INTRODUCCIÓN

Hace un año ya, que entré en el Albéniz, cuando comencé bachillerato, me hicieron escoger entre algunas optativas, una de ellas era astronomía hacia la cual me decanté sin pensármelo dos veces, pues ya había echo algún variable antes y me interesaba el tema.

Después de un año mirando hacia el cielo, conseguí(al menos eso creía )entender el movimiento de la tierra y el resto de cuerpos, pero me quedé con ganas de saber más.

Así que cuando Juan me dijo que el lo estaba haciendo de astronomía, al poco tiempo me dijo que si lo quería hacer conjuntamente y me pareció una idea fantástica.

De esta manera el trabajo tiene una importante parte común(la que cada uno ha matizado a su gusto) y una parte individual esta parte estrictamente individual, está comprendida por la construcción de un reloj de sol, en mi caso vertical, horizontal en el caso de mi compañero. También hay una parte matemática individual , que es la demostración de la formula del reloj, en mi caso, y la demostración de las leyes de kepler en el suyo. Aunque en lo común también hay algunas diferencias.

El trabajo ha sido lo siguiente:

Empecemos a tomar observaciones al principio de 2º de bachillerato, Juan tenia algunas de verano, a partir de aquí encontremos el Norte, y los otros puntos cardinales, así como la latitud; con estos datos construimos el reloj de sol, que parecía maravilloso.

Después empezaron a aparecer problemas los cuales nos llevaron al estudio del analema y a la posible construcción de un reloj analemático, para lo cual necesitaríamos un año al menos de observaciones.Coordenadas astronómicas

El problema que trata de resolver la astronomía de posición consiste fundamentalmente en determinar las posiciones que ocupan los astros en el firmamento, independientemente de la enorme distancia a las que se hallan.

Dada la pequeña longitud del radio terrestre en comparación con tales distancias, es factible identificar la Tierra con un punto del espacio, con lo cual, las posiciones en que se encuentran los distintos observadores, que en realidad varían con su localización geográfica, pueden considerarse coincidentes. Dicho punto se toma como centro de la esfera celeste, sobre cuya superficie se sitúan las posiciones aparentes de los astros. De este modo, aunque la visión del observador sea incapaz de apreciar las distancias relativas que les separa de los astros, distingue los puntos de la intersección de la superficie esférica con las visuales dirigidas hacia los distintos cuerpos celestes y puede calcular su distancia angular, arco de circulo máximo comprendido entre dos astros.

Para situar sobre la esfera celeste estas posiciones aparentes es preciso elegir el sistema determinado de coordenadas esféricas.

Un eje llamado eje fundamental o de referencia.

Un circulo máximo, determinado por la intersección de la esfera celeste con un plano perpendicular al eje y que se denomina circulo fundamental.

Dos coordenadas, una de las cuales se mide sobre el circulo fundamental y la otra sobre los semicírculos máximos que pasan por los puntos de intersección de la esfera celeste con el eje.

Un sentido de medición de los arcos, que como ya dijimos, recibe el nombre de directo cuando se efectúa en sentido contrario al recorrido por las agujas del reloj, y se llama retrogrado cuando ocurre lo contrario.

Coordenadas altacimutales u horizontales

Son aquellas que están referidas al horizonte del observador.

En este sistema, el origen de coordenadas es un punto de la superficie terrestre, es decir, es un sistema topocéntrico cuyo eje fundamental es la vertical del lugar, línea que sigue la dirección de la plomada. Su punto de intersección de la esfera celeste situado encima del observador se llama cenit, y el opuesto, nadir. El circulo fundamental es el horizonte del lugar. Los círculos menores paralelos al mismo se denominan almucantarates y los semicírculos máximos que pasan por el cenit, el nadir y un astro determinado reciben el nombre de círculos verticales o vertical del astro.

Las coordenadas horizontales son: la altura (altitud) y el acimut. La altitud es la altura del astro sobre el horizonte (arco de semicírculo vertical comprendido entre el horizonte del lugar y el centro del astro); se mide de 0º a 90º a partir del horizonte, y tiene signo positivo para los astros situados por encima de este (y, por consiguiente, visibles) y negativos para los situados debajo del horizonte; se representa por la letra h.

Con frecuencia se emplea, en lugar de la altura, la distancia cenital, que es el arco semicírculo vertical comprendido entre el cenit y el centro del astro. Se representa por Z y se relaciona con la altura por la ecuación: h = 90º - Z.

El acimut es el arco del horizonte medio en sentido retrógrado desde el punto Sur hasta la vertical del astro. Su valor va de 0º a 360º y se representa por la letra A o a. El acimut al igual que la altura nos la da la sombra del gnomon.

Los instrumentos utilizados para la determinación de las coordenadas de las coordenadas horizontales son el teodolito (que permite determinar las dos coordenadas simultáneamente), y el sextante.

En el sistema de coordenadas horizontales, la altitud y el acimut de los astros cambia constantemente por efecto de la rotación terrestre y también según el horizonte del observador, por lo que habrá que tener presente que los valores obtenidos estarán en función del tiempo y del lugar.

Coordenadas horarias o ecuatoriales locales

En este sistema de coordenadas, el origen es el centro de la tierra, es decir, es u sistema geocéntrico.

El eje fundamental es el eje del mundo, que corta a la esfera celeste en dos puntos llamados polos. El plano fundamental es el ecuador celeste, y los círculos menores paralelos al mismo reciben el nombre de paralelos celestes o círculos diurnos de declinación.

Las coordenadas horarias son: el ángulo horario y la declinación. El ángulo horario es el arco del ecuador celeste medido en sentido retrogrado desde el punto de intersección del meridiano del lugar con el ecuador hasta el circulo horario de un astro; se mide en horas, minutos y segundos, desde las 0 horas hasta las 24 horas y se representa por H.

La declinación es el arco del circulo horario comprendido entre el ecuador celeste y el centro del astro, medido de 0º a 90º a partir del ecuador; su valos es positivo cuando corresponde a un astro situado en el hemisferio boreal, y negativo en caso contrario; se representa por δ.

