PROYECTO CÁLCULO INTEGRAL

APLICACIONES DE LA INTEGRAL

DEFINIDA

PRESENTADO A:

ING.: JUAN MANUEL CORDERO

CÁLCULO INTEGRAL

ESCUELA COLOMBIANA DE INGENIERIA

BOGOTÁ D.C

2005

INTRODUCCIÓN

Uno de los primeros logros del cálculo, fue predecir la posición futura de un objeto, a partir de una ubicación conocida y la función que representa su velocidad. Además hemos podido, en muchas ocasiones encontrado una función a partir de valores conocidos y una fórmula para su razón de cambio. En nuestros días, calcular la rapidez que necesita un cohete en cierto punto para poder salir del campo gravitacional de la Tierra o predecir el tiempo de vida útil de un objeto a partir de su nivel de actividad y su razón de decrecimiento, son procesos rutinarios, gracias al cálculo, mediante el uso de las derivadas. De aquí, podemos concluir que el problema de esta es, que si conocemos el recorrido de un punto móvil, podemos calcular su velocidad y adicionalmente si tenemos una curva podemos hallar la pendiente de la recta tangente en cada uno de sus puntos.

Esto, es lo que hemos estudiado en la parte del cálculo infinitesimal que denominan como “Cálculo Diferencial”. Ahora nos centraremos en otra parte de este, que denominan “Cálculo Integral”.

Encontrar una función f a partir de su derivada, involucra el hecho de encontrar toda una familia de funciones cuya derivada puede ser f; estas funciones reciben el nombre de antiderivadas, puesto que para encontrarlas es necesario llevar el proceso contrario al de la derivación y este proceso se llama “integración”. En forma análoga podemos concluir que el problema de esta es, que si tenemos la velocidad de un punto móvil, podemos hallar su trayectoria o si tenemos la pendiente de una curva, en cada uno se sus puntos, podemos calcular dicha curva. Esto es a groso modo la una pequeña definición de integración, pero esta es indefinida, es decir, que mediante este proceso, podemos encontrar toda la familia de funciones cuya derivada es nuestra función dada; ahora, veremos de que se trata la integración definida y sus aplicaciones, que es el motivo real de este trabajo.

INTEGRAL DEFINIDA

“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su número hasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”­--- Isaac Newton.

El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algún modo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo.

Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, es necesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula  “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:

y sus partes son:

a: representa los términos de la sumatoria

ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria

an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria

k: es el índice de la sumatoria

1: es el límite inferior de la sumatoria

n: es el límite superior de la sumatoria

Gráfica 1.

Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).

Gráfica 2.

Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.

Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valor xi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:

de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:

,

Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreas para lograr la aproximación:

,

Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeño como pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).

Gráfica 3.

De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que tanto hemos buscado. Y esto se representa así:

,

que es equivalente a,

,

con esto ya encontramos la mejor aproximación del área. Ahora si, podemos definir la integral definida ya que,

Por lo tanto podemos deducir que la integral definida es una suma y así la hemos definido. Y de esta manera, también hemos mostrado la primera aplicación de la integración definida, hallar el área bajo una curva.

Ya que definimos la integral definida, identifiquemos cual es su notación y las partes que la componen.

Toda la expresión se lee, integradle f(x), desde a hasta b; a y b, son los límites de integración, donde a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo", es una s mayúscula alargada, que significa suma y se llama símbolo de integración. La función f(x), es el integrando y el dx, se llama diferencial y es el que lleva la variable de integración que en este caso es x.

ÁREA ENTRE CURVAS

Como ya hemos definido la integral definida como una suma y además hemos visto como se halla el área de una región comprendida entre una curva y en eje, ahora veremos como se hace este mismo cálculo para hallar el área de una región que este comprendida entre dos curvas, es decir, entre las gráficas de dos funciones.

El concepto para calcular el área entre dos curvas, es el mismo que ya habíamos estudiado. La región a trabajar, se divide en rectángulos, y se determinan los mismos parámetros para calcular el área de este, es decir su base y su altura. La diferencia en esta aplicación es que la altura del rectángulo se define de una manera algo distinta, debido a que hay dos funciones involucradas.

