Capitulo 1: Conjuntos. Pertenencia. Extensión y comprensión. Cardinal. Referencial. Conjunto de Números Naturales

CONJUNTOS

INTRODUCCIÓN AL CONCEPTO

La palabra CONJUNTO nos remite, intuitivamente a una agrupación o colección de objetos. Esta idea nos sirve para introducirnos en el concepto de conjuntos que, en matemática es un término primitivo. Es decir no lo definimos, no contestamos a la pregunta ¿qué es?. Sin embargo para que una colección de objetos sea un conjunto, deberá cumplir algunas condiciones:

UN CONJUNTO QUEDA DETERMINADO POR SUS ELEMENTOS QUE PERTENECEN A ÉL..

En símbolos lo escribimos así

Le ponemos como nombre una letra imprenta mayúscula y lo leemos: A es el conjunto formado por m, t y h

Diremos que h pertenece a A,

En símbolos

m pertenece a A, en símbolos:...................................

t pertenece a A, en símbolos....................................

k no pertenece a A,

en símbolos:

8 no pertenece a A, en símbolos...................

g no pertenece a A, en símbolos...................

2) PARA QUE UN CONJUNTO EXISTA ES NECESARIO QUE SUS ELEMENTOS ESTÉN UNÍVOCAMENTE DEFINIDOS, (EXISTEN Y SON ÚNICOS)

Así, el conjuntos formados por "las letras del nombre de mi abuelo" no es un conjunto para la matemática, pues sus elementos varían según quien los defina ( todos los abuelos no tienen el mismo nombre)

Los elementos no están unívocamente definidos, el conjunto no existe.

EXISTE EL CONJUNTO VACIO

Esta característica aleja el concepto de conjunto de la idea intuitiva

¿ Cómo pensar la existencia de un conjunto vacío?

Hemos dicho que para que un conjunto queda determinado si sus elementos están unívocamente definidos. Suponga que se le pide formar el conjunto de las ranas que maúlla. Ud. responderá "ninguna rana maúlla". El conjunto es VACÍO no hay ranas que cumplan esa condición, los elementos están bien definidos pero no hay ninguno.

El conjunto vacío es único y se representa simbólicamente:

ð

Obsérvese la diferencia con el punto 2

UN CONJUNTO ESTÁ EXPRESADO POR EXTENSIÓN CUANDO SE NOMBRAN TODOS SUS ELEMENTOS.

Así, el conjunto formado por las vocales de la palabra "tío", que llamaremos B, se escribe en símbolos:

EJERCICIO:

Expresar por extensión:

• A1 es el conjunto formado por los colores primarios

• A2 es el conjunto formado por las letras de la palabra MAMÁ

• A3 es el conjunto formado por los ríos que forman la Mesopotamia Argentina

• A4 es el conjunto formado por las provincias que forman la Mesopotamia Argentina

• A5 es el conjunto formado por los colores de la bandera argentina

• A6 es el conjunto formado por los nombres de los dos gases más importantes de la atmósfera

5) LOS CONJUNTOS SE REPRESENTAN GRAFICAMENTE MEDIANTE DIAGRAMAS DE VENN

Se trata de curvas cerradas . Dentro de la región interior se colocan los elementos, representamos el conjunto A2 del ejercicio anterior

A2

Los conjuntos se expresan por COMPRENSION utilizando una expresión proposicional que caracteriza a los elementos

Antes de analizar esta propiedad, definiremos algunos términos:

6.1.- Se llama PROPOSICIÓN a toda oración aseverativa de la que podemos decir si es verdadera o falsa

La Luna gira alrededor de la Tierra	Proposición VERDADERA
La Tierra es el quinto planeta del Sistema Solar	Proposición FALSA
¿ Qué hora es?	NO es una proposición
¡ Salga de aquí!	NO es una proposición

6.2.- Considere la siguiente oración incompleta:

Considera la siguiente oración incompleta

"....... es una vocal"

¿Cuántas proposiciones verdaderas podemos obtener de esa oración incompleta?........

Escriba por extensión el conjunto, que llamaremos D, formado por todas las letras que, al reemplazar los puntos suspensivos hacen una proposición verdadera.