Con frecuencia, el lugar de la declinación se mide la distancia polar que es el arco del circulo horario medido desde el polo boreal hasta el centro del astro. Se representa por p y se relaciona con la declinación por la formula p + δ ð ððº.

Por ser uniforme el movimiento diurno, hay que insistir diciendo que el tiempo puede expresarse en unidades angulares. Para ello recordaremos que si en el movimiento aparente de un astro tarda 24 horas en dar una vuelta completa, utilizando una sencilla regla de tres podemos expresar el arco de circunferencia que dicho astro recorre en la bóveda celeste.

En este sistema de coordenadas horarias la declinación es invariable respecto el lugar de observación, puesto que una estrella en su movimiento recorre un arco de circulo paralelo al ecuador. Por el contrario, el ángulo horario se mide a partir del meridiano del lugar y dependerá de la posición del, observador, así como de la hora en que se efectúa la medición.

Para la determinación de las coordenadas horarias utiliza el anteojo meridiano, que permite determinar la declinación directamente. El ángulo horario se calcula a partir de la hora de paso del astro por la vertical del lugar.

Coordenadas ecuatoriales absolutas

Son aquellas que están referidas al ecuador celeste. También se las llama coordenadas celestes o uranográficas.

Este tipo de coordenadas surgió por los inconvenientes que presentan la utilización de coordenadas locales, de las que ya hemos dicho que varían con el tiempo, y obtener unas coordenadas que sean constantes.

El eje fundamental es el mismo que el del sistema de coordenadas horarias, así como el resto de los demás elementos.

Las coordenadas ecuatoriales absolutas son: la declinación y la ascensión recta. La declinación ya fue definida en el sistema de coordenadas horarias. La ascensión recta es el arco de ecuador celeste medio en sentido directo a partir del punto Aries(γ) hasta el meridiano que contiene al astro. Varia de 0 horas a 24 horas y antiguamente se representaba por AR pero actualmente se representa con ð.

La ascensión recta esta relacionada con el ángulo horario por la ecuación fundamental de la Astronomía de posición:

T = ð + H donde t es la hora sidérea.

Esta formula permite pasar de coordenadas ecuatoriales absolutas a horarias y viceversa, por lo que necesitaremos conocer la hora sidérea en el momento de observación. También se puede pasar a coordenadas horizontales pero el calculo es mas complejo.

Dado que el punto Aries(γ) es común para todos los observadores, las coordenadas ecuatoriales son universales y permanecen constantes en el tiempo.

Para determinar este tipo de coordenadas se emplea también, el anteojo meridiano, basándose en el calculo de la hora de la culminación del astro, pues cuando este pasa por el meridiano del lugar su ángulo horario es nulo y la formula fundamental:

T = ð + H

Queda entonces reducida a : T = ð

O sea, la ascensión recta es igual a hora sidérea cuando culmina el astro.

Observaciones

Las observaciones en un trabajo de investigación de este tipo son estrictamente necesarias, debido a que a través de ellas se deducen todos los parámetros necesarios para la elaboración de un reloj de Sol, independientemente del tipo de reloj Solar, por lo que a lo largo de varios meses se han tomado notas del movimiento Solar.

Las observaciones(Tabla Nº3) las hemos tomado respecto dos gnómones, cada uno de ellos con un sistema de coordenadas distinto. En los 4 primeros meses las observaciones fueron recogidas en el gnomon del campo de fútbol, gnomon de dimensiones considerables. Estos meses fueron Junio, Julio y Septiembre. Durante agosto no se tomaron observaciones ya que el instituto estaba cerrado por las vacaciones de verano. El sistema de coordenadas de este gnomon consiste en tomar la distancia respecto 3 posiciones, las cuales no están alineadas entre si. Estas posiciones son:

Posición 1. La esquina sudoeste del campo de fútbol.

Posición 2. La base del gnomon. Este es el punto neutro, a partir del cual se determinan los puntos cardinales.

Posición 3. La esquina sudeste del campo de fútbol.

Debido a su gran tamaño y al tiempo que supone tomar las observaciones en él, se optó por el gnomon de la terraza.

En el segundo gnomon, el cual esta situado en la terraza sur del instituto, y cuyas dimensiones son menores respecto el anterior, las observaciones fueron tomadas a lo largo de los meses de Septiembre, Octubre, Noviembre y Diciembre. El sistema de referencia de este gnomon es más parecido a un sistema de coordenadas habitual. El gnomon se encuentra entre 4 baldosas, coincidiendo con las esquinas de estas. El gnomon es pues el punto de referencia. A partir del gnomon designamos los nombres de las baldosas:

Las baldosas que están hacia el oeste del gnomon son -A, -B, -C, -D, y -E, contadas siempre desde el gnomon. Las baldosas que están al este del gnomon son A, B, C, D y E. Estas son tan Solo la asignación en el eje abscisas. La designación en el eje de ordenadas (Y) consiste en que las baldosas situadas en el sur respecto el gnomon son -1 y -2, mientras que las baldosas situadas al norte son 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8.

Esta es tan Solo la designación de baldosas, ahora explicaremos la medida dentro de ellas. Si las baldosas tienen la componente de abscisas negativo la medición se hace desde el extremo este de la baldosa, siempre considerando en gnomon como punto de referencia. Sin embrago si la componente de abscisas es positiva la medición se hace desde el lado oeste. Con el eje de las ordenadas funciona de forma parecida. Si tienen componente de ordenadas negativa, la medición se hace desde el extremo norte, mientras que si la componente es positiva, se hace desde el extremo sur.

En el gnomon de la terraza fueron tomadas mayor número de observaciones, las cuales posteriormente han sido las únicas en estudiarse, almenos con una profundidad determinada. La utilización del segundo gnomon ha sido mayor debido a su proximidad con las aulas, de las cuales debían salir los observadores entre clase y clase para poder tomarlas, y también a su menor tamaño, el cual ha sido muy útil para imprimir las observaciones en una hoja y así poder observar las curvas del Sol con mayor facilidad.

