Análisis de la caída de un paquete de ayuda humanitaria desde un avión.

• Introducción

• Antecedentes históricos

• G. Galilei y I. Newton

• De cómo influyen las Leyes de la Dinámica

• Leyes de Newton

• Cálculo del itinerario del objeto

• Cálculos teóricos y resultados

• Tablas y gráficas comentadas

• Conclusión

• Bibliografía




• Presentación del problema

• Introducción

Queremos lanzar un paquete de ayuda humanitaria desde un avión y es necesario diseñar el paracaídas para que aterrice a una determinada velocidad.

Por lo cual el objetivo de este trabajo se podría dividir en dos partes:

• Observar el comportamiento de la caída de la paquete humanitario

• Relación entre el peso del paquete humanitario y el área del paracaídas

Todo esto es valido para una atmósfera uniforme y una caída en vertical. Como bien sabemos, esta idealización deja mucho que desear, pero el análisis en atmósfera no uniforme supera los niveles físicos y matemáticos de este trabajo. Partimos de que el diseño del paracaídas es funcional y en forma de hongo, ya que en nuestro caso no se intenta planear, porque no es una persona la que disfruta del viaje si no una caja.

En estas hojas se intentara explicar como relacionar la teoría explicada en clase con un ejemplo casi practico. Para ello veremos la importancia que tuvieron Galileo y Newton en este trabajo. Pasaremos a explicar como influyen las leyes de la Dinámica en la resolución de este problema, para continuar con los calculo9s teóricos y prácticos que nos lleven a relacionar los dos puntos anteriormente expuestos. Por ultimo se plasmaran los resultados en una sencilla conclusión.

• Antecedentes históricos

Dice la leyenda que alrededor de 1590 Galileo Galilei dejo caer, desde la Torre Inclinada de Pisa, dos bolas de diferente masa pero de forma y densidad parecida y comprobó que llegaban al suelo al mismo tiempo. Hasta ese momento la creencia se basaba en que los objetos pesados caían con mayor rapidez, siguiendo las tesis del gran Aristóteles, y con esta "demostración" el autor de Diálogo sobre los dos máximos sistemas del mundo ponía en tela de juicio la teoría que se había impuesto durante siglos. A esto se le denominó Leyes de la Aerodinámica.

Ahora bien, fue quizás el matemático y astrónomo inglés, Isaac Newton quien más influiría en este tema aunque hay que destacar que el descubridor de la gravitación universal bebía del principio de inercia del anterior, aspecto este que se puede observar en la Ley Fundamental de la Dinámica. No hay más que retrotraerse a la explicación del inglés sobre la gravedad en la ya de por sí famosa leyenda de la manzana. Según esta leyenda, Newton se dio cuenta de que había una fuerza que hacia que los cuerpos cayeran con una aceleración en dirección a la Tierra.

• De cómo influyen las leyes de la Dinámica

Según la 2ª Ley de Newton "un cuerpo libremente esta sometido a una fuerza de gravedad que hace que se acelere". Siendo la expresión matemática clásica de esta ley

F = m a

donde F es la fuerza a la que es sometida el cuerpo, m la masa del cuerpo y a la aceleración de la gravedad.

Ahora tendremos en cuenta el rozamiento el cual afecta sin duda alguna a nuestro caso, es decir el del salto en paracaídas, comenzando por la Fuerza de Rozamiento Aerodinámica.

Esta fuerza de rozamiento afecta cuando un objeto sólido se desplaza por cualquier fluido, siendo de sentido opuesto a la del movimiento y aumentando con la velocidad escalar. Su expresión es

de donde D es la Fuerza de Rozamiento Aerodinámica y K es una constante aerodinámica (tal y como se puede observar el la siguiente formula)

siendo A el área del paracaídas,  coeficiente que relaciona la forma del objeto y  la densidad del aire que en este caso se toma la del nivel del mar 1,29kg/m3.

Pero antes de seguir con una explicación que nos lleve directamente a la definición de Fuerza de Rozamiento Dinámico y Estático, se hace necesario llevar a cabo una explicación del concepto de la Normal, ya que es parte intrínseca de la definición de la anteriormente mencionada Fuerza de Rozamiento. Así pues, es fundamental explicar que La Normal es la fuerza que ejerce el suelo contra los cuerpos apoyados, siendo perpendicular a la superficie del suelo.