A = {a,

En matemática

• a las oraciones incompletas se las llama expresiones proposicionales

• en lugar de puntos suspensivos se utilizan otras letras que se llaman variables ( x,y,z )

• sea que " ....... es una vocal"

en leguaje matemático se escribe

"x es una vocal"

Recordar: leemos equis pero pensamos en los puntos suspensivos. Aquí la equis es una variable

6.3.- Utilizamos expresiones proposicionales para definir conjuntos por COMPRENSIÓN.

Relee el primer ejemplo de las vocales, que has escrito por extensión, por comprensión:

• se escribe

• se lee: D es el conjunto formado por todos los x tales que x es una vocal

• significa: que es el conjunto formado por todos los valores que transforman a la expresión proposicional " x es una vocal", en una proposición verdadera

EJERCICIO

Expresar por extensión los siguientes conjuntos:

A7 = {x / es una vocal de la palabrea "ambiguo"}

A8 = { x / x es una vocal de la palabra "Ana"}

CARDINAL DE UN CONJUNTO

La cantidad de elementos de un conjunto puede ser 0, el conjunto vacío, 1 como en el conjunto A8; 2 como en el conjunto A2, etc.

El número de elementos de un conjunto se llama CARDINAL:

• El cardinal del conjunto vacío es cero

En símbolos:

Card (ð) = 0

• El cardinal del conjunto A8

En símbolos:

Card (A8) = 1

• El cardinal del conjunto A2

En símbolos:

Card (A2) = 2

EJERCICIO: Determine el cardinal de todos los conjuntos de esta sección. Escríbalos en lenguaje simbólico

CONJUNTO DE NUMEROS NATURALES

El conjunto de todos los cardinales se denomina CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES.

Notación:

Para referirnos al conjunto de Números Naturales con el cero, escribiremos N0 y para referirnos al conjunto de Números Naturales sin el cero escribiremos: N

El conjunto de NUMEROS NATURALES:

• Es un conjunto ordenado según la relación de menor, y tiene primer elemento

• Es un conjunto infinito

• No es denso, porque entre dos elementos cualesquiera existe un número finito de números naturales

Podemos representar el conjunto de números Naturales en una recta numérica:

La flecha indica el orden creciente, complete con algunos de los naturales la recta, transportando

consecutivamente el segmento unidad

El orden de los números naturales se representa en la recta numérica:

Diremos, por ejemplo que

• 0 es menor que 3, en símbolos:

• 8 es mayor que 7:

Estas dos proposiciones en lenguaje simbólico se denominan inecuaciones

SUBCONJUNTOS DE N

Determinemos el conjunto H de los números Naturales menores o iguales que 3

Escribimos en lenguaje simbólico, por comprensión

Expresión que leemos H es el conjunto formado por todos los equis tales que equis es menor o igual que 3.

La expresión proposicional

Se denomina INECUACIÓN,

y se lee equis es menor o igual que 3

Los elementos del conjuntos H son los números que transforman la inecuación en una desigualdad verdadera.

El conjunto H por extensión es:

Expresaremos por comprensión y extensión el conjunto de números naturales menores o iguales que 3, pero tomando como referencia el conjunto de Números Naturales con el cero:

Los conjuntos H y F son subconjuntos del conjunto de Números Naturales. Obsérvese que en ambos casos la desigualdades utilizada es la misma, pero los conjuntos H y F son distintos, porque se ha variado el conjunto referencial

Expresaremos por comprensión y por extensión el conjunto de números naturales mayores o iguales que 3 y menores o iguales que 7

Se llama CONJUNTO REFERENCIAL a un conjunto que se determina previamente o se da por supuesto dentro de un universo del discurso

El conjunto referencial se identifica con las letras E o U y se lo representa en los diagramas de Venn mediante un cuadrado

EJERCICIOS

Exprese por extensión los siguientes conjuntos

2) Expresar por comprensión

3) Dado el referencial E

Se pide:

Expresar E por extensión

Expresar por extensión los siguientes conjuntos

4) Dado el siguiente diagrama de Venn

Se pide:

- expresar por extensión:

El conjunto E=

El conjunto A=

El conjunto B=

El conjunto M1 formado por los elementos que pertenezcan a A o que pertenezcan a B

El conjunto M2 formado por los elementos de A que no pertenecen a B

El conjunto M3 formado por los elementos de B que no pertenecen a A

El conjunto M4 formado por los elementos que pertenecen a A y también a B

El conjunto M5 formado por los elementos de E que no pertenecen a A ni a B

- determinar el cardinal de los conjuntos anteriores

- representar los conjuntos en sendos diagramas

5) Diseñar un ejercicio similar al anterior

Capítulo 2: Operaciones con conjuntos. Inclusión

OPERACIONES CON CONJUNTOS

1.- PROPOSICIONES COMPUESTAS:

En el apartado anterior hemos analizado la verdad o falsedad de proposiciones simples. Es posible también formar proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos o e y

Veamos algunos ejemplos:

Entre las condiciones para participar en un concurso literario dice: " Podrán participar los alumnos de la escuela o los familiares de los alumnos"

Inés es tía de Pedro y se ha anotado en el concurso.

María es alumna de 3er. Año y se ha anotado.

Juan es alumno de 1er año y hermano de Sebastián de 3er año, por lo tanto también participa.

En resumen, basta con que se cumpla una de las condiciones del enunciado, pueden inscribirse.

Es decir una proposición compuesta con el conectivo o, es verdadera si alguna de las proposiciones lo es.

Definimos el conectivo con una tabla de verdad

Dadas dos proposiciones p y q y la proposición compuesta p o q, entonces:

p	q	p v q
V	V	V
V	F	V
F	V	V
F	F	F

En cambio, en las condiciones para jugar fútbol en el club de la ciudad dice: "Para ser miembro del equipo el postulante debe ser varón y mayor de 18 años"

Analía tiene 19 años pero como es mujer no puede participar

José tiene 17 años, no puede participar porque es menor

Pedro tiene 18 y como es varón ya se ha inscripto.

En resumen, el enunciado que contiene el conectivo y, exige que se cumplan las dos condiciones, es decir, que sean verdaderas ambas proposiciones.

Definimos mediante una tabla de verdad el conectivo y

Dadas dos proposiciones p, q y la proposición compuesta p y q, entonces:

p	q	p y q
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

2.- Expresiones proposicionales compuestas

Sabemos que una expresión proposicional se transforma en proposición cuando se reemplaza la variable por un valor. Por lo tanto, una expresión proposicional compuesta:

• con el conectivo o será verdadera cuando alguna de las proposiciones lo sea.

• Con el conectivo y, será verdadera sólo cuando todas las proposiciones simples lo sean

3.- Definiremos las operaciones entre conjuntos utilizando las expresiones proposicionales compuestas:

3.1.- UNIÓN DE CONJUNTOS:

Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto unión a otro conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o que pertenecen a B

En símbolos:

Analice el conjunto M1 del ejercicio 4 del capítulo anterior y escríbalo como unión

3.2.- INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS

Dados dos conjuntos A y B en un referencial E, se denomina conjunto intersección a otro conjunto formados por los elementos que pertenecen a A y a B

En símbolos:

¿Cuál de los conjuntos del ejercicio 4 del capítulo anterior corresponde a la intersección de conjuntos?

3.3.- DIFERENCIA DE CONJUNTOS

3.4.- COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

Ac se lee complemento de A

EJERCICIO:

Sean :

Hallar los siguientes conjuntos:

Capítulo 3: Operaciones en el conjunto de Números Naturales

OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS NATURALES

1.-SUMA

=14

Los términos que intervienen en la operación suma se llaman sumandos. La palabra suma se utiliza para referirse a la operación o al resultado

Propiedades de la suma:

1.- La suma es una ley de composición interna, es decir , siempre tiene resultado

2.- La suma es asociativa, es decir , que el resultado no varía si se realizan sumas parciales

3.- La suma es conmutativa, es decir el orden de los sumandos no altera la suma

4.- El cero es un elemento neutro para la suma

			Asociatividad		Conmutatividad		Elemento Neutro
a	b	c	(a+b)+c = a+(b+c)		a + b = b+a		a + 0 = a
2	3	5
6	1	8
9	7	4

2.- MULTIPLICACIÓN

La multiplicación se construye a partir de la suma, es una suma particular donde todos los sumandos son iguales

3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = (4)(3)

a+a+a=3a

Los términos de una multiplicación se llaman FACTORES, el resultado de la multiplicación se llama PRODUCTO.

