Problema Numero 1:

El servicio de estudios de un banco pretende elaborar un modelo de regresión lineal para explicar el nivel de consumo medio por familia en términos nominales Dt a traves de su renta media, también en términos nominales Yt y el índice de precios de consumo. Para ello dispone de 50 observaciones mensuales generadas desde enero de 1986 hasta febrero de 1990.

Del análisis de regresión lineal múltiple se desprende:

Dt = 51.318066 + 0.723019Yt - 0.336385 Pt + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	51,318066	29,691472	1,7284	0,0905
B1	0,723019	0,06977	10,3629	0
B2	-0,336385	0,363867	-0,9245	0,36
R2	0,9847
SE	4,650131
MAE	3,518732
DW	1,726

Anova:

Sourse	Sum Of Squares	Df	Mean Squares	F - Ratio
Model	68071,6	2	34035,8	1574
Error	1016,31	47	21,6237
Total	69087,9	49
R-Squares: 0,98529
R :0,984664
Stand Error of Std :4,65013

A) Prueba de Goldfeld y Quandt para detectar Heterocedasticidad:

De las cincuenta observaciones se han eliminado las 10 observaciones centrales; la regresión con las primeras 20 observaciones se muestra a continuación.

Dt = 83.544375 + 0.954588 Yt - 0.929724 Pt + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	83,544375	90,283865	0,9554	0,3677
B1	0,954508	1,178316	0,8101	0,4291
B2	-0,929724	2,298486	-0,4045	0,6909
R	0,3931
SE	2,998114
MAE	2,551865
DW	2,464

Anova:

Sourse	Sum of Squares	Df	Mean Squares	F- Ratio
Model	128,578	2	64,289	7,15222
Error	152,808	17	8,98868
Total	281,386	19
R: 0,456946
R Adj: 0,393057
Stand Error of Est :2,99811
Dw: 2,46431

Para las veinte siguientes observaciones los resultados de la regresión y la ANOVA son los siguientes:

Dt = 23.583192 + 0.569763Yt + 0.183243 Pt + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	23,583192	235,527171	0,1001	0,9214
B1	0,569763	0,404417	1,4089	0,1769
B2	0,183243	2,617527	0,07	0,945
R	0,9282
SE	5,507667
MAE	4,222239
DW	2,017

Anova:

Sourse	Sum of Squares	Df	Mean Squares	F- Ratio
Model	7520,07	2	3760,04	123,953
Error	515,685	17	30,3344
Total	8035,76	19
R: 0,935826
R Adj: 0,928276
Stand Error of Est :5,50767
Dw: 2,01651

H0: Homocedasticidad

H1: Heterocedasticidad

Golfeld-Guandt	SRC2	=	8035,76	=	28,5577818
	SRC1		281,386

F obs: 28,5577818

F tabla (0.025 , 20 , 20) = 2,4645

Por lo tanto se rechaza H0 y se acepta H1, es decir hay indicios de heterocedasticidad en el modelo bajo esta prueba.

b) Pruebas de Park para detectar Heterocedasticidad.

ln e2 = 0.63872 + 0.833311ln Pt + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	-5,670144	4,684303	-1,2079	0,2330
B1	1,440697	0,90826	1,5862	0,1193
R	0,0300
SE	1,895700
MAE	1,551507
DW	2,391

H0:Homocedasticidad

H1:Heterocedasticidad.

T obs: 1,5862

T tabla: (0.025, 48) = 2.0106

Se acepta H0, y se rechaza H1; es decir existe homocedasticidad por el lado de la variable renta mensual media

ln e2 = -7.57908 + 2.63667 ln Pt + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	-17,19214	13,941338	-1,2322	0,2235
B1	3,9928	2,935982	1,3600	0,1802
R	0,0170
SE	1,908333
MAE	1,570581
DW	2,373

H0: Homocedasticidad

H1:Heterocedasticidad

T obs:1,3600

T tabla:2,0106

Se acepta H0 y se rechaza H1; es decir el modelo es homocedastico por el lado de la variable Indice de Precios.

c) Prueba de Rango de Spearman para detectar Heterocedasticidad.

Dt = 51,318066+ 0,723019 Yt - 0,336385 Pt + E

A) Dt = 51,318066+0,723019 Yt + E

Rs= 1 - 6 16126 = 0,22564225603

50 (502 -1)

t= (0,22564225603) raiz (50-2) = 1,60467972818

raiz 1- 0,225642256032

H0: Homocedasticidad

H1: Heterocedasticidad

T tabla (0,05; 50-2) = 1,6772

Dado que t no pertenece a la région de rechazo se puede decir que no existe heterocedasticidad en esta sub regresión.

