CONJUNTOS Y APLICACIONES

• CONCEPTOS BÁSICOS:

DEFINICIÓN: Conjunto es una colección de objetos a los que llamo elementos.

DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos, entonces se dice que
es un subconjunto de
, y se escribe “
”, si para todo elemento de
se tiene que dicho elemento pertenece a
. Matematicamente :

OBSERVACIÓN: Si
,
y
son conjuntos y
,
; entonces se verifica que

DEFINICIÓN: Se dice que dos conjuntos
y
son iguales si
y
.

OBSERVACIÓN: Si
esta incluido en
, pero no es igual a
, lo escribiremos

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto y
. Se define el complementario
en
, y lo representaremos como
al conjunto :

OBSERVACIÓN:

DEFINICIÓN: Se define el conjunto vacio como el complementario de
en
, don de
es un conjunto. Se representa por :

OBSERVACIÓN:

es un subconjunto de cualquier conjunto

es único. Es el mismo para todo conjunto

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto. Entonces se define el conjuntos partes de
, es representa por :
, como el conjunto formado por todos los posibles subconjuntos de
. Hay como mínimo dos,
y

OBSERVACIÓN:

es el número de elementos de

es la cantidad de algo.

DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos. Se define

El producto cartesiano de
y
, y se representa como
, al conjunto :

La intersección de
y
, que se representa como
, al conjunto

La unión de
y
, que se escribe como
, al conjunto:

OBSERVACIÓN:

PROPIEDADES: Sea
un conjunto y
,
y
subconjuntos de
. Se verifica que:

• CORRESPONDENCIAS Y APLICACIONES:

DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos, entonces se dice que
es un grafo de
en
si
está incluido en
, y si
. Se dice entonces que
es una correspondencia de
en
, siendo
el “conjunto de salida” y
el “conjunto de llegada” Podemos expresar el grafo como un conjunto de puntos de
. Nos indica como se relacionan los conjuntos
y
mediante la correspondencia.

DEFINICIÓN: Sea
una correspondencia. Se llama conjunto de definición de
, y se representa por
, al conjunto
. Si además
y
, entonces:

EJEMPLO:

,

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto; entonces una relación binaria en
es una correspondencia de
en

OBSERVACIÓN: Dada la relación binaria
, entonces se escribe:

DEFINICIÓN: Una aplicación o función del conjunto
en el conjunto
es una correspondencia

OBSERVACIÓN: En el caso de aplicaciones se escribe:

DEFINICIÓN: Sea
una aplicación; entonces se dice que:

Es inyectiva si a elementos distintos, imágenes distintas:

Es suprayectiva si todo elemento de
es imagen de uno de
:

Es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva a la vez.

DEFINICIÓN: Sea
una aplicación; entonces se define la función inversa de
, y se representada por
, como la aplicación :

OBSERVACIÓN: Claramente
pertenece a las funciones

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto; entonces se define la aplicación identidad, y se representa por
, como la aplicación:

TEOREMA(de la biyección): Si
es biyectiva, existe una función
tal que:

Es decir :

Demostración:

biyectiva

¿
?

¿
?

¿
biyectiva?
¿
inyectiva?, ¿
suprayectiva?

¿
inyectiva?
¿
?

Supongamos que

Luego es inyectiva

¿
suprayectiva?
¿
?

EJEMPLO: Comprobar que la siguiente aplicación es biyectiva

¿Es inyectiva?

Sean
,

¿
?
¿
?
¿
? Falso, luego es inyectiva

¿Es suprayectiva?
¿
?

Luego es suprayectiva

Por tanto es biyectiva

• RELACIONES DE EQUIVALENCIA:

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto y
una relación binaria tal que:

Entonces a
se le llama RELACIÓN DE EQUIVALENCIA Además se llama CLASE DE EQUIVALENCIA del elemento
, y se representa por
o
al conjunto :

Al elemento
se le llama REPRESENTANTE DE LA CLASE. Se puede intercambiar por cualquier elemento de
(
). Asimismo se llama CONJUNTO COCIENTE, y se representa por
(
modificado por la relación
), al conjunto de las clases de equivalencia

EJEMPLO:

Sean
,
, y
. ¿
es relación de equivalencia?

Sea
¿
?

Si, pues
luego

Sean
¿
?

Si, pues
luego

Sean
¿
?

