Interés simple: Es el que se calcula con base al monto del principal únicamente y no sobre el interés devengado. El capital permanece constante durante ese término y el valor del interés y su periodicidad de pago será siempre el mismo hasta el vencimiento.

Clases de interés simple: 

• Ordinario: Es aquel que se calcula sobre 360 días anuales.

• Exacto: Es aquel que se calcula con 365 o 366 días según sea el caso.

Uno de los casos en que se utiliza la regla de tres simple y compuesta es el cálculo de intereses bancarios. En este caso se conocen los siguientes datos:
- Capital: suma de dinero depositada en la cuenta bancaria.
- Razón o tasa de interés: cantidad que paga el banco por $100 depositados durante un   año.
- Tiempo: lapso en que permanece depositado el capital. - Unidad de tiempo: un año,  expresado en la misma unidad que el tiempo de depósito.

El interés simple es una función directa entre el tiempo, la tasa de interés y el capital inicial, este se representa por la fórmula:

I= p.i.t.

Ejemplo 1.  Calcular el interés simple cobrado por un préstamo de $100 a una tasa del 6% anual.

RTA/    

              I= p.i.t.

              I= 100*6%*1

              I= 6

Esto quiere decir que al final del año se debe pagar un interés de $6

Clases de interés simple: 

• Ordinario: Es aquel que se calcula sobre 360 días anuales.

• Exacto: Es aquel que se calcula con 365 o 366 días según sea el caso.

Ejemplo 2. Calcular el interés simple ordinario y exacto de un préstamo realizado por una entidad por la suma de $400 con un interés del 20% durante un año. 

RTA/    

             I ordinario = 400*20%*30/360

             I ordinario = 6.66

             I Exacto = 400*20%*30/365

             I Exacto = 6.57

Se puede apreciar que con el interés simple ordinario se paga una mayor cantidad de dinero que en el exacto, en casos como el anterior donde las sumas son pequeñas la diferencia es irrisoria, pero en montos mayores esta se puede convertir en una fuente de pagos más altos.

3.1.- Descuento Simple: El descuento simple es la operación inversa a la de capitalización simple. Esto es, aquella operación financiera consistente en la sustitución de un capital futuro por otro con vencimiento presente.

En la práctica habitual estas operaciones se deben a la necesidad de los acreedores de anticipar los cobros pendientes antes del vencimiento de los mismos acudiendo a los intermediarios financieros. Los intermediarios financieros cobran una cantidad en concepto de intereses que se descuentan sobre el capital a vencimiento de la operación de que se trate.

Sean:

Cn = nominal (N) de la operación cuyo cobro se desea anticipar
C0 = efectivo (E) que cobramos anticipadamente.
D = descuento total , el interés I, D = Cn - C0
n = Periodo de tiempo entre el cobro y el vencimiento de la operación que se descuente.

3.1.1.-Cálculo del Valor Actual

Dado que Cn = C0 (1 + i · n) despejando C0 del capital final tenemos que:

C0 = Cn / (1 + i · n )

I = C0 · i ·n como ya hemos visto anteriormente. De la misma manera los intereses del efectivo durante el periodo n de tiempo que resta hasta su vencimiento será lo que denominemos como el descuento Di , donde

Ds = C0 · i · n

Evidentemente desconocemos C0 (ya que, recordemos, estamos descontando Cn el Capital final o nominal). Por ello pondremos el valor del descuento Dien función de Cn y para ello no hay más que sustituir el valor C0 en el Descuento. De este modo

C0 = Cn / (1 + i · n) y nos queda de esta manera:

Ds = Cn · i · n / (1 + i · n)

Ejemplo
Si quisiéramos calcular el Descuento que se aplicará sobre un pagaré de 100.000 euros de nominal con vencimiento a 90 días, si el tomador del título pide un 5% anual deberíamos hacer lo siguiente:

> Ds = ( 100.000 x ( 5% x ( 90/365 ) ) ) / ( 1 + ( 5% x ( 90/365 ) ) ) = 1.218 euros

El descuento es por tanto reversible. Si descontamos un capital Cn durante un tiempo n a un tipo i de interés obtendremos un valor actual C0. Y si este capital descontado C0 lo invertimos durante ese mismo periodon y al mismo Tipo de interés i nos producirá el mismo capital final Cn.

3.2.- Descuento Matemático: El Descuento Simple real, racional o matemático es la diferencia entre el monto a pagar (valor nominal) y su valor actual. Se calcula en base al Capital del Vn en el momento en que se negocia, por tanto se utiliza la fórmula de interés simple. En otras palabras, se define como el interés simple calculado sobre el Va, con una tasa de interés (i).El Descuento Compuesto Verdadero o Matemático es la diferencia entre el monto a pagar (valor nominal) y su valor actual. Es el único que se emplea en la práctica para operaciones a largo plazo.

D = Vn - Va

donde,

Dm = Descuento Compuesto Matemático

Vn = Valor Nominal

Va = Valor Actual

3.3.- Descuento Comercial: a diferencia del primero, se defina como el interés simple calculado sobre el Vn con una tasa de descuento. Entonces, la fórmula a manejar es similar a la de interés simple en cuanto a su forma, pero muy diferente en su significado. Es aquel descuento que toma como base el Valor Nominal (Vn).

Denominaremos Dc a los intereses que el Nominal Cn devenga a un tipo de interés i de descuento durante el periodo n que falta hasta su vencimiento.

Dc = Cn · i · n

El valor inicial C0 será entonces la diferencia entre el Nominal Cn y el Descuento Dc.

