Tema 1

Estadística Descriptiva

Estadística: Es la parte de las matemáticas que trata de obtener Estadística a partir de unos datos numéricos.

• Estadística descriptiva: se encarga de la recogida, organización y presentación de los datos obteniendo una serie de parámetros que los representen. Es totalmente objetiva.

• Estadística inferencial: se encarga del análisis y toma de decisiones a partir de los datos anteriores. Es un poco subjetiva. Hace uso del cálculo de probabilidades.

Definiciones:

• Llamamos población a un conjunto de elementos con una característica común.

A cada elemento de la población, lo llamamos individuo.

• Llamamos muestra a cualquier conjunto de la población.

Al número de individuos que componen la muestra se los llama tamaño muestral.

• Llamamos variable estadística a cualquier característica de los individuos de la población que podemos analizar.

• Variables categóricas o cualitativas: son aquellas que no se pueden cuantificar numéricamente.

• Variables cuantitativas: aquellas que se pueden cuantificar numéricamente. Se pueden clasificar en:

• Discretas: aquellas que pueden tomar un numero finito o infinito numerable de valores.

• Continuas: aquellas que pueden tomar todos los infinitos valores de un intervalo.

Definición: Llamamos frecuencia absoluta ni de un valor Xi al número de veces que aparece dicho valor.

tamaño muestral Suponiendo X={x1,x2,...,xm}

Llamamos frecuencia absoluta acumulada Ni de un valor Xi al número de veces que aparece dicho valor y todos los anteriores a él.

Definición: Llamamos frecuencia relativa fi de un valor Xi al cociente de la frecuencia absoluta de Xi y el tamaño de la muestra.

Llamamos frecuencia relativa acumulada Fi de un valor Xi a la suma de las frecuencias relativas de dicho valor y de los anteriores a él.

Observación: Si fi.100 obtenemos el % de incidencia del valor Xi sobre la muestra.

Representaciones gráficas:

Ejemplos: (“OA”)

Para variables continuas o discretas con muchos valores, los datos se agrupan en clases.

Para formar las clases:

Al punto medio se le llama marca de clase Xi

marca de clase

Diagrama de tallo y hojas:

Ejemplo: “Altura”

Histograma:

Lo que se debe ver en un histograma es:

• Casos atípicos: son casos que son “raros” en función de los datos.

• Simetría: se observa si el histograma es uniforme o simétrico en alguna de sus partes.

Medidas asociadas a una variable:

• Centralización:

Características:

• Tiene en cuenta todos los datos: es muy representativa.

• Es muy sensible a los datos atípicos y asimétricos.

• No se puede calcular para variables categóricas.

• Moda (Mo): Es el valor de la variable que más se repite.

• Es la única medida de centralización que se puede obtener para variables categóricas.

• Cuando tengamos clases hablaremos de clase modal.

• Si dos valores tienen frecuencia máxima hablaremos de variable bimodal.

• Mediana (Me): Es un valor de la variable que deja el 50% de la distribución ordenada a su derecha y el otro 50% a su izquierda.

• No tiene en cuenta los valores de la variable, sino su situación.

• No es nada sensible a datos atípicos.

• Cuando trabajamos con clases, hablamos de clase mediana.

• Cálculo:

Si el nº de datos es impar, tomamos el elemento xi con

Si el nº de datos es par, la Me es la semisuma de los dos datos centrales.

• Medidas de dispersión:

• Rango o recorrido:

• Varianza:

• Tiene en cuenta todos los valores.

• Es muy sensible a los valores atípicos y asimétricos.

• Se expresa en las unidades de la variable al cuadrado.

• Desviación Típica:

Observación: Se estima que en el intervalo se encuentra el 68% aproximadamente de los valores de la variable.

En el intervalo 95%

En el intervalo 99,7%

• Rango intercuartílico:

Cuartiles: Son 3 valores Q1, Q2 y Q3 que dividen a la distribución ordenada en 4 partes iguales.

Q2=Me;

Q1= Me de los valores situados a la derecha de Q2;

Q3= Me de los valores situados a la izquierda de Q2.

Definición: Coeficiente de variación:

Series temporales:




Distribuciones Bivariantes:

Suponemos que x e y son dos variables sobre la misma población.

• x toma valores x1,x2,...,xn

(x,y) toma valores (x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)

• y toma valores y1,y2,...,yn

Covarianza:

Siendo ni la frecuencia de (xi,yi)

La covarianza relaciona los parámetros x e y.

