Determinación de propiedades térmicas de los medios materiales

Al aportar calor a un cuerpo, aumenta su temperatura. Supondremos que no se modifica el estado de agregación del cuerpo, es decir, no se funde, no se evapora ni sublima. La relación entre la cantidad de calor aportado y la elevación de temperatura se expresa:

La magnitud c se denomina capacidad calorífica del cuerpo, y es proporcional a su masa m según c=c.m; la capacidad calorífica por unidad de masa.

Cálculo de la capacidad calorífica del calorímetro:

El calorímetro es un recipiente aislado de manera que apenas se produzca intercambio de calor entre su contenido y el exterior. Queremos medir la capacidad calorífica de este calorímetro. Si introducimos agua caliente, por ejemplo, la temperatura del calorímetro aumenta, y por tanto la capacidad calorífica global del calorímetro es consecuentemente la suma de las capacidades caloríficas del agua y del recipiente (incluidos termómetro y accesorios).

La capacidad calorífica del calorímetro la hemos determinado por el método de las mezclas. Hemos introducido en el calorímetro una cantidad de 0.100Kg0.002Kg de agua a temperatura ambiente, que era de 291.0K0.2K. Este error en la temperatura se debe a la utilización de un termómetro de alcohol, que tiene dicha resolución. La propia báscula nos indicaba el error de 0.002 Kg. Para conseguir los 0.100Kg de agua, previamente habíamos pesado el calorímetro y tarado su peso. Una vez introducimos los 0.100Kg0.002Kg de agua, volvemos a tarar el peso total. Vertemos a continuación 0.050Kg0.002Kg de agua caliente, cuya temperatura habíamos determinado previamente. Cuando el valor de esta temperatura se encontraba entre los 323 y 333 K, exactamente a 330.5K0.2K, introducimos el agua caliente en el calorímetro y vamos midiendo la temperatura cada 15 segundos aproximadamente, realizando la siguiente tabla:

Tiempo (s)	Temperatura (K) 0.2K
0	291
15	298
30	302
45	302.6
60	302.8
75	303
90	303

Tabla 1: Evolución de la temperatura de la mezcla.

A partir del minuto y medio aproximadamente, la temperatura de la mezcla se mantuvo constante en 303K. A continuación, hemos realizado una gráfica con los datos anteriores.

Con esta gráfica podemos medir la diferencia de temperaturas entre la obtenida una vez alcanzado el equilibrio térmico, y la inicial. Esta diferencia será la diferencia de altura entre el punto inicial, y la parte “horizontal” de la gráfica, TM-T1, que es de 12K. Así, la diferencia entre la temperatura del agua caliente T2 y la temperatura media es de 27.5K.

La cantidad de calor absorbido por el recipiente y por el agua que había en su interior puede representarse con la ecuación:

Donde
es la capacidad calorífica del calorímetro,
es la capacidad calorífica del agua,
es la temperatura alcanzada una vez la mezcla ha alcanzado el equilibrio y
es el calor específico del agua, que vale 1Kcal/KgK.

También se puede calcular la cantidad de calor aportado por el agua caliente mediante:

Y como debe conservarse la energía, sabemos que la suma del calor aportado y recibido es cero. Por lo tanto, combinando las dos ecuaciones obtenemos:

Utilizando los datos anteriores obtenidos en la experiencia, hemos calculado la capacidad calorífica del calorímetro que nos da 0.03 Kcal/K

Pero como el cálculo de los datos anteriores implicaba un cierto error, hay que tener en cuenta el error que se propaga hasta el resultado final. Por lo tanto, hemos calculado dicho error en la capacidad calorífica mediante la ecuación:

Donde:

De donde finalmente hallamos el error en la capacidad calorífica, es decir, la capacidad calorífica del calorímetro es de 0.0300.006 Kcal/K.

Es un error muy pequeño y este método promete ser bastante preciso, ya que no hay ningún instrumento que añada grandes errores. El uso del termómetro de alcohol nos da gran precisión, con solo un margen de error de 0.2K, y en las masas tampoco se aprecian grandes errores. Por tanto este método parece bastante exacto, y así se ve reflejado en un error tan pequeño.

Determinación de la capacidad calorífica de cuerpos sólidos

Cobre:

A partir del método de las mezclas, vamos a determinar también la capacidad calorífica de cuerpos sólidos, en este caso el cobre. Para ello, introducimos en el calorímetro 0.098Kg 0.002Kg de agua a temperatura ambiente de 290K0.2K, tarándolo previamente. A continuación, tomamos del horno calefactor el cobre, que se encuentra a 383K, y lo introducimos rápidamente en el calorímetro, intentando evitar que pierda calor antes de meterlo. Introducimos el termómetro, y vamos midiendo la temperatura del agua cada 15 segundos, hasta que ya la mezcla alcanza el equilibrio térmico. Obtenemos el peso del cobre, que es 0.222Kg0.002Kg, ya que habíamos tarado la báscula.

