TEMA 1

CÁLCULO VECTORIAL

El cálculo vectorial proporciona una notación precisa para representar las ecuaciones matemáticas que sirven como modelo de las distintas situaciones físicas y, ayuda en gran medida a formar mentalmente la imagen de los conceptos físicos.

1.1 MAGNITUDES ESCALARES Y VECTORIALES

Se llame magnitudes escalares a aquellas que quedan determinadas únicamente por su valor numérico. Son magnitudes escalares, por ejemplo: la temperatura, la masa de un cuerpo, el volumen, etc.

Para definir otras magnitudes, además es necesario precisar otras características, como su dirección y sus sentido. Esta clase de magnitudes se llaman vectoriales y se representan gráficamente por medio de vectores. Ejemplos de magnitudes vectoriales serían la velocidad, la aceleración, o la fuerza.

1.1.1 DEFINICIÓN DE VECTOR:

Un vector es un segmento orientado en el espacio. Se puede caracterizar por cuatro elementos diferenciadores, que son:

--Punto de aplicación u origen.

--Dirección o línea de acción, que es la recta que contiene al vector.

--Sentido del vector.

--Módulo del vector, que es su longitud.

Clasificaremos los vectores en libres, deslizantes, fijos y axiales.

*Vectores libres. Vienen determinados por sus tres componentes cartesianas, tomamos como base de este sistema la base canónica, formada por los vectores y, j y k, perpendiculares entre sí y unitarios.

Los vectores libres pueden trasladar su origen a cualquier punto del espacio manteniendo el módulo y el sentido constantes y su dirección paralela.

Son ejemplos de vectores libres el momento de una fuerza o el vector que representa la fuerza que ejerce el viento sobre una cierta superficie.

*Vectores deslizantes. Pueden trasladar su origen a lo largo de su línea de acción y vienen determinados por sus tres componentes cartesianas y por su recta soporte o línea de acción. Un ejemplo sería la fuerza que se ejerce sobre un sólido rígido.

*Vectores fijos. Para determinarlos es necesario conocer sus cuatro elementos característicos; vienen dados pues por su módulo, dirección, sentido y punto de aplicación. Como ejemplo se puede citar la velocidad de una partícula móvil o la fuerza aplicada en un punto.

*Vectores axiales. Son vectores que representan una magnitud angular. El módulo del vector indica el valor numérico de esa magnitud, la dirección del vector señala el eje de rotación, y el sentido del vector se hace corresponder con el sentido de giro a través de un convenio que se expresa mediante la regla de Maxwell: el sentido de la rotación es el sentido de giro de un sacacorchos cuando este avanza en el sentido que indica el vector. La velocidad angular de una partícula sometida a movimiento circular es un ejemplo de vector axial.

Otras definiciones de vectores son las siguientes:

1.-Vectores equipolentes son aquellos vectores libres que tienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido.

2.- Los vectores de cualquier clase que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios se llaman vectores opuestos.

1.2. Operaciones con vectores.

La suma o resultante de dos vectores v1 y v2 es el vector que se obtiene de unir el origen de v1 con el extremo de v2, cuando éste se aplica en el extremo del primero.

La definición vista para suma de vectores se llama regla de paralelogramo. La diferencia de dos vectores se define como el vector que resulta de sumar el primero con el opuesto del segundo.

El producto de un número real k por un vector v es otro vector kv que tiene la misma dirección que v, el mismo sentido que v o el contrario, según que k sea positivo o negativo, y un módulo que resulta de multiplicar k por el módulo de v.

Todo vector se puede expresar como el producto de su módulo por un vector unitario que tenga la misma dirección y el mismo sentido que él.

1.2.3 PRODUCTO ESCALAR DE DOS VECTORES

El producto escalar de dos vectores a y b es el producto de sus módulos por el coseno del ángulo que esos vectores forman entre sí.

El producto escalar de dos vectores es un escalar, y no un vector.

--El producto escalar de dos vectores es igual que el producto escalar de uno de ellos por el vector de proyección ortogonal del otro sobre él.

--El módulo de la proyección ortogonal de a sobre b es igual al producto escalar de a por b, dividido por el módulo de b, cuando la proyección an y b tienen el mismo sentido.

--Si a y b son distintos de cero y ab es igual a cero, entonces los vectores a y b son perpendiculares.

1.2.4 PRODUCTO VECTORIAL DE DOS VECTORES

El producto vectorial de a y b se designa por axb y tiene las siguientes características:

--El módulo del producto vectorial es igual al producto de los módulos de los dos vectores por el seno del ángulo que forman.

--La dirección de axb es la de la recta perpendicular a los vectores a y b.

--El producto vectorial no es conmutativo.

1.2.4.2. APLICACIONES DEL PRODUCTO VECTORIAL

*Momento de un vector respecto de un punto. El momento se define como el producto vectorial del vector de posición del origen del vector respecto de O por el propio vector.

*Momento de un par de vectores respecto de un punto. Se llama par de vectores al conjunto formado por dos vectores que tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos contrarios. La suma o resultante de ambos es el vector nulo.

*Momento de un vector con respecto a un eje. Se define como la proyección sobre dicho eje del momento de ese vector con respecto a un punto cualquiera del eje. El momento es independiente del punto elegido sobre el eje.

1.3 DERIVACIÓN VECTORIAL.

Cuando a cada punto (x, y, z) del espacio se le puede asociar un escalar que depende de sus coordenadas, F(x, y, z), se dice que hemos definido un campo escalar F. Un ejemplo de campo escalar sería el definido por las temperaturas en cada punto de la tierra en un instante determinado.

Cuando un campo escalar es independiente del tiempo se llama campo escalar permanente o estacionario.

Cuando un campo vectorial es independiente del tiempo se llama campo vectorial permanente o estacionario.

VARIOS

--Cuando decimos de una función que es derivable se quiere indicar que esa función tiene las primeras derivadas parciales continuas.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------