S/ Si
la función es continua y derivable por tratarse del producto de dos funciones continuas y derivables en todo su dominio. Estudiemos el caso en que x=0.

CONTINUIDAD.

f(0)=1.

por tratarse de una función que tiende a cero por otra que está acotada entre -1 y 1. El límite lateral por la derecha es exactamente igual, puesto que al aproximarnos tanto por la izquierda como por la derecha al cero lo hacemos a través de la misma rama de la función. Por tanto:

. Consecuentemente la función no es continua en x=0 (discontinua evitable) y por tanto tampoco puede ser derivable en dicho punto.

S/ Estudiemos su continuidad. Si
la función es continua por tratarse de funciones polinómicas que son continuas siempre. Veamos qué pasa en x=0. f(0)=0.

Por tanto para que la función sea continua en este punto deberá ser: b=0.

Veamos ahora su derivabilidad.

Esta función es derivable en todo
por tratarse de una función polinómica y una función constante. Veamos que ocurre en x=0.

Por tanto para que la función sea continua y derivable en x=0 se tendrán que cumplir simultáneamente la ecuaciones: b=0; a=-1.Sólo en este caso la función será continua y derivable en x=0 y por tanto en todo R. En este caso:

S/ La pendiente de dicha recta tangente en el punto x (que buscamos) nos la dará: m=
. Ahora bien, si es paralela a la bisectriz del segundo y cuarto cuadrante, dicha pendiente deberá ser -1, puesto que dicha bisectriz forma un ángulo de 135º con el eje de abscisas y su tangente vale -1. Por tanto
. Por último basta sustituir este valor en la función para calcular su imagen y así el punto pedido.
.

La recta tangente pedida será:

;

b)

3/3 Examen de continuidad y derivabilidad

1/3 Examen de continuidad y derivabilidad