1,15)+15.000-10.000 = 22.250

nuevo: 28.599 28.599 28.599 …

viejo 33.750 23.750 22.250

0 1 2 3 4

Vamos a homogeneizar el VAP nuevo y el viejo.




El VAP es menor en el camión viejo que en el nuevo, pero tendría que analizar el cuarto periodo.

Coste de mantener el equipo viejo un 4º año más:

(+) coste de oportunidad = 10.000

(+) Coste de mantenimiento = 24.000

(-) Valor residual = 0

TOTAL = 10.000(1,15)+24.000-0 = 35.500

nuevo: 28.599 28.599 28.599 28.599 …

viejo 33.750 23.750 22.250 35.500

0 1 2 3 4

Vamos a homogeneizar el VAP nuevo y el viejo.




La decisión que podría tomar es la de reemplazar el camión en el periodo 3, porque en el cuarto periodo el coste de mantenerlo es superior al de cambiarlo.

Para un periodo de 4 años es más interesante el nuevo, pero como no tengo ninguna restricción, lo que debo hacer es utilizar el viejo hasta el tercer año y en el cuarto año utilizar el nuevo.

4.1.3. FLUJO ANUAL EQUIVALENTE.

Es una generalización del Coste Anual Equivalente.

Vamos a relajar la hipótesis de que 2 bienes de equipo cumplen la misma función. Ahora los cobros dependen del bien de equipo elegido

Analizamos bienes de equipo o inversiones que tienen distinta duración, y el análisis se hace a través del Flujo Anual Equivalente.

Sean dos inversiones:

PI 2 A' Q'1 Q'2 Q'n …

PI 1 A: Q1 Q2 Qn …

0 1 2 3 4 5

Igualamos las dos corrientes. La 1ª corriente es el VC y la igualamos a la que vamos a llamar Flujo Anual Equivalente (FAE)VC = FAE




NORMA DE DECISIÓN: sería preferible aquel PI que tiene mayor Flujo Anual Equivalente.

En Nuestro ejemplo:




Elegimos la inversión A, que tiene una mayor FAE.

• Consideración de los impuestos en el análisis de inversiones.

La actividad empresarial está gravada por distintos impuestos, lo que supone una disminución en la rentabilidad de las inversiones.




Sea un PIU cuyas magnitudes son:

Para considerar el efecto de los impuestos, podría pensarse que hay que redefinir los flujos de nuevo

Ejemplo: t (tasa impositiva)





Sin embargo, los impuestos se calculan sobre el beneficio, es decir, sobre la corriente económica, no sobre la financiera.

Sobre lo anterior 2 errores:

1) Estaríamos suponiendo que todos los cobros y pagos se realizan al contado.

2) Existen ciertos gastos imputables en términos fiscales que no suponen una salida de dinero, siendo el más significativo la amortización (integrar en el proceso lo que me ha costado un bien de equipo). Esto no significa que no tengamos en cuenta el coste de los bienes de equipo, sino que si lo tenemos en cuenta, al principio.

4.2.1. PARA CONSIDERAR LOS IMPUESTOS.

Sea Tj la cantidad de unidades monetarias pagadas en el ejercicio j.




Se deduce que:

1.- Efecto de los impuestos en la rentabilidad: a mayor impuesto, menor rentabilidad (disminuyendo los impuestos se reactiva la actividad económica).

2.- Efecto de la amortización en la rentabilidad: tipo de amortización utilizada

Bj = Ij - Gj (la amortización está incluida)

Si amortizo más, el beneficio de los primeros años será inferior, entonces la tasa del impuesto de realiza en función del año anterior (disminuimos los impuestos, y podemos incrementar la rentabilidad) Tj = tBj-1

En términos monetarios, ¿qué diferencia existe entre el pago a la Hacienda Pública que el pago a otra empresa? No hay ninguna diferencia. Qj = Cj - Pj

• Existencia de inflación.

Hasta ahora, para el cálculo del VC y de la TR no hemos tenido en cuenta la Tasa de Inflación (g).

Sea g la tasa de inflación, parece que esto nos llevaría a un ajuste de los flujos en los siguientes términos:


por el efecto Fisher

EFECTO FISHER: relaciona tipos de interés con tasa de inflación. Establece que los tipos de interés nominales tienen:

• Tasa de retorno real requerida.

• Tasa de inflación (g)

De tal manera que:




A mayor infracción, mayores tipos de interés.

Si aplicamos el efecto Fisher podemos concluir que el coste de capital ya viene modificado por la inflación, porque la inflación está incluida en los tipos de interés nominales,

Los cuales son la principal referencia para determinar el coste de capital de la empresa.

De tal manera, que el coste de capital cumple:




donde: Kr: coste de capital en términos reales.

K: Coste de capital en términos nominales.




La existencia de inflación no modifica la expresión de VC y no modifica el VC para un coste de capital dado. Por tanto, la expresión del VC está mal formulada, porque la inflación está corregida 2 veces (en las hojas de cálculo)

PROBLEMA 8: SACESA.

La empresa SALMANTINA DE CEMENTOS, S.A. (SACESA) desea conocer los flujos de caja de un proyecto de inversión consistente en la compra de una maquinaria industrial para la fabricación de derivados del cemento. Esta maquinaria será instalada en una nave industrial de su propiedad, que en otro caso hubiera sido arrendada obteniendo una renta de 80.000 euros al año. La duración de la máquina es de 5 años. Durante esos 5 años de actividad la empresa realizará unas ventas de bovedillas, bloques, bordillos y otros productos menos comunes (como tubos y celosías), por los importes que aparecen en el Cuadro 1. En el mismo Cuadro aparecen las compras necesarias para producir los mencionados productos, principalmente arena y cemento, así como el resto de gastos que se pagan al contado, donde se incluyen los gastos del personal. Las ventas a los clientes se realizan a un plazo de dos meses con un porcentaje de impagados del 1%, mientras que SACESA obtiene un plazo de pago de sus proveedores de tres meses. Asimismo, la tasa impositiva que debe pagar la empresa es del 35%. Sabiendo que la maquinaria tiene un coste de 900.000 euros, la cuál será amortizada según el método lineal.

Se desea conocer la rentabilidad absoluta y relativa del proyecto de inversión.

NOTA: El coste del capital de SACESA es del 10%.

Cuadro 1

SOLUCIÓN.

• VENTAS.

Los importes ya los tenemos porque nos lo da el problema.

• COMPRAS.

Los importes ya los tenemos porque nos lo da el problema.

• OTROS GASTOS.

Los importes ya los tenemos porque nos lo da el problema.

• IMPAGADOS.

Según el enunciado, el importe de los impagados asciende al 1%.

Impagados t = 0,01 x ventas t

• AMORTIZACIÓN.

El importe de la maquinaria es de 900.000 y la vida útil 5 años. La amortización se efectúa por el método lineal (importe / número de años de vida útil del bien).

Amortización t = 900.000 / 5 = 180.000 es igual todos los años.

• BENEFICIO.

El beneficio es igual a los ingresos menos los gastos.

Beneficio t = Ventas t - compras t - otros gastos t - amortización t - impagados t-1.

Respecto de los impagados, hay que matizar que como en principio las ventas se dan como un ingreso, los impagados del periodo anterior debemos considerarlos como un gasto.

• IMPUESTOS.

El impuesto que se paga es el de sociedades, cuyo importe es el 35% sobre beneficio del año anterior.

I.S.S. t = 0,35 x Beneficio t-1.

• ALQUILER.

La nave no está alquilada, por tanto, ni pagamos alquiler ni lo cobramos, no constituye un gasto ni un ingreso propiamente dicho, pero hemos de tenerlo en cuenta al evaluar la inversión por el coste de oportunidad que supone, ya que la empresa podría alquilarla por importe de 50.000 €, según el enunciado del problema.

• COBROS.

Para evaluar los cobros hemos de tener en cuenta que a los clientes les concedemos un plazo de pago de 2 meses y que existe un 1% de impagados.

Cobros t = 10/12 x (Ventas t - Impagados t) + 2/12 x (Ventas t-1 - Impagados t-1)

• PAGOS.

Para evaluar los pagos hemos de tener en cuenta que los proveedores nos conceden un plazo de pago de 3 meses, y que a aparte de las compras también hemos de pagar otros gastos.

El alquiler lo incluiremos *

Pagos t = [(9/12) x Compras t + (3/12) x Compras t-1] + Otros gastos t + alquiler t)

• DESEMBOLSO INICIAL.

Viene determinado en el enunciado y hemos de incluirlo solamente en el periodo 0 y además con signo negativo.

• FLUJOS DE CAJA.

Será en importe de los cobros menos los pagos.

• COSTE DE CAPITAL.

Viene determinado en el enunciado 10%.

• VALOR CAPITAL.

Lo calcularemos a través de la función VAN, corregida, ya que esta función considera los flujos de caja como rentas financieras prepagables.

Valor capital = VAN (coste de capital, flujos) x (1+ coste capital)

• FLUJOS AJUSTADOS.

No es una inversión simple ya que existe un flujo negativo (año 6), luego es mixta, por lo que tendremos que actualizar los flujos para convertir de mixto a simple.

Flujos ajustados 1, 2, 3, 4 = Flujos obtenidos.

Flujo ajustado 5 = *.

CALCULAMOS LAS FÓRMULAS EN EXCEL.

VALOR CAPITAL = VNA(Coste de capital; rango de datos)x(1+K)!VNA(B14;B13:H13)*(1+B14).

TASA DE RETORNO = TIR(Rango de datos) ! TIR(B16:G16)

ARRASTRAMOS LAS FÓRMULAS HASTA COMPLETAR LA TABLA.

• PROGRAMACIÓN DE INVERSIONES.

Uno de los inconvenientes del VC es que no consideraba la interrelación entre los diferentes PI. Para resolver este inconveniente vamos a utilizar la programación de inversiones. Por tanto, el objetivo va a ser resolver la rentabilidad de un conjunto de PI mediante la aplicación de la programación matemática, principalmente de la programación lineal (métodos de optimización).

Se trata de determinar que PI se va a llevar a cabo y en qué proporción se va a realizar, para que la rentabilidad sea máxima con la condición de que se cumplan una serie de restricciones técnicas y financieras.

En definitiva, la función objetivo va a ser maximizar la rentabilidad absoluta, que vamos a medir por el VC, de tal manera que determinaremos la combinación de Proyectos de inversión que maximizan el VC en un periodo de planificación, teniendo en cuenta las mencionadas restricciones financieras y técnicas.

Para resolver este problema existen diferentes modelos, nosotros vamos a seguir el modelo de DUREAN (1983)

• La función objetivo se considera la de Lorie-Savage-Weingartner.

• Restricciones. Se toman del modelo de Baumoly Quandt.

NOMENCLATURA

Sea Pi igual al PI i-ésimo, (donde i=1, …, m), cada uno de ellos con un VC (VCi) y con una serie de flujos de caja Qj (Qij es el flujo del periodo j-ésimo y proyecto i-ésimo, I=1, …, m, y j=1, …, n).

El desembolso inicial se considera como un flujo positivo.

Xi es la variable asociada al Pi. Representa el grado de realización de Pi del programa óptimo (solución).

Dj representa las disponibilidades financieras de la empresa en el periodo j-ésimo (j=1, …, n).

K representa el coste de capital.

Z es igual al VC total, de todos los PI, proporcionado por la combinación de todos los PI. Es lo que queremos maximizar.

N es el periodo de planificación.

Vamos a buscar aquella combinación de PI que maximice Z, teniendo en cuenta una serie de restricciones financieras y técnicas.

PROCEDIMIENTO

Queremos maximizar la función objetivo.




Este problema está sujeto a tres tipos de restricciones.

a) Financieras.

• Periodo 1º:
  

Me indica que lo que gasto en cada PI tiene que ser que lo que tengo (disponibilidad)

• Periodo 2º:
  

• Periodo n:
  

Luego salidas netas del periodo Disponibilidad SNj Dj.

b) No negatividad.

X1, X2, …, Xm 0

El grado de realización de los PI no puede ser negativo.

c) Técnicas.

Se introducen para reflejar ciertas condiciones o relaciones que deben guardar los PI.

EJEMPLOS

• Todos los PI son fraccionables, pero no repetitivos, luego su grado de realización (Xi) no puede ser > 1 X1 1

X2 1

… 1

Xn 1

• Si el PI no puede ser ni repetitivo ni fraccionable:
  

• Los PI son mutuamente excluyentes (si se realiza uno, no puede realizarse el otro)
  (lo que significa que o X1 o X2 tiene que ser iguales a 0)

• Dependencia: un PI depende de la realización del otro (lo que significa que el otro depende del uno)

PI: P1 y P2

P1 depende de la realización de P2, pero P2 no depende de la realización de P1


Se resuelve mediante el ordenador, pero para ello hemos de transformar en igualdades las desigualdades de las restricciones. Para ello introducimos las variables de holgura Xrh.