Tiempo (s)	Temperatura (K) 0.2K
0	292.0
15	296.5
30	299.0
45	300.0
60	300.7
75	300.8
90	300.9
105	301.0

Tabla 2: Variación de la temperatura respecto al tiempo.

A partir de estos datos realizamos una gráfica para medir la diferencia de temperaturas.

A partir de esta gráfica podemos medir la diferencia de temperatura entre la media, una vez alcanzado el equilibrio, y la inicial del agua a temperatura ambiente. Sería la diferencia de altura entre el punto más bajo y la parte “horizontal” de la gráfica. Esta diferencia vale 11K, y la diferencia entre la temperatura media y la del cobre es de 82 K.

Para hallar la capacidad calorífica del cobre nos valemos de las siguientes fórmulas, la primera del calor cedido por el cobre, y la segunda el calor absorbido por el calorímetro.

Igualando ambas magnitudes, ya que sabemos que la suma debe ser nula, ya que la energía se conserva, y despejando , la capacidad calorífica específica del cobre, se obtiene:

De donde obtenemos el calor específico del cobre como 0.07 Kcal/KgK

Pero este calor específico arrastra un error, por lo que debemos calcularlo mediante la fórmula más exacta, mediante las derivadas parciales.

Donde:

De donde averiguamos el error de la capacidad calorífica específica del cobre, que vale 0.004Kcal/KgK. Es decir, la capacidad calorífica del cobre es de 0.0700.004 Kcal/KgK. Igual que en el caso anterior, el error es muy pequeño, ya que los instrumentos utilizados no implican grandes errores.

Ahora vamos a hallar la capacidad calorífica molar, multiplicando la capacidad calorífica obtenida por el peso molar expresado en gramos.

Según la regla de Dulong-Petit, a temperaturas no muy bajas se cumple que la capacidad calorífica molar de los sólidos es aproximadamente 3 veces la constante universal de los gases R (R=0.0020 Kcal/molK) independientemente de la sustancia. En este caso, multiplicamos la capacidad calorífica obtenida por su peso molar expresado en gramos, y obtenemos que la capacidad calorífica molar es de 4·10-3.

Acero:

De igual modo vamos a actuar con el acero, mediante el método de las mezclas. Introducimos en nuestro calorímetro 0.108Kg0.002Kg de agua a temperatura ambiente, 290K0.2K, habiéndolo tarado inicialmente. Volvemos a tarar la báscula para luego poder hallar el peso del acero. Seguidamente tomamos el acero del horno, a una temperatura de 381K, y lo introducimos lo más rápidamente posible para evitar pérdidas de calor. Usamos el termómetro y observamos la variación de calor que se produce cada 15s. Una vez hecho el estudio de esta variación pesamos todo el conjunto de calorímetro, acero y agua, y como lo habíamos tarado, averiguamos el peso del acero, que es de 0.202Kg0.002Kg.

Tiempo(s)	Temperatura (K) 0.2K
0	290.0
15	293.0
30	295.0
45	297.0
60	298.1
75	299.0
90	299.2
105	299.6
120	299.6

Tabla 3: Variación de la temperatura respecto al tiempo.

A partir de los datos anteriores, al igual que con el cobre, elaboramos una gráfica que represente la evolución de la mezcla en el tiempo, y así medimos las diferencias de temperatura de la inicial, a la obtenida una vez alcanzado el equilibrio. La diferencia entre la inicial del agua y la media final es la diferencia entre el punto más alto y más bajo de la gráfica, obteniendo así una diferencia de 9.6K. La diferencia entre la inicial del acero y la media es de 81.4K.

Para hallar la capacidad calorífica del acero nos valemos de las siguientes fórmulas, igual que en el caso del cobre:

Igualando ambas magnitudes y despejando c2, al igual que con el cobre, se obtiene:

De donde obtenemos el calor específico del acero como 0.08 Kcal/KgK.

Pero este calor específico arrastra un error, por lo que debemos cal-

cularlo:

Donde:

De donde hallamos el error la capacidad calorífica específica del acero. El resultado obtenido es que la capacidad calorífica específica del acero es de 0.0800.004 Kcal/KgK

A continuación, al igual que con el cobre, vamos a verificar la regla de Dulong-Petit. Para ello hallamos la capacidad calorífica molar, que es de 5.4·10-3 kcal/molK, siendo el peso molar del acero 67.84 umas. Esto se deberia asemejar a 3 veces la constante universal de los gases, es decir, a 0.006 Kcal/molK.