Gráfica 4.

Como podemos ver en la Gráfica 4, el intervalo de la región esta definido por los puntos de corte de las dos funciones, esto es en el caso de las los tengan dichos puntos, por otro lado, si las funciones no se cortan, para hallar el área entre ellas, es necesario definir un intervalo mediante “tapas”, que son rectas constantes en función de y, de igual manera que definimos el intervalo en la aplicación anterior.

Ahora que ya sabemos todo el proceso para hallar el área, sólo resta, mostrar como es que cambia el asunto de la altura del rectángulo. Y eso lo podemos representar así:

Donde f(x)-g(x), representa la altura del rectángulo diferencial. Con esto ya hemos mostrado y definido otra aplicación de la integral definida.

SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

Ya está visto que la integral definida es aplicable, cuando se trata de hallar áreas, pero ¿será aplicable para hallar volúmenes formados por rotación de una función?, la respuesta a esta pregunta es si, si es posible calcular estos volúmenes, llamados volúmenes de revolución, mediante integración definida. Más adelante y en el transcurso de este tema, veremos que el cálculo del volumen de un sólido, es como una expansión del cálculo del área, a una tercera dimensión.

Igual que para hallar el área, tomemos una figura sencilla, para hallar su volumen, por ejemplo un cilindro. Dado que el cilindro es un prisma, igual que un paralelepípedo, su volumen puede ser calculado como tal, área de su base por su altura.

si

Método de los discos

Gráfica 5.

Como ya vimos, el volumen de un cilindro, ahora nos queda más fácil comprender el concepto de volumen por el método de los discos. Como sabemos las dimensiones del disco diferencial (Gráfica 5.), son muy parecidas a las de un cilindro, de hecho el disco es prácticamente un cilindro cuya altura es mucho menor al radio de su base. De esto podemos deducir que si queremos hallar el volumen del sólido de la gráfica, es necesario sumar los volúmenes de los discos que quepan dentro del sólido y si llevamos esa cantidad, hacia el infinito, igual que con el área, obtendremos la mejor aproximación del volumen y para esto ya vimos como funciona la integral definida, es por eso que para este caso el cálculo del volumen del sólido, es una expansión del cálculo del área de una superficie plana. Calculemos el volumen del disco si, el radio es f(x) y su espesor es x.

, de aquí, deducimos que,

, por lo tanto

, dado que el volumen esta entre a y b,

De esta manera, podemos calcular el volumen de un sólido, mediante el método de los discos.

Método de las arandelas

Este método, es sin duda una expansión del anterior, debido a que también se basa en discos, pero esta vez con un agujero, es por eso que se les llama arandelas. El hecho que se presente el agujero, se debe a que el volumen de revolución lo forma la rotación de dos funciones, a un mismo sentido y a un mismo ritmo, de donde generalmente se forma un sólido hueco.

Gráfica 6.

Ahora, si miramos la Gráfica 6; nos damos cuenta que el proceso para hallar el volumen es muy similar al del método anterior, pero aquí es necesario hacer una resta de volúmenes para la arandela, si el radio mayor es f(x) y el radio menor es g(x), y Va es el volumen de la arandela,

, de aquí ya podemos hallar fácilmente el volumen del sólido, desarrollando la integral definida en el intervalo [a,b].

Método de los casquillos cilíndricos

Cuando necesitamos hallar el volumen de un sólido de revolución, a veces los casquillos cilíndricos nos pueden dar una solución más fácil, que el método de las arandelas. En parte, la razón es que la formula a la que nos llevan no requiere que se eleve al cuadrado. Los métodos de discos y arandelas usaban como elemento representativo de volumen un disco circular, generado al girar un rectángulo orientado perpendicularmente al eje de rotación o revolución. El método de los casquillos usa como elemento representativo de volumen un cilindro que es generado al girar un rectángulo, orientado de forma paralela al eje de revolución. En primer lugar es necesario que desarrollemos la formula para el volumen del cilindro diferencial.

Gráfica 7.

Anteriormente ya habíamos calculado el volumen de un cilindro, así que aquí, miraremos una formula geométrica que nos dice que el volumen de un casquillo barrido por un rectángulo es:

V=2(radio promedio del casquillo)(altura del casquillo)(grosor)

en nuestro caso es:

Gráfica 8.