Las introducimos primero en la función objetivo. Para ello estas variables de holgura tomarán coeficiente 0, así no afectarán al resultado:

s.a.





…




Las variables de holgura nos miden el exceso de fondos que la empresa tiene en cada uno de los periodos de estudio, según la solución óptima del programa (porque holgura es igual a Disponibilidades - Salidas Netas)

X1 Xn+1h 1

X2 Xn+2h 1

… 1

Xn Xn+nh 1

El significado de esto:

Si X1 = 0,6 entonces X1+Xn+1h = 1

0,6 + Xn+1h = 1

Xn+1h = 1-0,6 = 0,4 (cumplimiento de X1)

Por tanto la X1 me da el grado de realización del PI1, y la X1h me da el grado de no realización del PI1.

INTERPRETACIÓN:

Xi me dice que PI se realizan y en que proporción.

Xrh me dice cuál es el exceso de fondos, fondos que la empresa no utiliza en cada periodo, por las variables de holgura asociadas a restricciones financieras.

Para las restantes: la interpretación depende de las restricciones técnicas.

PROBLEMA 9

Una empresa estudia la realización de tres proyectos de inversión R, S y T. cuyos valores capitales son 80, 6 y 30 respectivamente. Los flujos de caja que generan estas inversiones, así como las disponibilidades financieras de cada año se encuentran en la siguiente tabla:

Inversión / Año		1	2
Flujos De caja	R	-300	-60
		S	-400	-100
		T	-100	-10
Disponibilidades		700	200

Las tres inversiones son fraccionables, pero sólo las in R y S son repetitivas. Se desea obtener la combinación de inversiones que maximiza el valor capital.

Nota: Cantidades en miles de euros

Max. Z: 80X1+60X2+30X3

s.a. 300X1+400X2+100X3700

60X1+100X2+10X3200

X31

Introducimos las variables de holgura:

Max. Z: 80X1+60X2+30X3+0X1h+0X2h+0X3h

s.a. 300X1+400X2+100X3+X1h=700

60X1+100X2+10X3+X2h=200

X3+X3h=1

SOLUCIÓN

Veces que se realiza cada PI	Exceso de fondos (recursos ociosos)
X1 = 2	X1h = 0
X2 = 0	X2h = 70
X3 = 1	X3h = 0

LO RESOLVEMOS CON EXCEL, MEDIANTE EL SOLVER

PROBLEMA 10

El coste de capital para una empresa es del 10% para los próximos 6 años y tiene la oportunidad de realizar los siguientes proyectos de inversión:

Año de comienzo	Proyecto	Flujos por año
1995	P1	-100	40	50	40
1996	P2	-60	-30	-10	60	60	40
1997	P3		-40	-10	50	30
1998	P4			-30	30	10	20
Restricciones financieras		280	120	100	300

Se desea plantear el programa de selección de inversiones para obtener el conjunto de inversiones cuya rentabilidad absoluta sea máxima.

Nota: cantidades en miles de euros.




Max. Z: 7,738X1+15,359X2+13,428X3+16,995X4+0X1h+0X2h+0X3h+0X4h

s.a. 100X1+60X2+X1h=280

40X1+30X2+40X3+X2h=120

40X1+10X2+10X3+30X4+X2h=100

40X1-60X2-50X3+30X4+X3h=300

X3+X3h=1

LO RESOLVEMOS CON EXCEL, MEDIANTE EL SOLVER




• VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE RIESGO E INCERTIDUMBRE (i)

• Riesgo, incertidumbre y presupuesto de capital.

Hasta ahora hemos considerado las magnitudes que definen un proyecto de inversión en condiciones de certeza. Este supuesto es una hipótesis que simplifica mucho la realidad económica.

Flujos de caja = Cj - Pj, donde

Cj = dependen del precio de venta, número de unidades vendidas, plazos de cobro, impagados, etc.

Pj = depende de los costes fijos, costes variables, plazos de pago a proveedores, etc.

K = depende de la política monetaria, inflación, etc.

Muchas veces no se puede conocer la duración de la inversión, si va a existir un valor residual, … Supone simplificar la realidad.

Vamos a incluir el riesgo en nuestro análisis ya que trabajamos en un ambiente de riesgo y vamos a ver cómo se modifican los criterios clásicos de decisión (VC, TR, etc.)

En este contexto, no sólo nos vamos a preocupar de maximizar la rentabilidad de los proyectos de inversión que acomete la empresa, sino que vamos a tener en cuenta que esa maximización de rentabilidad va a estar sujeta a restricciones que introduce el riesgo.

Vamos a hablar de dos posibles situaciones:

1.- Ambiente de riesgo. Diremos que estamos en un ambiente de riesgo en aquellas situaciones en las que conocemos la distribución de probabilidad de los Qj.

2.- Ambiente de incertidumbre. Estaremos en un ambiente de incertidumbre cuando dicha distribución no se conoce. En esta segunda situación tenemos dos opciones para llevar a cabo el análisis:

a) Podemos transformar el ambiente de incertidumbre en un ambiente de riesgo utilizando para ello la probabilidad subjetiva, que cuantifica el concepto cualitativo de verosimilitud del decisor, es decir, la probabilidad subjetiva convierte en un número entre 0 y 1 la idea del sujeto decisor de que un hecho ocurra o no. Esta idea del decisor está basada en sus conocimientos, su experiencia, e incluso, su interés.

b) Consiste en aplicar una serie de criterios que nos permiten realizar unas previsiones sujetas a error. Este error es el que introduce la incertidumbre. En este caso hay demasiados modelos a utilizar: la equiprobabilidad de Laplace, pesimista de Wold, etc. Y no hay consenso entre todos estos criterios, por ello es preferible utilizar el ambiente de riesgo.

A partir de ahora, vamos a considerar que trabajamos en ambiente de riesgo, es decir, vamos a considerar que conocemos la distribución de probabilidad de los flujos de caja, y vamos a estudiar modelos aplicables a esta situación.

Antes, vamos a ver cómo se reforman los criterios clásicos de decisión (VC, TR: los precriterios de selección de inversiones.

• El Valor Capital Medio.

Cuando considerábamos el PI en condiciones de certeza, considerábamos un flujo con un posible valor. Ahora tenemos r posibles valores para el flujo Qt. Cada uno de los posibles valores lo denotaremos como
, donde t representa el número de periodos ( 0, 1, …, n) y r representa los posibles valores (1, 2, .., n).

Cada uno de los posibles valores tiene una probabilidad asociada o probabilidad de ocurrencia, que denotaremos por
, que representa la probabilidad de ocurrencia de
.

Para determinar el valor de un flujo tenemos que


Luego el Valor Capital Medio será


Podemos usar éste método para aceptar proyectos de Inversión.

La norma de decisión será: Si VCM > 0 acepto el PI

Si VCM < 0 rechazo el PI

TASA DE RETORNO MEDIA.

TRM (rm) es la Tasa de descuento que hace que el VCM sea igual a 0.

Luego acepto el PI cuando rm > K




Cuando consideramos los flujos en condiciones de certeza n=1 y
=1

Para cada periodo, la suma de las probabilidades asociadas ha de ser la probabilidad total (=1)




EJEMPLO:

	Momento actual	AÑOI	AÑO2	AÑO3
FLUJOS	Q01 =-12.834,32	Q11 = 12.000 Q12 = 18.000	Q21 = 10.000 Q22 = 14.000	Q31 = 5.000 Q32 = 7.000 Q33 = 13.000
PROBABILIDAD	P01 =1	P11 = 0,5 P12 = 0,5	P21 = 0,5 P22 = 0,5	P31 = 0,3 P32 = 0,4 P33 = 0,3

Siendo K= 0 7%

VALOR CAPITAL MEDIO:


Como VCM > 0, acepto la inversión.

TASA DE RETORNO MEDIA:




Como r > K, acepto la inversión.

Al calcular el VCM lo que calculamos es la esperanza de la ganancia, pero cuando consideramos que hay riesgo en el análisis, además de la expectativa de ganancia, hemos de tener en cuenta la variabilidad o riesgo de obtención de esa ganancia.

La variabilidad de una variable se mide con la varianza, y puede utilizarse como una medida del riesgo del PI. En este caso tendremos en cuenta la varianza del VCM como la medida del riesgo que el PI lleva asociado.

El VCM es una media, y en ambiente de riesgo, no es recomendable su uso como único medio de dispersión, se debe complementar con alguna medida del riesgo del proyecto.

• Precriterios de selección de inversiones en ambiente de riesgo.

Reformulamos el VC y la TR cuando incluimos el riesgo en el análisis. Estos son fáciles de aplicar, son objetivos y no requieren conocer la distribución de probabilidad de los flujos de caja.

Estos precriterios son sobre todo útiles cuando estamos en ambiente de incertidumbre. Cuando estamos en ambiente de riesgo, podemos realizar un análisis más completo, y siempre que conozcamos la distribución de probabilidad de los flujos es aconsejable utilizarla. En ambiente de incertidumbre, podemos construir una distribución de probabilidad artificial para transformar este ambiente a certidumbre. Pero más fácil que esto es aplicar los precriterios.

5.3.1.- MÉTODO DE CORRECCIÓN DE PREVISIONES.

Consiste en calcular la rentabilidad de un PI utilizando los criterios clásicos de decisión. Una vez calculada, la reduzco en una determinada cantidad, que depende de la estimación del riesgo que realice el sujeto decisor (estimación subjetiva).

5.3.2.- MÉTODO DE REDUCCIÓN A EQUIVALENTES DE CERTEZA.

Ajustamos la formulación del problema a condiciones de certeza de dos direcciones: la tasa de descuento o los flujos. Así:

• Ajuste de la tasa de descuento.

• Ajuste de los flujos de caja.

a) AJUSTE DE LA TASA DE DESCUENTO.

Consiste en ajustar la tasa de descuento añadiéndole una prima de riesgo “p”, para evitar tomar decisiones erróneas. Incluyéndola exigimos mayor rentabilidad a los proyectos de mayor riesgo.

Es decir, antes en el Valor Capital tomábamos el coste del capital como tasa de actualización.

Ahora: S = K + p

“S” es nuestra nueva tasa de descuento. Incluimos “S” en el VC. Este método asume que “p” es constante durante el periodo de inversión considerado.

La nueva expresión del VC es


La norma de decisión es que acepto el PI si VC > 0

Hemos aumentado el denominador, con lo cual, la rentabilidad se reduce, pero el criterio de selección es el mismo. Somos más exigentes a la hora de aceptar un PI cuando incluimos el riesgo en el análisis, por lo que el margen de aceptación se reduce.

La expresión de la Tasa de Retorno es


No varía, pero la nueva condición de efectuabilidad es r > S para S = K + p y como p > 0, entonces S > K.

Somos más estrictos a la hora de aceptar un PI. El mayor inconveniente es determinar p, ya que su estimación depende del sujeto decisor, de la aversión al riesgo de la persona que la estima.

EJEMPLO.

Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%

Desembolso	Año 1	Año 2
8.000	4.000	6.000

El Valor capital




Si consideramos una prima de riesgo del 5% S = K + p 7 +5 = 12 S = 12%

El nuevo Valor Capital será:




La Tasa de Retorno

Si r > s acepto el PI. Como 15,139% > 12% acepto el PI

b) AJUSTE DE LOS FLUJOS DE CAJA.

Consiste en ajustar los flujos de caja de cada periodo en función del riesgo al que consideramos que se ven sometidos. Para ajustarlos, establecemos una relación entre:

• Obtener un flujo sujeto a las condiciones de riesgo Qt.

• Obtener un flujo de caja cierto Q't.

Q't: flujo cierto en condiciones de certeza




Qt: flujo incierto en condiciones de riesgo

t: coeficiente de ajuste, que varía de manera inversamente proporcional al riesgo. Toma valores en un intervalo cerrado [0,1], por lo que 0 < t < 1

Q't < Qt.

Q't = Qt en el caso de que t = 1

t es la relación entre le flujo de caja cierto Q't y el flujo de caja incierto Qt.

Expresión del VC:

pero como 0Q0 = Q'0

Expresión de la Tasa de Retorno:




pero como 0Q0 = Q'0


Condiciones de efectuabilidad: VC > 0, r > K

EJEMPLO.

Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%

Desembolso	Año 1	Año 2
8.000	4.000	6.000

El coeficiente de ajuste 1=0,9 y 2=0,8

El Valor capital




Como VC < 0, no acepto el PI.

La Tasa de Retorno




Como r < K No acepto el PI.

