CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

Función: Es un conjunto de parejas ordenadas ( x , y ); en donde todos los valores posibles de “ x “ se llama dominio de la función y todos los valores posibles de “ y “ se llama rango de la función.

Símbolo de función y = f ( x )

Se lee: “ y igual a f de x “

“ x “ es variable independiente.

“ y “ es variable dependiente.

Ejemplo:

Y = f ( x ) = x 2 - 2 x

Encontrar Dominio de la función

Encontrar Rango de la función

x	-2 -1 0 1 2 3
y	8 3 0 -1 0 3

y = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) = 4 + 4 = 8

y = ( -1 ) 2 - 2 ( -1 ) = 3

y = ( 0 ) 2 - 2 ( 0 ) = 0 - 0 = 0

y = ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) = 1 - 2 = -1

y = ( 2 ) 2 - 2 ( 2 ) = 0

y = ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 9 - 6 = 3

Df = ( - " , " )

Rf = [ -1 , " )

Operaciones con funciones

Dado y = f ( x ) = x 2 - 2 x - 3 encontrar:

y = f ( -2 ) = ( -2 ) 2 -2 ( -2 ) -3 = 4 + 4 - 3 = 5

y = f ( 3 ) = ( 3 ) 2 -2 ( 3 ) - 3 = 9 - 6 - 3 = 0

f ( -1 ) (-1) 2 - 2 ( -1 )-3 1 + 2 - 3 0

y = f ( 1 ) - f ( 2 ) = [ ( 1 ) 2 - 2 ( 1 ) - 3 ] [ ( -2 ) 2 - 2 ( -2 ) - 3 ] = [1-2-3]

[ 4 + 4 - 3 ] = [ -4 ] [ 5 ] = 20

y = f ( x + h ) = ( x + h ) 2 - 2 ( x + h ) - 3 = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 2h -3

y = f ( x + h ) = f ( x ) = x 2 + 2 x h + h 2 - 2 x - 3 - ( x 2 - 2 x - 3 )

= 2 x h + h 2 - 2 h

y = f ( x + h ) - f ( x ) = 2 x h + h 2 - 2 h = 2 x + h - 2

h h

LIMITES

Lim. 3 x 2 - 2 x = 3 ( 3 ) 2 - 2 ( 3 ) = 2 ( 9 ) - 6 = 27 - 6 = 21

x ! 3

" lim 3 x 2 - 2 x = 21

x ! 3

Lim x - 4 = 4 - 4 = 0 = 0 x ! 4

2x 2( 4 ) 8

Lim 3 x = 3 ( 1 ) = 3 = "

x ! 1 x - 1 1 - 1 0

Lim x 2 - 4 = ( 2 ) 2 - 4 = 4 - 4 = 0 = 0

x ! -2 x 2 + 5 x + 6 ( - 2 ) 2 + 5 ( -2 ) + 6 4 - 10 -+ 6 -6 - 6

indeterminación

por lo tanto se factoriza

Lim ( x + 2 ) ( x - 2 ) = lim x - 2 = - 2 -2_ = -4 =

x ! -2 ( x + 3 ) ( x + 2 ) x !-2 x + 3 -2 + 3 1

Lim " x + 1 - 3 = " 8 + 1 - 3 = 0 indeterminación

x ! 8 x - 8 8 - 8 0

Multiplicar por su conjugado.

Lim " x - 1 - 3 * " x + 1 + 3 = lim ( " x + 1 ) 2 - ( 3 ) 2

x !8 x - 8 " x + 1 + 3 x ! 8 ( x + 8 ) ( " x + 1 +3 )

= lim x + 1 - 9_______ = lim x - 8________ = lim 1___

x ! 8 ( x - 8 ) ( " x + 1 + 3 ) x ! 8 ( x - 8 ) ( " x + 1 +3 ) x ! 8 "x +1+3

= 1____ = 1__ = 1_

" 8 + 1 + 3 3 + 3 6

Lim x 3 - 2 x 2 + 5 x = lim x 3 - 2 x 2 + 5 x

x ! " x + 3 x 2 + 4 x 3 x ! "__ x 3____________ =

x + 3 x 2 + 4 x 3

x 3

1 - 2 + 5_

= lim x x 2___ = lim 1 =

x ! " 1 + 3 + 4 x ! " 4

x 2 x

DERIVADA

La “derivada” es la pendiente tangente a una curva dada.

Matemáticamente.