Indique cuáles son los factores y cuál el producto en:

6.5.7.2=

Propiedades del producto

Complete el cuadro

			Asociatividad		Conmutatividad		Elemento Neutro
a	b	c	(ab)c = a(bc)		ab = ba		a.1 = a
2	3	5
6	1	8
9	7	4

EJERCICIOS

COMBINANDO OPERACIONES (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo)

A) En el juego siguiente Ud. deberá formar palabras utilizando las letras de la palabra guía y luego colocar el puntaje correspondiente. La letra L en los casilleros significa letra, la letra P significa palabra. Por ejemplo, cuando una letra de la palabra que Ud. escribió queda en el casillero que dice 2L, deberá duplicar el valor de la letra. Los valores de éstas figuran en la primera fila entre paréntesis. Puede repetir las letras de la primera fila pero no puede usar otras

	A(2)	M(5)	I(3)	G(7)	O(4)	S(6)	PUNTAJE
1	2L			3L
2		2P	4L
3					3P
4				3L		3P

GANA EL QUE FORMA CUATRO PALABRAS Y OBTIENE MAYOR PUNTAJE

Después que un grupo de chicos jugó con el tablero anterior encontré este escrito en un papel:

2.6+3+7++3.2+5+4+6=	¿Puede calcular el puntaje que hizo ese jugador? ¿Si coloca las palabras en otro orden, se puede obtener más puntaje ?
(7+3+4.5+3+4)2=
magias
omiso

3.-LA DIFERENCIA

MINUENDO - SUSTRAENDO = DIFERENCIA O RESTA

PROPIEDADES DE LA DIFERENCIA

NO es conmutativa PORQUE

no es igual a 2-3

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA DE LA MULTIPLICACIÓN RESPECTO A LA DIFERENCIA

3( 6 - 2) = 3.6 - 3.2

3.4 = 18 - 6

12 = 12

4.- EL COCIENTE

DIVIDENDO

COCIENTE

RESTO

En la división se verifica que:

DIVIDENDO = DIVISOR . COCIENTE + RESTO

IGUALDADES. ECUACIONES . DESIGUALDADES. INECUACIONES

1.- Toda ecuación está compuesta por dos miembros separados por el signo igual

Los miembros de una igualdad pueden conmutarse

PRIMER MIEMBRO = SEGUNDO MIEMBRO

EJEMPLO

3 + 7 = 10 o bien

10 = 3+7

2.- Se llama IDENTIDAD a toda igualdad en la que figuran incógnitas y que es verdadera para cualquier valor de las variables

EJEMPLO:

a + b = b + c

3.- Se llama ECUACIÓN a toda igualdad en la que figuran variables y que es verdadera para ciertos valores de la variable

EJEMPLO:

3x = 15

x = 5

RESOLVER una ecuación significa hallar los valores de la variable que la hacen verdadera

DESPEJAR la variable significa trasponer las constantes a uno de los miembros de modo que la variable quede aislada en el otro. La transposición de términos se realiza utilizando la propiedad de los elementos neutros de cada operación y respetando el orden de las operaciones.