La estimación de depende del sujeto decisor, y esto es un inconveniente. Pero será más fácil estimar los que construir toda una distribución de probabilidades subjetivas.

En ambiente de incertidumbre es cuando más utilidad tienen los precriterios que estiman el riesgo de manera aproximada.

5.3.3.- ROBICHEK Y MYERS.

Defienden la superioridad técnica del método de ajuste de los flujos de caja frente al ajuste de la tasa de descuento, porque dicen y demuestran que la consideración de una prima “p” por riesgo constante, supone considerar unos coeficientes de ajuste “” decrecientes. Suponer esto ( decrecientes), ya que varía proporcionalmente e inversamente en el tiempo, es suponer que el riesgo es mayor en los periodos más alejados, por lo que crece en el tiempo.

Esto es cierto en algunos casos, pero no siempre.

DEMOSTRACIÓN

Para encontrar como son los equivalentes a una p constante, si ambos métodos son equivalentes se cumple que:
!

Despejando ! , para el periodo t, para el periodo t+1


K y S se suponen positivos, y se consideran constantes durante el periodo de inversión estudiado. Por definición


El cociente es cada vez menor cuanto mayor es la potencia a la que se eleva, por tanto:


La consideración de p constante es como si usáramos unos coeficientes de ajuste decrecientes en el tiempo.

5.3.4.- SUÁREZ SUÁREZ.

Defiende el ajuste de la tasa de descuento frente al ajuste de los flujos de caja. Dice que la principal diferencia entre ambos métodos es la forma en que contemplan el PI. Según él, el método del ajuste de la tasa contempla el proyecto de manera global, y en función del riesgo al que está sometido el proyecto, se determina p.

Sin embargo, el método de ajuste de los flujos de caja considera cada uno de los flujos de caja de forma independiente, y en función del riesgo que se estima para cada flujo, determinamos un coeficiente de ajuste .

Los flujos muchas veces están correlacionados entre sí, y para tener en cuenta estas correlaciones, es mejor contemplar el PI de manera global, como hace el método de la tasa de ajuste.

En ambos casos, el tratamiento del riesgo es aproximado, y cuando se disponga de la distribución de probabilidad de los flujos de caja (en un ambiente de riesgo), se puede mejorar el análisis y el tratamiento del riesgo.

En situación de estabilidad económica, es preferible el método de ajuste de los flujos de caja porque en estas condiciones, los flujos de caja son los que más sufren el riesgo

• Análisis de sensibilidad de las decisiones de inversión.

Esta técnica se puede aplicar tanto en ambiente de riesgo como de incertidumbre, pero sobre todo es interesante en ambiente de incertidumbre y sin conocer la distribución de probabilidad de los flujos de caja.

Es una técnica que trata de medir la sensibilidad del resultado obtenido al aplicar los criterios de decisión (VC, TR) ante la variación de alguna de las magnitudes que definen el PI, dándonos así una idea del grado de confianza de dicho resultado. Los parámetros, ante cuya variación el resultado es más sensible tendrán que estimarse con mayor precisión.

Tratamos, en definitiva, de ver lo sensible que es nuestro resultado (decisión) ante la variación de alguna de las magnitudes que definen el PI.

Vamos a hallar un intervalo de variación para cada magnitud. La condición que cumplen los valores del intervalo es que, para esos valores de esta magnitud, la decisión no cambia de sentido (no pasa de aceptación a rechazo o viceversa). Hacemos el análisis con base al VC y TR.

5.4.1.- LA SENSIBILIDAD DE LA DECISIÓN ÓPTIMA CON BASE AL CRITERIO DEL VALOR CAPITAL.

La condición de efectuabilidad es acepto el PI si VC > 0.

La expresión es:


Una vez tomada la decisión, pueden darse dos escenarios desfavorables:

1) La decisión consistente en aceptar el PI puede no ser óptima si el VC ex-post es negativo o nulo.

2) La decisión consistente en rechazar el PI puede no ser óptima si el VC ex-post es positivo.

Para evitar estos escenarios desfavorables, podemos preguntarnos en qué intervalo puede variar cada una de las magnitudes que definen el PI de modo que el VC cambie de sentido.

Mientras analizamos una magnitud, asumimos que el resto permanecen constantes. Nos vamos a centrar en un PI para el que el VC es positivo, y vamos a hallar qué valores de cada magnitud verifican la condición de que el VC siga siendo > 0.

1ª- Desembolso inicial: Para que el VC siga siendo positivo despejamos:


, A varía dentro del intervalo abierto [0,x].

Siempre que A<x VC>0.

2º- Flujos de caja: para que el VC>0


, despejamos Qj:


Qj varía dentro del intervalo abierto [M,].

3º- Coste de capital: para que el VC>0




EJEMPLO.

Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%

Desembolso	Año 1	Año 2
8.000	4.000	6.000

1º Desembolso inicial




2º Un flujo de caja para j=1




3º Coste de capital

5.4.2.- LA SENSIBILIDAD DE LA DECISIÓN ÓPTIMA CON BASE AL CRITERIO DE LA TASA DE RETORNO.

Expresión general


La condición de efectuabilidad es acepto el PI si r >K.

Vamos a poder preguntarnos en qué intervalos vamos a aplicar cada una de las magnitudes de interés para que nuestra decisión no cambie de sentido cuando analizamos una magnitud, suponiendo que el resto permanecen constantes.

Partimos de un PI para el que r>K

1ª- Desembolso inicial: cumpliéndose que r>K

Consideramos K como la rentabilidad mínima exigida, ya que aceptamos los PI donde r>K

El coste de capital es un valor frontera en cuanto a la aceptación o rechazo de un PIK=rf.

Para determinar el intervalo de variación del desembolso inicial, calculamos el valor frontera del desembolso inicial Af. Para ello, partimos de


. Despejando A


Luego A tiene que estar en el intervalo abierto [0,x].

Podemos demostrar que A está en el intervalo [0,x] o [0,Af], cogiendo un punto de ese intervalo y viendo que cumple la condición de efectuabilidad. Un valor de A2 de ese intervalo es A2<Af ¿Para A2 es r2>K?.

DEMOSTRACIÓN:


, para que VC=0-A=-Af.

Si ahora A=A2<Af:


Para compensar un valor negativo más alto, el positivo ha de ser más bajo.

2º- Flujos de caja: siendo r>K


, despejamos Qj:


Qj debe estar en el intervalo abierto [M,].

3º- Coste de capital: si queremos hallar el intervalo de variación de K, es decir, qué valores de K verifican que r>K, serán aquellos valores que estén entre [0,r]




EJEMPLO.

Sea la inversión C, con un coste de capital del 7%

Desembolso	Año 1	Año 2
8.000	4.000	6.000

1º Desembolso inicial




2º Un flujo de caja para j=1




3º Coste de capital




PROBLEMA

Una empresa cuyo coste de capital es del 10%, estudia la posibilidad de llevar a cabo un PI definido:

A = 10, Q1 = 6, Q2 = 7

Se pide: determinar los intervalos en que pueden variar las magnitudes que definen el PI para que éste siga cumpliendo la condición de efectuabilidad. Además hacerlo tanto con base al VC como a la TR.

Q0=-10 PI simple (todos los flujos positivos excepto el desembolso)

Valor capital:


Tasa de retorno:


1º Desembolso inicial




2º Un flujo de caja

para j=1




para j=2




3º Coste de capital







• VALORACIÓN DE INVERSIONES EN CONDICIONES DE RIESGO E INCERTIDUMBRE (II)

• Cuantificación del riesgo total de un proyecto de inversión. El modelo de HiLLier.

Basa las decisiones en la Esperanza y la Varianza del VC. La función de distribución de una variable aleatoria queda determinada en función de la esperanza matemática y la varianza de la variable aleatoria.

El modelo de Hillier enfoca el estudio de la toma de decisiones de inversión con base a estos dos parámetros:

• La Esperanza matemática o valor medio del VC.

• La varianza, que se utiliza como medida del riesgo.

El valor esperado de la rentabilidad de un proyecto, es una medida del riesgo de ese proyecto. En este contexto, la empresa trata de maximizar la rentabilidad esperada de un proyecto y minimizar el riesgo.

Los PI de mayor riesgo son los de mayor rentabilidad, así que lo que tendrá que hacer es maximizar la esperanza controlando que el riesgo no se dispare.

Este modelo considera los flujos de caja como variables aleatorias, con su correspondiente función de distribución. De modo que las estimaciones previstas de los flujos se corresponden con la esperanza matemática de dicha variable aleatoria, y con la varianza de cada flujo (variable) tendremos una medida del riesgo.

El modelo se desarrolla en tres etapas:

ETAPA 1 - CÁLCULO DE LA ESPERANZA MATEMÁTICA DEL VC.

El VC es una suma de flujos de caja descontados. El modelo los considera variables aleatorias y el VC es, a su vez, una variable aleatoria. Tendrá una función de distribución. Calculamos la esperanza del VC. Necesitamos conocer la esperanza de cada flujo.





probabilidad asociada o de ocurrencia de


si h=1, la probabilidad asociada a ese único valor es la probabilidad total


Para determinar la esperanza matemática del VC sabemos que:

• La esperanza de una suma de variables aleatorias, sean dependientes o independientes, siempre es igual a la suma de las esperanzas.
  .

• La esperanza de una constante por una variable, es el producto de la constante por la esperanza de la variable.
  .

Dadas estas propiedades, la esperanza matemática del VC


!


ETAPA 2 - CÁLCULO DE LA VARIANZA DEL VC.

Hemos de determinar la varianza de cada flujo.

La varianza de una variable aleatoria viene dada por la media ponderada (
es el factor de ponderación) de las desviaciones cuadráticas de cada posible valor del flujo respecto a la esperanza.

Varianza de un flujo de caja




Desviación típica de un flujo de caja




Varianza del VC. La varianza de la suma de variables aleatorias se calcula de forma distinta, según sea el grado de correlación entre esas variables. Hay tres casos distintos:

A) INDEPENDENCIA DE LOS FLUJOS DE CAJA:

El coeficiente de correlación es cero.

• La varianza de la suma de variables aleatorias independientes es igual a la suma de las varianzas.

• La varianza de una constante por una variable es igual a la constante al cuadrado por la varianza de la variable.

• La varianza del VC es igual a la suma de las varianzas.




B) CORRELACIÓN PERFECTA DE LOS FLUJOS DE CAJA:

El coeficiente de correlación es uno.

Partimos de la expresión general de la varianza de una suma de variables aleatorias independientes.




Coeficiente de correlación:

Como ij=1





Esta expresión la obtenemos del desarrollo de:




C) CORRELACIÓN PARCIAL DE LOS FLUJOS DE CAJA:

El VC será la suma de 2 cantidades: una independiente y otra dependiente.




VC=VC'+VC'' independencia.

2VC=2(VC')+2(VC'').

La varianza del VC será




Según Hillier, se puede utilizar la fórmula general de la varianza, ya que es muy difícil separar las cantidades de los flujos, y determinar la parte perfectamente correlacionada y la independiente.

ETAPA 3 - ESTUDIO PROBABILÍSTICO DEL COMPORTAMIENTO DEL VC.

a) Consiste en identificar la Ley de probabilidad que sigue el VC, para poder determinar las probabilidades de interés, por ejemplo VC>0.

Para determinar la Ley de probabilidad, si los flujos de caja son independientes, dado que el VC es suma de variables aleatorias independientes, vamos a poder determinar el VC en virtud del Teorema Central del Límite.

La suma de variables aleatorias independientes tiende a una distribución Normal si el número de sumandos tiende a . Dado que la convergencia es bastante grande n10. En este caso, el VC sigue una distribución Normal.

b) pruebas de adherencia (x2 de Pearson)

c) Test de Normalidad: Sapiro Wilks y el de Kolnrogiov-Smirnov

Si no podemos determinar cual es la ley de probabilidad del VC lo haremos aplicando la Desigualdad de Tchebycheff.

Si existe normalidad, podemos tipificar y utilizar la tabla de la Normal.




Hemos tipificado para poder conocer la probabilidad de que VC sea positivo

En definitiva:

• Si los flujos son independientes y tenemos 10 o más flujos, podemos aplicar el Teorema Central del Límite.

• Si los flujos están perfectamente correlacionados, entonces
  

Si un flujo es normal, todos serán normales. Si todos los flujos son normales seguirá una normal de esperanza la 1ª etapa y de desviación típica la 2ª etapa.

• Si existe correlación parcial entre los flujos, Hillier propone dividir los flujos en dos partes:




Según este VC' seguirá una normal en cuanto su número de flujos sea mayor o igual a 10, y el Q't seguirá una Normal.

El VC'' Seguirá una normal para el caso B cuando sea normal. Si un flujo es normal, todos serán normales, y con esto el VC será normal.