Plomo:

La manera de obrar con el plomo va a ser similar a las anteriores, utilizando el método de las mezclas.

Taramos el peso del calorímetro, para seguidamente añadir 0.140Kg0.002Kg de agua a temperatura ambiente (290K). Volvemos a tarar la báscula para más adelante poder efectuar la lectura del peso del plomo. A continuación tomamos el plomo del horno calefactor, a una temperatura de 379K y lo introducimos rápidamente en el calorímetro para perder el mínimo de calor en el viaje. Utilizamos el termómetro y tomamos la variación de temperatura cada 15s. Ahora es el momento de mirar el peso del plomo, que es de 0.286Kg0.002Kg.

Tiempo (s)	Temperatura (K) 0.2K
0	290
15	296
30	298
45	298.5
60	299
75	299.3
90	299.6
105	299.9
120	299.9
135	299.9

Tabla 4: Variación de la temperatura respecto al tiempo.

Con estos datos hemos realizado la siguiente gráfica, en la que podemos ver la diferencia de temperaturas entre la inicial del agua y la final de la mezcla, al igual que hemos comentado con el cobre y el acero. En este caso, T1-TM es -10 K y T2-TM es 79K.

Para hallar la capacidad calorífica del plomo nos valemos de las siguientes fórmulas:

Igualando ambas magnitudes y despejando c2 se obtiene:

De donde obtenemos el calor específico del plomo como 0.06 Kcal/KgK

Pero este calor específico arrastra un error, por lo que debemos calcularlo:

Donde:

De donde acabamos hallando el error la capacidad calorífica específica del plomo, obteniendo como resultado que el plomo tiene una capacidad calorífica de 0.0630.003 Kcal/KgK.

Por último vamos a hallar la capacidad calorífica molar utilizando el peso atómico del plomo, que es 207.19 umas. Multiplicándolo expresado en gramos por la capacidad calorífica hallada antes obtenemos 12·10-3 kcal/molK.

Determinación del calor latente de cambio de estado

Un medio material en un estado de agregación, cuando alcanza una cierta temperatura, empieza a cambiar de estado. Dicha temperatura se denomina genéricamente temperatura de cambio de estado, y, en concreto, si el cambio es de sólido a líquido, se denomina temperatura de fusión, y si es de líquido a vapor, temperatura de ebullición. Ambas dependen de la presión y nosotras las determinaremos a la presión de 1 atmósfera aproximadamente. Durante el cambio de estado, la temperatura del medio no varía, pero para que de produzca se necesita aportar calor al medio material. El calor aportado por unidad de masa se denomina calor latente de cambio de estado, y en los casos anteriores, calor latente de fusión y calor latente de evaporación. De esta forma, la relación entre la masa que ha cambiado de estado y la cantidad de calor aportada es:

donde L es el calor latente de cambio de estado por unidad de masa.

De esta manera, introducimos en nuestro calorímetro ya tarado 0.246Kg0.002Kg de agua a temperatura ambiente (289k0.2K). Volvemos a tarar la báscula para poder hallar más tarde el peso del hielo que introduciremos a continuación.

Así pues, añadimos 2 cubitos de hielo, a 273K. Observamos la variación de la temperatura cada 30s. Seguidamente miramos el peso de los cubitos que es de 0.030Kg0.002Kg

Tiempo (s)	Temperatura (K) 0.2K
0	289.0
30	287.0
60	285.0
90	283.0
120	282.5
150	282.3
180	282.1
210	282.0
240	281.7
270	281.4
300	281.1
330	281.0
360	280.8
390	280.5
420	280.2
450	280.2

Tabla 5: Variación de la temperatura respecto al tiempo.

Utilizando los datos de la tabla anterior hemos realizado la gráfica correspondiente

En la gráfica se puede observar que a partir de los 8 minutos aproximadamente la mezcla alcanza el equilibrio y llega a una temperatura de 280.2K.

Para hallar la constante pedida nos valemos de las siguientes fórmulas:

Éstas nos indican la cantidad de calor absorbida por el hielo al fundirse, y la cantidad de calor cedida por el calorímetro respectivamente.

Igualando ambas magnitudes y despejando Lf se obtiene:

De aquí obtenemos el valor de la latente de fusión, que es de 73.76 Kcal/Kg.

A continuación, queremos hallar el error que se propaga debido a los errores en las masas, temperaturas y la capacidad calorífica del calorímetro. Para ello, utilizamos la siguiente fórmula:

Donde:

Usando la fórmula antes expuesta, hemos calculado el error y en conclusión hemos obtenido que el calor latente de fusión del hielo es 73.766.33 Kcal/Kg. Cabe destacar lo elevado de este error, que en los cálculos era debido a la poca masa del hielo, y por eso salían cifras tan elevadas.