B) Dt = 51,318066 - 0,336385 Pt + E

Rs= 1 - 6 15366 = 0,262136854742

50 (502 -1)

t= (0,262136854742) raiz (50-2) = 1,88194778341

raiz 1- 0,2621368547422

H0: Homocedasticidad

H1: Heterocedasticidad

T tabla (0,05; 50-2) = 1,6772

Como t pertenece a la región de rechazo se puede afirmar que el modelo presenta problemas de Heterocedasticidad por parte de la variable Pt.

d) Compara los Resultados Obtenidos.

Tomando en consideración las tres pruebas realizadas para la determinación de Heterocedasticidad en el modelo presentado, se concluye que el modelo si tiene problemas de Heterocedasticidad; reflejado tanto en la prueba de Goldfeld y Quandt, como en la prueba de rango de Speraman, la que dice que la variable que presenta heterocedasticidad es la Pt.

En la prueba de Park, no se refleja muestras de Heterocedasticidad; lo que demuestra que no es totalmente concluyente.

e) Prueba de D - W para Autocorrelación Serial

Del análisis de regresión lineal se desprenden los siguientes resultados bajo MCO

Dt = 51.318066 + 0.723019Yt - 0.336385 Pt + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	51,318066	29,691472	1,7284	0,0905
B1	0,723019	0,06977	10,3629	0
B2	-0,336385	0,363867	-0,9245	0,36
R2	0,9847
SE	4,650131
MAE	3,518732
DW	1,726

Un supuesto importante en el modelo de regresión lineal es que no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional.

Para detectar la no existencia de este supuesto se utilizara la prueba del estadístico d, de Durbin y Watson, el cual define como la razón de la suma de las diferencias al cuadrado de residuales sucesivos sobre la suma residuo cuadrado, considerando la siguiente formula.

D = Sumatoria ( ui - ui - 1) 2

Sumatoria ui2

1,726

0 dl dv 2 4-dv 4-dl 4

1.462 1.628 2.372 2.538

Como en la grafica se muestra, los valores dl y dv, son sacados de una tabla que esta expresada en un grado de 0.05 es decir 5% de significancia, con 50 observaciones y 2 variables, esto demuestra la no existencia de autocorrelación serial; es decir no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional.

f) Corrección del Modelo:

Como se pudo ver, a travez de la prueba de Rango de Spearman; la variable que produce heterocedasticidad en el modelo es la variable Pt; la cual mide el Indice de Precio; considerando lo anterior se procedió a la corrección del modelo dividiendo las variable del mismo por la variable que presenta el problema, de esta forma:

Dt/Pt = B0 + B1 Yt/Pt - B2 Pt/Pt.

El nuevo Análisis de Regresión y Anova se presentan a continuación.

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	1,325496	0,0588308	6,40352	0,0000
B1	0,589614	0,0325602	18,1084	0,0000
R2	0,933976
SE
MAE
DW

Sourse	Sum of Squares	Df	Mean Squares	F- Ratio
Model	1.77404	1	1,77404	327,9150
Error	0.259683	48	0,005410
Total	2,033725	49
R: 0,933976
R Adj: 0,8723
Stand Error of Est :0,0735531
Dw:

Problema 2:

El numero total de calefactores vendidos por una empresa Ft, depende del numero de puntos de distribución Pt, que dicha empresa tiene y de la temperatura media del área en la que la misma trabaja Et.

Del análisis de regresión se desprende:

Ft = 2,353547 + 0,473013 Pt + 0,487835 Et + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	2,353547	0,531831	4,4254	0,001
B1	0,473013	0,023849	19,8336	0,0000
B2	0,487835	0,108628	4,4909	0,0000
R2	0,8949
SE	1,224324
MAE	0,951351
DW	1,763

Anova:

Sourse	Sum Of Squares	Df	Mean Squares	F - Ratio
Model	615,375	2	307,687	205,266
Error	68,9525	46	1,49897
Total	684,327	48
R-Squares: 0,89924
R :0,89486
Stand Error of Std :1,22432

a) Prueba de Goldfeld y Quandt para detectar Heterocedasticidad:

De las cuarenta y nueve observaciones se han eliminado las 19 observaciones centrales; la regresión con las primeras 15 observaciones se muestra a continuación.