Coeficiente de correlación: adimensional

-1 " r " 1

Diremos que hay una mayor relación entre las 2 variables cuando r se vaya acercando a los extremos, mientras que si está cerca del 0 se dice que hay poca relación entre las 2 variables.

Ajuste por mínimos cuadrados:

Recta de regresión de y sobre x




Funciones linealizables:

Función exponencial:

Modelo potencial:

Tema 2

Fundamentos de la Teoría de la Probabilidad

Definición: Llamamos experimento aleatorio o estocástico a aquel que realizado en idénticas circunstancias nunca podemos predecir los resultados. Como por ejemplo: lanzar un dado; extraer una carta.

En caso contrario el experimento se llama determinista. Por ejemplo: caída libre.

Definición: A cada una de las veces que repetimos un experimento aleatorio la llamamos prueba.

Definición: Al conjunto de los posibles resultados de un experimento aleatorio se le llama espacio muestral (E).

Definición: Llamamos suceso a cualquier subconjunto del espacio muestral. En el ejemplo de “lanzar un dado”:

E={1,2,3,4,5,6}

Sucesos: A={salir 1}

B={salir par}={2,4,6}

C={1,2,3,4,5,6}=E

D={"}

Tipos de sucesos:

• Suceso elemental: compuesto por un solo elemento muestral. Ejemplo: A

• Suceso compuesto: formado por 2 o más puntos muestrales. Ejemplo: B

• Suceso cierto o seguro: siempre se verifica coincide con el espacio muestral. Ejemplo: C

• Suceso imposible: nunca se verifica ". Ejemplo: D

Definición: Dado un suceso cualquiera A, llamamos suceso opuesto, contrario o complementario ó a aquel que se verifica cuando no se verifica A.

Ejemplo: “lanzar un dado”

A={salir par}={2,4,6}

={salir impar}={1,3,5}

Operaciones con sucesos:

• Inclusión: diremos que A está incluido en B, o que A implica B si cuando se verifica A entonces también se verifica B. Ejemplo:

B={salir par}; A={salir 4}

• Igualdad: diremos que A es igual a B si A está incluida en B y B está incluida en A (A=B). Ejemplo:

A={salir par}

B={salir 2,4,6}

• Unión: dados 2 sucesos A y B, llamamos unión de A y B a otro suceso que se verifica si se verifica A ó se verifica B. Ejemplo:

A={salir par}={2,4,6}

B={salir primo}={2,3,5}

={2,3,4,5,6}

• Intersección: dados 2 sucesos A y B, llamamos intersección de A y B a otro suceso que se verifica si se verifica A y se verifica B. Ejemplo:

A={salir par}={2,4,6}

B={salir primo}={2,3,5}

={2}

Definición: Diremos que A y B son sucesos incompatibles si =" (no se verifican simultáneamente)

• Diferencia: dados 2 sucesos A y B, llamamos diferencia de A y B a otro suceso que se verifica cuando se verifica A y no se verifica B.

Ejemplo:

A={salir par}={2,4,6}

B={salir primo}={2,3,5}

A-B={4,6}

B-A={3,5}

• Diferencia simétrica: dados 2 sucesos A y B, llamamos diferencia simétrica de A y B a otro suceso que se verifica A y no se verifica B ó se verifica B y no se verifica A.

Ejemplo:

A={salir par}={2,4,6}

B={salir primo}={2,3,5}

Definición: Diremos que n sucesos de un espacio muestral E; A1,A2,...,An forman un sistema completo de sucesos si:

• Propiedades:

• Conmutativas:

• Asociativas:

• Idempotentes:

• Distributivas:

• Leyes de Morgan:

Introducción al concepto de probabilidad

“Probabilidad es la medida de la incertidumbre asociada a un suceso”

Definición: Llamamos probabilidad de un suceso A al valor entorno al cual tiende a estabilizarse la frecuencia relativa del suceso A cuando se repite un nº suficiente de veces.

