CUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL PLANO.

TRIÁNGULO:

Un triángulo es una figura formada por tres líneas que se cortan mutuamente.

Clasificación:

• Según sus lados:

Equilátero. El que tiene los tres lados iguales.

Escaleno. El que tiene los tres lados desiguales.

Isósceles. El que tiene iguales dos lados.

- Según sus ángulos:

Acutángulo. El que tiene los tres ángulos agudos.

Oblicuángulo. El que no tiene ningún ángulo recto.

Obtusángulo. El que tiene obtuso uno de sus ángulos.

Rectángulo. El que tiene recto uno de sus ángulos.

Características:

Se llaman lados de un triángulo las rectas que lo forman, y base cualquiera de ellas tomada como tal; altura es el segmento de perpendicular bajada desde el vértice opuesto a la base.

La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos ángulos rectos (180°).

B = base ; h = altura

Área.

Área del triángulo =

Perímetro.

Para hallar el perímetro de un triángulo es necesario medir sus lados. Si nos falta un lado, se puede hallar por el teorema de Pitágoras, sólo en los triángulos rectángulos.

• Triángulo rectángulo

TEOREMAS:

• Teorema de Pitágoras.

El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Permite calcular la hipotenusa a partir de los dos catetos:

O bien, calcular un cateto conocidos la hipotenusa y el otro cateto:

• Teorema de los catetos.

El cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir,

c2 = a · m, b2 = a · n

• Teorema de la altura.

El cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos segmentos en que la divide:

h2 = m · n

CUADRILÁTEROS.

Un cuadrilátero es un polígono de cuatro lados.

Clasificación.

• Según sus lados:

Paralelogramos, si tiene sus lados paralelos dos a dos.

Los paralelogramos pueden ser los cuadrados (los cuatro lados iguales y los cuatro ángulos rectos), rectángulos (los cuatro ángulos rectos), rombos (los cuatro lados iguales) y romboides (no tienen los lados iguales ni los cuatro ángulos rectos).

Trapecios, si tienen dos lados opuestos paralelos y los otros dos no.

Trapezoides, si no existe paralelismo entre sus lados.

Paralelogramo Trapecio Trapezoide

Características.

La suma de sus ángulos interiores es 360º.

Los pares de lados opuestos son iguales.

Los pares de ángulos opuestos son iguales.

Cada dos ángulos contiguos son suplementarios.

Sus dos diagonales se cortan en sus puntos medios.

Los cuadrados, los rectángulos, los rombos y los romboides son paralelogramos, y sus características son:

Cuadrados: sus cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos son rectos.

Rectángulos: sus cuatro ángulos son rectos.

Rombos: sus cuatro lados son iguales.

Romboides: sus cuatro lados no son iguales y no tienen ningún ángulo recto.

Área.

Área del rectángulo Área del rombo

A = b . h A =

Área del cuadrado Área del trapecio

A = L A =

Área del romboide

A = b . h

POLÍGONOS REGULARES.

Un polígono es una porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada. Un polígono queda determinado por sus lados, que son los segmentos de la poligonal, y por sus ángulos, que son los que forman cada dos lados consecutivos. Un polígono regular es aquel que tiene sus lados y sus ángulos todos iguales.

Hexágono.

Es un polígono regular que tiene seis lados y seis ángulos iguales.

Características.

Todos los polígonos regulares tienen una circunferencia circunscrita, que pasa por todos sus vértices, y una circunferencia inscrita, que es tangente a todos sus lados. El centro de ambas circunferencias, que es el mismo, se llama centro del polígono. El radio del polígono es el de la circunferencia circunscrita. El radio de la circunferencia inscrita es la apotema del polígono.

El radio, R, la apotema, a, y la mitad del lado, l/2, de un polígono regular forman un triángulo rectángulo:

Por tanto, se cumple que

R2 = a2 + (l/2)2

El ángulo interior de un n-ágono regular mide 180º(n - 2)/n.

Perímetro.

El perímetro de un hexágono es igual al producto del nº de lados (6) por la longitud de uno de sus lados.

Área.

El área de un polígono regular es igual a la mitad del producto del perímetro por la apotema.