El horario

A la hora de tomar las observaciones el horario ha sido muy importante, igual que la rigurosidad a la hora de tomar las observaciones. Debido a la existencia de dos horarios, el de verano que va del 21 Marzo al 21 Septiembre, y al de invierno que va del 21 Septiembre al 21 Marzo, se ha tenido que perfeccionar un horario de observaciones, en el cual una de las horas de cada horario, Verano e Invierno, coinciden con una hora determinada del horario Solar, cogiendo por lo tanto las observaciones a la misma hora independientemente del horario vigente. Esta hora común sirve para la construcción de un analema, con el objetivo de conocer las irregularidades del movimiento del Sol, mientras que el resto de observaciones sirven para estudiar las hipérbolas descritas diariamente por el movimiento del Sol. Para ello hemos comparado el horario Solar con el oficial escogiendo los momentos libres entre clase y clase de la siguiente manera, para poder así tomar las observaciones.

Horario de verano Horario Solar Horario de invierno

10:15 8:15 9:15

11:15 9:15 10:15

11:45 10:15 11:15

12:45 10:45 11:45

13:45 11:15 12:45

14:45 11:45 13:45

15:45 12:45 14:45

Finalmente las horas escogidas se alargaron 4 minutos, para así tener tiempo suficiente para llegar al gnomon y hacer las observaciones.

A la hora de entender las observaciones hay que tener en cuenta que hemos utilizado un reloj mecánico. Aparentemente no tiene importancia, ya que supuestamente los dos relojes miden lo mismo, el tiempo a lo largo del día, pero una vez se empiezan a conocer por separado descubrimos muchas cosas.

Durante varios meses, prácticamente a diario, hemos tomado observaciones en correspondencia con el horario. Estas observaciones han sido a la misma hora, sin embargo si unimos los puntos de las sombras, estos no están en el mismo lugar, ni si quiera en una misma recta, si no que forman una figura, una especie de 8, el analema. En este momento uno se pregunta, ¿pero si han sido a la misma hora, por que se da esta figura?. Es entonces cuando se investigan las causas, y no Solamente lo que concierne al analema directamente, sino también a los relojes.

El reloj mecánico mide intervalos de tiempo de 24 h, dividiéndolas en minutos y segundos. El reloj de Sol inicialmente también mide el día, definido este como el intervalo de tiempo que tarda el Sol en pasar por el mismo meridiano 2 veces consecutivas. Entonces, si el día dura 24 h, medidas por el reloj mecánico, ¿cuánto dura el día que mide el reloj de Sol?. Aquí viene donde definimos cada reloj. El reloj mecánico mide siempre el mismo intervalo de tiempo, sin tener en cuenta fenómenos astrofísicos, mientras que el reloj de Sol mide el tiempo que tarda el Sol en pasar dos veces consecutivas por el mismo meridiano.

Llegando a la siguiente conclusión. El reloj de Sol mide un tipo de día, conocido como día sidéreo, mientras que el reloj mecánico mide el día Solar medio, viendo entonces el contraste de relojes.

El estudio de las observaciones

A lo largo de estos meses de observaciones y de estudio hemos llegado a conocer el movimiento del Sol en la bóveda celeste. Movimiento no tan simple como parece a simple vista, ya que varia considerablemente a lo largo del año.

A partir de las sombras podemos observar varios tipos de movimientos. El principal y más conocido es su movimiento de este a oeste, determinado por el movimiento de rotación de la Tierra, y en parte por el de traslación, movimiento diario y continuo, al menos en nuestra latitud, el cual determina el día, y varia su duración a lo largo del año. El segundo movimiento va de norte a sur, y viceversa, y es de carácter semestral. Este movimiento es debido a un parámetro algo más complejo.

Este movimiento de norte a sur, y viceversa, es debido a la oblicuidad del eje de rotación de la Tierra, respecto al plano creado por su movimiento de traslación, la eclíptica. Dicho ángulo, provoca que a lo largo del año los rayos del Sol incidan sobre la Tierra con un ángulo de oblicuidad variable. Esta variedad de incidencia está animada, por el movimiento de traslación de la Tierra. Cuando el plano que contiene al eje de rotación de la Tierra, y es perpendicular a la eclíptica, barre al Sol por su parte norte, respecto la Tierra, y tomando como norte la polar, los rayos de este inciden con menor perpendicularidad en el hemisferio norte que en el sur, provocando que en el norte sea invierno y en el sur verano. Cuando el eje esta orientado de forma contraria, es decir, el polo sur esta más cercano al Sol que el norte, se invierten los papeles. Sin embargo cuando los polos están a la misma distancia del Sol, los rayos del Sol inciden con la misma oblicuidad en ambos hemisferios, provocando, la primavera o el otoño, dependiendo del hemisferio.

Esta variedad de ángulo de incidencia de los rayos Solares sobre la Tierra, provoca que el Sol se vea con una altura variable en función de la posición de la Tierra respecto al Sol, plasmándose en el gnomon como una diferencia de longitud de las sombras al gnomon.

A partir de estas explicaciones podemos hacernos una idea del por qué de las estaciones, y del origen de esta variedad de sombras. Pero esto no es todo. La Tierra no órbita alrededor del Sol formando una circunferencia perfecta, sino que forma una elipse. Esto provoca que los días sidéreos no sean iguales a lo largo del año, sino que varíen su duración, con una diferencia de hasta 16 minutos. Esto provoca que si a lo largo de un año, diariamente, tomamos observaciones a la misma hora, y las unimos, no formen una línea recta, sino una especie de ocho, conocido como analema.

Una vez conocemos la naturaleza de estas sombras podemos explicar para que sirve un reloj de Sol.

Un reloj de Sol está formado por un plano, y un estilete. El estilete se encarga de proyectar las sombras sobre el plano, el cual esta dividido en partes desiguales, (excepto en el polo), donde cada parte es una división horaria. Dicho estilete forma un ángulo con el plano, el cual varia de 0º a 90º. Esta inclinación se debe a que el estilete esta alineado con la línea que une la estrella polar con el centro de la Tierra, es decir con el eje de rotación. Por lo que varia en cada latitud.