Si tenemos un VC<10 no podemos utilizar el Teorema Central del Límite.

Cuando no se pueda conocer la distribución del VC, aplicaremos las distribuciones de probabilidad según Tchebycheff


Si hacemos
, tenemos la formulación más utilizada


Lo que hallamos es la probabilidad de que esté fuera del intervalo




por lo que conociendo la probabilidad de fuera sabremos la probabilidad de dentro = 1 - probabilidad de fuera.

6.1.2.- CRÍTICAS AL MODELO DE HILLIER.

De todas las críticas, la más constante es la que dice que el modelo de Hillier no proporciona un criterio claro de decisión, sino que muchas veces, al final, se limita a una comprobación entre valores esperados y riesgos entre los diferentes proyectos, que, en algunas situaciones, no nos van a permitir tomar una decisión con base

EJEMPLO

E(VC1)=5; (VC1)=4; E(VC2)=7; (VC2)=6,6




¿Qué proyecto elegimos?

Aunque el PI 2 la rentabilidad es más elevada, también es más elevado el riesgo, por lo que la elección va a depender del grado de aversión al riesgo.

FUNCIÓN DE UTILIDAD DEL INVERSOR
, siendo la aversión al riesgo.

PROBLEMA 11

En la figura que se adjunta se recoge el coeficiente de ajuste que aplica un inversor según sea el nivel de riesgo, o que subjetivamente atribuye a los flujos de caja.

Debemos analizar para este inversor un determinado proyecto, que requiere un desembolso cierto de 1.700.000 euros y cuyos flujos de caja estimados tienen el tamaño que se indica en la tabla siguiente, en la que también se recoge la clase de riesgo en que se encuentra, según las percepciones de este inversor.

Año	Flujo esperado	Clase de riesgo
1	1.000.000	1
2	500.000	2
3	1.000.000	3
4	100.000	4
5	100.000	5
6	20.000	6

Se desea determinar el VC ajustado al riesgo de este proyecto, sabiendo que el tipo libre de riesgo es el 5 por 100.














Como 148.827 > 0 (positivo) SE ACEPTA EL PROYECTO

VAMOS A HACERLO CON EXCEL

PROBLEMA 12

1NVEXOSA es una empresa dedicada a la fabricación y distribución de aparatos de informática muy especializados. Dentro de sus planes de expansión en el área de la informatización de los aparatos médicos, ha decidido introducirse en el área de los ordenadores quirúrgicos. Su departamento de investigación y desarrollo ha elaborado dos proyectos: 1 y II. El proyecto 1 requiere mucha intervención de los médicos y personal clínico, por lo que se estima que su aceptación ser inmediata. El proyecto II por el contrario, es un robot que realiza por si mismo la mayor parte de las operaciones, por lo que se estima puede haber dificultades en su aceptación y el riesgo es mas elevado, si bien también son mayores los flujos de caja esperados del mismo a un plazo mayor. En el panel A de la tabla de la siguiente página se recogen los flujos de caja esperados de ambos provectos

Se pide:

a) El coste de capital, que incorpora ya el efecto de la inflación, es del 12 por 100. Además se estima que, para el primer proyecto, sobre esa tasa es aplicable una prima de riesgo del 2 por 100, siendo del 8 por 100 la aplicable al segundo. ¿Qué inversión es preferible según el criterio del VAN?

b) ¿Qué coeficientes de ajuste a condiciones de certeza (1) de los flujos de caja está aplicando INVEXOSA en los proyectos anteriores al ajustar las tasas de descuento de sus inversiones?.

c) Si los coeficientes de ajuste de los flujos de caja son los que se recogen en el panel B de la tabla para cada provecto. ¿Qué proyecto tiene mayor rentabilidad absoluta?

Periodos	Panel A		Panel B
		Flujos de caja		Coeficientes de ajuste
		I	II	I	II
0	-100	-200	1	1
1	80	10	0,9	0,9
2	100	50	0,9	0,8
3	110	100	0,8	0,6
4	150	150	0,7	0,7
5	150	200	0,6	0,5
6	150	300	0,7	0,6
7	-	500	-	0,9

K=12%

a)








La inversión 1 Tiene mayor VAN

b)

Dando valores a t, y considerando una prima constante en el tiempo, y el riesgo siempre es creciente, los coeficientes de ajuste son decrecientes

t	t(PI1)	t(PI2)
0	1	1
1	0,9825	0,9330
2	0,9652	0,8711
3	0,9483	0,8130
4	0,9316	0,7588
5	0,9153	0,7082
6	0,8992	0,6610
7	-	0,6170

c)




Es preferible el PI 2.

Problema 14

Una empresa está estudiando la posibilidad de renovar su equipo industrial por otro de características más perfeccionadas, con objeto de absorber el creciente incremento de la demanda.

El capital invertido para el nuevo equipo se eleva a 500.000 euros; los flujos netos de caja incrementales después de impuestos, . Qt previstos para cada período futuro, i, se recogen en la siguiente tabla:

Q(miles euros)	Probabilidades
		Año 1	Año 2	Año 3
100	0,1	0,2	0,3
200	0,2	0,3	0,4
300	0,3	0,4	0,2
400	0,4	0,1	0,1

1. Supuesto que los flujos netos de caja son variables aleatorias independientes y que la tasa de descuento, k, libre de riesgo, es del 7 por 100, se desea determinar el Valor Capital más probable.

2. Determinar la desviación típica alrededor del valor medio anterior.

3. Repetir el apartado anterior suponiendo que entre los flujos netos de caja de los diferentes períodos existe una correlación igual a la unidad.

4. Realizar un estudio de la ley de distribución del Valor Capital en el supuesto de ser desconocida, y posteriormente suponiendo que sigue la ley normal y continua. Utilizar los resultados de los dos primeros apanados.

A = 500.000 € 500 (en miles de euros)

1.-

2.-

3- Si =1K=0,07




4- Calcular P(VC)>0 aplicando Tchebycheff.

Por el apartado a) E(VC) = 160 (VC) = 145 = 0




La información de esta desigualdad es que la probabilidad de que el VC esté fuera del intervalo (160-145C,160+145C) es 1/c2.

Pero me interesa saber P(VC)<0, que es lo mismo que determinar que P(VC)(0,). Por tanto, me interesa que el extremo inferior sea 0, y tomo “C” en consecuencia: 160 - 145C = 0 C = 1,10

El extremo superior será: 160 + 145 . 1,1 = 320.

Mi intervalo (0,320)

Para aproximar la probabilidad dentro del intervalo (0,), voy a calcular la probabilidad dentro del intervalo (0,320).




Es decir, con C = 1,1 Tchebycheff me dice que la probabilidad de que el VC esté fuera del intervalo (0,320) es 1/1,12.

Por tanto, la probabilidad de que se encuentre dentro de un intervalo (a,b) es:

(a,b) = 1 - Tchebycheff probabilidad de que esté fuera.

Para aproximar la probabilidad de que esté dentro del intervalo (0,320) 1 - 1/1,12.

- Probabilidad que busco: P(VC > 0).

- Aproximo a ella: probabilidad de que esté dentro del intervalo (0,320).

Probabilidad que busco = complementaria Tchebycheff










La probabilidad de estar dentro de (0,320) es 17%.

El que sea una buena aproximación depende de la forma de distribución del VC. Depende de cómo sea la probabilidad de (320, ).




Queda muy poca probabilidad a la derecha de 320, por lo que la aproximación es buena.




Queda mucha probabilidad a la derecha de 320, por lo que la aproximación no es buena.

Podemos aproximar P(VC > 0) de otra manera, ya que no sabemos si es buena o no P(VC >0 ).

- Número de flujos: 3.

- Máximo valor de cada flujo: 400.

- Qt = 3 x 400 = 1.200.

- Flujo negativo cierto: Q0 = -500

- VC máximo: 1.200 - 500 = 700(va a ser menor porque los flujos hay que descontarlos).

Para aproximar P(VC > ), podemos aproximar P(0 VC 700). Esto, bajo la hipótesis de que la distribución del VC es simétrica respecto de su E(VC).

Suponiendo que VC N(160,145) Calcular P(VC >0 ).







La aproximación de Tchebycheff es siempre peor que si la hallamos por la distribución de probabilidad.

PROBLEMA 15

Una empresa se está planteando llevar a cabo una inversión, de la que conoce sus flujos de caja en términos de probabilidad, según la tabla adjunta. Sabiendo que el coste del capital es del 7%.

Momento actual		Año 1		Año 2		Año 3
Valores de Q0	Prob.	Valores de Q1	Prob.	Valores de Q2	Prob.	Valores de Q3	Prob.
-40.000	0,10	10.000	0.05	18.000	0,10	25.000	0.03
-42.000	0,15	12.000	0.10	20.000	0,17	28.000	0.17
-44.000	0,25	14.000	0.35	22.000	0,23	31.000	0.30
-16.000	0,25	16.000	0.35	24.000	0,23	34.000	0.30
-15.000	0,15	18.000	0.10	26.000	0,17	37.000	0.17
-50000	0,10	20.000	0.05	28.000	0,10	40.000	0.03

Se pide:

1. Calcular la esperanza matemática del valor capital

2. Calcular la desviación estándar suponiendo que los flujos de caja son independientes.

3. Suponiendo que la variable sigue una ley de probabilidad normal, Calcular

3a) Probabilidad de que VC>0.

3b) Probabilidad de que VC0.

3c) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y una vez (en más o menos) la desviación típica.

3d) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y dos veces (en más o menos) la desviación típica.

3e) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y tres veces (en más o menos) la desviación típica.

4. Suponiendo que no se conoce la ley de probabilidad que sigue el VC. Calcular:

4ª) Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y dos veces (en más o menos) la desviación típica.

4b. Probabilidad de qué VC se encuentre, entre la media y tres veces (en más o menos) la desviación típica.

K = 0,07

1.- Hay que calcular la esperanza de cada flujo.


2.- Etapa 2 del Modelo de Hillier

3.- a) VC N(15.638,5.177)




b)




c)








probabilidad dentro del intervalo (a,b)=(b)- (a)

a = 10.161.

b = 20.215










d)


e)





4 Tchebycheff




Aproximamos por Tchebycheff: probabilidad de que esté fuera de un intervalo abierto.




En nuestro intervalo




Desarrollo del valor absoluto:


-


+


En nuestro caso:




Aproxima la probabilidad de que esté fuera del intervalo, y así sabré la de dentro, ya que es la probabilidad total menos la de estar fuera.

Tchebycheff


Necesito la probabilidad de dentro de (5.284,25.992)

P(a,b) = 1 - Tchebycheff




b) 88,89% igual que en anterior solamente cambiando C = 2 por C = 3.

• Simulación de las decisiones de inversión. El modelo de HertZ.

El concepto de simulación se refiere a la reproducción de situaciones reales mediante fenómenos parecidos, pero artificiales. El modelo básico de simulación es el Modelo de Montecarlo.

El Modelo de Montecarlo consiste en un muestreo artificial o simulado, ya que parte de generar números aleatorios que se van a transformar en observaciones, a través de un determinado proceso.

El muestreo artificial se hace ante la imposibilidad (o porque resulta muy costoso) de obtener esa muestra en la realidad. El tamaño óptimo es de 5.000 ó 6.000 observaciones. Es por esto que solo se ha hecho operativo tras la existencia de los ordenadores.

La aplicación del Modelo de Montecarlo a la toma de decisiones de inversión la aplicó Hertz en dos trabajos (1964 y 1968). Este modelo se desarrolla en varias etapas:

1.- Formular el problema: determinar qué queremos conocer.

2.- Establecer un modelo matemático para la resolución del problema.

3.- Determinar:

a) Las variables o factores de los que dependen las magnitudes determinantes del PI (A, Qj, K). Hert hace una lista de estos factores y los divide en tres tipos:

• Factores de mercado: cuota de mercado de una empresa, tamaño del mercado, tasa de crecimiento, etc.

• Factores de inversión: tamaño de la inversión, tamaño del desembolso inicial (A), vida útil del PI. Si existe valor residual (VR), etc.

• Factores de ingresos y costes: costes fijos, precio de venta, etc. (para los factores de ingresos y pagos necesitamos saber los plazos de cobro a clientes y de pago a proveedores)

b) Qué factores vienen dados en condiciones de certeza y cuáles no.

4.- 2 pasos:

a) Simulación de las variables aleatorias, si no las conocemos con certeza. Para ello, necesitamos información: función de densidad

• Caso continuo: si las variables aleatorias son continuas, la función de distribución la hallamos integrando la función de densidad o cuantía.

Función de distribución: F(x)

Función de densidad: f(x)




• Caso discreto: no se necesita representar la función de distribución. Basta conocer:

• Sucesión de probabilidades acumuladas.