Símbolo de la derivada.

y´ = D x y = lim f ( x + " x ) - f ( x )

"x ! 0 " x

Ejemplo:

Derivar mediante de la definición

y = f ( x ) = x 2

D x y = lim ( x + " x ) 2 - x 2

" x ! 0 " x

D x y = lim x 2 + 2 x " x + D x 2 - x 2 = lim 2 x " x + " x 2

" x ! 0 " x " x ! 0 " x

= lim 2 x + " x =

" x ! 0

FORMULAS DE DERIVADAS

D x c = 0

D x x = 1

D x x n = n x n - 1

D x ( u ± v ± w ) = D x v ± D x v ± D x w

D x ( u * v ) = u D x v + v D x u

D x u/v = v D x u - u D x v

v 2

D x u n = n u n - 1 D x u

Ejemplos:

Derivar:

y = x 3 - 2 x + 5 " y 1 = 3 x 2 - 2

y = x 2 - 36 " y´ = ( x + 6 ) ( 2 x ) - ( x 2 - 36 ) ( 1 )

x + 6 ( x + 6 ) 2

y´ = 2 x 2 + 12 x + - x 2 + 36 = x 2 + 12 x + 36 = ( x + 6 ) 2 = 1

( x + 6 ) 2 ( x + 6 ) 2 ( x + 6 ) 2

y= " x 2 + 2 x " y´ ½ ( x 2 + 2 x ) ½ - 1 ( 2 x + 2 )

= ½ ( x 2 + 2 x ) - 1/2 ( 2 x + 2 )

y = ( x 2 + 2 x ) ½ y´ = 2 x 2_____ = 2 ( x + 1 )__

2 ( x 2 + 2 x ) ½ 2 " x 2 + 2 x

MÁXIMOS Y MINIMOS

Dada la función y = f ( x ) = x 3 - 3 x 2 - 10 x encontrar Máximo y Mínimo, punto de inflexión y graficar 3 2

Solución. Criterio de la segunda derivada.

y´ = x 2 - 3 x - 10 = 0 ! y´´ = 2 x - 3

( x 1 - 5 ) ( x 2 + 2 ) = 0 Es mínimo

x 1 = 5 x 2 = 2 } Puntos Críticos y´´ = 2 ( 5 ) - 3 = 7

y´´ = 2 ( -2 ) - 3 = -7

Es máximo

y´´ = 2 x - 3 = 0

x = 3/2 “ punto de inflexión”

y 1 = f ( x ) = ( 5 ) 3 - 3 ( 5 ) 2 - 10 ( 5 ) = 125 - 3 ( 25 ) - 50 = 41.66 - 37.5 - 50 =

3 2 3

y 2 = f ( -2 ) = ( -2 ) 3 - 3 ( -2 ) 2 - 10 ( -2 ) = -8 - 6 + 20 = -8 + 14 = -8 + 42 = 34 =

3 2 3 3 3 3 3

Angulo entre dos curvas.

m 1 = f ´( x )

m 2 = y´( x )

Ejemplo.

Hallar el ángulo entre las curvas.

x 2 - 6 x - y = -6

-2 x + y = - 7

y = x 2 - 6 x + 5 ! y´ = 2 x - 6 " m 1 = 2 ( 6 ) - 6 = 6

y = 2 x - 7 ! y´ = 2 " m 2 = 2

igualar

x 2 - 6 + 5 = 2 x - 7

x 2 - 8 x + 12 = 0

( x 1 - 6 ) ( x 2 - 2 ) = 0

x 2 = 2

y 2 = - 3

tan Ø = 2 - 6___

1 + ( 6 ) ( 2 )

tan Ø = - 4_

13

Ø = tan -1 ( -4 / 13 )

Ø 1 = 17.10 °

Ø 2 = 162.89°

Problemas de aplicación de máximos y mínimos.

Se pretende hacer una caja sin tapa de una lámina de aluminio de 10 cm. por lado (cuadrado) se deberá de cortar de las esquinas. ¿Cuánto se deberá de cortar en las esquinas para obtener un máximo volumen?