Cuando los rayos Solares inciden sobre el estilete, este proyecta su sombra en el plano. Dependiendo de la hora en que se de esta proyección la sombra caerá sobre una parte del plano u otra, lugar determinado por las divisiones horarias. Para cada franja horaria tenemos una división que nos indica la hora, pero si nos ponemos a pensar nos daremos cuenta de una cosa. Si partimos de la base, de que los días Solares no son constantes, la posición del Sol no esta en el mismo meridiano a lo largo de los días. Esto da lugar que a las horas cercanas a la de las divisiones se puedan confundir, estando la sombra en la división que no pertenece, debido a la diferencia de duración en los días sidéreos, por lo que nos hacemos la pregunta de, ¿entonces, que utilidad tiene un reloj de Sol?.

Considerado que un reloj de Sol lo que hace, no es más que proyectar el recorrido circular del Sol en un plano, con el objetivo de controlar este movimiento y dividirlo para medir los días, llegamos a la conclusión de que un reloj de Sol es un aparato utilizado para orientarse temporalmente a lo largo del día, más que para conocer la hora exacta, ya que el reloj Solar no mide más que una media de los días sidéreos, midiendo por lo tanto el tiempo Solar medio y no dividirlo cada día uno por uno en partes iguales.

Si nos olvidamos de la función horaria del reloj de Sol podemos encontrarle otra utilidad. Como ya hemos explicado anteriormente, las sombras del Sol a lo largo del año dibujan unas curvas, concretamente hipérbolas, las cuales varían su posición y forma en función de la época del año, las estaciones. Los días claves que marcan la separación de las estaciones, son los Solsticios y los equinoccios. Los Solsticios tienen las curvas máximas orientado su centro hacia el norte, Solsticio de invierno, o hacia el sur, Solsticio de verano. Mientras que los equinoccios forman una recta perfecta, la cual va de este a oeste. Una vez sabemos esto podemos colocar los días claves. El Solsticio de invierno el 22 de diciembre, el equinoccio de primavera el 21 de marzo, el Solsticio de verano el 22 de junio y el equinoccio de otoño el 23 de septiembre. Una vez hemos colocado estos días en forma de curvas en el reloj de Sol y estudiadas el resto de hipérbolas podemos utilizar a este como calendario, ya que en función de la posición de la sombra, y la figura dada, será una estación u otra, pudiendo conocer así los meses. Esta función de calendario, incluso puede ser más exacta que de reloj, ya que las sombras se pueden considerar invariables.

Sabiendo pues todo esto, llego a la conclusión de que el reloj de Sol no es un reloj en el sentido estricto de la palabra, si no más bien un aparato que tiene el objetivo de orientarnos a lo largo del día, debido a su carencia de exactitud. Aunque es tan ínfima esta variación, incluso en los extremos, que puede ser muy útil. Sin embargo creo que su mayor utilidad es la de calendario, y en mi opinión más interesante, ya que es como plasmar el calendario que conocemos en su faceta más natural, es observar su ancestral origen.

Construcción de un reloj de Sol Vertical

A partir de dichas observaciones ya podemos construir un reloj de Sol tradicional.

Para construir un reloj vertical o de pared la pared donde deseamos instalarlo a poder ser debe estar perfectamente alineada con la línea este-oeste, y ha de ser perpendicular al plano horizontal, ya que si no es así surgirán varios problemas respecto el ángulo de las líneas horarias. Si no lo es no habría más que restar la inclinación de la pared a cada uno de los ángulos horarios.

. Una vez conseguido el terreno necesitamos una varilla la cual ha de ser perfectamente recta, hecha de un material rígido y opaco que soporte las condiciones atmosféricas. La función de esta varilla es la de estilete. El objetivo del estilete es el de proyectar las sombras generadas a lo largo del día por los rayos Solares en el plano, y de esta forma conocer la posición del Sol, para poder calcular así el tiempo. Una cosa muy importante es la inclinación del estilete. La inclinación es fundamental ya que el estilete es e eje de un haz de planos, los cuales distarían 15º cada uno si estuviésemos en el polo, ya que si forman ángulos iguales corresponden a tiempos iguales, si dividimos el día en 24h nos salen 24 divisiones de 15º cada una. Estos planos que cortan el plano del horizonte formando unas líneas, las cuales son conocidas como líneas horarias del reloj de Sol. Su función como indica su nombre, es dar la hora Solar. Estas líneas generadas forman cierto ángulo entre ellas, el cual depende de la inclinación del estilete, es decir, de la latitud del lugar. Para calcular la latitud del lugar lo podemos hacer principalmente de dos formas. Una de ellas es l altura de la estrella polar, y la otra calcular la del Sol en un equinoccio. Decimos en un equinoccio ya que el Sol se encuentra en un plano perpendicular al eje polar, por lo que calculando su altura, lo restamos a 90º, y nos dará el complementario, es decir, la altura de la polar, o lo que es lo mismo, la latitud del lugar. Para calcular este ángulo debemos conocer la altura del gnomon, una vez la conocemos debemos conocerla distancia entre el gnomon y el punto de las 12 hora Solar. Una vez tenemos estas distancias conocemos el lado contiguo y opuesto de un triángulo, cuyo ángulo será el complementario de la latitud.

Una vez conocemos la razón por la cual el estilete esta inclinado viene la siguiente pregunta, ¿cómo podemos conocer el ángulo formado por las líneas horarias?. Para calcular este ángulo debemos mirar el apartado donde se demuestra la formula.

El ángulo del estilete debe formar con la pared un ángulo complementario a la latitud del lugar, ya que de esta forma estará alineado con el eje polar. Como la inclinación del estilete en un reloj vertical es diferente la formula utilizada para el calculo de las líneas horarias también varía, siendo: tangente de A = coseno de la latitud x tangente del ángulo horario. En este caso no es seno del ángulo, sino coseno, ya que trigonométricamente el seno de un ángulo es igual al coseno de su complementario, y como en un reloj horizontal utilizaremos el ángulo complementario, utilizaremos pues su seno.

