El objetivo de este trabajo es controlar mediante representación

interna un sistema físico real como es una antena de este tipo.

Para ello sabemos como está constituida la antena así como su ecuación de movimiento:

Donde Pm es el par motor y  el ángulo de elevación.

De los números de mi DNI tomo que J=12, B=14 y Km=10.5

Primero hallaré la representación externa en bucle abierto del sistema a partir de lo que podemos medir que es la diferencia entre un ángulo de referencia y el ángulo real que se mueve la antena.

Tenemos que
que pasándolo a transformadas de Laplace nos queda

Y la f.d.t. queda como

Que con números es

La representación interna se halla a partir de la externa usando como variables de estado la posición angular y la velocidad.

que con números queda como:

En bucle abierto el sistema es totalmente inestable como se ve en la siguiente gráfica, en azul está la respuesta del sistema ante entrada rampa de 0.34 rad/s y en verde es la referencia.

Primero voy a comprobar que tal se comporta en bucle cerrado sin ningún regulador añadido.

Se ve que sigue la imagen pero que el error en régimen permanente es grande.Vamos a mejorar la respuesta mediante reguladores.

La entrada es una rampa de 0.34rad/s.

Como es una rampa el error en régimen permanente es:

Y sus gráficas son las siguientes:

Se ve que en régimen permanente sigue bien la referencia pero presenta oscilaciones en el régimen dinámico.

Como se ve en esta gráfica el error tarda bastante en llegar al deseado.

Abajo está la respuesta del par motor del cual se ve que oscila mucho para llegar al par deseado.

Con un regulador proporcional si se mejora el régimen transitorio acarreraría un error en régimen permanente más grande del que queremos por lo que con este regulador no se puede mejorar las dos cosas a la vez.

Como hay que hacer una realimentación de estado habra que ver primero si el sistema es controlable y observable.

Hallo la matriz de controlabilidad,Q, y la analizo.

rank(Q) = 2

cond(Q) = 3.0313

El sistema es controlable y con buena condición.

Miro la observabilidad,P.

rank(P) = 1

cond(P) = 1

Comprobado que el sistema es controlable y observable tengo que transformar mi sistema a la forma canónica controlable. Para ello debo hallar primero la matriz de transformación T.

Y el resto de matrices en la forma canónico controlable queda como:

Entonces fije un polo en cero para que el sistema sea estable y el otro lo alejé hasta que el error se redujera hasta al menos 0.01 mediante prueba y error. Acto seguido mire en el lugar de las raíces que ganancia poner y elegí la que reducía el error lo buscado.

Puse el polo en s=-150 por lo que quedaba la matriz de realimentación de estado como

y Kp=6427.8

Con esto la salida queda como:

El error queda así:

Y el par que de la siguiente manera:

Ahora solo podemos conocer el ángulo de la antena así que habrá que diseñar un observador de orden completo para poder controlar la antena.

El diseño del observador y de la realimentación es independiente así que como realimentación utilizo la anterior y el observador no tiene que influir en la dinámica del sistema por lo que pongo los dos polos de este bastante alejados de los del sistema a la izquierda. Los pongo 10 veces el polo más pequeño que no sea cero.

Paso a forma canónica observable para calcular el observador:

y calculo el observador

Y con este observador se ve que se consiguen los mismos resultados que en el caso anterior.

Salida:

El error:

El Par:

En las gráficas se ve como con el observador es más rápido en estabilizarse el sistema.

La diferencia de los estados estimados y real se ve como es fluctuante en ambos casos pera la amplitud es tan pequeña que se pueden considerar iguales.

Diferencia de estado1:

Diferencia de estado2:

La posición de los polos del observador afecta en que pierde un poco la linealidad, el estado observado, con respecto al real pero en la respuesta del sistema no afecta cuantiosamente.

Como una de las variables de estado la conocemos con poner un observador para evaluar la otro nos sería suficiente y, en principio, mejor ya que tenemos un polo menos en el observador que no actuará nada en el sistema.

Para diseñar el observador hay que calcular una serie de matrices que representen el observador. En este caso son números al ser el sistema de orden dos y conocer una variable de estado.

Las matrices del sistema las divido así:

Siendo F la dinámica del observador, es decir donde queremos que esté el polo del mismo, se le asigna el valor F=-11.667, como antes.

Para despejar la primera matriz del observador se hace apartir de la siguiente ecuación:

De donde resulta que

Para la otra matriz del observador:

La entrada al observado antes se multiplicaba por B, ahora lo llamo G y se halla mediante:

La salida del observador de orden reducido no es directamente el estado estimado. La salida es
por lo que para realimentar habrá que multiplicar el estado real que conocemos por
para al sumarlos tener los dos estados.

Una vez diseñado todo da los siguientes resultado.

Salida:

Error:

Par:

Dibujo la diferencia del estado observado y el real:

La diferencia entre los estados es como en el caso del de orden completo, oscila pero tan poco que es despreciable.

La ventaja del observador de orden mínimo es que aunque el estado observado se comporta como el de orden completo tenemos un estado que es el real y entonces no hay ningún error en la estimación.

Sistemas Electrónicos y Automáticos

Control de una Antena para el Seguimiento de Satélites

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