Definición axiomática de Kolmogorov:

Definición: Llamamos función de probabilidad a una aplicación del espacio de sucesos ().

que cumple 3 axiomas:

Consecuencias:

En efecto:

En efecto:

En efecto:

En efecto:

• Si E está compuesto por n sucesos elementales A1,A2,...,An equiprobables entonces

En efecto:

• Regla de Laplace: Si E está compuesto por n sucesos elementales equiprobables y sea A un suceso compuesto por k sucesos, entonces:

Reglas de conteo:

• Combinatoria

n= nº de elementos disponibles

m= nº de elementos elegidos

¿Influye el orden de elección?	SI ¿n=m?	NO ¿Se pueden repetir elementos?	SI Variaciones con repetición de n elementos tomados de m en m VRn,m=nm
						NO Variaciones Vn,m=n(n-1). (n-2)...(n-m+1)
				SI Permutaciones (Pn=n!)
			NO ¿se pueden repetir elementos?	SI combinaciones con repetición
				NO combinaciones Cn,m=

Probabilidad condicionada

Definición: Dados 2 sucesos A y B, llamamos probabilidad de A condicionado a B a:

Definición: Decimos que A y B son independientes si P(A)=P(A/B)

En caso contrario se dicen dependientes.

Proposición: A y B son independientes si y solo si

En efecto:

Definición: Experimentos compuestos: aquel que esta formado por 2 o más experimentos compuestos.

Teorema de la probabilidad compuesta:

Sean A1,A2,...,An; n sucesos tales que

Entonces:

Teorema de la probabilidad total

Sean A1,A2,...,An; un sistema completo de sucesos con

Sea B un suceso cualquiera.

Entonces:

Demostración:

Teorema de Bayes

En las mismas condiciones del teorema anterior

Tema 3

Variables Aleatorias I

Definición: Una variable aleatoria es una función que asocia a cada elemento del espacio muestral un numero real.

Observación: Sobre un mismo espacio muestral se pueden definir varias variables aleatorias.

Ejemplo:

Experimento: Lanzar un dado

E={1,2,3,4,5,6}

Observación: Si el resultado del experimento son valores numéricos se les suele asociar el mínimo valor.

Si son resultados cualitativos se les asocia cualquier número.

Ejemplo:

Experimento: Lanzar moneda

E={C(cara),+(cruz)}

Exp: Lanzar 3 monedas

E={CCC,CC+,C+C,+CC,C++,+C+,++C,+++}

Definición: Función de distribución es una función que asocia a cada valor de la variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta dicho valor.

Ejemplo:

Propiedades:

• F(t) es creciente

• F(t) es continua por la derecha

Variables Aleatorias Discretas: Función Puntual de Probabilidad

Definición: Diremos que una variable aleatoria X es discreta si puede tomar un numero finito de valores o infinito numerable.

Definición: Llamamos función puntual de probabilidad a una función que asocia a cada valor de la variable su probabilidad.

Propiedades:

• 
  Nota: estas 2 propiedades caracterizan una función puntual de probabilidad.

• Ordenando los valores

Características de una Variable Aleatoria Discreta

Definición: Sea X una v.a. discreta con función puntual de probabilidad llamamos esperanza matemática de la v.a. X a:

Observación: La existencia de E(X) depende de la convergencia de la serie cuando X toma un nº infinito numerable de valores.

Propiedades de la esperanza:

Definición: Sea X una v.a discreta con función puntual de probabilidad . Llamamos varianza de la v.a. X a:

siendo

Propiedades:

Demostración:

Propiedades:

Definición: Llamamos desviación típica de la v.a. X a la raíz cuadrada positiva de la varianza

Variables Aleatorias Continuas: Función de Densidad

Definición: Una v.a es continua cuando puede tomar todos los valores de un intervalo.

Ejemplo: Altura de las personas, longitud de un tornillo, etc.

Observación: No se puede calcular la probabilidad de una valor determinado ya que siempre vale 0. Entonces calculamos la probabilidad de que la variable se sitúe en un intervalo.

Definición: Supongamos que tomemos una v.a. continua y los valores que toma los distribuimos en clases. Entonces podemos hacer el histograma de esa variable.

Llamamos función de densidad f(X) a la función hacia cuya gráfica tienden los histogramas de la v.a. cuando elegimos las clases cada vez mas pequeñas.

Propiedades:

Características de una Variable Aleatoria Continua

Definición: Sea X una v.a. continua con función de densidad f(X).

Llamaremos esperanza de X ó a:

Observación: La existencia de E(X) depende de la convergencia de la integral.

Definición: Sea X una v.a. continua con función de densidad f(X). Llamamos varianza de X ó a:

Definición: Llamamos desviación típica de X a:

Distribuciones Asociadas a Variables Aleatorias Discretas

• Distribución de Bernouilli: Suponemos que un experimento aleatorio tiene 2 posibles soluciones




Función puntual de probabilidad de la distribución de Bernouilli

• Distribución Binomial: Suponemos que repetimos un experimento un numero n de veces de manera independiente. Si definimos:

X= “nº de éxitos obtenidos en los n experimentos”

Diremos que X sigue una distribución Binomial de parámetros.