Si, pues
;
, luego:

luego

Por cumplirse las tres condiciones,
es relación de equivalencia. Su conjunto cociente es:

Obsérvese que no se construya la clase de equivalencia del elemento
, por coincidir con la del cero.

A esta relación de equivalencia en particular se le llama relación de congruencia modulo
. Se suele escribir :

En el caso particular de
:

PROPOSICIÓN: Sea
una relación de equivalencia en
. Entonces:

, pues

Si
, entonces
, pues si

Si
, entonces
:

Sea

Sea

Luego

Si
, entonces
:

Supongamos
, lo que es falso

DEFINICIÓN: Sean
y
dos conjuntos, y
una aplicación. Entonces se define la RELACIÓN DE EQUIVALENCIA INDUCIDA POR UNA APLICACIÓN como la siguiente relación binaria:

Por tanto su conjunto cociente viene dado por:

• DESCRIPCIÓN CANÓNICA DE UNA APLICACIÓN:

TEOREMA: Sean dos conjuntos
y
, y una aplicación cualquiera
. Entonces
se puede realizar mediante la composición de tres aplicaciones:

Vamos a comprobar que las tres son aplicaciones, y en su caso las características particulares:

Hace corresponder a cada elemento su clase de equivalencia.

es aplicación, pues
y

es suprayectiva:

Sea
¿
?

Hace corresponder a cada clase de equivalencia su imagen.

es aplicación, pues

es inyectiva:

Sean
¿
?
¿
? Si, pues

es suprayectiva:

Sean
¿
?

es biyectiva

es claramente una aplicación inyectiva.

Sea
,
¿
?

Luego la descomposición canónica es valida.

EJEMPLO:

Por tanto

• ALGEBRA DE BOOLE:

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto. Entonces se llama operación binaria interna(“ley de composición interna”) a toda aplicación de
en

DEFINICIÓN: Un álgebra de Boole es una terna
, donde
y “
” y “
” son operaciones binarias en
si se verifica:

(Conmutatividad)

(Asociatividad)

(Distributividad)

(Idempotencia)

(
)

(
)

(
es el complementario de
)

(Leyes de Morgan

(Involución)

• RELACIONES DE ORDEN:

DEFINICIÓN: Sea
, y
una relación binaria en
. Entonces
se llama RELACIÓN DE PREORDEN si se verifica que:

DEFINICIÓN: Sea
, y
una relación de preorden. Entonces
se llama RELACIÓN DE ORDEN si además verifica que:

OBSERVACIÓN:

Si
es una relación de orden, se suele escribir
o

Al par
se le llama conjunto ordenado.

DEFINICIÓN: Sea
, y
una relación de orden. Entonces
se dice que es DE ORDEN TOTAL si se verifica que:

En tal caso al par
se la llama conjunto totalmente ordenado.

Analogamente, si
no es de orden total, se dice que es DE ORDEN PARCIAL, y al par
se le llama conjunto parcialmente ordenado.

EJEMPLO:

Sea
y
¿Es
de orden? ¿Es
sde orden total?

Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:

¿
?. Si, pues
, y
, luego

¿
?
¿
?

Luego

Por tanto
es de preorden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿
?

Por tanto
es de orden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿
?

,
,

Por tanto
es de orden parcial

EJEMPLO:

Sea
y
¿Es
de orden? ¿Es
de orden total?

Veamos si cumple las propiedades para ser de preorden:

¿
?. Si, pues
, y
, luego

¿
?
¿
?

Luego

Por tanto
es de preorden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿
?

Luego

Por tanto
es de orden

Comprobamos ahora si es de orden total

¿
?

Por tanto
es de orden total

• ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE UN CONJUNTO ORDENADO:

DEFINICIÓN: Sea
un conjunto ordenado, y
. Entonces se dice que:

es un máximo de
si
y

es un mínimo de
si
y

es una cota superior de
si
(Se dice que
está acotado superiormente)

Análogo para cotas inferiores

El supremo de
, si existe, es el mínimo del conjunto de las cotas superiores de

Análogo para ínfimo.

es minimal de
si
y

Análogo para maximal.

OBSERVACIÓN:

Si existe máximo, entonces es único. Análogo para el mínimo.

Si existe máximo, entonces existe un único maximal y coincide con el máximo. Análogo para el mínimo y minimal.

significa que tan solo existe uno.

Es decir, aRb si a es el resto de dividir b entre m

Todo elemento tiene imagen, y la imagen de un elemento es única