Una vez conocemos los ángulos los dibujamos en la superficie donde deseamos hacer el reloj de Sol. Estos trazos pueden hacerse de múltiples maneras. , la mas sencilla es hacer la línea norte sur en el reloj de Sol. Para calcular esta línea se puede hacer de muchas formas. Una de ellas es observar la estrella polar, lo cual nos dará una línea norte sur, siendo el origen el gnomon y su dirección la estrella polar. El segundo método posiblemente más complicado, y es solo aplicable al reloj de Sol horizontal, aunque para el reloj de Sol vertical también puede ser útil, ya que para este método es necesario calcular previamente la línea este-oeste. Este método consiste en hacer varias observaciones en cualquier equinoccio, ya que estos dos días el Sol sale perfectamente por el este y se pone por el oeste, formando la sombra de todo el día una recta. Una de las horas debe ser el medio día solar, ya que esta recta junto con la definida por el gnomon, forman el plano que contiene al Sol cuando llega a su altura máxima y a la estrella polar. Una vez tenemos trazada esta línea hacemos otra perpendicular a esta que pase por el gnomon. Esta nueva línea será pues la norte-sur. A partir de aquí aplicamos la formula necesaria, la del reloj vertical u horizontal e ir trazando las líneas horarias.

Materialmente la construcción de un reloj de Sol es muy sencilla, pero su comprensión va mas allá de identificar las horas en él, como se demuestra mas adelante.

El calendario

Durante un periodo de la época Romana, concretamente hasta el año 47 a.C. se utilizó el Calendario Romano habitual”Kalendas”. Este calendario se basaba en las fases lunares, la cuales duran alrededor de 28 días.

El primer calendario era de carácter lunar por una razón muy simple. A la luna, a diferencia del Sol, la podemos mirar directamente, podemos observar su altura, su estado... con una simple mirada, mientras que al Sol no lo podemos mirar de la misma forma, ya que nos dañaría la vista. Esta condición se pude observar a lo largo de muchas civilizaciones. Los indios norteamericanos contaban por lunas llenas, la agricultura se rige todavía por las fases lunares, entre muchas otras.

Este calendario lunar estaba compuesto por 304 días, los meses del cual eran marzo, abril, mayo junio, julio, agosto, septiembre, octubre, noviembre y diciembre. Estos meses estaban formados por 29 o 30 días de duración, prácticamente la misma duración que una fase lunar, 28 días. Debido a esta duración había que intercalarse un mes adicional cada 2 años

En el año 47 a.C. aproximadamente se substituyó el calendario vigente por un calendario de carácter solar, el Calendario Juliano. El calendario juliano está basado en los cálculos del astrónomo griego Sosígenes. Este calendario esta formado por 365 días, los cuales en grupos de 30 días aproximadamente forman 12 meses. Como se puede ver a simple vista este calendario tiene dos meses más, enero y febrero. Estos meses se incluyen al inicio del año, por lo que el año empieza el 1 de enero.

Este cambio de calendario se dio cuando observaron las sombras del Sol y se dieron cuenta de que este astro seria más útil y más directo para calcular el tiempo, ya que la luz de este nos designa el tiempo. A través de estas observaciones se puede deducir más exactamente la duración del año. Para tomarlas nos hace falta nada más que un palo y una gran rigurosidad. Si se toman observaciones durante todos los días del año, y varias horas al día, se dibujan en el suelo una curvas, concretamente hipérbolas, excepto en los solsticios, donde la sombra es una recta y designa la línea Este-Oeste. La sombra que designa el inicio y el final del año es aproximadamente la del solsticio de invierno, día en que la hipérbola tiene mayor excentricidad.

Aparentemente estas curvas no tienen demasiada importancia, pero una vez se entienden son fundamentales. Cuando sabemos que de extremo a extremo de la figura hay medio año solar de diferencia podemos elaborar un complejo calendario. Cada periodo seria un año, cada medio periodo seria medio año, cada... así hasta dividir estas curvas en meses, semanas, días, e incluso horas a través de un reloj solar.

Gracias a esta precisión con el Calendario Juliano también entraron en vigor los años bisiestos, años que se daban lugar cada 4 años estrictamente. Lo que diferencia a los años bisiestos de los demás es la adición de un día. Esta adición se da para compensar el retraso respecto el año trópico, cuya duración es de 365 días y ¼ de día. Dicho calendario tampoco se ha mantenido hasta nuestros días debido a su duración, la cual tiene un promedio de 11 minutos y 14 segundos más que el autentico año solar. Gracias a esta desigualdad respecto el año solar verdadero en el siglo XVI la diferencia ascendió a 10 días.

En el año 1582 el Papa Gregorio XIII elaboró un nuevo calendario, conocido como Calendario Gregoriano. Dicho calendario se implantó debido a tal desajuste, el cual provocó, además, la elisión de 10 días del mes de diciembre de 1853 y que se dio con el salto del día 10 al día 20.

La principal diferencia con el anterior calendario es la cuenta de los años bisiestos, cuenta que no es rígida como en el Juliano, ya que en el calendario Gregoriano son tan solo bisiestos aquellos años que les toca en el calendario Juliano, y además son múltiplos de 100 y de 400. La formulación de dichas reglas es:

“La duración básica del año es de 365 días, pero serán bisiestos, es decir tendrán 366 días, aquellos años cuyas dos últimas cifras son divisibles por 4, exceptuando los años que expresan el número exacto del siglo, 100, 200,etc, de los que se exceptúan a su vez aquellos cuyo número de siglo sea divisible por 4”.

Por lo tanto los cambios producidos en la transición de calendarios son:

Exclusión de 10 días.

Corrección de la duración del año solar.

Los años seculares se convierten en bisiestos tan solo si cumplen las reglas comentadas anteriormente.

El calendario Gregoriano se implantó rápidamente en todos los países católico, sin embrago el resto del mundo tardó en aceptarlo, siendo Rusia el ultimo en implantarlo, concretamente el año 1918.

Actualmente se han dado varias propuestas para la implantación de un nuevo calendario dada la aún distinta duración del calendario Gregoriano respecto el solar verdadero. Dos de tales propuestas son un calendario de 13 meses, siendo los meses de la misma duración. Y un calendario universal de 4 periodos trimestrales idénticos.

A partir de toda esta información podemos deducir que el objetivo de un calendario es organizar algo tan relativo como el tiempo, de manera que cada “año” se den los mismo fenómenos, como pueden ser la primavera, el verano, etc.