Supongamos que hacemos girar la región sombreada de la Gráfica 8, alrededor del eje y para generar un sólido. Para hallar una aproximación del volumen del sólido, así:

Gráfica 9.

Como podemos ver en la Gráfica 9, de la rotación resultan casquillos cilíndricos diferenciales. Si hacemos la sumatoria de volúmenes de los casquillos diferenciales, obtendremos el volumen del sólido de revolución. Anteriormente, habíamos definido el volumen de uno de los casquillos diferenciales en términos de la función, así que ya podemos afirmar que:

Esto es el resultado de hacer la sumatoria de los volúmenes de los casquillos diferenciales y es el método de los casquillos para calcular volúmenes de revolución.

VOLÚMENES POR REBANADAS

Cuando analizamos el método de los discos para hallar el volumen de un sólido, llegamos a la formula:

donde , era el área de la sección circular y x el espesor del disco.

Ahora podemos generalizar este método, para calcular el volumen de sólidos con forma arbitraria, si conocemos el área de una de sus secciones. Por ejemplo si A(x), representa el área de una sección en x, perpendicular al eje x, entonces el volumen del sólido se obtendrá integrando A(x) con respecto a x.

Gráfica 10.

Por ejemplo en la Gráfica 10, encontramos un sólido cuyas secciones transversales son triángulos, de manera que si calculamos el área de uno de esos triángulos diferenciales y la integramos con respecto a x, encontramos el volumen total del sólido, es decir:

y de esta manera podemos encontrar, el volumen de cualquier sólido, siempre que conozcamos un elemento diferencial y la formula para hallar su área.

LONGITUD DE ARCO

Hasta ahora, hemos usado la integral definida para calcular magnitudes con unidades cúbicas y con unidades cuadradas; esto nos lleva a preguntarnos, ¿podemos medir unidades lineales mediante la integral definida? Pues en esta aplicación veremos como podemos medir longitudes usando esta magnífica herramienta del cálculo.

Desde sierre, hemos tenido la noción de longitud, y siempre nos ha parecido muy sencillo medir objetos, usando los diferentes instrumentos de medición o simplemente calculando dichas longitudes usando formulas sencillas que nos sirven básicamente para estimar medidas de rectas o circunferencias; de manera que ahora tendremos la oportunidad de calcular longitudes pero esta vez de segmentos curvos.

De nuestra experiencia en cursos anteriores, hemos aprendido a calcular la distancia entre dos puntos usando la formula que deriva del teorema de Pitágoras:

Esta formula nos será útil para lograr nuestro propósito de medir la longitud de arco, pero antes tenemos que tener en cuenta que para poder realizar este cálculo, es necesario que la curva además de ser continua en un intervalo cerrado, sea también continua su derivada en el mismo intervalo [a,b]. También hay que saber que, no todas las curvas tienen longitud finita entre dos de sus puntos; si una curva tiene longitud finita entre dos de sus puntos, se dice que es rectificable entre esos dos puntos.

Gráfica 11.

Sea f(x), una función rectificable en el intervalo cerrado [a,b], aproximamos la curva de su gráfica mediante segmentos de recta, para hallar una estimación de su longitud. Tenemos i, donde  es la partición correspondiente de [a,b] tal que

a = n1< n2< n3< n4<…< ni = b

Con esto, siendo , estimamos una aproximación de la longitud del arco, que denotamos s, así:

para:

y

podemos estimar la longitud de ese en todo el intervalo [a,b], así:

tomando el límite en el lado derecho y sacando un factor común (x)2, podemos afirmar que la longitud del arco es:

ahora, como f'(x), es continua, entonces es aplicable el teorema del valor medio de modo que existe algún ci en [xi-1,xi], tal que:

o equivalente:

así, podemos decir que:

que realmente es equivalente a:

que finalmente es lo que definimos en cálculo integral como longitud de arco.

SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Ya hemos usado la integral definida para hallar volúmenes de revolución, longitudes de arco y áreas de regiones planas. Ahora vamos a aprovechar su utilidad para calcular áreas pero esta vez no de regiones planas sino de superficies de revolución, estas no son más que la superficie exterior de cualquier sólido de revolución.

