Unidad 9. Determinantes

Definición: dada una matriz cuadrada A, llamamos determinante al escalar (operación entre dos vectores cuyo resultado es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que lo forman; y producto de dos vectores) que resulta de obtener todos los productos posibles de la matriz, con una serie de restricciones.

Los determinantes, representados por ó , son herramientas muy útiles en matemáticas y en física: sistemas de ecuaciones lineales, matrices, geometría, etc.

Los determinantes se escriben entre plecas, , y las matrices entre paréntesis, .

Las formas multilineales se aplican sobre conjuntos de n vectores pertenecientes a un espacio vectorial E. Dan como resultado un elemento del cuerpo sobre el que está definido E.

Si uno de los vectores sobre los que se aplica es el resultado de la adición de dos vectores o producto de un elemento k por un vector se verifican las siguientes propiedades, ya que una fórmula multilineal T se define como una aplicación entre y k, es decir::

, y se cumple que

Además,,

Y se cumple que

Las formas multilineales se aplican sobre conjuntos de n vectores de un espacio vectorial y dan como resultado un elemento del cuerpo sobre el que está definido el espacio vectorial.

El producto escalar de dos vectores de , por ejemplo, es una forma multilineal llamada bilineal, ya que se aplica sobre un producto cartesiano de dos factores, . Si denotamos por p el producto escalar, la forma bilineal

, cumplirá las siguientes propiedades de linealidad:

Una forma multilineal T en un espacio vectorial E es alterada si y sólo si el resultado es cero, así:

Una propiedad fundamental es el valor de una forma multilineal alterada T sobre un conjunto de n vectores del espacio vectorial E cambia de signo si se intercambia la posición de estos dos vectores objeto, con lo cual podemos deducir que si en una forma multilineal alterada se hace un nº par de intercambios de posiciones entre los vectores sobre los que se aplica, el valor de esta forma multilineal se mantiene, es decir, no varía.

Un determinante de orden n es, por definición, una forma multilineal alterada sobre , que , aplicada sobre la base canónica de , da como resultado la unidad:

O sea, que es una forma multilineal alterada: , donde es la base canónica de .

Así, si consideramos n como vectores de

, el valor de su correspondiente determinante se suele escribir de la siguiente forma:

Ahora ay somos capaces de observar que, teniendo en cuenta la definición de determinante:

El determinante de orden igual a dos es una forma multilineal alterada:

, donde

De este modo, el determinante de dos vectores de R2 se representa del siguiente modo:

• Cálculo del valor del determinante:

Para calcular el valor del determinante debemos aplicar las propiedades de las formas multilineales alteradas, resultando

A partir de aquí ya es sencillo definir que un determinante de, ahora, orden tres es una forma multilineal alterada:

, donde , ya que constituyen la base canónica de R3.

Regla de Sarrus: es una regla para el cálculo de determinantes de orden 3. para obtener los términos que van precedido del signo + debemos multiplicar los valores unidos por la siguientes figura:

Para obtener los términos que van precedidos del signo -, multiplicaremos los valores unidos por la figura que se muestra a continuación:

• Si e multiplica una de las columnas por un nº tal que pertenezca al conjunto de los números reales, el determinante quedará multiplicado por dicho nº real.

• Si en un determinante hay dos columnas iguales, este determinante tendrá valor nulo.

• Si intercambiamos dos columnas, el determinante cambiará de signo.

• El determinante puede expresarse como la suma de dos determinantes si y sólo si cada uno de los elementos de una columna es el resultado de la suma de dos sumandos.

• Si algún vector sobre los que se está aplicando un determinante es el vector , el valor de dicho determinante será nulo.

• Si se intercambian las filas por las columnas, el valor de dicho determinante no variará; se mantendrá constante. Tampoco lo hace si a una de las columnas sobre las que se aplica un determinante le añadimos una combinación lineal de las restantes.

• El valor del determinante será nulo, o sea, cero, si una de las columnas sobre las que aplicamos el determinante es una combinación lineal de los restantes.

Los determinantes de n orden podemos considerarlos como operadores aplicados a conjuntos de n2 números, ya que están dispuestos en n filas y n columnas, siendo n·n=n2.

Los elementos que componen un determinante se designan por , donde i denota el nº que ocupa la fila y j denota en nº que ocupa la columna.

Adjunto: si es uno de los números a los que se aplica un determinante, se denomina adjunto de este elemento y se designa por a aquel determinante que resulta de suprimir la fila i y la columna j, multiplicado por .

Para calcular un determinante podemos hacerlo desarrollando ese determinante por una de sus columnas o filas y sumando los resultados de multiplicar cada uno de los números de una fila o columna por su adjunto. O sea, dado el determinante que tiene los números en la columna j y en la fila i: