CIRCUNFERENCIA

Definición. Se llama circunferencia al conjunto de puntos de un plano que se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.

Elementos:

• Centro. Es el punto fijo que se encuentra a la misma distancia de cualquier punto de la circunferencia.

• Radio. Es el segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia, se representa por R o r.

• Diámetro. Es el segmento que une dos puntos de la circunferencia y que pasa por su centro. El diámetro contiene a dos veces el radio.

• Cuerda. Segmento que une dos puntos de la circunferencia.

La máxima cuerda es el diámetro.

• Secante. Es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

• Arco. Un arco es una porción de la circunferencia comprendido entre dos Puntos

• Tangente. Es una recta que tiene un punto común con la circunferencia. Al punto común se le llama punto tangente.

• Flecha o Sagita. Segmento perpendicular a una cuerda en su su punto medio.

Propiedades Asociadas a los Elementos

• El radio es perpendicular a la tangente.

• Arcos comprendidos entre cuerdas paralelas son congruentes.

• A arcos congruentes le corresponde cuerdas congruentes.

• Un radio perpendicular a una cuerda, divide a la cuerda y al arco correspondiente en partes congruentes.

• Por un punto exterior a una circunferencia sólo se puede trazar dos tangentes, estas tangentes son congruentes.

• Tangentes comunes exteriores

• Tangente comunes interiores

Definición importante y teoremas

• Circunferencia Inscrita:

Circunferencia inscrita en un triángulo es la circunferencia que es tangente a los tres lados. Al radio de esta circunferencia tambien se llama inradio.

• La circunferencia es inscrita en el triangulo ABC.

• El triángulo es circunscrito a la circunferencia.

• r se llama inradio.

• Cuadrilátero Circunscrito

Un cuadrilátero es circunscrito a una circunferencia cuando sus cuatro lados son congruentes a dicha circunferencia.

• El cuadrilátero ABCD es circunscrito a la circunferencia.

• La circunferencia es inscrita en el cuadrilatero ABCD

• Teorema de Poncelet

En todo triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de los catetos es igual a la longitud de la hipotenusa, más el doble del radio de la circunferencia inscrita.

• Teorema de Pitot

En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de los lados opuestos, es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

• Teorema de Steiner

En todo cuadrilátero exinscrito a una circunferencia, la diferencia de las longitudes de dos lados opuestos, es igual a la diferencia de las longitudes de los otros dos lados opuestos.

Ángulos en la Circunferencia

• Angulo central

El vértice se encuentra en el centro de la circunferencia, sus lados son dos radios. La medida del ángulo central es igual a la medida del arco comprendido entre sus lados.

• Ángulo inscrito

Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son dos cuerdas. La medida del ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida del arco comprendido entre sus lados.

• Ángulo seminscrito

El vértice se encuentra sobre la circunferencia, sus lados son una tangente u una cuerda. La medida del ángulo seminscrito es inscrito es igual a la mitad del arco correspondiente a la cuerda.

• Ángulo exinscrito

Su vértice se encuentra sobre la circunferencia, este ángulo es el adyacente suplementario de un ángulo inscrito.

• Ángulo interior

El vértice se encuentra en el interior de la circunferencia, sus lados son dos segmentos de cuerda. La medida del ángulo interior es igual a la semisuma de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados y las prolongaciones de los lados.

• Ángulo exterior

Su vértice es exterior a la circunferencia, sus lados pueden ser dos secantes, una tangente y una secante o dos tangentes. La medida del ángulo interior es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos comprendidos entre sus lados.

EJERCICIOS

Los lados de un triángulo ABC miden AB =12, BC= 13, AC=15, la circunferencia inscrita es tangente a AB en D, a BC en E y a AC en F. calcular (AD)(BD)(CF)

Solución:

En un cuadrilátero ABCD circunscrito en una circunferencia se cumple que AB=3+a, BC= 6+a CD= 10 calcular AD

Solucion:

Encontrar AD, si FC = 5, CD = 13, AE = 10

Solución:

Encontrar x en :

Solución:

En el paralelogramo ABCD calcular x

Solución:

En el cuadrante de centro O calcular “X”

Solución:

Como AO y OB son radios entonces AO=OB

Entonces trazo OC que también es radio:

Calcular x en:

Solución:

Calculando todos los datos de la figura se tiene:

El perímetro de un trapecio circunscrito a una circunferencia es 40, la distancia entre los puntos medios de las diagonales es 3. encontrar la longitud de la base mayor.

Solución:

Calcular BE en :

Solución: Encontramos datos en la figura:

• Aplico T. de Pitot en el trapecio ABED:

12 + ED = x + x + m

ED = 2x + m ………….(1)

• Aplico El T. de poncelet en el triángulo ECD

12 + m = ED + 2(2) …….(2)

ED = m+8

• Igualo (1) y (2)

ED = ED

2x + m = m + 8

x = 10

Encontrar x en:

Solución: Encontrando datos en la figuara:

Del triangulo ABC se tienes que 50+X = 80

X = 30

Calcular X en:

Solución:

El lado AD del cuadrado ABCD es el diámetro de la semicircunferencia calcular x

Solución: extraemos datos de la figura

Calculo EC por T. de Pitágoras:

EC2 = BE2 + BC2

EC = 15

Aplico T. Poncelet en el triángulo BEC:_

BE + BC = EC +2x

9 +12 = 15 +2x

x = 3

BIBLIOGRAFIA

• MATEMATICA 4, Manuel Coveñas Naquiche

Editorial Bruño

AD= P-BC

BE= P-AC P=(12+13+15)/2 = 20

CF= P-AB

Entonces:

AD= 20-13= 7

BE= 20-15= 5

CF= 20-12= 8

Entonces:

(AD)(BD)(CF) =7x5x8 = 280

Aplico teorema pitot:

AB+CD = BC+AD

3+a+10 = 6+a+x

x = 7

AD = 10+8

En el triángulo OCB:

50 + x + x = 180

2x = 130

x = 64

De la figura:

50 + 2x = 180

x = 65

Según datos:

• a+b+c+x=40

• (x-b)/2=3

x-b = 6

b = x - 6

• Por T. de Pitot

a+b = b+x ……. Reemplazo en perímetro

a+b+c+x = 40

x= 13

Los arcos DE=FG

El angulo FEG = 65

Del triángulo se tiene:

X +65 = 90

X=25