DEPENDENCIA CONTINUA DE LAS CONDICIONES INICIALES

Lema 1

Sea :[a,b]!!m continua y sea r>0. Llamaremos

Entonces se tiene que

1.-
es un Compacto en !×!m

2.-
es Abierto en !×!m

3.- Si suponemos que, siendo D un abierto de !×!m / Graf()={(x,(x)) / x"[a,b]} " D entonces

" r>0 tal que
" D

Lema 2

Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Consideremos la edo asociada y'=f(x,y)

Sea :I! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y). Consideremos [a,b]" I .

Sea u:J! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y) y supongamos que

"  " ]a,b["J /
de forma que
" D, entonces se cumple que

" [,] " [a,b]"J tal que "],[ con
" x"[,]

además

=a ó

=b ó

además

Si
, entonces " x,x'"[,]

Lema 3

Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Consideremos la edo asociada y'=f(x,y)

Sea :I! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y). Consideremos [a,b]" I .

Sea u:J! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y) y supongamos que

"  " ]a,b["J /
de forma que
" D. Dado x0"]a,b[ si tomamos (,u()) suficientemente próximo a ( x0 ,( x0)) , entonces se cumple que

" h>0 tal que [ x0-h, x0+h] " [,]

Lema 4

Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Consideremos la edo asociada y'=f(x,y)

Sea :I! Rm solución no prolongable de y'=f(x,y). Consideremos [a,b]" I y sea x0"]a,b[ . Con esto, como consecuencia del lema 1, tenemos que " r>0 tal que
" D.

Supongamos que tenemos una sucesión un:Jn!!m de soluciones no prolongables de la ecuación y'=f(x,y), y una sucesión de puntos n" Jn tales que
, entonces se cumple que

a).- " n0 "N tal que " n" n0 n"]a,b[ y verifica las hipótesis de los lemas 2 y 3

n , n tal que n"]n , n [ " [n , n ] " [a,b]"J

" h>0 tal que [ x0-h, x0+h] "
[n , n ] = K

b).- Además, la sucesión de funciones {un} admite una subsucesión
que converge uniformemente sobre K a una solución  del Problema de Cauchy

Teorema (Continuidad)

Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Sea (x0,y0)"D tal que el problema de Cauchy
tenga solución única no prolongable :I!!m . Consideremos [a,b]" I y sea x0"[a,b]. Si dado r>0 " V"( x0,y0) tal que " (,)"V y tomando una solución no prolongable u:J!!m del problema de Cauchy
(este PC no tiene porqué tener solución única), entonces se cumple que

[a,b]" J y
" x"[a,b]

Este teorema dice que cualquier solución que pase por un punto que este en un entorno de (x0,y0) por lo menos está definida en I, y los valores de este problema se aproximan a los del problema de Cauchy inicial.

Corolario

Sea D " !×!m abierto y f:D!!m continua. Supongamos que " (,)"D el problema de Cauchy
tiene una única solución no prolongable. Supongamos que, fijados , llamamos
!m. Llamamos 
entonces se verifica que

 es abierto en !×!×!m y la aplicación
es continua en  .