EJEMPLOS

2x + 4 = 24 2x + 4 - 4 = 24 - 4 2x = 24 - 4 (2x) /2 = 20/2 x = 20/2 x = 10	2(x + 4) = 24 2(x + 4)]/2 = 24/2 x = 24/2 x + 4 = 12 x + 4 - 4 = 12 - 4 x = 12 - 4 x= 8
En el cuadro anterior se ha remarcado los pasos fundamentales. Los pasos intermedios pueden hacerse mentalmente

4.- Una desigualdad es una expresión de dos miembros relacionados por un signo de menor o mayor

5.- Una inecuación es una desigualdad en la que figuran incógnitas

EJERCICIOS:

Resolver los siguientes ejercicios combinando operaciones:

Resolver las siguientes ecuaciones:

POTENCIACION

BASE Exponente=POTENCIA

43=4.4.4=64

41=4

La potenciación es un caso particular de producto: todos los factores son iguales

En general: an=a.a....a

n veces

La base es el número que se multiplica

El exponente indica las veces que se multiplica la base

an se lee a elevado a la ene

43 se lee 4 a la tercera

PROPIEDADES DE LA POTENCIACIÓN

• NO ES CONMUTATIVA PORQUE 34 NO ES IGUAL A 43

• Es didtributiva respecto a la producto y al cociente

Ejemplo: (3.2)3=33.32

• NO ES DISTRIBUTIVA respecto a la suma y a la diferencia

(3+2)3=53=125 que es distinto a 33+23=9+8=17

PRODUCTO DE POTENCIAS DE IGUAL BASE:

El producto de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la suma de los exponentes de las potencias dadas

En símbolos:

an.am= am+n

EJEMPLO:

23.24=23+4=27

COCIENTE DE POTENCIAS DE IGUAL BASE

El cociente de potencias de igual base es otra potencia de la misma base cuyo exponente es igual a la diferencia entre los exponentes de las potencias dadas

En símbolos:

an:am= am-n

EJEMPLO:

25:23=25-3=22

EXPONENTE CERO

El exponente cero aparece cuando dividimos dos potencias iguales:

EJEMPLO:

24:24=24-4=20

Pero, en este caso estamos dividiendo un número por sí mismo

24:24=1

Luego:

20=1

CONVENCIÓN: Todo número elevado a la cero da por resultado 1

POTENCIA DE POTENCIA

La potencia de otra potencia es una potencia de la misma base cuyo exponente es igual al producto de los exponentes dados

(an)m= am.n

(24)3= (2)12

EJERCICIOS

Calcule las siguientes potencias

B) Aplicando las propiedades de potencias de igual base resuelva:

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN FACTORES PRIMOS

Llamaremos número primo a aquel número que es divisible por sí mismo y por la unidad.

Los números que no son primos se llaman compuestos

Todo número natural puede escribirse como producto de factores primos, diremos que se ha factoreado.

Ejemplo:

	divisores
180	2
90	2
45	3
15	3
5	5
1

Luego :

180 = 22325

MULTIPLO COMÚN MINIMO (m.c.m): Dados dos o más números factoreados se llama múltiplo común mínimo al producto de los factores comunes y no comunes con su mayor exponente

DIVISOR COMÚN MÁXIMO (d.cm): Dados dos o más números factoreados se llama divisor común máximo al producto de los factores comunes con su menor exponente.

Ejemplo:

Sea hallar el m.c.m y d.c.m de 180, 150 y 60

Descomponiendo esos números en sus factores primos resulta:

180 = 22325

300 = 22.3.52

120 = 23.3.5

Luego:

mcm (180,150,60 )= 23.32.52 = 600

dcm (180,150,120) = 22.3.5 = 60

RADICACIÓN

La radicación es una operación inversa a la potenciación

En general:

Resolviendo ecuaciones:

1) Calcule las siguientes raíces:

PROPIEDADES DE LA RADICACIÓN

• No es conmutativa

• Es distributiva respecto al producto y al cociente

• NO es distributiva ni asociativa respecto de la suma y de la resta

EJERCICIO

Resuelva las siguientes ecuaciones

7.- LOGARITMACIÓN

LOGARITMOS

Si pretendemos resolver la ecuación

nos encontramos conque no existe ninguna operación, de las que conocemos, que nos permita despejar la incógnita. Ello hace necesario la definición de una nueva operación, la LOGARITMACIÓN

Introducción a la definición

En el ejemplo anterior, el valor de equis es 4. Es decir, que la nueva operación determina exponentes

El logaritmo de 81 en base 3 es el exponente 4, es decir, 4 es el número al que hay que elevar la base 3 para obtener 81

Escribimos:

Leemos: logaritmo en base 3 de 81 es igual a 4

Es decir: EL LOGARITMO ES UN EXPONENTE

DEFINICIÓN

Ejemplo:

EJERCICIO:

Calcular los siguientes logaritmos utilizando la definición

Capítulo 4: El lenguaje matemático

En los capítulos anteriores habrá observado que, en varias ocasiones hemos agregado la leyenda "se lee". Esto es sumamente importante para aprender a leer el lenguaje simbólico que se utiliza.