Analema

Después de construir el reloj de Sol nos damos cuenta de que al pasar los días esas rectas que han de definir la hora no son exactas y que con los días se acercan y alejan de ellas por ambos lados, dibujando una especie de 8 alrededor de cada una de ellas. Esta variedad de posiciones dan a pensar sobre el movimiento de la Tierra respecto el Sol.

La diferencia de alturas tan Solo tiene una explicación, pero para ello hemos de tener en cuenta que la Tierra gira alrededor del Sol. Una vez tenemos en cuenta el movimiento de traslación hemos de ir a por el movimiento de rotación, movimiento que como cualquier otro ha de tener un eje. Una vez sabemos de la existencia de este eje podemos empezar a pensar sobre él y el ángulo que forma con los rayos Solares.

Este ángulo formado por el eje de rotación y los rayos Solares no es constante, ya que si fuera así, la altura del Sol en la bóveda siempre seria la misma, por lo que deducimos que forman un ángulo variable. Las causas de este ángulo pueden ser dos: que los rayos del Sol varíen su ángulo de incidencia, causa que descartamos, ya que los rayos de Sol siempre mantienen el mismo ángulo. Y la otra causa es que el eje de rotación de la Tierra varíe su ángulo con los rayos del Sol. Una vez sabemos esto, podemos decir que el eje de rotación de la Tierra forma cierto ángulo, no perpendicular, con el plano creado por el movimiento de traslación, plano, por cierto, paralelo a los rayos Solares que inciden sobre la Tierra. Este ángulo de oblicuidad es constante respecto el plano, pero variable respecto al Sol, razón por la cual varía su altura.

El eje de rotación de la Tierra viene determinado por la línea que une el centro de la Tierra con la estrella polar. La inclinación de dicho eje provoca que según la posición de la Tierra respecto al Sol este varíe su altura. Por ejemplo, si el eje de rotación esta inclinado en el sentido del Sol en el hemisferio norte los rayos Solares inciden con mayor oblicuidad, provocando el invierno, y el verano en el caso del hemisferio sur. Sin embrago, cuando el eje mira en el sentido contrario se invierten los papeles. Y es cuando el plano en el cual se encuentra el eje de rotación forma un ángulo de 90º con el plano de traslación, cuando es primavera u otoño en toda la Tierra.

Este ángulo de oblicuidad se deduce a partir de las observaciones hechas fundamentalmente el 22 de diciembre, el 22 de junio y el 21 de septiembre o marzo. El 22 de diciembre el Sol se encuentra en su menor altura, hecho que se observa en la distancia de la sombra ese día respecto el gnomon, día en que la longitud es mayor. Además ese día la curva formada por la sombras es máxima, teniendo su centro en sentido norte. El 22 de junio se invierten los papeles. La altura del Sol es máxima, sin embrago la curva formada también es máxima, pero posee su centro en sentido sur. Por otro lado en los días 21 de septiembre y marzo la sombra forma una línea recta, la cual determina el este y el oeste.

Debido a estas características estos días tienen nombres concretos, además de determinar ciertas épocas anuales. El 22 de diciembre es conocido como Solsticio de invierno, el 21 de marzo es conocido como equinoccio de primavera, el 22 de junio es conocido como Solsticio de verano y el 21 de septiembre como equinoccio de otoño. La época comprendida entre el Solsticio de invierno y el equinoccio de primavera es el invierno, la que esta comprendida entre el equinoccio de primavera y el Solsticio de verano es la primavera, entre el Solsticio de verano y el equinoccio de otoño es el verano, y finalmente entre el equinoccio de otoño y el Solsticio de invierno es el otoño.

Para encontrar pues el ángulo de oblicuidad, lo único que hemos de hacer es calcular el ángulo que forman dos sombras unidas con el extremo del gnomon. Una línea seria la que une el extremo del gnomon con una sombra del Solsticio. La otra línea seria la que une el extremo del gnomon con una sombra de cualquier equinoccio. Los dos puntos escogidos en el Solsticio y en el equinoccio deben ser de la misma hora.

La otra razón por la cual se forma el analema es la figura que forma la Tierra en su movimiento de traslación, figura que no es una circunferencia sino elipse. Esto provoca que cuando la Tierra este mas cerca del Sol su velocidad sea mayor por lo que recorrerá ángulos mayores, haciendo que el Sol circule mas rápido por la bóveda celeste. Esto provoca que si unimos los puntos del analema no formen una recta, sino una curva.

Esto se entiende con tan Solo dos leyes de Johanes Kepler. La primera de ellas dice que los planetas se mueven describiendo elipses, siendo el Sol uno de sus focos. La segunda dice que el radio vector, línea que une el Sol con el planeta, cubre en tiempos iguales distancias iguales. Explicando esto la desigual velocidad del movimiento de los planetas, siendo esta mayor cuando los planetas están más cercanos al Sol.

El problema que supone el analema es pues, que si hacemos una línea divisoria para una hora concreta, tan Solo coincidirá unos días al año, por lo que no existe exactitud en un reloj de Sol como reloj pero si que puede existir exactitud como calendario.

La naturaleza del Analema

La velocidad del Sol en la bóveda celeste

Si observamos el analema podemos ver que algunos puntos pasan y otros no llegan a la línea que determina la hora, es decir las 11:49 (línea deducida al unir el gnomon con el punto que pertenece a las 11:49 del equinoccio de otoño). Esta línea forma cierto ángulo con la línea Norte-Sur que pasa por el gnomon.

Nosotros cada día tomábamos las observaciones a las 11:49(tabal Nº1), entre observación y observación pasaban 24 horas y 0 minutos en el reloj mecánico, sin embargo no coinciden los puntos de las observaciones entre si, si no que el último punto en tomarse siempre recorre un ángulo diferente, mayor o menor al punto del día anterior, siendo cada día diferente. Consideramos que cada ángulo distinto indica una posición diferente, ya que si en el gnomon el ángulo es diferente, siendo pues la posición diferente, en el caso del Sol debe suceder lo mismo ya que son la posición es la misma pero con 180º de diferencia. Llegando nosotros, pues, a la conclusión de que no pasa un día sidéreo entre cada observación.

Al ver este fenómeno empezamos a pensar sobre los movimientos de la Tierra.