• Los valores que la función de distribución asigna a esa variable en función de cómo sean esas probabilidades acumuladas.

Una vez que las simulamos, podemos calcular A, Qj y K, y vamos a poder calcular VC, TR y Pay Back. Como tenemos 5.000 ó 6.000 simulaciones, tendremos un VC, una TR y un Pay Back para cada simulación.

b) Estudio probabilístico. Una vez caracterizados el VC, TR y Pay Back, con la desviación típica y la esperanza podré llevar a cabo el estudio probabilístico.

Si la distribución es normal, tipifico para pasarlo a una N(0,1).

Si no conocemos la distribución aplicamos el Teorema de Tchebycheff.

5.- Análisis de los resultados. Comparación con resultados históricos conocidos. Determino que las probabilidades son x y analizo esos resultados, y los comparo con otros.

6.- Generación de nuevos bloques de números aleatorios y repetición del proceso. Si se parecen a los de antes, el grado de confianza es muy elevado. Utilizamos un bloque de números para cada variable.

Problema 16

Supongamos el caso de una empresa que trata de introducir en el mercado un nuevo producto.

Esta operación le supone a la empresa un desembolso inicial de 73.000 euros, con cuya cantidad se puede hacer frente al coste de adquisición de las nuevas máquinas, publicidad y demás costes inherentes al lanzamiento. Esta cantidad, dado que viene expresada en precios actuales, se puede considerar como muy aproximada a la realidad, es decir, vamos a trabajar con ella como si se tratara de una magnitud cierta.

La capacidad de las nuevas instalaciones es de 20.000 unidades de producto por año, cantidad que el mercado puede absorber perfectamente, y que vamos a trabajar con ella como si se tratara de una magnitud conocida con certeza

La vida probable del producto se estima en cinco años, con la distribución de probabilidad que se establece en la hoja vida útil.

Distribución de probabilidad de vida útil

PROBABILIDAD DE VIDA ÚTIL DEL PRODUCTO
Años de vida	Probabilidad	Probabilidad acumulada
3	0,10	0,10
4	0,20	0,30
5	0,40	0,70
6	0,20	0,90
7	0,10	1,00
SUMA	1,00

El precio de venta del producto tampoco se conoce con certeza. Existe el 50% de probabilidad de que el precio sea de 3 euros, el 25% de que se halle comprendido entre 2 y 3 euros y otro 25% de probabilidad de que esté comprendido entre 3 y 4 euros. Esta información acerca del precio del producto nuevo se recoge en la hoja de precio de venta

Precio de venta

PROBABILIDAD DE VIDA ÚTIL DEL PRODUCTO
Marca de clase	Precio	Probabilidad	Probabilidad acumulada
2,5	2-3	0,25	0,25
3	3	0,50	0,75
3,5	3-4	0,25	1,00
SUMA		1,00

El coste variable unitario no puede conocerse con exactitud, dado que la actual coyuntura económica es muy cambiante y los precios de los imputs necesarios para producir el nuevo producto puede oscilar entre 0,1 y 0,2 euros, siguiendo una distribución uniforme o rectangular, es decir, no se dispone de información suficiente para poder conocer los valores intermedios privilegiados (con mayor probabilidad). La distribución de probabilidad del coste variable aparece recogida en el sistema de coordenadas de la hoja coste variable

Coste variable unitario

Para el problema concreto que estamos estudiando, y dada la situación del mercado financiero, se considera aceptable un tipo de actualización o descuento del 5%

Con todos estos datos se quiere conocer el valor medio del plazo de recuperación del valor capital y de la tasa de retorno de esta inversión, así como sus correspondientes desviaciones estándar.

A.- HOJA DE CÁCULO

• Construyo la hoja de cálculo con las fórmulas que voy a necesitar

• Arrastro las fórmulas hasta completar la hoja con las 200 simulaciones que vamos a hacer en este ejercicio

• Construyo la hoja de cálculo con las fórmulas que voy a necesitar

B.- ESTUDIO PROBABILÍSTICO..

1.- PAY BACK




P(p<3) probabilidad de que el Pay Back sea < 3 años.

2.- VAN




3.- TIR




• Las decisiones de inversión secuenciales: Árboles de decisión y análisis bayesiano.

Hablamos de decisión de inversión secuenciales cuando consideramos las correlaciones que existen entre las decisiones de inversión que toma la empresa. Este tipo de decisiones de inversión secuenciales se pueden analizar por los Árboles de Decisión o por el Análisis Bayesiano.

6.3.1.- ANÁLISIS BAYESIANO.

Este análisis se realiza aplicando el Teorema de Bayes, que se basa en la probabilidad de un hecho, condicionado a que otro haya ocurrido.

6.3.2.- ÁRBOLES DE DECISIÓN.

Hasta ahora hemos considerado una única decisión de aceptación o rechazo, y no hemos considerado que esta primera decisión condiciona decisiones futuras, y a su vez, viene condicionada por decisiones tomadas previamente, así como por la evolución y comportamientos económicos.

TIPOS DE NUDOS

Problema 18

Los científicos de MOPASA, cuyo coste de capital es 10%, han diseñado una mopa eléctrica y la empresa esta dispuesta a llevar adelante una producción piloto y unas pruebas comerciales. La fase preliminar durará un año y costará 125. La dirección cree que sólo existe un 50% de probabilidad de que la producción piloto y las pruebas comerciales tengan éxito. Si lo tienen, entonces MOPASA construirá una planta de 1.000, que generará perpetuamente unos flujos esperados de tesorería de 250 anuales. Si no tiene éxito, la planta sólo generará, también perpetuamente, 75 anuales. ¿Considera acertada la producción piloto?

Nota 1: Cifras en miles de euros.

Nota 2: Sin hacer una producción piloto y unas pruebas comerciales la empresa no se plantea construir una planta de producción.

K = 10%

Producción piloto + pruebas comerciales = A = 125

• Probabilidad de éxito: 0,5 [Planta A = 1.000] Q = 250/año (perpetuos)

• Probabilidad de fracaso: 0,5 [Planta A = 1.000] Q = 75/año (perpetuos)

Resolvemos cada nudo decisional de derecha a izquierda.

Para resolver un nudo, evaluamos el VC que me ofrece cada una de las alternativas.

Analizamos las alternativas y hallo el VC esperado y elijo aquella que me proporcione mayor VC esperado.

NUDO 1:




Invertir:




No invertir:




NUDO 2:

Invertir:




No invertir:




NUDO 3:

Pruebas:




/1,1 porque actualizamos 1 periodo, ya que 1.500 y 0 son cantidades del momento t1 y el nudo 3 es del momento t0.

No pruebas:




VC Pruebas > VC no pruebas 556,8 > 0

DECISIÓN: LLEVAR A CABO LAS PRUEBAS. Si tiene éxito, invertimos, y si fracasan, no invertimos.

Problema 19

Ante la crisis de la compañía Iberia, acompañada de frecuentes huelgas, varias empresas españolas deciden crear la empresa VIDISA, cuya principal actividad es ofrecer un servicio de vuelo para directivos, siendo el coste del capital del 10%. La dirección de VIDISA encarga a PRICE MARKETHOUSE un estudio de la demanda por parte de las empresas, y de los cobros y pagos previstos que se originarían con cada una de las demandas, considerando dos posibles alternativas. La primera sería comprar un turbopropulsor nuevo de marca por 550. La segunda alternativa seria la compra de un avión de segunda mano con motor a combustión que sólo cuesta 250, pero que tiene menor capacidad y la dirección de VIDISA es consciente de que este aparato tendrá un menor atractivo para los posibles clientes. Además PRICE MARKETHOUSE señala que debido al diseño anticuado de su motor las aeronaves de combustión están perdiendo valor con rapidez, por lo que dentro de un año se podría adquirir otro si fuera necesario por sólo 150.

En cuanto al estudio de demanda, PRICE MARKETHOUSE trasmite a la dirección de VIDISA que existe una probabilidad del 40 por ciento de que la demanda sea baja el primer año. Si esto sucede, existe una probabilidad del 60 por ciento de que se mantenga baja en los años siguientes. Por el contrario, si la demanda inicial es alta, existe una probabilidad del 80 por ciento de que lo siga siendo los restantes años.

Con estos datos y teniendo en cuenta el tipo de avión que se adquiera, lo cual influirá en los cobros y pagos que se realicen, PRICE MARKETHOUSE obtiene los siguientes resultados de su estudio:

Para el avión turbopropulsor si la demanda es alta el primer año estima que los cobros serán 1200 y los pagos 1050, mientras que si la demanda se mantiene alta el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del segundo año será 960, siendo 220 en el caso contrario. Para esta misma aeronave si la demanda es baja el primer año se estima que los cobros disminuirán en 120 y los pagos permanecerían igual, mientras que si la demanda se mantiene baja el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del segundo año será 140, siendo 930 en el caso contrario.

Para el avión con motor a combustión si la demanda es alta el primer año se estima que los cobros y pagos serían respectivamente 1000 y 900, mientras que si la demanda se mantiene alta el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del segundo año será 410, que aumentaría en 390 si se comprase otro avión igual, en caso contrario el valor actualizado al final del segundo año sería de 180, que disminuiría en 80 si se comprase otro avión igual. Para esta misma aeronave si la demanda es baja el primer año los cobros y los pagos disminuirían en un 50 por ciento, mientras que si la demanda se mantiene baja el segundo año el valor actualizado de todos los cobros y pagos al final del segundo año será 100, siendo 220 en caso contrario.

a) Teniendo en cuenta esta información la dirección de la empresa quiere saber qué avión comprar.

b) De otra parte la dirección tiene la sospecha de que no sea posible la alternativa de comprar otro avión de combustión por 150 el segundo año, por lo que quiere saber en qué variarían los resultados en este supuesto. Advierten al director financiero que se plantean acordar con la empresa que vende el primer avión a combustión una opción de compra europea con fecha de vencimiento a inicio del segundo año, y a un precio de ejercicio de 150, por lo que le sugieren que les orienten acerca del precio que podrían pagar por esta opción.

c) Algunos de los miembros del Consejo de Administración de VIDISA son muy pesimistas acerca del comportamiento de la demanda para los próximos años, por lo que consultaron a PRICE MARKETHOUSE el precio en el que se podrían vender los aviones pasado un año si la demanda era baja, obteniendo un precio de 500 y 150 para el avión turbopropulsor y el avión con motor de combustión respectivamente. Por ello, piden al director financiero que determine qué avión comprar considerando este supuesto. Además, ante la sospecha de los miembros pesimistas del Consejo de Administración de que una bajada de la demanda influya negativamente sobre los precios de mercado de las aeronaves, se pide al director financiero informe al Consejo de Administración acerca del precio que podrían pagar por una opción de venta europea con fecha de vencimiento final del primer año y precio de ejercicio los estimados por PRICE MARKETHOUSE, para asegurarse una opción de abandono de la inversión.

Nota: Cifras en miles de euros.

a) Nos piden: DECIDIR QUE AVIÓN COMPRAR

K = 10%

ALTERNATIVAS
Tipo de avión	Desembolso (A)
TURBO	550 miles de euros.
COMBUSTIÓN	250 miles de euros. Posibilidad de ampliación en t1 a otro con A = 150

ANÁLISIS DE LA DEMANDA
PRIMER AÑO	SIGUIENTES AÑOS
Demanda Baja (DB = 0,4)	Demanda Baja (DB = 0,6) Demanda Alta (DA = 0,4)
Demanda Alta (DA = 0,6)	Demanda Baja (DB = 0,8) Demanda Alta (DA = 0,2)

ANÁLISIS DE LOS COBROS Y PAGOS
	1º AÑO		2º AÑO
TURBO	DA	C = 1.200	DA(t2)	Va.Qj = 960
				P = 1.050	DB(t2)	Va.Qj = 220
			DB	C = 1.080	DB(t2)	= 140
				P = 1.050	DA(t2)	= 930
	1º AÑO		2º AÑO
COMBUSTIÓN	DA	C = 1.000	DA(t2)	Va.Qj = 410
								Ampliación: Va.Qj = 800
						C = 400	DB(t2)	Va.Qj = 100
								Ampliación: Va.Qj = 220
			DB	C = 500	DB(t2)	Va.Qj = 100
				P = 450	DA(t2)	Va.Qj = 220

NUDO 1:

Ampliar:

No ampliar:

El Valor capital de ampliar es mayor que el de no ampliar. Por tanto, la decisión en este nudo es AMPLIAR.

NUDO 2:

Turbo:

Combustión:




El Valor capital del avión de combustión es mayor que el turbo. Por tanto, la decisión óptima en este nudo es COMPRAR EL AVIÓN DE COMBUSTIÓN

b) Nos piden: DECIDIR QUE AVIÓN COMPRAR SI NO ES POSIBLE COMPRAR EL SEGUNDO AVIÓN

No es posible la ampliación.

