ESPACIOS VECTORIALES

Definición: Si n es un entero positivo, entonces una n-ada ordenada es una sucesión de n números reales (a1, a2,.....an)· El conjunto de todas las n-adas ordenadas se conoce como espacio n dimensional y se denota por Rn

Cuando n = 2, o bien, 3, es común usar los términos "pareja ordenada" y "terna ordenada" en lugar de 2-ada y 3-ada ordenadas. Cuando n = l, cada n-ada ordenada consta de un número real y, por tanto, R1 se puede concebir como el conjunto de los números reales. Para este conjunto, es común escribir R en lugar de R1.

Es posible encontrar, en el estudio del espacio tridimensional que el símbolo (a1, a2,a3) tenga dos interpretaciones geométricas diferentes. Puede interpretarse como un punto, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las coordenadas o se puede interpretar como un vector, en cuyo caso a1, a2 y a3 son las componentes. Por tanto, se concluye que una n-ada ordenada (a1, a2,.....an)· se puede concebir como un ''punto generalizado" o como un "vector generalizado", y como desde el punto de vista matemático no tiene importancia, se puede describir una n-ada como Rn .

Definición: Se dice que dos vectores u = (u1, u2,.....un) y v = (v1, v2,.....vn) en Rn son iguales si

u1 = v1 , u 2 = v2,......un = vn

La suma u + v se define como

U + v = ( u1 + v1, u2 + v2,.....un + vn)

Si K es cualquier escalar, el múltiplo escalar ku se define por

Ku = (ku1,ku2,........kun )

Las operaciones de adición y multiplicación escalar dadas en esta definición se denominan operaciones estándares sobre Rn

El vector cero en Rn se define como el vector

0 = (0,0,........0)

El vector negativo o inverso de u se denota -u y se define

-u = (-u1 - u2,.....-un)

Se define la sustracción de vectores en Rn por v - u = v + (-u) o en términos de las componentes

V - u = v + (-u) = (v1, v2,.....vn) + (-u1 - u2,.....-un)

= (v1 - u1 , v2 - u2, ..... vn -un)

Espacio Vectorial Trivial

Sea V={0}, Es decir V consiste sólo en el número 0como 0+0=1.0 = 0+(0+0) +0 =0, se ve que Ves un espacio vectorial . Con frecuencia se le da el nombre de espacio vectorial trivial

Teorema

Si u = (u1, u2,.....un), v = (v1, v2,.....vn) y w = (w1, w2,.....wn) son vectores en Rn y k y l son escalares , entonces

a) u+v = v+u

b) u + (v + w) = (u -+- v) + w

c) u+0 = 0+u = u

d) u +(—u)= 0 es decir, u - u= 0

e) k{lu)=(kl)u '

f) k(u + v) = Ku +Kv

9) (K + l)u = ku + lu

h) lu = u

Con este teorema se pueden manipular los vectores en Rn sin expresarlos en términos de componentes, casi de la misma manera como se manipulan los números reales.

Por ejemplo, para despejar x en la ecuación vectorial x+u=v, se puede sumar u a ambos miembros y proceder como sigue:

(x+u)+(-u) = v + (-u)

x + (u- u) = v - u

x + 0 = v - u

x = v - u

Definición.

Si u = ( u1,u2,...un ) y v = ( v1,v2,...vn ) son vectores cualesquiera en

Rn, entonces el producto euclidiano interior u • v se define por

u.v = u1.v1 +u2.v2 +.........+un.vn

Teorema

Si u, v y w son vectores en R" y k es un escalar cualquiera, entonces:

a) u • v = v • u

b) (u+v) * w = u •w+v •w

c) (ku) • v = k(u • v)

d) v • v >= 0. Además, v , v= 0 si y solo si v = 0

Se probara el casos (b)

Demostración (b).

Sean u = (u 1, u2, ... un), v= (v1, v2, ... vn), w = (w1, w2, ... wn)

Entonces (u+v).w = (u 1.+ v1, u2.+ v2,....Un.+ vn) . (w1, w2, ... wn)

. = (u 1.+ v1) w1 + (u2 .+ v2) . w2+........(un .+ vn)+ wn.

= (u1. w1 + u2 w2+....+.un. wn) + (u1. w1 + u2 w2+.......+.un. wn)

= u.w + v.w

v. v = v1 + v2 + ..+ vn >= 0 Además la igualdad se cumple si y sólo si v1 = v2= ....= vn = 0, es decir si y solo si v = 0.