Este lenguaje es escrito y es universal cada uno lo oraliza en lenguaje coloquial en su lengua materna, así el símbolo 4 se lee cuatro en español, four en inglés, etc.

Pero con ese signo estamos definiendo el cardinal de un conjunto.

El lenguaje simbólico es específico, no debe ser ambiguo ni contradictorio, pero al leerlo no debemos perder de vista la estructura que describe

Por ejemplo:

Si escribimos x + 5 = 8,

Podemos leer: equis más cinco es igual a 8

Y esto significa: Busque el número al que sumándole cinco dé por resultado 8

Es en función de este significado que escribimos x = 3

Nos plantearemos ahora el problema de traducir del lenguaje coloquial al lenguaje simbólico:

Ejemplo:

¿Cuál es el número cuyo doble más 1 es igual a 9? Es obvio que la respuesta se puede calcular mentalmente en este caso, lo que facilitará el análisis:

¿Qué buscamos? Un número, esa es la incógnita, x

El doble del número 2x

El doble del número más 1 2x +1

El doble del número más 1 es igual a 9 2x + 1 = 9

Para encontrar el número buscado resolvemos la ecuación.

LENGUAJE COLOQUIAL Y LENGUAJE SIMBÓLICO

Compete el cuadro

El doble de un número
El triple de un número
El siguiente de un número
El anterior de un número
	3x+2
La raíz cúbica de
El cuadrado del siguiente número
	X5
El cubo de la suma entre un número y tres
El cubo de un número más tres
El duplo de un número más su triplo
La mitad de un número más seis
	2x3
La mitad de la suma entre un número y ocho
El cubo de la suma de los números

Capítulo 5: Conjunto de Números enteros

1.- Necesidad de su creación

Ecuaciones del tipo x+5=3 no tienen solución en el conjunto de Números Naturales

Esto generó la necesidad de crear un conjunto de números que diera solución a la operaciones similares al 3-5.

El conjunto Z de números enteros está formado por los números positivos, los negativos y el cero.

	-3	-2	-1	0	+1	+2	+3	+4

Llamaremos

2.- Módulo de un entero (valor absoluto)

El módulo de un número es la distancia al cero .

La distancia es un número positivo

3.- NUMEROS OPUESTOS

Dos enteros distintos son opuestos si tienen el mismo módulo

La expresión

-x se lee el opuesto de un número

Sabemos que: el opuesto de +2 es -2; el opuesto de -6 es +6, aplicando la expresión que define el opuesto en lenguaje simbólico resulta:

EJERCICIO: Expresar por extensión

4.- ORDEN EN EL CONJUNTO DE NUMEROS ENTEROS

En la recta numérica, (ver página anterior) la flecha indica el orden creciente.

Ese orden debe mantenerse al agregar los números negativos

Diremos que:

• Dados dos números positivos, es mayor el de mayor valor positivo

• Dados dos números negativos es mayor el de menor valor absoluto

• Todo número positivo es mayor que cero

• Todo número negativo es menor que cero

Así:

EJERCICIO 2

Coloque el signo que corresponda: mayor, menor o igual

5.-OPERACIONES EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

Dada la correspondencia entre los números naturales y los números positivos al definir las operaciones no pueden contradecirse las definiciones ni las propiedades de ellas sino que deben ampliarse

A.- SUMA ALGEBRAICA:

1.1.-Para definir la suma debemos tener en cuenta que se debe verificar la igualdad

De esta expresión los matemáticos acuerdan una convención

1.2.- Resta o diferencia

Recordemos que:

Resolvemos:

EJERCICIO 3

1.- Realice Las Siguientes Sumas Algebraicas

2.- Resuelva Las Siguientes Ecuaciones

3.- Represente en la recta numérica los siguientes conjuntos

B.- PRODUCTO DE NUMEROS ENTEROS

Por la correspondencia entre los números naturales y los positivos sabemos que

Multiplicar dos por cinco significa sumar dos veces el cinco. Teniendo en cuenta esta definición de producto y que la multiplicación es conmutativa podemos calcular

Pero nos falta encontrar un significado para el producto de dos números negativos:

Sobre la base de estas deducciones concluímos:

EJERCICIO 4

1.- Resuelva los siguientes productos

2.- Resuelva las siguientes ecuaciones

3.- Al trabajar con números naturales utilizamos un juego para practicar las operaciones.

Use las mismas reglas en cada tabla

TABLA 1 (Idea de Ferragina, Fisichella y Rey Lorenzo)

L -2	O 4	Q 8	U 5	I -3	T 1	A 2	S -1	PUNTAJE
	10L			-4L
		-2L			-2L
4P				-3L			-L
(-1)P		9L			-3L		2P

ACTIVIDADES PARA REALIZAR CON LA TABLA

• Indique qué puntaje le corresponde a la palabra ALQUILAS, en cada fila Escriba el desarrollo del cada cálculo.

• En qué orden colocaría las siguientes palabras para obtener mayor puntaje total: AQUILATO, SOLITAS, SOLISTA, ILUSOS, ALISTA, SALTITO, ATLAS, TALLOS

• Escriba el puntaje como ejercicio que combina operaciones de suma y producto de enteros y compare resultados.

C.- COCIENTE DE NÚMEROS ENTEROS

La división es la operación inversa a la multiplicación. Ud. sabe que, por ejemplo, 14 dividido 7 es 2 porque 2 por 7 es igual a catorce. Entonces está en condiciones de realizar las siguientes divisiones

Enuncie la regla de los signos

El cociente de dos números enteros del mismo signo es......................

El cociente de dos números enteros de distinto signo es......................

EJERCICIO 5

1.- Calcular

2.- Hallar x

APLICACIONES

1) FACTOR COMÚN

El cálculo del factor común es la inversa de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto al producto.

Dada una suma para calcular el factor común se procede así:

• Se determina el d.c.m , llamado factor común, de los sumandos

• Se divide cada sumando por el factor común, obteniéndose los nuevos sumandos

• El resultado es el producto del factor común por la suma de los nuevos sumandos obtenidos en el paso anterior.

EXTRAER FACTOR COMÚN

ECUACIONES DEL TIPO: ax + b = cx +d

En la ecuación

Vemos que en cada miembro hay un término en x y otro término sin x :no es posible sacar factor común, pero podemos agrupar los términos en x en un miembro y los sin x en el otro: así:

FORMA ABREVIADA (pasaje o trasposición de términos): El primer paso de la resolución y el tercero se pueden realizar mentalmente.

Entonces diremos que el 5 que está sumando pasa al segundo miembro restando

El 6x que está sumando pasa al primer miembro restando.

En el paso 5 el -4 está multiplicando pasa al otro miembro dividiendo.

Recuerde que en la trasposición de términos nunca hay cambio de signos sino cambio de operación

Utilice el procedimiento anterior para resolver las siguientes ecuaciones:

PROPIEDAD DEL PRODUCTO IGUAL A CERO

Si el producto de varios números es igual a cero entonces alguno de los factores es igual a cero

En símbolos:

Utilizamos esta propiedad para resolver ecuaciones:

Usando la propiedad anterior resuelva:

PRODUCTO DE LA SUMA DE DOS NÚMEROS POR SU DIFERENCIA

El producto de dos números por su diferencia es igual al a la diferencia entre los cuadrados de dichos números

Resuelva las siguientes ecuaciones utilizando esta propiedad:

POTENCIACION EN EL CONJUNTO DE NÚMEROS ENTEROS

La definción de potencia es la misma que en los números naturales, veamos:

Complete el cuadro de la regla de los signos de la potencia

BASE	EXPONENTE	POTENCIA
Positiva	par
Positiva	impar
Negativa	par
Negativa	impar

E.- RADICACIÓN

La radicación es la operación inversa a la potenciación:

Complete:

Radicando	Indice	Raíz
Positiva	par	Dos raíces una positiva y otra negativa
Positiva	impar
Negativa	par
Negativa	impar

EJERCICIO 7

...