NUDO 2:

Turbo:

Combustión:

El Valor capital del avión turbo es mayor que el de combustión. Por tanto, la decisión óptima en este nudo es COMPRAR EL AVIÓN TURBO

La probabilidad de ampliar la compra de otro avión de combustión si tiene valor para la empresa, pero bajo el supuesto de no poder ampliar, elegiría el avión Turbo.

NOS PLANTEAMOS LA OPCIÓN DE COMPRAR UNA OPCIÓN DE COMPRA

OPCIÓN: contrato que se negocia en el momento t0. Los elementos de dicho contrato son

• Prima o precio de la opción: la pago cuando negocio el contrato, en el momento t0.

• Precio de ejercicio: precio del bien o el activo al que se refiere el contrato (ya sea pagado como desembolso en el caso de una opción de compra, o cobrado en el caso de una opción de venta). Se paga en el momento en que se vence la opción, en la fecha de vencimiento o fecha de maduración (en nuestro caso en el momento t1).

• Fecha de vencimiento: fecha en que se ejercita la opción, si es conveniente para la empresa dicha ejecución (en nuestro caso, en el momento t1).

Para nosotros, la prima o precio de acción va a depender del incremento del VC. La prima que estoy dispuesto a pagar es la que me proporcione un VC > 96, el VC que supone para nosotros.

Prima (Combustión):

VCC = 117 (ampliar)

VCC = 52 (sin ampliar) Inc. VC = 117 - 52 = 65

Pero también puedo comprar un avión turbopropulsor, que me proporciona VCT = 96. La prima que estaremos dispuestos a pagar será aquella que me proporcione un VC > 96.

117 - x =96 x = 21.

Elegiré el turbo siempre que la prima sea mayor que 21.

b) Nos piden: DECIDIR QUE AVIÓN COMPRAR BAJO LA POSIBLE OPCIÓN DE ABANDONO

NUDO 1:

Ampliar:

No ampliar:

El Valor capital de ampliar es mayor que el de no ampliar. Por tanto, la decisión en este nudo es AMPLIAR.

NUDO 2:

Turbo:

Combustión:


Considerando la alternativa de abandono, el valor capital del avión del turbo es mayor que el de combustión (123 > 127). Por tanto, la decisión óptima en este nudo es COMPRAR EL AVIÓN TURBO, y si la demanda durante el primer año es baja, se vendería el avión por 500 y se abandonaría la actividad.

PROBLEMA 20

Un empresario se plantea el problema de elegir entre dos alternativas de producción, que designaremos como “producción grande” y “producción pequeña”. La decisión debe ser mantenida durante los dos próximos años, en cada uno de los cuales podrían darse dos posibles estados del mercado: demanda baja o demanda alta. La probabilidad de que se dé una demanda baja durante el primer año es del 30 por ciento. Por otra parte, la probabilidad de que en el segundo año se mantenga el mismo estado de demanda que en el primero es del 75 por ciento.

Los desembolsos iniciales son de 30 y 10 millones de euros, respectivamente, para la producción grande y pequeña. Los flujos netos de caja (en millones de euros) al final de cada año en las cuatro combinaciones posibles son:

		Demanda
				Alta	Baja
Producción	Grande	100	-50
		Pequeña	10	35

Se pide:

a) Determinar su decisión óptima por el criterio del VAN esperado con un tipo de descuento del 10 por ciento anual.

b) Comentar la decisión anterior si se introduce el análisis del riesgo en el estudio de las posibles decisiones a tomar.

a)







Como VCPG > VCPP elegimos la producción grande

b)

Es importante también considerar el riesgo.

El punto a) equivale a la E(VC) y el b) a la (VC)

Escenarios	Nudos	VC	PROBABILIDAD ASOCIADA (producto de las probabilidades del camino)
1	1, 2, 4, r s
2	1, 2, 4, r i
3	1, 2, 5, r s
4	1, 2, 5, r i
5	1, 3, 6, r s
6	1, 3, 6, r i
7	1, 3, 7, r s
8	1, 3, 7, r i




Producción grande:

Producción pequeña:







La elección depende de la aversión al riesgo del inversor.

En este caso no conocemos la función de utilidad, por lo que podemos plantearnos un estudio probabilística siguiendo el modelo de Hillier.

Producción grande:

La probabilidad de que el VC>0 es la suma de las probabilidades asociadas a los valores capitales positivos de la Producción grande:




Producción pequeña:

La probabilidad de que el VC>0 es la suma de las probabilidades asociadas a los valores capitales positivos de la producción pequeña:




En función de este análisis, es la producción pequeña la que proporciona una mayor probabilidad de efectuabilidad (VC>)

COEFICIENTE DE VARIACIÓN: es una medida objetiva del riesgo asociado a un proyecto.

Se utiliza cuando no conocemos la función de utilidad del inversor y, determina las unidades de riesgo asociadas a cada unidad de ganancia.




Producción grande:




producción pequeña:




los inversores adversos al riesgo preferirán la alternativa con menor coeficiente de variación, por tanto, preferirán el proyecto de producción pequeña.

6.3.3.- VENTAJAS E INCONVENIENTES DE LOS ÁRBOLES DE DECISIÓN.

Los árboles de decisión que hemos visto, aunque son simples, representan decisiones de inversión secuenciales a las que se enfrentan los directivos. Sí representan la problemática general, es decir, que las decisiones actuales influyen en las decisiones futuras y viceversa, y, por tanto, para tomar una decisión racional, todo ello ha de ser analizado hoy.

La principal ventaja de los árboles es que obligan a hacer explícita la estrategia empresarial subyacente, y con ello, al exponer las relaciones entre las decisiones de inversión actuales y futuras, ayudan al directivo a encontrar la estrategaza con mayor VC.

El principal inconveniente es que rápidamente se pueden complicar, ampliándose las ramas y dificultando los cálculos.

Problema 17

Leches y chocolates Unidos. S.A. (LECHUSA), está estudiando la instalación de una nueva factoría para la fabricación de diversos derivados lácteos. Tras diversos análisis ha llegado a la conclusión de que los valores esperados de los tres flujos anuales del desembolso inicial de este provecto son (en miles de euros):

E(Q0) = -100, E(Q1) = 10, E(Q2) = 200, E(Q3) = 50

También ha estimado las varianzas de estas variables y los coeficientes de correlación entre ellas, que son:

varianzas	coeficientes de correlación
2(Q0) = 10.000	p(Q0,Q1) = -0.10, p(Q1,Q2) = 0,75
2(Q1) = 121	p(Q0,Q2) = 0, p(Q1,Q3) = 0,50
2(Q2) = 32.400	p(Q0,Q3) = 0, p(Q2,Q3) = 0,325
2(Q3) = 3.600

La empresa no conoce la distribución del VAN, si bien considera que puede considerársela razonablemente simétrica en tomo al valor esperado. Tomando, como tipo de descuento, el 8 por 100, se desea acotar la probabilidad de que el VAN se encuentre entre -100 y 500 miles de euros.




la correlación entre flujos es parcial, por lo que para calcular la varianza del VC tenemos 2 opciones, pero usamos













DESIGUALDAD DE TCHEBYCHEFF

Probabilidad de que el VC esté fuera de [E-c, E+ c] es 1/c2.

La probabilidad de dentro es








Dado que es simétrica


la probabilidad de la izquierda de la
y la probabilidad de la derecha será la misma.

Ahora vamos a aproximar P[E(VC),500] para un intervalo (-100,a)




Para un intervalo (b,500), se verificará la misma simetría respecto a la E(VC)




Extremo inferior:


Como la distribución es simétrica se verifica que:




Así podemos hacer una mejor aproximación de la probabilidad de interés.







• LA DECISIÓN DE FINANCIACIÓN: EL COSTE DEL CAPITAL

• El concepto del coste del capital

Existe una interrelación entre las decisiones de inversión y de financiación, siendo el coste de capital el que actúa como bisagra.

Cuando analizamos una decisión de inversión, aparece el concepto de coste de capital, que nos enlaza con la decisión de financiación, de tal forma que realizaremos inversiones si su rentabilidad es superior al coste en el que incurrimos para realizarlas. Esto es lo que se conoce con el nombre de “condición de efectuabilidad”.

Este parámetro es también necesario para el criterio del VC. Influye para que una inversión sea realizable o no. La empresa necesita recursos financieros para llevar a cabo inversiones, siendo el cometido de la decisión de financiación el buscar los recursos financieros al mínimo coste.

Fuentes de financiación:

• Recursos propios: acciones.

• Deudas a largo plazo: obligaciones.

• Deuda a corto plazo: descuento de efectos, cuenta de crédito, proveedores, etc.

El coste de un título es un índice de referencia que permite valorar el esfuerzo de la empresa para obtener la fuente de financiación que dicho título representa. Viene determinado por:

1.- Riesgo económico.(Ámbito interno). El Riesgo que las inversiones financiadas por dicho título reflejan en él.

Ejemplo: no es igual el riesgo de la compra de obligaciones de una empresa petrolera (monopolio), que el riesgo de la compra de acciones de una empresa textil (normalmente en crisis)

2- Riesgo financiero. (Ámbito interno). El grado de subordinación relativa del título en relación con los demás títulos de la empresa.

Ejemplo: existe una subordinación de las acciones afrente a las obligaciones en caso de liquidación, primero cobran los obligacionistas y al final los accionistas.

3- Riesgo de tipo de interés. (Ámbito externo). También se le conoce como riesgo derivado del efecto que ejercen las fluctuaciones macroeconómicas en los tipos de interés, y que afectan a la rentabilidad que deben ofrecer las empresas al emitir sus títulos y a su cotización, cuando lo hacen en mercados organizados.

Ejemplo: mercado continuo.

Vamos a estudiar el coste de los distintos títulos, haciendo hincapié en los riesgos del ámbito interno.

• Coste de la financiación a corto plazo.

Si miramos la estructura financiera de una empresa, veremos que gran parte de ella está formada por deuda a corto plazo. Una parte, tiene carácter transitorio, pues se debe a necesidades transitorias derivadas del ejercicio de la actividad empresarial (carácter estacional), y otra parte, tiene carácter permanente, siendo una consecuencia natural del desarrollo de la actividad económica.

Tiene un triple origen:

1.- Por una parte, las empresas compran a sus proveedores, los cuales les conceden un aplazamiento del pago, generándose una deuda a corto plazo que se mantiene en el tiempo, siempre que la empresa mantenga su actividad comercial.

2.- Por otra parte, cuando las empresas realizan sus ventas, se ven obligadas a ofrecer plazos de cobro a sus clientes de manera que se generan unos derechos de cobro, contra éstos se puede obtener financiación a corto plazo a través de las entidades financieras. Es lo que se conoce como el descuento comercial.

3.- Finalmente, también las entidades bancarias tienen una mayor propensión a facilitar a las empresas financiación a corto plazo en vez de a largo plazo, pues, de esta manera, tienen una mayor flexibilidad, y además, disminuyen el riesgo. (cuentas de crédito, …).

7.2.1.- DESCUENTO DE EFECTOS.

Un efecto comercial es un título que da derecho a una empresa a cobrar dentro de un determinado periodo de tiempo, una determinada cantidad de dinero a otra empresa.

Letra de cambio poder ejecutivo.

Efecto comercial no tiene poder ejecutivo.

FUNCIONES:

1.- Función de crédito.

2.- Función de cobro.

El coste del descuento de efectos se debe repartir entre ambas funciones. Nos interesa el coste de la función de crédito. Para imputar este coste, hay que distinguir 2 modalidades de descuento de efectos.

a) Tradicional. La empresa endosa sus efectos comerciales a favor de una entidad bancaria, de tal manera que ésta le abona el valor nominal de los efectos menos el coste del crédito y los gastos de cobro. El banco no corre ningún riesgo.

• El coste del crédito es el interés aplicable por la cantidad que se descuenta corregido por el vencimiento de los efectos.

• Los gastos de cobro están en función del nominal: comisión por cobro, timbre (cuando procede) y gastos de correo.

b) Forfait. El banco cobra un tipo de interés más alto y no cobra comisiones. Los intereses a pagar serán
, donde:


Cantidad de efecto descontado


Vencimiento


Tipo de interés de la operación de descuento (precio)

Nos interesa el tipo de interés efectivo. Para calcularlo utilizamos la siguiente fórmula


donde


Comisión por cobro


Interés por pagar de forma anticipada.




El coste efectivo del descuento de efectos disminuye a medida que lo hace el vencimiento. Sin embargo, el banco cobra por un vencimiento mínimo de 11 días.