Ft = 4,716992 + 0,223534 Pt + 0,457795 Et + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	4,716992	3,087425	1,5278	0,1525
B1	0,223534	0,252182	0.8864	0,8864
B2	0,457795	0,267562	1,7110	0,1128
R	0,1405
SE	1,394835
MAE	1,082134
DW	1,460

Anova:

Sourse	Sum of Squares	Df	Mean Squares	F- Ratio
Model	8,34545	2	4,17273	2,14474
Error	23,3468	12	1,94557
Total	31,6922	14
R: 0,263328
R Adj: 0,140549
Stand Error of Est :1,39484
Dw: 1,45961

Para las quince siguientes observaciones los resultados de la regresión y la ANOVA son los siguientes:

Ft = -7,003447 + 0,729608 Pt + -0,729302 Et + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	-7,003447	2,393968	-2,9255	0,0127
B1	0,729608	0,07039	10,3652	0,0000
B2	-0,729302	0,296125	-2,4628	0,0299
R	0,9071
SE	0,651768
MAE	0,404418
DW	2,182

Anova:

Sourse	Sum of Squares	Df	Mean Squares	F- Ratio
Model	58,9484	2	29,4742	69,3836
Error	5,09761	12	0,424801
Total	69,0460	14
R: 0,950407
R Adj: 0,907172
Stand Error of Est :0,651768
Dw: 2,18177

H0: Homocedasticidad

H1: Heterocedasticidad

Golfeld-Guandt	SRC2	=	69,0480	=	2,17870643
	SRC1		31,6922

F obs: 2,17870643

F tabla (0.025 , 15 , 15) = 2,8621

Por lo tanto se rechaza H0 y se acepta H1, es decir hay indicios de heterocedasticidad en el modelo bajo esta prueba.

b) Pruebas de Park para detectar Heterocedasticidad.

Dado los datos en donde la variable temperatura media, esta expresada en forma negativa es imposible determinar el Logaritmo de esta variable necesario para la determinación de la prueba, con lo que se concluye que las condiciones necesarias para la determinación de Heterocedasticidad bajo esta prueba no están dada.

c) Prueba de rango de Spearman para detectar Heterocedasticidad:

.

Ft = 2,353547+ 0,473013 Pt + 0,487835 + E

A) F t = 2,353547 + 0,473013 Pt + E

Rs= 1 - 6 19896 = 0,0140816326531

49 (492 -1)

t= (0,0140816326531) raiz (49-2) = 0,0965483825285

raiz 1- 0.0148163265312

H0: Homocedasticidad

H1: Heterocedasticidad

T tabla (0,05; 49-2) = 1,6779

Como t; no pertenece a la región de rechazo se puede decir que no existe evidencia suficiente como para demostrar que el modelo tiene Heterocedasticidad, por parte de la variable Pt.

B) F t= 2,353547 + 0,487835 Et + E

Rs= 1 - 6 25338 = 0,292755102041

49 (492 -1)

t= (0,292755102041) raiz (49-2) = 2,09898995261

raiz 1- 0,2927551020412

H0: Homocedasticidad

H1: Heterocedasticidad

T tabla (0,05; 49-2) = 1,6779

Considerando que t pertenece a la región de rechazo se puede decir que existe Heterocedasticidad por parte de la variable Et bajo esta prueba.

d) Comparación de los datos Obtenidos.

A través de la aplicación de la prueba de Goldfeld y Quandt se puede decir que existe Heterocedasticidad en el modelo; bajo la prueba de Park no se pudo detectar la presencia de Heterocedasticidad, puesto que las condiciones necesarias para la aplicación de esta prueba no se encontraban dadas.

Considerando la prueba de Spearman se puede afirmar que existen indicios de Heterocedasticidad por parte de la variable Et.

e) Prueba de D - W para Autocorrelación Serial:

Del análisis de regresión lineal se desprenden los siguientes resultados bajo MCO

Ft = 2,353547 + 0,473013 Pt + 0,487835 Et + E

Parametro	Coeff	Error Stand	t - value	Sig Level
B0	2,353547	0,531831	4,4254	0,001
B1	0,473013	0,023579	19,8336	0,0000
B2	0,487835	0,108628	4,4909	0,0000
R2	0,8949
SE	1,224324
MAE	0,951351
DW	1,763

Un supuesto importante en el modelo de regresión lineal es que no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional.

Para detectar la no existencia de este supuesto se utilizara la prueba del estadístico d, de Durbin y Watson, el cual define como la razón de la suma de las diferencias al cuadrado de residuales sucesivos sobre la suma residuo cuadrado, considerando la siguiente formula.

D = Sumatoria ( ui - ui - 1) 2

Sumatoria ui2

1,763

0 dl dv 2 4-dv 4-dl 4

1.462 1.628 2.372 2.538

Como en la grafica se muestra, los valores dl y dv, son sacados de una tabla que esta expresada en un grado de 0.05 es decir 5% de significancia; considerando que nuestra muestra expuesta es de 49 observaciones, en la tabla el valor que mas se asemeja a este valor (numero de observaciones) es 50 observaciones, la variables utilizadas en el modelo son 2 Pt, Et . En vista de lo s análisis realizados se puede concluir la no existencia de autocorrelación serial; es decir no hay correlación serial o autocorrelación entre las perturbaciones ui consideradas dentro de la función de regresión poblacional.