Medida del coeficiente de dilatación de cuerpos sólidos:

Al aumentar la temperatura de un cuerpo, éste se dilata. Cuando el cuerpo tiene forma de varilla, el aumento de longitud está relacionado con la variación de temperatura de la forma:

Donde  es el coeficiente de dilatación lineal del material.

El montaje es el siguiente:

Consta de un calefactor que permite calentar la varilla problema, en concreto de acero y latón, y el aumento de longitud de la varilla se mide por medio de un reloj comparador en contacto directo con la varilla. El calefactor está controlado por un termómetro-termostato que permite medir y regular la temperatura a través de la sonda. Hemos realizado el experimento con dos varillas, la primera de latón y la segunda de acero.

Latón:

Introducimos la varilla de latón con la sonda en el interior del calefactor, y nos aseguramos de que los extremos están en contacto con el reloj. A continuación ajustamos el cero del reloj. Seguidamente marcamos la temperatura máxima del calentador a 343K, y vamos midiendo las variaciones cada 5K.

Temperatura (K)	Variación de l (·10-5 m)
300.2	0
305.2	7
310.2	14
315.2	20
320.2	25
325.2	29.5
330.2	33
333.2	35

Tabla 6: Variación de la longitud en función de la temperatura.

Hemos realizado con esos datos una gráfica y una aproximación lineal de los puntos. Nos interesa obtener la pendiente de la recta, y así conseguiremos el coeficiente de dilatación lineal. Para hallar la pendiente, vamos a utilizar el método de los mínimos cuadrados.

(K)	(·10-4m)
0	0
5	0.00013
10	0.00027
15	0.00038
20	0.00048
25	0.00056
30	0.00063

Para facilitar los cálculos en el método de los mínimos cuadrados, hemos realizado una tabla, donde la x es la temperatura y la y el alargamiento

105	24.5 ·10-4	0.25725	0.38475	3364	11025

Una vez tenemos estos datos, hallamos la pendiente mediante la fórmula

Con

Con lo que obtenemos una pendiente de 2·10-5, por lo tanto, el coeficiente de dilatación lineal del latón es de 2·10-5 m/K. También hemos obtenido que la c vale 3·10-5.

Pero este ajuste arrastra errores, que vamos a calcular a continuación mediante

donde

Los resultados obtenidos son: el error de la pendiente 1.4 ·10-4, y el de la ordenada en el origen de 2.52 ·10-5. el error en la pendiente es muy elevado para ésta, y puede ser debido a que no tomamos correctamente los datos, ya que debería aparecer como una dependencia lineal y en cambio los puntos quedan muy distantes de la aproximación. Al tomar los datos, encontramos dificultad ya que la temperatura oscilaba al final, subiendo y bajando la temperatura.

Acero:

De igual modo que con el latón, introducimos la varilla con la sonda dentro del calefactor. Nos aseguramos de que los extremos de la varilla están en contacto con el reloj, y lo ajustamos en cero. Seguidamente marcamos la temperatura máxima del calefactor en 343K, y tomamos las variaciones de longitud cada 5K.

Temperatura (K)	Variación de l (·10-5 m)
300.6	0
305.6	4.5
310.6	8.5
315.6	12.5
320.6	16.5
325.6	20
330.6	25
335.6	29.5

Tabla 7: Variación de la longitud en función de la temperatura.

A continuación hemos elaborado otra tabla con los datos que vamos a utilizar para realizar la gráfica que relaciona T con l/l

T (K)	l/l (m)
0	0
5	0.000086
10	0.00016
15	0.00024
20	0.00031
25	0.00038
30	0.00048
35	0.00056

A partir de estos datos hemos elaborado la siguiente gráfica

Mediante el método de los mínimos cuadrados de nuevo hallamos la pendiente de la recta, la cual coincide con el coeficiente de dilatación lineal.

A partir de las siguientes fórmulas obtenemos que la pendiente de la recta vale 2·10-5 y la c, la ordenada en el origen, vale 2·10-6. Hemos realizado la siguiente tabla para facilitar los cálculos:

140	0.0022	0.308	0.054	3500	19600

Con las fórmulas antes expuestas hemos calculado los errores; en la pendiente de 6.08·10-6, y el de la ordenada en el origen de 1.36·10-6. en este caso, la pendiente y su error se corresponden mas que en el caso del latón, ya que pudimos tomar mejor los datos, y esto se ve reflejado en la gráfica.