La Tierra está sujeta a dos movimientos visibles anualmente, el de rotación y el de traslación. El de rotación va de Este a Oeste y es bastante regular, por lo tanto no influye directamente en la formación del analema. Por otro lado el movimiento de traslación no es de velocidad constante, discontinuidad entendible tan Solo cuando conocemos la trayectoria del movimiento de traslación.

La Tierra se mueve alrededor del Sol formando una figura determinada, pero que no puede ser una circunferencia, ya que si fuese una circunferencia no existiría el analema, si no una recta, por lo tanto ha de ser una elipse. Decimos que ha de ser una elipse porque si fuese una circunferencia, en intervalos de tiempo iguales, la Tierra recorrería el mismo ángulo alrededor del Sol, siendo estas superficies las mismas. Estas superficies barridas están formadas por el ángulo recorrido y las líneas formadas por los puntos que determinan el arco, y su unión con el Sol.

Para entender este concepto de superficie pondremos el siguiente ejemplo. Tenemos una circunferencia de superficie determinada. Si a esta circunferencia la dividimos en partes iguales, todas ellas tendrán la misma superficie, ya que el ángulo recorrido es el mismo, y todos los puntos de este arco equidistan del centro. Sin embargo, si es una elipse no ocurriría esto.

Imaginémonos ahora una elipse, con sus dos focos, donde uno de ellos es el Sol, mientras que al otro lo ignoramos. Si hacemos esto habrá unos lugares de la elipse que están mas alejados del Sol que otros. Ahora hacemos recorrer a la Tierra una parte de la elipse en la zona alejada del Sol y otra en la parte cercana, y comparamos sus superficies, viendo así como estas no son iguales, ya que en el extremo mas cercano al Sol los radios son menores que en el extremo alejado.

Una vez entendido el concepto de la diferencia de superficies nos situaremos en la realidad, donde la tierra viaja con una velocidad angular no constante, ya que si esta velocidad fuese constante la superficie recorrida en intervalos de tiempo iguales no seria la misma.

 S = /2 · r2 

La S es la superficie formada por el recorrido, y es constante para tiempos iguales.  es el ángulo recorrido, y r es el radio que hay entre los puntos del ángulo y el sol.

 = 0 + t 

0 es el ángulo de donde parte el movimiento, en los ejemplos será 0.  es la velocidad angular del cuerpo y t es el tiempo que dura el movimiento.

S = /2 · r2 = t/2 ·r2 ; 2S/t =  r2  =  r2   = K/ r2 = K · 1/ r2

2S/t = K

Para entenderlo mejor pondremos un ejemplo analítico, donde los valores son aleatorios.

Lugar alejado del foco

S = /2 · r2 S = 20 u2 | 0 = 0 rad |  = ? | t = 30segs | r = 4 u

S = (0 + t)/2 · r2

 = 0 + t

S = (0 + t)/2 · r2 ; 20 = ( 0 + 30 )/2 · 16 ; 20 = 240 ;  = 20 / 240 ;  = 0, 0833 radianes / segundo

Velocidad =  · r ; V = 0,0833 · 4 ; V = 0, 333 u/segundo

Lugar cercano del foco

S = /2 · r2 S = 20 u2 | 0 = 0 rad |  = ? | t = 30segs | r = 3 u

S = (0 + t)/2 · r2

 = 0 + t

S = (0 + t)/2 · r2 ; 20 = ( 0 + 30 )/2 · 9 ; 20 = 135 ;  = 20 / 135 ;  = 0,1481 radianes / segundo

Velocidad lineal =  · r ; V = 0,1481 · 3 ; V = 0,44 u/segundo

Aplicando estas fórmulas a los valores que conciernen a la tierra, podemos observar lo mismo, que en intervalos de tiempo iguales, cubriendo la tierra superficies iguales, la velocidad angular varía en función del radio de giro. En este momento, incluso antes, uno se hace la pregunta, ¿ pero que tiene que ver todo esto con el analema?. Lo que sucede es que debido a esto el sol va mas rápido por la bóveda celeste cuando la tierra está mas cercana al sol, por lo tanto los días no son de la misma duración, por consiguiente el analema es esta especie de 8, y no una recta, ya que todas las sombras coincidirían con la división horaria.

En esta demostración se encuentran algunos “errores”, ya que es un error considerar los radios constantes, pero si el intervalo de tiempo es muy pequeño, los radios apenas varían pudiéndose considerar iguales, lo suficiente como para poder certificar la demostración.

Proyecciones de la eclíptica al Ecuador

Otro de los factores causantes del analema es la velocidad del sol. Para demostrar que el sol no se mueve a velocidad constante usaremos el siguiente ejemplo:

Imagine un observador sentado en el Polo Norte en una plataforma que gira una vez cada 23 horas 56 minutos 4 segundos. Él verá a las estrellas como fijas y al Sol moviéndose en un círculo. Al plano de este círculo se le llama "eclíptica" y está inclinado 23.45 grados en relación con el plano del Ecuador. El observador verá al Sol moviéndose desde el horizonte hasta 23.45 grados y después regresar al horizonte. Si el sol se moviera a velocidad constante a lo largo de su círculo, pero la sombra proyectada en el Polo Norte no se moverá a velocidad constante. Tabla Nº6 como podemos observar en la tabla las sombras van primero más despacio y después más rápido al llegar al final de los cuadrantes después desacelera de nuevo, mientras que el sol va a velocidad constante.

Demostración de la formula del reloj de Sol

El objetivo de la formula que se demostrará a continuación es el de calcular los ángulos de las líneas horarias del reloj de sol, dependiendo de la latitud en la que nos encontremos, para lo que primero necesitamos una determinada figura.

La figura consta de varios elementos. Para empezar tenemos la bóveda celeste, por donde circulan los astros, en este caso el sol. Otros elementos son el plano del horizonte y el plano de la eclíptica, además de las líneas Este - Oeste (E-O) y Norte - sur (N - S).