Función puntual de probabilidad de la distribución Binomial

Es función puntual de probabilidad:

X la podemos considerar como suma de n variables Xi que siguen una distribución de Bernouilli.

• Distribución de Poisson: Suponemos que estudiamos un suceso que ocurre esporádicamente a lo largo de un “soporte continuo”

X= “nº de veces que aparece dicho suceso en un periodo de tiempo”

Diremos que X sigue una distribución de Poisson de parámetro 

Si se cumplen 2 condiciones:

• El suceso aparece, a largo plazo, un nº medio de veces 

• La aparición del suceso ocurre de manera independiente (el nº de veces que ocurre en un intervalo de tiempo no induce a saber el nº de veces que ocurrirá en el siguiente intervalo).

Es función puntual de probabilidad:

Observación: Tanto la distribución Binomial como la Poisson son reproductivas respecto a los parámetros n y  respectivamente.

Distribuciones Asociadas a Variables Aleatorias Continuas

Distribución Normal: Una v.a. X sigue una distribución normal de parámetros

Si tiene por función de densidad

Observación:

Tipificación de la normal

Si si defino

Ejemplo:

Teorema de Moivre-Laplace

Si entonces

Explicación:

Si

Observación: La distribución de Poisson se puede aproximar a una normal cuando >5

Si

Distribución exponencial: Son variables asociadas a tiempos de espera para recibir determinados servicios. X sigue una distribución exponencial de parámetros 

Si tiene por función de densidad

Función de distribución

Esperanza

Varianza

Observación: Tanto la distribución normal como la exponencial son reproducidas respecto a sus parámetros.

Tema 4

Variables Aleatorias II

Definición: Si X e Y son dos v.a. definidas sobre el mismo espacio muestral. Llamamos variable aleatoria bidimensional (X,Y) a una función

Definición: Llamamos función de distribución de una variable aleatoria bidimensional (x,y) a

Variables Aleatorias Bidimensonales Discretas

Si llamo C al conjunto de posibles resultados de la v.a.b. (X,Y).

Si C tiene una cantidad finita o infinita numerable (x,y) se llama v.a.b. discreta.

Definición: Llamamos función puntual de probabilidad conjunta de una v.a.b. discreta a una función:

con

Variables Aleatorias Bidimensonales Continuas

Si C tiene una cantidad infinita de puntos (X,Y) se llama v.a.b. continua.

Definición: Llamamos función de densidad conjunta de una v.a.b. continua:

con

Distribuciones Marginales

Si (x,y) es una v.a.b. con función de distribución F(x,y). Llamamos funciones marginales de distribución de x e y a:

• si la v.a. es discreta

función puntual de probabilidad de X

función puntual de probabilidad de Y

• si la v.a. es continua

función de densidad marginal de X

función de densidad marginal de Y

Independencia de Variables

Definición: Si (x,y) es una v.a.b. diremos que X e Y son independientes si la función de distribución conjunta es el producto de las marginales

• si la v.a. es discreta

• si la v.a. es continua

Observación: Si X e Y son independientes

Tema 5

Muestreo y Distribuciones Muestrales

Definición:

Población: es un conjunto de elementos con una característica común (que será el objeto de estudio).

Individuo: es cada uno de los elementos de la población.

Muestra: es cualquier subconjunto de la población.

Tamaño muestral: es el numero de elementos que componen la muestra.

La característica principal de una buena muestra es que sea representativa de la población a estudiar.

Definición: Muestreo Aleatorio Simple (M.A.S.) es el que obtiene la muestra teniendo en cuenta:

• Todos los individuos de la población tienen la misma posibilidad de ser elegidos.

• Las extracciones han de realizarse con reemplazamiento.

Si la población es muy grande el reemplazamiento no tiene importancia.

Otros tipos de muestreo:

• Muestreo sistemático: seleccionamos el primer elemento de manera aleatoria y los demás sistemáticamente como se halla fijado.

• Muestreo estratificado

• Muestreo por conglomerados

Estadísticos muestrales

Suponemos que tenemos una v.a. X definida sobre una determinada población. Sea (X1,X2,...,Xn) una m.a.s. de tamaño n. A cada (X1,X2,...,Xn) se le llama realización de la muestra.