7.2.2.- CUENTA DE CRÉDITO.

Es un contrato por el cual una entidad bancaria pone a disposición una cantidad de dinero (límite de la cuenta de crédito) y sólo cobra intereses por la cantidad dispuesta, mientras que por las cantidades no dispuestas sólo cobra una pequeña comisión.

Hay cinco componentes de coste:

1.- Tipo de interés por las cantidades dispuestas en la operación


2.- Comisión de disponibilidad. Es un porcentaje por la cantidad de fondos disponibles no utilizados (es una cantidad muy pequeña)


3.- Tipo de interés sobre el excedido del límite de crédito. Si se utiliza más de lo que se concedió, se cobra un tipo de interés especial


4.- Comisión de apertura. Porcentaje sobre el límite de crédito cuyo devengo sólo se realiza una vez a lo largo de la vida de la operación.

5.- Corretaje. Porcentaje sobre el límite del crédito independientemente de su utilización (ejemplo: pago a un notario). Sólo se paga una vez.

Los 3 primeros son los fundamentales, y que influyen por tanto en la toma de decisiones de la empresa.

En la hoja de cálculo:

Kt: saldo dispuesto para un día t

Kmáx: límite de crédito.

Ic: tipo de interés por las cantidades dispuestas

Cd: comisión de disponibilidad

Idc: tipo de interés sobre el excedido del límite (descubierto)

CSDt: coste del saldo dispuesto para un día t [=SI(A2<B2;A2*C2/360;B2*C2/360]

CSNDt: coste del saldo no dispuesto para un día t [=SI(A3<B3;(B3-A3)*D3/360;0]

CELt: coste del excedido sobre el límite de crédito para un día t [=SI(A4>B4;(A4-B4)*E4/360;0]

CCt: coste de la cuenta de crédito para un día t [=SUMA(F4:H4)]

El coste de la cuenta de crédito durante el periodo de planificación será:




Partiremos de 31 días para la planificación, como en la fila 1 están los títulos de las columnas, en la fila 33 realizamos los totales (A33) es [=SUMA(A2:A32)]

El coste efectivo (I34) es [=(I33/A33)*360]

El problema que tenemos es que no podemos calcular el coste efectivo hasta el final del periodo de planificación. Para tomar una decisión a mitad del periodo debo tener en cuenta el coste de oportunidad.

Ejemplo:

ic: coste de crédito

cd: comisión de disponibilidad

i0: coste de oportunidad




Kmáx: 100.000.

Kt: 80.000.

7.2.3.- PRÉSTAMOS A CORTO PLAZO.

Coste efectivo. Los elementos son los mismos que los señalados para el crédito excepto la comisión de disponibilidad y no pueden existir excesos sobre el crédito concedido.

En definitiva, dado que el tipo de interés es mayor que para el crédito y se devengan intereses por todo el periodo independientemente del grado de utilización, se ha quedado como un elemento residual para la financiación de las empresas.

7.2.4.- VENTA DE INVERSIONES FINANCIERAS A C/P.

Son todos aquellos activos que la empresa puede adquirir para invertir temporalmente los excedentes transitorios de caja (puntas de tesorería).

Las PYMES únicamente tienen como alternativa los depósitos bancarios para los excedentes transitorios de caja.

A medida que aumenta el tamaño de la empresa aumentan los activos en los que las empresas pueden invertir a c/p, llegando las grandes empresas a invertir directamente en el mercado monetario.

Las empresas en España suelen tener un volumen elevado de deuda a c/p, instrumentalizado en efectos descontados y cuentas de crédito, por lo que no suelen existir inversiones financieras a c/p.

El rendimiento que se deja de obtener cuando se vende, sería su coste
, donde:


Excedente invertido el día t


Tasa de rendimiento o tipo de interés.

7.2.5.- FUENTES EXPONTÁNEAS DE FONDOS.

Son fuentes de financiación a c/p que surgen de forma espontánea con el desarrollo de la actividad empresarial. La más habitual e importante es el crédito comercial o crédito concedido por los proveedores, aunque existen otras de menor importancia: pagos pendientes a Organismos Públicos (Impuestos y cuotas a la Seguridad Social), pagos pendientes al personal, pagos adelantados de clientes, etc.

No tiene coste explícito, pero si implícito (el coste de oportunidad), porque de manera simultánea con las condiciones de pago, los proveedores suelen conceder descuentos por pronto pago, y no acogerse a estos descuentos, supone un coste para la empresa.


Ejemplo: compramos a un proveedor la cantidad de Q euros, y el proveedor nos indica la siguiente fórmula de pago: d % / n neto m días.

Si el cliente paga en los n primeros días, obtiene un descuento de d %, y si no, debe pagar todo en un plazo de n días.

d = % descuento

n = periodo de pago.

m = periodo en el cual debemos pagar si queremos acogernos al descuento.

Coste efectivo: la cantidad de descuento obtenido debe ser igual al producto entre la cantidad financiada, el plazo en el que se obtiene la financiación del proveedor y el coste efectivo.




Qd es la cantidad de descuento obtenido

ie es el coste efectivo.

Despejamos ie:
en porcentaje

Ejemplo:

Supongamos que un proveedor nos ofrece la siguiente condición de venta: 2 % a 10 días o neto 60 días.

Deseamos conocer si nos interesa acogernos a ese descuento.




Éste sería el coste efectivo de la financiación del proveedor. Tenemos que comparar ese dato con el coste de oportunidad de la cuenta de crédito

Supongamos que:


me acojo al descuento

Si fuera
no me acogería al descuento.

• Coste de la deuda a largo plazo.

Si analizamos la información del folleto de una emisión de obligaciones, nos encontraremos con los siguientes datos:

• Obo = Valor actual de la obligación.

• E(obt) = reembolso esperado del principal de la obligación en el momento t.

• E(Ci) = Valor esperado del cupón en el momento i (depende del tipo de interés)

• t = Vencimiento de la obligación.

Las cantidades precedidas por el operador esperanza no son ciertas, están sujetas a un riesgo.

Nos interesa la rentabilidad al vencimiento Kd que se calcula de la siguiente forma:


es la corriente de cupones esperados en cada periodo de tiempo actualizado al origen, más el valor de reembolso esperado actualizado al origen.

Habría que calcular Kd. Depende de:

1.- El valor actual de la obligación (Obo)

2.- El cupón, es decir, el tipo de interés contractual. El Ci.

3.- El valor de reembolso [E(Obo)].

Se puede calcular utilizando la fórmula de la TR en una hoja de cálculo, lo difícil es estimar la rentabilidad al vencimiento que debe ofrecer la empresa para que los inversores suscriban sus títulos. Es decir, dependerá del riesgo, pues de acuerdo con el principio de rentabilidad-riesgo, aquellos títulos para los cuales el inversor percibe más riesgo les exige más rentabilidad.

Cuanto mayor sean los riesgos económicos, financieros y de tipo de interés, mayor tendrá que ser la rentabilidad al vencimiento. La empresa puede actuar en tres frentes:

1.- Reduciendo el valor actual de la obligación.

2.,- Incrementando el tipo de interés contractual.

3.- Incrementando el valor de reembolso esperado.

Vamos a determinar la tasa de rentabilidad al vencimiento.

Para estimar la rentabilidad al vencimiento requerida por los inversores, tomamos como punto de partida el tipo de interés libre de riesgo y le añadimos una prima por riesgo para compensar el mayor riesgo que el inversor percibe en nuestro título.

Para calcular el tipo de interés libre de riesgo, tomamos como referencia el tipo de interés de las obligaciones de un Estado solvente.

Nuestro problema queda reducido al cálculo de la prima por riesgo, que tiene varios componentes:
1.- Prima por riesgo de insolvencia. (Riesgo de que una empresa no satisfaga los intereses y/o el principal). Cada empresa soporta un determinado riesgo de insolvencia, que depende fundamentalmente del riesgo de que los proyectos de inversión no proporcionen la rentabilidad esperada.

2.- Prima por riesgo de vencimiento. El riesgo de los tipos de interés puede afectar más o menos a las empresas, pues en función de la relación que exista entre los tipos de interés a c/p y a l/p, puede hacer que su emisión gane o pierda atractivo. Este riesgo se recoge mediante una prima de vencimiento.

Ejemplo: a primeros de los años 90, las letras del tesoro que emitió el Estado español prometían una rentabilidad superior al 12%. La emisión de obligaciones de las empresas tenía escaso interés para los ahorradores.

3.- Prima por riesgo de liquidez. Surge cuando no existe un mercado suficientemente activo que garantice liquidez inmediata al título.

Ejemplo: un bono de Telefónica tiene mucha liquidez.

4.- Prima por riesgo financiero. Es aquel derivado de la naturaleza y características propias de los títulos emitidos por la empresa).

Ejemplo: fondos y avales que garantizan a los títulos (exigirán menor prima), grado de prioridad, posible convertibilidad en otros títulos, etc.

La prima por riesgo de una obligación será igual a una prima por riesgo de insolvencia, más una prima por riesgo de vencimiento, más una prima por riesgo de liquidez, más una prima por riesgo financiero.


Problema 26

La empresa RASA (RATONES SA) desea determinar la rentabilidad al vencimiento de una emisión de obligaciones, cuyo valor actual es 10.000 euros y produce unos intereses del 14%, siendo su valor de reembolso de 10.674,24 euros el cual se producirá dentro de 5 años.

De otra parte, la dirección de la empresa estima que debe pagar a los inversores una prima por riesgo del 6%. Tteniendo en cuenta que la rentabilidad de un titulo sin riesgo es del 10%. ¿Cuánto tendría que descontar al precio de emisión para ofrecer esta rentabilidad a los inversores? Pues la dirección se la empresa quiere mantener tanto el tipo de interés como el valor de reembolso anteriormente mencionados.

a)
por prueba y error o mediante hoja de cálculo Kd = 0,15.

Si igualamos el valor de reembolso al de emisión, la rentabilidad sería únicamente la derivada del pago del cupón.




b) Rentabilidad requerida al vencimiento por los inversores = 0,10 + 0,6 + 0,16 = 16%.

Como Kd < rentabilidad requerida por los inversores, habrá que aumentar Kd para que la emisión sea atractiva




Tenemos que reducir el valor actual de la obligación


• El coste del capital propio.

Hay dos métodos:

7.4.1.- MÉTODO DEL RENDIMIENTO DE LAS OBLIGACIONES MÁS UNA PRIMA POR RIESGO (ROPR).

Consiste en considerar el rendimiento de las obligaciones como un elemento básico del coste, y añadir una prima por riesgo para tener en cuenta el diferencial de riesgo que existe entre ambas, que se debe a que las acciones están subordinadas a las obligaciones (en caso de liquidación de la empresa, primero cobran los obligacionistas y después los accionistas).

Coste de las acciones = Rendimiento de las obligaciones + Prima por riesgo.

Así se cumple el principio de rentabilidad-riesgo (a mayor riesgo, mayor rentabilidad se debe ofrecer).

Para calcular la prima por riesgo, se considera para un sector de actividad concreto y un tiempo concreto, la diferencia entre el rendimiento medio de las acciones menos ela rentabilidad media de las obligaciones en ese sector.

Prima por riesgo = Rm obligaciones - Rm acciones.

EJEMPLO:

Sector de la construcción.

En los últimos 5 años:

- Rentabilidad Media de las acciones = 0,16 (16%).

- Rentabilidad Media de las obligaciones = 0,11 (11%).

Prima por riesgo = 0,16 - 0,11 = 0,05 (5%).

Si el rendimiento de las obligaciones de la empresa es del 12%, el coste de las acciones será.

Coste de las acciones = 0,12 + 0,05 = 0,17 (17%).

INCONVENIENTES:

1.- Problema de estabilidad en la medida. Se debe a que la prima por riesgo es bastante estable en periodos con tipo de interés estable, pero tiende a fluctuar mucho cuando los tipos de interés son inestables.

2.- Si la rentabilidad histórica de las acciones durante el periodo de cálculo es menos que la rentabilidad histórica de las obligaciones, llegaríamos a la condición de que el coste de las acciones sería inferior al de las obligaciones.

El periodo de cálculo aceptable es de 5 a 10 años.

7.4.2.- MÉTODO DE VALORACIÓN DE ACTIVOS FINANCIEROS (CAPM).

En el método anterior se ponía de manifiesto la relación que debe existir entre rentabilidad y riesgo de un título.

El CAPM recoge la relación teórica que existe entre rentabilidad de un activo y riesgo esperado.