Área del hexágono regular = perímetro . apotema

2

CIRCUNFERENCIA.

Curva plana, cerrada, cuyos puntos son equidistantes de otro, que se llama centro, situado en el mismo plano.

Clasificación.

• Posiciones relativas de una recta y una circunferencia.

Una recta y una circunferencia pueden ser exteriores, si no se cortan (no tienen ningún punto en común), tangentes, si sólo se tocan en un punto (punto de tangencia), y secantes si tienen dos puntos comunes.

Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el centro con el punto de tangencia.

• Posiciones relativas de dos circunferencias.

Dos circunferencias también pueden no tocarse, ser tangentes o ser secantes según tengan ninguno, uno o dos puntos comunes, respectivamente. Sin embargo, se pueden precisar más las posiciones relativas de dos circunferencias según la distancia entre sus centros, d, y las longitudes de sus radios, r1 y r2:

Exteriores: si no tienen puntos comunes y la distancia entre sus centros es mayor que la suma de sus radios.

Tangentes exteriores: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la suma de sus radios.

Secantes: si tienen dos puntos comunes.

Tangentes interiores: si tienen un punto común y la distancia entre sus centros es igual a la diferencia de sus radios.

Interior una a la otra: si no tienen ningún punto común y la distancia entre sus centros es menor que la diferencia de sus radios.

Concéntricas: si tienen el mismo centro.

Características.

Cualquier segmento rectilíneo que pasa por el centro y cuyos extremos están en la circunferencia se denomina diámetro. Un radio es un segmento que va desde el centro hasta la circunferencia. Una cuerda es un segmento rectilíneo cuyos extremos son dos puntos de la circunferencia. Un arco de circunferencia es la parte de ésta que está delimitada por dos puntos. Un ángulo central es un ángulo cuyo vértice es el centro y cuyos lados son dos radios.

Longitud.

La longitud de una circunferencia es igual al producto de su diámetro.

L = d .

Área.

El área del círculo es igual a por su radio al cuadrado.

A =

• Corona circular.

Parte del plano limitado por dos circunferencias concéntricas.

CUERPOS GEOMÉTRICOS EN EL ESPACIO.

PRISMA.

Poliedro terminado por dos caras planas, paralelas e iguales que se llaman bases, y por tantos paralelogramos cuantos lados tenga cada base.

Un prisma se llama triangular, cuadrangular, pentagonal… según que sus bases sean triángulos, cuadriláteros, pentágonos…

Clasificación.

Si las aristas laterales son perpendiculares a las bases, el prisma es recto, y en caso contrario, oblicuo.

Un prisma que tenga por bases paralelogramos se llama paralelepípedo.

Se llama prisma regular el recto que tenga por bases polígonos regulares.

Características.

Las intersecciones de cada dos caras laterales son las aristas laterales. El segmento de perpendicular a las bases comprendido entre ellas constituye la altura.

Cada uno de los dos cuerpos geométricos que se obtienen al partir un prisma por un plano que corta a todas sus aristas laterales se llama tronco de prisma.

Área.

Se llama área lateral de un prisma al área de todas sus caras laterales. El área lateral de un prisma recto es:

Alat = perímetro de la base · altura

El área total es la suma del área lateral con las áreas de las bases:

Atot = área lateral + 2 · área de la base

Volumen.

El volumen de un prisma cualquiera es igual al área de la base por la altura:

V = área de la base · altura

CILINDRO.

Cilindro o cilindro circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un rectángulo al girar alrededor de uno de sus lados.

Características.

El cilindro consta de dos bases circulares y una superficie lateral que, al desarrollarse, da lugar a un rectángulo. La distancia entre las bases es la altura del cilindro. Las rectas contenidas en la superficie lateral, perpendiculares a las bases, se llaman generatrices.

Área.

Su área total es:

Atotal = Alateral + 2Abase = 2ðrh + 2ðr2

Volumen.

Su volumen es:

V = Abase · altura = ðr2h

• Cilindro oblicuo.

Un cilindro oblicuo es el que resulta de cortar un cilindro recto por dos planos paralelos que cortan oblicuamente a todas las generatrices.