Si llamamos M al conjunto de todas las posibles realizaciones de la muestra; llamamos estadístico muestral a toda función real:

Observación: como un estadístico es función de variables aleatorias este también será variable aleatoria con función de densidad

por ser Xi independientes e idénticamente distribuidas.

Distribución de la media muestral: Teorema central de límite

Suponemos que X una v.a. que sigue una distribución normal de media , y varianza 2. Tomamos (X1,X2,...,Xn) una m.a.s. y definimos

Varianza:

Si X"N(,2)

Teorema central de límite

Si X es una v.a. cualquiera con media  y varianza 2 y (X1,X2,...,Xn) es una m.a.s. de tamaño n

Observación: n es suficientemente grande si n"30

Observación: si no conocemos la varianza poblacional 2 de la v.a. X entonces sigue una distribución que se llama T de Student con n-1 grados de libertad.

Distribución asociada a la proporción muestral

Suponemos que p es la proporción de individuos de una población de una determinada característica. Si tomamos una muestra aleatoria simple de tamaño n y denotamos a la proporción muestral

Graficas de control

Definición: Diremos que un proceso esta bajo control. Si la variable que lo describe sigue la misma distribución a lo largo del tiempo.

Definición: Las gráficas de control son instrumentos que se utilizan para ver si un proceso se encuentra bajo control.




Pasos a seguir para hacer una gráfica de control

• Definimos la variable que nos define el proceso

• Tomamos muestras de pequeño tamaño a lo largo del tiempo

• Dibujar una línea central en la media 

Dibujar las 2 líneas de control

• Representamos en la gráfica los puntos correspondientes a las medidas de todas las muestras

• Ver si el proceso está bajo control.

Estará bajo control si:

• Algún punto queda fuera de los limites de control, el proceso está fuera de control

• Si aparecen 9 o más puntos seguidos entre la línea media y una de las 2 líneas de control

• Si 2 de cada 3 puntos están situados entre las líneas de control y las líneas está fuera de control

Tema 6

Introducción a la Teoría de la Aproximación

Estimación Puntual

Definición: Un estimador es un estadístico que intenta aproximar el verdadero valor de un parámetro poblacional desconocido.

• Ejemplo: donde ð es desconocido.

Tomamos una m.a.s. de tamaño n

es un estimador de ð

X2 es un estimador de m

Propiedades de los estimadores:

Definición: Diremos que un estimador es centrado ó insesgado se la esperanza del estadístico coincide con el parámetro poblacional estimado.

= parámetro poblacional (desconocido)

= estimador

Observación: se llama sesgo

Definición: Llamamos eficiencia o precisión de un estimador a la inversa de la varianza

Precisión

Observación:

• Si tenemos 2 estimadores con propiedades contradictorias. Entonces tomamos el que menor error cuadrático medio tenga, siendo:

• Si aún así no nos satisface exigiremos que al menos sea consistente

Estimación por intervalos de confianza

Definición: Llamamos intervalo de confianza para un parámetro poblacional desconocido con nivel de confianza 1-ð a una expresión del tipo de manera que

Observación: Esto quiere decir que en el 100.(1-ð)% de los intervalos que fabriquemos con las muestras obtenidas de la población, el verdadero valor del parámetro se encuentra dentro del intervalo.

Intervalo de confianza para la media poblacional con 2

Supongo que con 2 conocido y queremos fabricar un intervalo de confianza para ð con nivel de confianza (1-ð).

Tomamos una m.a.s. de tamaño n; es un buen estimador puntual de ð, y sabemos que

Intervalo de confianza para ð con 2 conocido para X normal

Determinación del tamaño muestral

Error máximo cometido al estimar ð mediante
es:

para una confianza dada 1-ð

Por tanto fijado el error:

es el tamaño muestral para cometer como máximo dicho error

Ejemplo: El tiempo de reacción de un motor sigue una distribución N (ð, 0.052) ¿Cuántas medidas deben hacerse para que al nivel de confianza al 95% error de la estimación
no sea mayor de 0.01?




Datos:




Por tanto la muestra debe ser:


Tema 7

Introducción a los Contrastes

Definición: Una hipótesis estadística es una proposición (afirmación) sobre un parámetro (desconocido) de una o varias poblaciones.

Definición: Un test o contraste de hipótesis es un procedimiento que nos hace tomar decisiones sobre determinadas proposiciones.

Definición: Hipótesis nula H0 que es la que suponemos cierta de partida

Definición: Hipótesis alternativa H1 que es la que suponemos cierta cuando rechacemos H0.