Lo primero que hemos de hacer es escoger un punto P de la trayectoria del sol, es decir, de la eclíptica, la cual es la trayectoria del sol a lo largo del año. Una vez tenemos el punto P lo proyectamos sobre el plano OES, el cual es el horizonte y a la vez el ecuador, ya que como nos encontramos en el polo, la latitud es 90º, donde el eje polar esta en cenit, y como el eje polar es perpendicular al ecuador, el plano del horizonte es a la vez el del ecuador. Una vez proyectado P conseguimos P', punto que forma parte de una circunferencia de proyección de la eclíptica en el horizonte. Cuando ya tenemos P' trazamos una recta perpendicular a la línea EO consiguiendo el punto A, el cual es necesario para formar 3 triángulos, el APP', el OAP' y el OAP, a través de los cuales sacamos la formula.

La recta OP es igual al radio de la eclíptica, ya que OP es un radio. La recta OA es igual a R por el sin de , donde  es el ángulo formado por AP y OP, además del interesado en proyectar sobre el horizonte con el nombre de H.

Si nos vamos a la proyección vemos que AP' es igual a AP por el coseno de l, donde l es el ángulo formado por AP y AP', que es lo mismo que R por el coseno de  por el coseno de l.

Una vez tenemos estas deducciones podemos saber cuanto vale H, ya que es el arco tangente de AO entre AP'.

Una vez tenemos la formula podemos calcular todos los ángulos horarios, ya que como sus parámetros, H variará de valor.

OP = R

OA = R · sin ; AP = R · cos 

AP' = AP · cos l = R · cos  · cos l

Tg H = OA / AP' = R · sin  / R · cos  · cos l = tg  / cos l

Tg  = tg H · cos l Donde  es el ángulo de las divisiones horarias, H es el ángulo horario (Mirar coordenadas ecuatoriales locales) y l es la latitud del lugar.

Mientras que para el reloj de sol horizontal es : Tg  = tg H · sin l. Ya que el reloj de sol horizontal tiene sus proyecciones en el plano horizontal, no en el vertical.

Variación de ángulos de las marcas

Hemos visto que a lo largo del año la posición del sol ha ido variando y que en diferentes días a la misma hora el sol estaba en diferente lugar. De ese problema surge esta parte del estudio.

Aquí lo que intentamos demostrar son los efectos de la variación de velocidad del sol. Como el sol acelera y desacelera en su paso por la bóveda, ya que al pasar los días la sombra no esta en el mismo lugar sino mas avanzada o atrasada respecto la línea correspondiente a una hora determinada.

Nosotros hemos cogido la línea del solsticio de invierno y a partir de ahí hemos medido los ángulos respecto de la misma. Para hacer esto hemos trazado líneas desde la base del gnomon hasta cada marca, pasándolas a una hoja din-A4, todo esto de la siguiente forma. Pegamos la hoja A4 en la base del gnomon con celo. Tras esto trazamos las líneas que unían al gnomon con todos los puntos. Fig 1 Después hemos trazado una línea O-A para conseguir un ángulo recto, y así simplificar cálculos. Hemos indicado la línea O-B la del solsticio de invierno a partir de la cual irán indicadas todas. Fig 2.

Después hemos indicado una tercera línea que ira variando dependiendo del punto del cual queramos saber el ángulo.

Así  = arcsinus AB/OB

Y  = arcsinus AX/OX donde X es cualquiera de los puntos excepto B

Cuando tenemos  y  podemos calcular que seria la diferencia de ángulos respecto al solsticio; en las observaciones de la parte Oeste (P,Q,R,V,W, X) y en las de la parte Este (K,M,H,G)

A partir de estos ángulos podemos calcular la velocidad a la que el sol circula por la bóveda celeste.

Con estas observaciones y la ayuda de algún texto hemos deducido los orígenes del analema, los cuales son bastante complejos.

Conclusión

A lo largo de estos tres meses de observaciones hemos llegado a conocer el movimiento del Sol en la bóveda celeste. Dicho movimiento no es tan simple como parece.

A partir de las sombras podemos observar varios tipos de movimientos. El principal y por todos conocido es el de Este a Oeste, diario y continuo, almenos en nuestra latitud; provocado por el movimiento de rotación de la tierra.

El otro es el de Norte a Sur, de carácter semestral, es debido a la oblicuidad del eje de rotación de la tierra, en respecto a la eclíptica(el plano que define el sol en su movimiento).

Cuando el plano perpendicular al ecuador que pasa por el eje de la tierra contiene al Sol, nos encontramos en un solsticio, si los rayos inciden con mayor perpendicularidad en el hemisferio norte nos encontraremos en verano en dicho hemisferio e invierno en el sur. Si inciden con mayor perpendicularidad en el hemisferio sur entonces será verano allí e invierno en el norte. Los equinoccios se producen en los puntos intermedios del recorrido, donde el sol da con la misma oblicuidad en el hemisferio norte que en el sur.

Ahora podemos hacernos una idea del porqué de las estaciones y del origen de esta cantidad de sombras. Pero eso no es todo. La tierra no orbita formando un circunferencia perfecta sino que describe una elipse; esto sumado al ángulo de oblicuidad, forma el analema, objeto fundamental a la hora del estudio de un reloj de Sol.

Una vez conocidos todos los movimientos de las sombras, podemos explicar para que sirve un reloj de Sol.

Un reloj de Sol esta formado por un plano y un estilete. El estilete sirve para proyectar su sombra sobre el plano, y esta alineado con la línea que une el centro de la tierra con la estrella polar, por lo que varia en cada latitud.

Cuando los rayos solares inciden sobre el estilete este proyecta su sombra sobre el plano en una determinada franja horaria, con el conocimiento del reloj analematico, echando un vistazo al reloj sabias no solo la hora sino además el mes, incluso la semana en que te encontrabas.

Pero este reloj-calendario no es tan preciso como la sociedad actual demanda, este fue diseñado en una época en la que el concepto de minuto no era conocido mas que por los sabios y eruditos del momento.

Por lo tanto un reloj de sol no es más ni menos que la proyección del recorrido del sol a lo largo de un año y q no sirve más que para orientarte sobre la hora que puede ser. Siempre que se tenga en cuenta que hoy en día la hora oficial y la hora solar no son las mismas sino que va 2horas adelantada en verano y 1hora adelantada en invierno.

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