v ( x ) = ( 10 - 2 x ) ( 10 - 2 x ) x

v ( x ) = ( 10 - 2 x ) 2 x = ( 100 - 40 x + 4 x 2 ) x = 100 x - 40 x 2 + 4 x 3

v´( x ) = 100 - 80 x + 12 x 2 " v ´´ ( x ) = - 80 + 24 x

v´´ ( 5 / 3 ) = - 80 + ( 24 ) ( 5 / 3 ) = - 40

3 x 2 - 26 x + 25 = 0

x = - ( - 20 ± " ( - 20 ) 2 - 4 ( 3 ) ( 25 ) = 20 ± " 400 - 300

2 ( 3 ) 6

x = 20 ± " 100 = 20 ± " 100 = 20 ± 10

6 6 6

x 1 = 5 x 2 = 10 = 5

6 6

DERIVADA DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS Y LOGARÍTMICAS

y = sen v " y´ = cos v v´

y = cos v " y´ = - sen v v´

y = tan v " y´ = sec 2 v v´

y = csc v " y´ = - csc v cot v v´

y = sec v " y´ = sec v tan v v

y = cot v " y´ = - csc 2 v v

y = Ln v " y´ = v´

v

y = e v " y1 = e v * v 1

Ejemplos

Derivar

y = f ( x ) = cos x 2 - sen 3 x " y 1 = - sen x 2 ( 2 x ) - cos 3 x ( 3 )

y 1 = - 2 x sen x 2 - 3 cos 3 x

y = f ( x ) = tan 2 x 2 + sec 3 x

y1 = f´( x ) = sec 2 2 x 2 4 x + sec 3 x tan 3 x ( 3 )

y1 = 4 x sec 2 2 x 2 + 3 sec 3 c tan 3 x

y = Ln csc 2 x " y1 = - csc x cot 2 x ( 2 ) =

csc 2 x

y = e 3x2 " y1 = e 3 x 2 ( 6 x ) " y1 = 6 x e 3 x 2

CALCULO INTEGRAL

FORMULAS

" d u = u + c

" a d u = a " d u

" u m d u = u m +1 + c

m + 1

" ( u ± v ± w ) d x = " u d x ± " v d x ± " w d x

" d u = L n u +c

u

" e u d u = e u + c

"sen u d u = cos u + c

" cos u d u = sen u + c

" tan u d u = - L n | cos v | + c

" ba  ( x ) d x = f ( b ) - g ( a )|ba

Integración por partes

" w d v = u v - " v d u

Ejemplos.

" ( x 2 - 2 x + 4 ) d x = " x 2 d x - " c x d x + " 4 d x = x 2 + 1 - 2 x 2 + 4 x + c

+ 1 2

" " x 2 - 2 x ( 6 x - 6 ) d x

= " ( x 2 - 2 x ) ½ m ( 6 x - 6 ) d x = 3 " u ½ d u = 3 U 3/2 + c = 2 " v 3 + c

v d v 3/2

v = x 2 - 2 x

d v = ( 2 x - 2 ) d x

" ( 3 x 3 - 9 x 2 ) 5 ( 18 x 2 - 36 x ) d x = ½ " v 5 d v = ½ v 6 + 6

6/1

v = 3x 2 - 9 x 2 = 1/12 v 6 + c

d v = ( 9 x 2 - 18 x ) d x

"21 ( x 2 - 2 x ) d x = " 21 d x - " 21 x 2 d x - " 21 2 x = x 3 - 2 x 2 | 21 = x 2 - x 2 | 21 =

( 2 ) 3 - ( 2 ) 2 - ( 1 ) 3 - ( 1 ) 2
3 3

= 8/3 - 4 - 1/3 + 1 = 8/3 - 12/3 - 1/3 + 3/3 =

Hallar el area bajo la curva de la función.

y = f ( x ) = x 2 - 3 x

A " 30 ( x 2 - 3 x ) d x =

A " 30 x 2 d x - 3 " 30 x d x = x 3 / 3 - 3 x 2 / 2 | 30

A ( 3 ) 3 / 3 - 3 ( 3 ) 2 /2 - ( 0 3 /3 - 3 ( 0 ) 2 /2 )

A 9 - 27/2 = 18/2 -27/2 =

" sen 3 x 2 * 2 x d x = 1/3 " sen d v = 1/3 ( - cos ) + c

v = 3 x 2 = -1/3 cos v + c = -1/3 cos 3 x 2 + c

d v = 6 x d x

" 2 d x = 2 " d x =

x + 8 x + 8

v = x + 8

d v = d x

- 4

1

4

2 x

y´ = x + 1__

" x 2 + 2 x

- 45.84

11.33

x 1 = 6

y 1 = 5

Con x = 5 / 3 es máximo

- 2 cot 2 x

= x 3 - x 2 + 4 x + c

3

2 " ( x 2 - 2 x ) 3 + c

= 1/12 ( 3 x 2 - 9 x 2 ) 6 + c

-2 / 3

- 9 /2 v 2

2 Ln | x + 8 | + C