Definición: Error tipo I es el que cometemos al rechazar H0 siendo ésta cierta.

Definición: Error tipo II es el que cometemos al aceptar H0 siendo H1 cierta (H0 falsa).

Decisión	H0 cierta	H0 cierta
Acepto H0	Decisión correcta	Error tipo II
Rechazo H0	Error tipo I	Decisión correcta

Observación: Lo ideal sería que P(Error tipo I)=P(Error tipo II)=0

Definición: Llamamos nivel de significación ð un nº fijo a de manera que P(Error tipo I) " ð

Definición: Llamamos potencia del test a la probabilidad de rechazar H0 siendo H1 cierta

Decisión	H0 cierta	H0 cierta
Acepto H0	Decisión correcta 1-ð	Error tipo II ð
Rechazo H0	Error tipo I ð	Decisión correcta 1-ð

Observación:

• La potencia nos mide la fiabilidad del test. Consideramos fiable si la potencia es superior a 0,8

• El nivel de significación ð, si no lo tenemos, suponemos por defecto que es ð=0,05

Procedimiento a seguir para un test de hipótesis

• Seleccionamos el parámetro que queremos contrastar

• Planteamos la hipótesis nula H0

• Planteamos la hipótesis alternativa H1

• Seleccionamos el nivel de significación

• Elegimos un estadístico adecuado

• Distinguimos entre la región de aceptación y rechazo para dicho estadístico

• Calculamos el valor de dicho estadístico bajo la hipótesis nula

• Tomamos decisiones sobre H0

Contraste para la media de una población normal 2 conocida

Suponemos con varianza 2 conocida

• Queremos hacer un contraste para ð

• Tomamos ð

• Sabemos que es un buen estimador de ð

El estadístico adecuado será

• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  

• Rechazamos H0 si

No tenemos argumentos para rechazar H0 si

Definición: p-valor es el menor nivel de significación para el que rechacemos H0

Test unilaterales:

Test bilaterales:

Cálculo de la potencia del test

Suponemos m.a.s.

Se mide la fiabilidad del test

Observación: Para calcular la potencia tenemos que tener una alternativa fija

Suponemos que la alternativa ð=6

1-ð = P(Rechazar H0 /H1 cierta)="

Observación: El test será fiable si

Segunda forma de calcular la potencia

Calculamos

Z0 No sigue una N(0,1)

Z0- Sigue una N(0,1)

Observación: En el caso de contraste bilateral como hay 2 zonas de rechazo, entonces calculamos ð

Tema 8

Inferencia para la Media

Suponemos que queremos estimar la media de una población en la que la varianza sea desconocida,

• Si n es suficientemente grande aproximamos 2 (varianza poblacional) por medio de S2 (varianza muestral) y aplicamos lo anterior:
  

• Si n no es suficientemente grande entonces usamos el estadístico:
  

tn= distribución t de Student con n-1 grado de libertad

Intervalo de confianza:

Contraste de hipótesis:

X~N(µ,2) con 2 desconocida: tomamos una m.a.s. de tamaño n<30

Rechazo H0 si

Acepto H0 si

Inferencia para dos medias:

Suponemos que tenemos dos poblaciones

con 12 conocida; tomamos una m.a.s. de tamaño n1

con 22 conocida; tomamos una m.a.s. de tamaño n2




Estadístico:




Inferencia para dos poblaciones con varianzas poblaciones desconocidas (distintas)

Suponemos que tenemos dos poblaciones


con 12 conocida; tomamos una m.a.s. de tamaño n1


con 22 conocida; tomamos una m.a.s. de tamaño n2

Estadístico: Aproximamos 12 por S12 y 22 por S22







Ejemplo: “Altura”

(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)

Se puede representar como un eje de coordenadas

y=ax+b

La ideal recta que se busca es la que hace mínima la distancia a todos los puntos, pero al ser difícil de encontrar:

1.

2.

3. Es simétrica respecto de =Me=Mo

4. Tiene puntos de inflexión en - y +

5. f(x) no tiene primitiva

-  +

Grafica de control

Cualquiera de los 2 es válido pero X se aproximará mas al valor ð

ð = P(Rechazar H0 /H0 cierta)

1-ð = P(Aceptar H0 /H0 cierta)

ð = P(Aceptar H0 /H1 cierta)

1-ð = P(Rechazar H0 /H1 cierta)

Fórmula General de k