Para poder calcular el área de una superficie de este tipo, es necesario primero saber como calcular el área superficial de un cono circular truncado o tronco de cono.

Gráfica 12.

Consideremos la figura de la Gráfica 12b, donde:

L: es la longitud del segmento

r: es la distancia de un extremo al eje de rotación

R: es la distancia del otro extremo al eje de rotación

Con los datos anteriores, podemos afirmar que el área del tronco de cono es:

Gráfica 13.

Supongamos que la función f(X), de la Gráfica 13, tiene derivada constante y gira alrededor del eje x. Sea  una partición de [a,b] en subintervalos de anchuras xi. Entonces el segmento rectilíneo de longitud:

genera un tronco de área lateral, Si y la podemos definir como:

y por aplicación del teorema del valor medio y del teorema del valor intermedio, podemos asegurar que se cumple que:

,

por lo tanto concluimos que:

Del mismo modo podríamos demostrar que, si la gráfica de f(x), gira alrededor del eje y, el área S, viene dada por:

y de esta manera, con cualquiera de las dos formulas, dependiendo el eje de rotación podemos calcular el área de revolución.

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

A LA INGENIERÍA ELÉCTRICA

CAMPOS ELÉCTRICOS

Un campo eléctrico en un punto se define como la fuerza eléctrica que actúa sobre una carga de prueba positiva, situada en ese punto dividida por la magnitud de la carga de prueba q0:

Este campo eléctrico, es producido por algún agente externo, directamente sobre la partícula y no de la partícula sobre el agente externo. Debemos considerar también, que el campo eléctrico siempre estará allí, sin importar si hay o no partícula, sobre la cual actúe la fuerza. Para aplicar la ecuación anterior, debemos suponer que la carga de prueba es tan pequeña que prácticamente no afecta al agente externo, de manera que la distribución del campo eléctrico es uniforme, es decir, que si hay una partícula que cambia su posición dentro del campo eléctrico, pero que estas posiciones sean equidistantes del agente que produce el campo eléctrico, este tendrá la misma magnitud sobre estas partículas.

Consideremos una carga puntual q localizada a una distancia r de una carga de prueba q0 de acuerdo con la ley de Coulomb, la fuerza ejercida sobre la carga de prueba por q es:

Como el campo eléctrico en la posición de la carga de prueba está definido por:

, encontramos que, en la posición de q0, el campo eléctrico formado por q es:

donde , es un vector unitario orientado de q a q0, si q es positiva, el campo eléctrico estará dirigido radialmente hacia fuera, y si es negativa, el campo será dirigido hacia si misma.

Ahora, si queremos calcular el campo eléctrico, en un punto P, debido a un grupo de cargas puntuales, primero calculamos el campo para cada una de las cargas puntuales y luego hacemos la suma vectorial, es decir, que el campo eléctrico total debido a un grupo de cargas es igual al vector suma de los campos eléctricos de todas las cargas.

donde ri, es la distancia desde la carga i-ésima , qi, hasta el punto P, y es un vector unitario dirigido de qi a P.

Campo Eléctrico de una distribución de carga continua

Con frecuencia un grupo de cargas se localizan muy cercanas unas de otras en comparación con sus distancias a puntos a en los cuales se pretende calcular el campo eléctrico. En estos casos, el sistema de cargas puede considerarse como continuo, es decir, que el sistema de cargas, con un espaciamiento muy pequeño entre ellas, es como si fuera una sola carga distribuida continuamente sobre una superficie o un volumen.

Para calcular el campo eléctrico de una distribución de carga continua, se recurre al siguiente procedimiento:

Primero dividimos la distribución de carga en pequeños elementos con una pequeña carga q en cada uno de ellos y con la ley de Coulomb, calculamos el campo eléctrico para una de estas divisiones en un punto P.

de aquí deducimos que el campo eléctrico E, total en el punto P, debido a todos los elementos de la distribución de carga es:

donde el subíndice i se refiere al i-ésimo elemento en la distribución. Ahora si la distancia entre cada uno de esos elementos es muy pequeña comparada con la distancia al punto P, la distribución de carga puede considerarse aproximadamente continua y el campo se total se puede calcular haciendo el límite cuando qi tienda a cero y se convierte en:

de esta manera aplicamos la integral definida para hallar un campo eléctrico, aprovechando que esta está definida como una suma.

