TEMA 3: BIOMÉTRICA.

3.1-PROBABILIDADES DE VIDA Y DE MUERTE.

3.1.1-LA PROBABILIDAD DE MUERTE EN GENERAL.

Consideramos para un individuo determinado un suceso aleatorio: “morirá dentro de un cierto tiempo”. De este suceso aleatorio no podemos decir a priori si resultará verdadero o falso.

La Matemática Actuarial asigna una probabilidad a tal suceso. Si suponemos que la población es homogénea, aceptaremos que la probabilidad de muerte es dependiente solamente de la edad•, ya que las probabilidades de muerte varían con el tiempo.

3.1.2-FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.

Términos utilizados:

X- cabeza x o persona de edad precisa x.

T- vida residual de la cabeza x o persona de edad x.

X+T- v.a, edad de muerte de la cabeza x, total de vida.

t- valor que toma la v.a. X+T si el individuo muere en t.

G(t)- función de distribución(acumulativa), indica la probabilidad de que el individuo muera antes de la edad t, es decir, no esté vivo a la edad t.

Tal probabilidad es la misma para individuos de la misma edad y por tanto la v.a. depende solamente de la edad x.

Lo que significa que la cabeza x no puede morir antes de x.

3.1.3-FUNCIÓN DE DENSIDAD.

Suponemos : T es una v.a.

G(t) es continua y derivable

Pues su derivada G'(t)=g(t) se conoce como función de densidad de esa v.a. Esto no es una probabilidad, pero multiplicada por dt, da el diferencial dG(t) que despreciando infinitesimos da la probabilidad de que la variable T tome un valor comprendido entre t y t+dt.

Significa que es igual al valor intermedio de la función de densidad por la magnitud del intervalo infinitesimal (I. Riemann).

t t+dt

Según la Ley de Moivre que modaliza la F.densidad como :

En este caso ω es actuarialmente la edad máxima que puede alcanzar una persona en términos de mortalidad.

Para x=0,  ; si x=ω

Si derivamos

3.1.4-PROBABILIDADES DE SUPERVIVENCIA Y MUERTE. CASOS.

Supongamos conocida la función de distribución (acumulativa) de probabilidad de la vida residual de la persona.

CASOS :

Morir antes de x+t o sobrevivir a x+t.

p - probabilidades de supervivencia.

q - probabilidades de muerte.

La edad actual del individuo se escribe como un índice a la derecha, los limites a la izquierda definen los límites de tiempo del evento considerado.

probabilidad para una persona de edad x de estar todavía viva dentro de t años, en tal caso la muerte sucederá después de x+t .

probabilidad para una (x) de morir en el intervalo de t años, es decir antes de alcanzar x+t.

o tb.

/ o tb. /

Casos particulares :

t=1 probabilidad para una persona (x) de estar vivo dentro de un año.

probabilidad para una (x) de morir en el espacio de un año.

donde

Probabilidad para una (x) de morir pasados s años dentro de los t años sucesivos : entre (x+s) y (x+s+t).

Casos particulares :

t=1 prob. de que la cabeza (x) muera precisamente en el año siguiente a s.

t=0

Probabilidad para una (x+s) viva después de t años o muera dentro de los t años.

Casos particulares :

t=1

s=0 nos conduce al caso A.

Relaciones entre probabilidades :

n entero.

3.1.4-ESPERANZA DE VIDA.

Momento de primer orden :

Se resuelve por partes agrupando u=t ; du=dt / v=-(1-G(t)) ; dv=g(t)dt

3.1.5-TANTO DE MORTALIDAD O FUERZA DE MORTALIDAD.

Probabilidad de muerte de una cabeza x a la edad de x+t condicionado a que alcance dicha edad :

El tanto de amortización sirve para calcular las probabilidades de vida :

 ;

Pr [t<T<t+dt] = g(t)dt = [1-G(t)]dt

La esperanza de vida en función del tanto de mortalidad :

de Moivre (1724)

Leyes de Gomper(1824)

de Makenham(1860)

3.1.6-NUMERO DE AÑOS COMPLETOS DE VIDA.

T=k+s, s∈]0,1[

Se desagrega la vida residual en dos : k y s ; diferenciando los años completos y el pico.

Pr[k=K]=Pr[k≤T<k+1]= ; s∈]0,1[ vida residual no entera.

3.1.7-ESPERANZA DE VIDA COMPLETA(ESPERANZA DE VIDA ABREVIADA).

La esperanza de vida con años completos será : No utiliza para nada el pico de vida de la S.

Se diferencia de la otra esperanza de vida en el intervalo s∈]0,1[, es decir es como si se le añadiera medio año de vida mas : (demo final del tema)

La tabla de mortalidad va por años discretos pero la vida de las personas no. Por esa razón las aseguradoras añaden medio año de vida a los asegurados ajustando después.

3.2-TABLAS DE MORTALIDAD.

3.2.1-Función de Supervivencia : s(x)

La F.Supervivencia será la función de distribución que proporciona para cada edad por la probabilidad de que un recien nacido alcance con vida dicha edad. Siempre se refiere a recien nacidos. s(x)=Pr[X>x], esta función está relacionada con 1-G0(t)(Ponemos un cero poque partimos de que x=0, recien nacido)

A partir de aquí definimos las probabiliades :

Pr [ x< X < x+t ] = s(x) - s(x+t) Probabilidad de que un recien nacido sobreviva a x pero no sobrevia a x+t.

Pr [ X > x+t / X > x ] = Probabilidad condicionada de que un recien nacido alcance x y sobreviva a x+t.

Pr [ x < X < x + t / X > x ] = Probabilidad de que un recien naciso fallezca entre x y x+t condicionado a que haya cumplido la edad x.

tPx- Hemos cambiado la medida de probabilidad, se diferencia en que hay que condicionar la probabilidad de que los recién nacidos cumplan x años.

tqx- Es la probabilidad de que un recién nacido fallezca entre x y x+t condicionada a que sobreviva a x.

Simplemente se realiza el paso desde la G(t) que no la tengo en la tabla a la G0(t) que si la tenemos.

3.2.2-Nº total de recién nacidos que alcanzan la edad x :

Es una v.a. A partir de la función de supervivencia anterior que parte de una estructura Binomial de Bernouilli: 1 s(x)=p si alcanza la edad y sobrevive

0 1-s(x)=q si no alcanza la edad, no sobrevive.

Calculamos para cada individuo su función de supervivencia (0-1) de Bernouilli. Siendo L(X) la suma de variables aleatorias de Bernouilli. Es la suma de la probabilidad de todos los individuos en cada periodo.

La esperanza matemática del número total de recien nacidos que alcanza la edad x, dado un número de recien nacidos. Por tanto la función de supervivencia:

Siendo:

3.2.3-D(x,t).

Es la v.a. que indica el número de recien nacidos que fallecen entre x y x+t. Para ello necesitamos:

Y obtenemos:

• Si las poblaciones fueran diversas no se asignarían las mismas probabilidades a los individuos.

A

B

C