Ejemplo

Si V1 y V2 son vectores no colineales en R3 con puntos iniciales en el origen, entonces lin {V1, V2}, el cual consta de todas las combinaciones lineales k1 V1 + k2 V2, es el piano determinado por Vi y V2

De modo análogo, si v es un vector diferente de cero en R2 o R3, entonces lin {v },el cual es el conjunto de todos los múltiples escalares kv, es la recta determinada por v

INDEPENDENCIA LINEAL

Se sabe que un espacio vectorial es generado por un conjunto de vectores S= {v1, v2, . .,vr}, si cada vector en V es una combinación lineal de V1,v2........vr Los conjuntos generadores resultan útiles en una gran diversidad de problemas ya que, a menudo, es posible estudiar un espacio vectorial V estudiando primero los vectores en un conjunto generador S luego extendiendo los resultados hacia el resto de V. Por tanto, conviene mantener el conjunto generador S tan pequeño como sea posible. El problema de encontrar los conjuntos generadores mas pequeños para un espacio vectorial depende de la noción de independencia lineal.

Si S = {vi, V2, . ., v,. }es un conjunto de vectores, entonces la ecuación vectorial K1V1 + k2V2 +......+ krk,v, = 0 tiene al menos una solución, a saber,

k1 = 0, k2 = 0,.... .... kr = 0

Si esta es la única solución, entonces S recibe el nombre de conjunto linealmente independiente. Si hay otras soluciones entonces se dice que S es un conjunto linealmente dependiente.

Se deduce, que dos vectores en R2 o en R3 son linealmente dependientes si y solo si están sobre la misma recta que pasa por el origen

Teorema

Si S = {vi, V2, . .. , v„ } es una base para un espacio vectorial V, entonces todo conjunto con mas de n vectores es linealmente dependiente.

Demostración

Sea S' == {w1, w2 . .., wm, }cualquier conjunto de m vectores en V, donde m > n. Se desea demostrar que S' es linealmente dependiente. Supuesto que S = {v1, v2,.......vm} es una base, cada wi se puede expresar como una combinaci6n lineal de los vectores en S, por ejemplo,

Wi - a11v1 + C21V2 + ......+ an1vn

W2 - a12v1 + C22V2 + ......+ an2vn

.

.

.

.

Wm - a1mv1 + a2mV2 + ......+ anmvn

Para demostrar que S' es linealmente dependiente, se deben hallar los escalares k1,k2.......km , no todos cero, tales que

K1,w1 + k2,w2, +...... + km,wm = 0

Al aplicar las ecuaciones anteriores se puede volver a escribir como

(k1a11 + k2a12 +....... + km,a1m)v1

+ (k1a21 + k2a22+.......+ kma2m)V2

+ (k1an1 + k2an2+.......+ kmanm)V2= 0

Por tanto, el problema de probar que S' es un conjunto linealmente dependiente

Se reduce a demostrar que existen kl, k2, . .. , km, no todos cero, que satisfacen

(k1a11 + k2a12 +....... + km,a1m)v1 = 0

(k1a21 + k2a22+.......+ kma2m)V2 = 0

(k1an1 + k2an2+.......+ kmanm)V2= 0

Dado que hay mas incognitas que ecuaciones, la demostración queda completa ya que haciendo uso del teorema que garantiza la existencia de soluciones no triviales

Teorema

DOS bases cualesquiera para un espacio vectorial de dimensión finita tiene el mismo número de vectores.

Demostración

Sean S = {vi, v2,........,vn } y S'= {w1, w2,.. ., Wm } dos bases para espacio vectorial de dimensión finita V. Dado que S es una base y S' es un conjunto linealmente independiente, el teorema anterior implica que m =< n. De modo analogo, dado que S´ es una base y S es linealmente independiente se tiene n<=m, por tanto m=n

Ejemplo

La base estándar para n contiene n vectores Por consiguiente, toda base para Rn contiene n vectores.

CONCLUSIÓN

El estudio de los vectores, sus magnitudes y propiedades son de gran utilidad como estudios básicos en diversas ciencias que dan paso a estudios mas avanzados y producen bienes al servicio del hombre basados en ciencia y tecnología, como es el caso por citar uno de los medios de transporte, afortunadamente no todos debemos dedicarnos al estudio avanzado del álgebra lineal para disfrutar de sus beneficios.

14