Con esto ya podemos definir la Fuerza de Rozamiento Estático como el rozamiento que se produce cuando dos cuerpos que rozan no han comenzado a moverse, con lo que podremos decir que:

donde es el coeficiente estático y N la normal, explicada en los párrafos anteriores. En realidad esta expresión solo nos ayuda a conocer el momento de máxima Fr cuando el cuerpo inicia el movimiento. A partir de este momento la fuerza de rozamiento que actúa es la Dinámica, cuya formula es

y donde es el coeficiente dinámico.

Pero realmente todas estas formulas ¿ pueden solucionar el problema que se planteaba a la hora de llevar a cabo este análisis? Esto es algo que intentaremos discernir en los siguientes capítulos.

• Calculo del itinerario del objeto

• Cálculos teóricos

Como ya hemos explicado antes el objeto, en su caída, esta sujeto a varias fuerzas y que estas van variando en función de la velocidad y el tiempo. Ahora comentaremos como son estas fuerzas.




Según la 2ª Ley de Newton F = ma y esto es lo que vamos a utilizar para calcular la velocidad con la que llega nuestro paquete de ayuda humanitaria al suelo. Para ello situaremos el eje 0X con dirección y sentido contrario al del movimiento.

Fr - mg = ma

Las ecuaciones del movimiento, tomando como origen el punto de lanzamiento, serán:

en nuestro caso

Mediante algunos conocimientos de Física, se podría demostrar que si se lanza el paquete con el paracaídas abierto desde una altura lo suficientemente alta, la velocidad acaba por estabilizarse, lo que supone que la aceleración se hace cero. A esta velocidad le llaman Velocidad Limite y es con la velocidad con la que llega el objeto al suelo.

! !

Pero lo que a nosotros nos interesa más es la velocidad en función del desplazamiento por lo que

! y operando se obtiene !

Si nos fijamos el exponente es negativo, por lo que trascurrido una cierta distancia

Y aquí entra de nuevo la Ley de Newton, que nos ayuda a comprender la velocidad limite:

Esta es la velocidad limite y como ya se ha mencionado antes no depende de la velocidad inicial.

• Tablas y graficas comentadas

En este apartado vamos a realizar un ejercicio con datos para ver como se calcula la velocidad de nuestra caja con respecto del espacio que recorre, poniendo en práctica la teoría en la que nos hemos basado y que se ha explicado durante este trabajo.

Supongamos una caja de 250Kg que se lanza desde una avión a 2000. Sabemos que el paracaídas mide 2m2 y que coeficiente de rozamiento  es 0,8. Calcular a qué velocidad llega al suelo.

Nuestro paracaídas se abre al salir del avión, por lo que llegara a la velocidad limite abajo indicada.

m/s

En el extraño caso que el paracaídas se abriera a medio descenso el efecto seria obviamente otro. Pero es necesario dejar constancia de que, aunque interesante, no es este el análisis que nos ocupa por el momento.

Después de este breve paréntesis, calcularemos la velocidad a 1000m aplicando para ello las formulas de cinética.

! ! t = 14´3s

! m/s

Lo que nos da una gráfica muy similar a la siguiente:




y en la que se puede observar, claramente, el efecto de la apertura del paracaídas y como llega el paquete de ayuda humanitaria a su destino a la velocidad limite de 48'7m/s.

• Conclusiones

En este trabajo se ha demostrado como un objeto que se lanza en paracaídas llega al suelo a una velocidad que no tiene nada que ver con la altura. Este efecto, llamado velocidad limite, permite el calculo del área del paracaídas en función del peso del objeto lanzado.

El estudio realizado se ha basado en la elección de un objeto que no tiende a disfrutar de la caída libre o el planeado en el aire, ya que si no tendríamos que habernos ido a paracaídas de otro estilo como son los de tipo parapente, los cuales permiten mantenerse mas tiempo en el aire y un direccionamiento del mismo para poder aterrizar en el punto deseado.

Destacar, por ultimo, que en este trabajo no se ha tenido en cuenta los efectos de una atmósfera mas inestable ya que solo se pretendía demostrar un cierto grado de comprensión y de utilización de la materia del programa de la asignatura.

• Bibliografía

Física Universitaria. Sears-Zemansky-Young-Freedman Ed. Addison-Wesley

Mohazzabi P. High-altitude free fall. Am. J. Phys. 64 (10) October 1996

http://www2.udec.cl/~dfiguero/curso/cinematica/cinematica.html

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http://www.seed.slb.com/es/notes/sky_gui.htm

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