A diferencia del ROPR, el CAPM se basa en el principio de diversificación financiera, según el cual, parte del riesgo de una cartera se elimina mediante la mera acumulación de los títulos que la forman. (Cuanto menor es la correlación entre los títulos, más riesgo se elimina). La parte que se elimina se conoce como riesgo no sistemático, de tal manera, que sólo tendremos en cuenta la variabilidad de la rentabilidad de un activo que no se puede eliminar (Beta del título, o riesgo sistemático del título: única medida relevante del riesgo, y por tanto, por la única por la que hay que pagar una prima por riesgo a los inversores, dado que no se puede eliminar por la diversificación).

Si utilizamos el CAPM, el coste de una acción es:

Coste acción = Tasa de interés libre de riesgo + (Prima por riesgo del mercado + Riesgo sistemático)

Es decir:

EJEMPLO:

Sea =1,3 de la que queremos calcular el coste esperado sabiendo que la tasa de interés libre de riesgo es del 8% y que la rentabilidad media del mercado es del 13%.



Gráficamente




El CAPM tiene mayor soporte técnico que el ROPR.

• La jerarquización rentabilidad-coste de las fuentes financieras.

Dado que el CAPM es la manera más sencilla y con mayor justificación técnica para calcular la rentabilidad de un título, podemos aplicar este método a cualquier tipo de títulos, de tal manera que obtendremos una relación de equilibrio entre rentabilidad y riesgo.




La prima por riesgo se incrementa cuanto mayor es el riesgo del título.

• El coste medio ponderado del capital.

Vamos a considerarlo como el coste de oportunidad de los fondos utilizados por la empresa, de tal manera que cuando se utilicen varios fondos, calcularemos la media ponderada.

FORMULACIÓN ANALÍTICA.

Dc/p = valor de mercado de la deuda a c/p (suele coincidir con el valor contable).

Dl/p = Valor de mercado de la deuda a l/p.

A = Valor de mercado de las acciones.

V = Valor de mercado de la empresa.




Kdc = coste de la deuda a c/p.

Kdl = coste de la deuda a l/p.

Ka = coste de capital propio.

Km = coste medio ponderado del capital.

EJEMPLO:

Cálculo del coste medio ponderado del capital

Definimos las fórmulas en la hoja de cálculo:

Arrastramos las fórmulas y completamos la hoja

INCONVENIENTES:

1.- En el cálculo del coste medio ponderado se debe tener un sentido de coste marginal en lugar de coste histórico de las fuentes de fondos utilizados por la empresa. En consecuencia, en lugar de considerar la estructura de fuentes de financiación histórica, debemos considerar la estructura planificada para el futuro, o incluso, la estructura de las fuentes de financiación que se van a utilizar en un proyecto concreto.

Supongamos que a partir de la estructura histórica del ejemplo, la estructura planificada que marca la dirección es la que aparece en la columna F. El coste de capital (G2:G5) ha disminuido porque en el futuro hemos decidido que crezcan las fuentes más baratas (deuda a c/p y a l/p).

2.- El concepto de coste medio ponderado del capital no tiene en cuenta la problemática de la determinación de la estructura de capital óptima, de tal manera que sólo presta atención al cálculo del coste de capital considerando una estructura de capital dada para obtener una referencia para valorar los proyectos de inversión.

3.- Valorar los proyectos de inversión utilizando el coste medio ponderado supone una excesiva simplificación de la realidad, ya que estamos asumiendo que el proyecto de inversión en cuestión tiene la misma clase de riesgo que el riesgo actual de la cartera de fuentes financieras de la empresa.

La solución que se propone es considerar únicamente las fuentes de financiación que se utilizarían para financiar ese proyecto.

Problema 27

La empresa ADESA en la actualidad tiene:

1.- 500 millones de euros en acciones, cuyo coste es el 10%.

2.- 300 millones de euros en deuda a largo plazo, cuyo coste es el 8%.

3.- 200 millones de euros en deuda a corto plazo, cuyo coste es el 6%.

Se está planteando realizar un proyecto de inversión por 200 millones de euros, que sería financiado con una emisión de obligaciones por importe de 150 millones de euros al 7% y el resto por una cuenta de crédito, cuyo tipo de interés es el 6% y su comisión de disponibilidad es el 0.2%.

¿Cuál es el tipo de actualización que debe utilizar la empresa para calcular el valor capital de este proyecto?

Emisión de obligaciones: 150 al 7%.

Cuenta de crédito: 540 al 5,8%


I

Problema 17.

Leches y chocolates Unidos. S.A. (LECHUSA), está estudiando la instalación de una nueva factoría para la fabricación de diversos derivados lácteos. Tras diversos análisis ha llegado a la conclusión de que los valores esperados de los tres flujos anuales del desembolso inicial de este provecto son (en miles de euros):

E(Q0) = -100, E(Q1) = 10, E(Q2) = 200, E(Q3) = 50

También ha estimado las varianzas de estas variables y los coeficientes de correlación entre ellas, que son:

varianzas	coeficientes de correlación
2(Q0) = 10.000	p(Q0,Q1) = -0.10, p(Q1,Q2) = 0,75
2(Q1) = 121	p(Q0,Q2) = 0, p(Q1,Q3) = 0,50
2(Q2) = 32.400	p(Q0,Q3) = 0, p(Q2,Q3) = 0,325
2(Q3) = 3.600

La empresa no conoce la distribución del VAN, si bien considera que puede considerársela razonablemente simétrica en tomo al valor esperado. Tomando, como tipo de descuento, el 8 por 100, se desea acotar la probabilidad de que el VAN se encuentre entre -100 y 500 miles de euros.


, en nuestro caso:


! E(VC)=120,42.

como
,
,
y





luego: ! (VC)=208,78.

Tenemos que calcular , para lo que utilizamos la desigualdad de Tchebycheff al no conocer la distribución del VAN.

Con esta fórmula lo que obtenemos es la probabilidad de que esté fuera, por lo que para saber la probabilidad de lo que está dentro será 1-Tchebycheff.

Como es simétrica, la esperanza está situada en medio, por lo que habrá lo mismo a la derecha que a la izquierda de la Esperanza. Por tanto, vamos a aproximar lo que hay a la derecha




Analíticamente:

! , esto se cumple para cualquier intervalo de centro la esperanza y de amplitud ± (VC).

Vamos a calcular lo que nos piden:

1.- Aproximo la probabilidad entre -100 y la esperanza (120,42):!

, me queda conocer c1, sabemos que , despejamos , sustituimos este valor y nos queda

!: !5,14%

2.- Aproximo la probabilidad entre 120,42 y 500:! , me queda

conocer c2, sabemos que , despejamos , sustituimos este valor y nos queda !: !34,87%

3.- Lo que nos piden es : ! 40%

Índice

85/1

Dirección Financiera I

La Inversión en la empresa

Metodología para el análisis de viabilidad de un proyecto de inversión

Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (I)

Valoración de inversiones en condiciones de incertidumbre (II)

Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (I)

Valoración de inversiones en condiciones de riesgo e incertidumbre (II)

La decisión de financiación: el coste del capital

…

0,8

0,9

2ª etapa

1ª etapa

A partir de estimaciones, hallamos el VC y la TR, y tomamos una decisión. Cuando pasa el tiempo, estos valores vamos a conocerlos, son valores ex-post o reales.

t0

A

Qj

K

0,7

Todo se actualiza al mismo periodo.

Sn(rc)0

PURO

rc

NO SIMPLE

SIMPLE

COMENZAR

A, Qi
i=1,…,n

Qi >0
i=1,…,n

0,6

r

VC(r)=0

R=f(K)

Sn(r,K)=0

0,5

0,4

0,3

1 2 3 4 5 6

DECSIONALES O DE DECISIÓN: cada una de las ramas representa una decisión alternativa

ALEATORIOS O DE AZAR: las ramas que surgen, representan diferentes estados del entorno económico o naturaleza.

3

A = 0

1

Invertir

No invertir

Q = 250/año

VC=0

A = 1.000

A = 0

ÉXITO (0,5)

FRACASO (0,5)

A = 0

A = 1.000

VC=0

Q = 75/año

No invertir

Invertir

2

A = 125

FIN

PRUEBAS

NO PRUEBAS

t0

t1

t2

A1

A1

A1

A1

t2

t1

t0

COMBUSTIÓN

TURBO

TURBO

Q1=50

A = 550

DA (0,8)

A = 0

DA (0,4)

Q1=1.080-1.050=30

DB (0,4)

Va.Qj = 140

DB (0,6)

2

DA (0,6)

Q1=1.200-1.050=150

DB (0,2)

Va.Qj = 220

Va.Qj = 960

Va.Qj = 930

DA (0,8)

1

COMBUSTIÓN

NO AMPLIAR

Va.Qj = 180

DB (0,2)

Va.Qj = 410

A = 150

AMPLIAR

Va.Qj = 100

DB (0,2)

Va.Qj = 800

DA (0,8)

DA (0,6)

Q1=100

Q1=50

Va.Qj = 220

DB (0,4)

Va.Qj = 100

DA (0,6)

DB (0,4)

A = 250

DB (0,4)

Va.Qj = 220

DB (0,4)

Va.Qj = 100

COMBUSTIÓN

TURBO

DB (0,4)

Q2

VENDER COMBUST = 150

Q1

C1-P1

VC=331

DA (0,6)

DA (0,6)

Va.Qj = 180

DB (0,2)

Va.Qj = 410

DA (0,4)

Q1=30

DB (0,4)

Va.Qj = 140

DB (0,6)

Va.Qj = 930

Q1=150

DA (0,6)

Va.Qj = 220

DB (0,2)

Va.Qj = 960

DA (0,8)

1

DA (0,8)

A = 0

A = 550

1

DA (0,8)

A = 250

Q1=100

NO AMPLIAR

Va.Qj = 180

DB (0,2)

Va.Qj = 410

A = 150

AMPLIAR

Va.Qj = 100

DB (0,2)

Va.Qj = 800

DA (0,8)

VENDER TURBO = 500

Q1= 30

DB (0,4)

C2-P2

Q1= 150

DA (0,6)

Va.Qj = 220

DB (0,2)

Va.Qj = 960

DA (0,8)

0

A

A = 550

2

DA (0,6)

Q1=100

Q1=50

A = 250

Qj

Cj-Pj

Qn

Cn-Pn

1

2

j

n

…

…

…

…

…

…

…

…

n

j

2

1

Qn

…

Qj

…

Q2

…

Q1

…

0

A

Kn

Kj

K2

K1

Qn

Qj

Q2

Q1

0

A

…

…

…

…

n

j

2

1

KE+E

KE

KE

KE

0

E

…

…

…

…

n

j

2

1

Qn

Qj

Q2

Q1

0

A

1

4

10

12

10

12

10

12

10

50

60

A

B

…

…

…

n

j

2

1

Qn

Qj

Q2

Q1

0

A

2

3

0

1

3

2

1

0

3

2

0

12

1

12

2

12

3

50

4

A

10

10

10

10

60

B

0

x

x

x

0

4

3

2

1

0

y

y

y

y

0

B

4

3

2

1

0

…

32.105

28.928

32.105

28.928

32.105

28.928

32.105

28.928

A

B

4

3

2

1

0

Q1

1

12+50

10

12

10

12

10

50

60

A

B

5

2

12

10

12

10+60

3

Q2

3

2

1

Q3

Q3

Q2

Q1

0

A

0

A

Funciones

Clientes

Tecnología

S1(r)=-4(1+r)+7

S1(r)0

S2(r)= S1(r)(1+r)-2

S1(r)> 0

S2(r)= S1(r)(1+K)-2

S2(r)0

S3(r)= S2(r)(1+r)+3=0

NO ES POSIBLE

S2(r)> 0

S3(r)= S2(r)(1+k)+3=0

NO ES POSIBLE

S2(r,K)0

S3(r,K)= S2(r,K)(1+r)+3=0

SI ES POSIBLE

S2(r,K)> 0

S3(r,K)= S2(r,K)(1+k)+3=0

NO ES POSIBLE

…

…

…

…

n

j

2

1

Qn

Qj

Q2

Q1

0

A

R=k

R>k

R<k

VC=f(K)

-A

ð

ð

ð

ð

n

j

J

Q

A

1

Figura T.1

VC>0

VC<0

K

Va.Qj = -50

Va.Qj = 100

Va.Qj = -50

Va.Qj = 100

t0

5

Va.Qj = 10

Va.Qj = 35

Va.Qj = 10

Va.Qj = 35

1

A = 30

DA (0,75)

DB (0,25)

DA (0,7)

Q1=100

DB (0,75)

DB (0,3)

Q1= -50

DA (0,25)

A = 10

DA (0,75)

DB (0,25)

DA (0,7)

Q1=10

DB (0,75(0,4754)

DB (0,3)

Q1= 35

DA (0,25)

P. PEQUEÑA

P. GRANDE

t1

t2

7

6

5

4

3

2

E(VC)-(VC)

E(VC)+(VC)

E(VC)