C0 = Cn- Cn · i · n

C0 = Cn ( 1 - i · n )

3.4.- Descuento racional o justo. El descuento racional o matemático se basa en la expresión del montante, despejando el capital inicial o efectivo:

Co= Cn /(1 +i)n= Cn *(1 +i)-n

y como el descuento es el nominal menos el efectivo

Dtr= Cn -Co= Cn -Cn *(1 +i)-n

y por tanto la expresión del descuento racional compuesto será:

Hay que tener en cuenta que las operaciones de descuento o actualización a más de un año habitualmente se realizan en descuento racional o matemático, siendo el descuento comercial compuesto poco utilizado en la práctica, al contrario que en las leyes simples.

4. Presentar 2 ejercicios resueltos donde tengan aplicación los conceptos anteriores.

• Descuento compuesto racional y comercial.

Calcular el efectivo que producirá un nominal de 100.000 € en actualización compuesta a un tanto anual del 5% durante seis años.

Si utilizamos el descuento racional

Co= Cn *(1 +i)-n= 100.000 *(1 +0,05)-6= 74.621,54 €

Si utilizamos el descuento comercial

E= N *(1 -d)n= 100.000 *(1 -0,05)6= 73.509,19 €

• Descuento Comercial

Para que una empresa sepa cuánto recibirá si descuenta la Letra de Cambio aceptada que le han dado como pago por sus servicios deberá tener en cuenta lo siguiente:
El nominal de la letra ( pongamos que se trata de 100.000 euros), el vencimiento ( por ejemplo dentro de 90 días ) y el tipo de interés ( digamos que un 3,5% )

C0 = Cn ( 1 - i  · n )

Luego C0 = 100.000 x (1- ( 3,5% x 90/365 )) = 99.137

5. Definir que es el interés compuesto e interés sobre saldo insoluto.

El concepto y la fórmula general del interés compuesto es una potente herramienta en el análisis y evaluación financiera de los movimientos de dinero.

El interés compuesto es fundamental para entender las matemáticas financieras. Con la aplicación del interés compuesto obtenemos intereses sobre intereses, esto es la capitalización del dinero en el tiempo. Calculamos el monto del interés sobre la base inicial más todos los intereses acumulados en períodos anteriores; es decir, los intereses recibidos son reinvertidos y pasan a convertirse en nuevo capital.

Llamamos monto de capital a interés compuesto o monto compuesto a la suma del capital inicial con sus intereses. La diferencia entre el monto compuesto y el capital original es el interés compuesto.

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.

Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1º. El capital original (P o VA)
2º. La tasa de interés por período (i)
3º. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

Fórmulas del Interés Compuesto:
La fórmula general del interés compuesto es sencilla de obtener:
VA0,
VA1 = VA0 + VA0i = VA0 (1+i),
VA2 = VA0 (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)2
VA3 = VA0 (1+i) (1+i) (1+i) = VA0 (1+i)3

En el interés compuesto los intereses que se van generando se van incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso.  El interés se capitaliza.

INTERESES SOBRE SALDOS INSOLUTOS

Una forma de cálculo de intereses en la cual se carga el crédito a una tasa diaria o mensual sobre el saldo insoluto actual.

6. Definir que es la tasa nominal, tasa efectiva y tasa equivalente.

Tasa Efectiva: 

La tasa efectiva es aquella tasa que se calcula para un período determinado y que puede cubrir períodos intermedios, se representa por (i).

Tasa Nominal:

La tasa nominal es aquella que se da para un año, se representa por (j). esta debe ser convertida en efectiva, para que se pueda aplicar en la fórmula del interés.

Período:

El tiempo que transcurre entre el pago de los intereses. El total de períodos se representa por la letra (n), y los períodos que se presentan dentro de ese total se representa por la letra (m), de esto se tiene que para hallar la tasa del período debemos dividir el total por el número de períodos así:

i= j/m

Hallar el capital final de una suma de $35000 con un interés del 20% convertible trimestralmente durante 2 años.

RTA/ Primero se halla la tasa efectiva.     

                i= j/m

                i= 20%/4

                i= 5% efectivo trimestral

Ahora se hallará el capital final con la fórmula propuesta para el interés compuesto teniendo en cuenta que en dos años hay 8 trimestres .

               S= p(1+i)n

               S= 35000(1+0.05)8

               S= 51710.94

Es el intervalo de tiempo convenido y se calcula mediante la siguiente ecuación: n = mÿ.m

Donde:

n= numero de periodos
mÿ = número de años
m= frecuencia de capitalización

Es el número de veces en un año que de interés se suma al capital

El intervalo al final del cual capitalizamos el interés recibe el nombre de período de capitalización. La frecuencia de capitalización es el número de veces por año en que el interés pasa a convertirse en capital, por acumulación.
Tres conceptos son importantes cuando tratamos con interés compuesto:

1º. El capital original (P o VA)
2º. La tasa de interés por período (i)
3º. El número de períodos de conversión durante el plazo que dura la transacción (n).

9. Presentar un ejercicio.

Sí invertimos una cantidad durante 5½ años al 8% convertible semestralmente, obtenemos:

El período de conversión es : 6 meses
La frecuencia de conversión será : 2 (un año tiene 2 semestres)

Entonces el número de períodos de conversión es:

(número de años)*(frecuencia de conversión) = 5½ x 2 = 11

La tasa de interés nominal se tiene que convertir en efectiva para que se pueda aplicar a la formula del interés.

Referencias electrónicas:

http://www.gestiopolis.com/canales/financiera/articulos/no%205/interesalinteres.htm

http://www.eumed.net/libros/2006b/cag3/2b.htm

http://espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/interescomp.htm

http://www.escolar.com/matem/18interes.htm

http://www.abanfin.com/modules.php?name=Manuales&fid=eg0bcad