Ejemplo:

Campo eléctrico debido a una barra cargada

Una barra de longitud l tiene una carga positiva uniforme por longitud unitaria  y una carga total Q. Calcule el campo eléctrico en un punto P a lo largo del eje de la barra, a una distancia d de un extremo.

Para solucionar este problema, asumimos que la barra se encuentra sobre el eje x. x representa un pequeño segmento de la barra de tal forma que q representa la carga en ese segmento. Debido que la proporción entre q y x es igual a la proporción entre la carga total y la longitud de la barra, es decir,

de aquí podemos deducir que:

El campo total en P producido por todos los segmentos de la barra, que se encuentran a distintas distancias desde P, se puede calcular haciendo la integral definida:

veamos que aquí los límites de la integral se extienden desde un extremo de la barra (x=d) hasta el otro lado (x=l+d). Como ke y  son constantes se pueden sacar de la integral,

Fuerza magnética sobre un conductor que conduce corriente

Cuando una partícula cargada aislada se mueve a través de un campo magnético, esta experimenta sobre sí misma una fuerza magnética. De igual forma sucede con un alambre que conduce corriente cuando es sometido a dicho campo; esto se debe a que la corriente representa una colección de partículas cargadas en movimiento; por lo tanto la fuerza que experimenta el alambre es el resultado de la suma de las fuerzas individuales ejercidas sobre las partículas cargadas del alambre.

Consideremos un segmento de alambre recto, de longitud L y área de sección transversal A, que conduce una corriente I en un campo magnético uniforme B.

La fuerza magnética sobre una carga q que se mueve con velocidad de arrastre vd es qvd × B. Para calcular la fuerza total sobre el alambre, multiplicamos la fuerza sobre una carga, por el número de cargas del segmento. Ya que el volumen del segmento es AL, el número de cargas en el segmento es nAL, donde n es el número de cargas por unidad de volumen. De ahí:

, abreviando la expresión, decimos que

, donde L, es el vector director de la corriente I y la magnitud de L es la longitud del segmento.

Ahora si consideramos un segmento de alambre de forma arbitraria y de sección transversal uniforme en un campo magnético, podemos deducir que la fuerza magnética sobre un segmento pequeño ds en presencia de un campo B es

, de aquí podemos deducir que

para I, que es constante y a, b que son los extremos del cable.

EJEMPLOS

Ejemplo 1

Traza la región limitada por las curvas y calcula su área.

y

primero hallamos los límites e intervalos de integración

, de aquí hallamos que las funciones se cortan en:

, y

Ahora,

ahora a esto hay que sumarle

entonces el área total es:

Ejemplo 2

Hallar el volumen de la región acotada por la curva y=x2+1 y la recta y = -x+3, y que gira respecto al eje x.

solución

primero hallamos los límites de integración.

identificamos los radios de la arandela diferencial

ahora evaluamos la integral

Ejemplo 3

Hallar la longitud de la curva

, para

solución

primero derivamos la función

y elevamos la derivada al cuadrado

la longitud de arco de la curva entre 0 y 1 es

BIBLIOGRAFÍA

• Cálculo Una Variable; Thomas George B., Finney Ross L.; Addison Wesley Longman; 9ª Edición; Pags 309-405

• Cálculo Trascendentes Tempranas; Stewart James; International Thomson Editores; 3ª Edición; Pags 332-347, 380-398, 494-500

• Cálculo y Geometría Analítica; Larson Roland E, Hostetler Robert P.; McGraw-Hill; 2ª Edición; Pags 273-294, 320-324

• Física Tomo II; Serway Raymond A.; McGraw-Hill; 4ª Edición; Pags 658-665, 834-844

• Apuntes de Cálculo II, Cordero Suárez Juan Manuel; Escuela Colombiana de Ingeniería; 3ª Edición; Pags 51-65

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