Las bases de un cilindro oblicuo son elipses. Su altura es la distancia entre los planos que contienen las bases. Su volumen es:

V = Abase · altura

PIRÁMIDE.

poliedro limitado por una base, que es un polígono cualquiera, y varias caras laterales, que son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Características.

La porción de pirámide comprendida entre la base y una sección plana que corta a todas sus aristas se llama pirámide truncada; si la sección es paralela a la base, se tiene un tronco de pirámide.

Altura de una pirámide (h) es la distancia (perpendicular) del vértice a la base.

En la pirámide regular las caras son triángulos isósceles iguales, a cuya altura se llama apotema (s).

Área.

El área lateral de una pirámide regular (suma de las áreas de las caras laterales) es:

y el área total:

Atot = Alat + Abase

Volumen.

El volumen de una pirámide es la tercera parte del producto del área de la base por la altura:

TRONCO DE PIRÁMIDE.

Un tronco de pirámide es el poliedro comprendido entre la base de la pirámide y un plano que corta a todas las aristas laterales.

Características.

Si el plano es paralelo al plano de la base se dice que el tronco es de bases paralelas. La distancia entre las bases es la altura del tronco. Un tronco de bases paralelas de una pirámide regular está formado por dos bases, polígonos regulares semejantes, y varias caras laterales que son trapecios isósceles. Las alturas de estos trapecios se llaman apotemas de estos troncos.

Área.

El área lateral de un tronco de pirámide de bases paralelas es:

Alat = semisuma de los perímetros de las bases · apotema

Volumen.

El volumen de un tronco de pirámide, cuyas bases son paralelas y tienen superficies B y B', y cuya altura es h, se obtiene mediante la fórmula siguiente:

CONO.

El cono o cono circular recto, es el cuerpo de revolución engendrado por un triángulo rectángulo al girar alrededor de uno de sus catetos.

Características.

La hipotenusa del triángulo es la generatriz, g, del cono. El cateto sobre el cual se gira es la altura, h. El otro cateto es el radio, r, de la base.

El desarrollo de la superficie de un cono en el plano da lugar a un sector circular de radio g y ángulo (r/g)·360º:

Area.

El área lateral:

Al = prg (g = lado o generatriz).

El área total:

Atotal = prg + pr2

Volumen.

El volumen de un cono recto es:

• TRONCO DE CONO.

Un tronco de cono recto de bases paralelas es la porción de cono comprendido entre la base y una sección paralela a ella. Es el cuerpo de revolución generado por un trapecio rectángulo al girar alrededor del lado perpendicular a las bases.

Características.

Queda caracterizado por los radios de las bases, r y r', la altura, h, y la generatriz, g, entre las cuales se da la siguiente relación:

g2 = (r - r')2 + h2

Área.

El área lateral de un tronco de cono es:

Alat = p·(r + r')·g

Volumen.

Su volumen es:

V = p·(r2 + r'2 + rr') ·h/3

- CONO OBLICUO  
Un cono oblicuo es el cuerpo geométrico resultante de cortar un cono recto mediante un plano oblicuo a su eje y que corte a todas sus generatrices.

ESFERA.

Una esfera es el cuerpo de revolución que se obtiene al girar un semicírculo alrededor de su diámetro. El centro y el radio de la esfera son los del semicírculo que la genera.

Características.

La superficie de la esfera o superficie esférica puede definirse también como el lugar geométrico de los puntos del espacio cuya distancia al centro es igual al radio.

Un plano y una esfera pueden ser exteriores (sin puntos comunes), tangentes (con un solo punto común) o secantes, si el plano atraviesa la esfera.

La intersección de una esfera con un plano es un círculo cuyo radio, r, se obtiene conociendo el radio de la esfera, R, y la distancia, d, del plano al centro de la esfera:

r2 = R2 - d2

Si el plano pasa por el centro de la esfera (la corta diametralmente), el círculo que determina en ella se llama círculo máximo y la circunferencia correspondiente circunferencia máxima.

Área.

El área de la superficie esférica es:

A = 4pR2

Volumen.

El volumen de una esfera es:

V = 4pR3/3