..

Capítulo 6: Conjunto de Números Racionales

FRACCIONES - NUMEROS RACIONALES

La ecuación:

2x=5

no tiene solución en el conjunto de números enteros. Aplicando las reglas de resolución de ecuaciones resulta:

El resultado obtenido es una fracción: el cociente indicado de dos números enteros.

Llamamos:

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS NÚMEROS RACIONALES

CLASIFICACIÓN DE FRACCIONES

1.- Son FRACCIONES EQUIVALENTES las que representan el mismo punto en la recta numérica. EJEMPLO:

2.- Son fracciones irreductibles aquellas cuyo numerador y denominador son números coprimos, es decir no tienen divisores comunes.

EJEMPLO:

3.- Son fracciones aparentes aquellas cuyo numerador es múltiplo del denominador. Son números enteros

OPERACIONES CON NÚMEROS RACIONALES

1.- SUMA DE FRACCIONES

Para sumar fracciones es necesario que tengan el mismo denominador.

Para reducir fracciones a común denominador se procede así:

• Se determina el m.c.m. de los denominadores de las fracciones. Sumandos

• Se calculan las fracciones equivalentes con ese denominador de cada sumando

EJEMPLOS:

2.- PRODUCTO DE FRACCIONES

El producto de dos o más fracciones es otra fracción cuyo numerador es el producto de los numeradores de los factores, y cuyo denominador es el producto de los denominadores de los factores

EJEMPLO

3.- INVERSO MULTIPLICATIVO

El inverso multiplicativo de una fracción es otra fracción tal que multiplicada por la primera da por resultado 1

El inverso multiplicativo de

4.- COCIENTE ENTRE DOS FRACCIONES

El cociente entre dos fracciones es igual al producto entre el dividendo y el inverso multiplicativo del divisor

5.- POTENCIACION Y RADICACIÓN DE FRACCIONES

EJEMPLO:

POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO

Sabemos que al dividir dos potencias de igual base se obtiene otra potencia de la misma base, cuyo exponente es igual a la diferencia entre las potencias dadas.

Veamos este caso donde, de la aplicación de la regla resulta un exponente negativo

Analicemos el significado de esta expresión tratando de resolver el ejercicio:

Resulta entonces que:

Utilizando esta inducción, definimos:

Ejercicio:

Calcule las siguientes potencias

TRABAJO PRÁCTICO

A) COMPLETE Y RESUELVA

Fracciones equivalentes

2.- Suma algebraica

3.- Calcular

4- Resolver las siguientes ecuaciones

5.- Problemas

El doble de un número más un medio es 16 ¿Cuál es el número?

Los dos tercios de un número más 1 es igual a cinco cuartos. ¿Cuál es el número?

Se tiene un patio de 12 m por 4m. Se quieren embaldosar los dos tercios del patio ¿Cuántos m2 quedarán sin embaldosar?

Le hicimos un regalo a mi sobrino que costó $ 150.- Yo pagaré un quinto del total, mi hermanados tercios y mi mamá el resto ¿Cuánto pagará cada una?

Un tanque se llena en 6 hs. si se utiliza una canilla de las dos que tiene conectadas. Si se utiliza sólo la otra se llena en 3 hs.¿ En cuánto tiempo se llenará utilizando las dos simultáneamente?

Capitulo 7: Números Irracionales

1.- Nos planteamos un problema:

¿Como calcular x?

Si aplicamos la propiedad de producto de potencias de igual base, factoreando previamente el 4, resulta:

Pero además es:

Entonces :

También se verifica que:

Pero:

:Luego:

Teniendo en cuenta esta inducción, definimos:

Potencia de exponente fraccionario:

Capítulo 9: NÚMEROS COMPLEJOS

1. LA UNIDAD IMAGINARIA

Ecuaciones del tipo