ÁLGEBRA (GESTIÓN Y SISTEMAS). EXÁMENES DE FEBRERO-98

2ª SEMANA

EJERCICIO 1.

Sabiendo que x, y, z, son vectores de un espacio vectorial, de entre las siguientes afirmaciones, se pide elegir las correctas, si existen: a) {x, y} es un sistema libre!{x, y, z} es un sistema libre. b) {x, y} es un sistema libre!{x, y, z} es un sistema ligado. c) {x, y, z} es libre!{x, y} es un sistema libre.

EJERCICIO 2.

Calcúlese A3 sabiendo que A es la matriz cuyas filas son: ( 0, cosx, senx), ( cosx, 0,

-1), (senx, 1, 0).

EJERCICIO 3.

En !3, el vector x= 6e1+ 5e2+ 7e3, tiene por componentes (2, 3, 4) respecto a la base {v1, v2, v3}. Sabiendo que v1=e1+ e2, v2= e2+ e3, calcúlese v3 en función de la base {e1, e2, e3}.

EJERCICIO 4.

Determínese una base del núcleo de la aplicación lineal f de !4!!2: f(x1,x2,x3,x4)= (x1+x2-x3, x1+x3-x4).

EJERCICIO 5.

Determínese el valor de a, si existe, para que la recta: x+ ay+ z= -2; 4x+ 2y+ az= -1, tenga por vector director unitario: (1/"6, 1/"6, 2/"6).

EJERCICIO 6.

Clasifíquese la forma cuadrática q: !3!!, definida por: q(x, y, z)= ax2+ ay2+

(a-1)z2+ 2xy cuando a= -1.

EJERCICIO 7.

En el siguiente problema de programación lineal: “Calcular el max z= 5x1+ 2x2 con las restricciones: 3x1+5x2"15; 10 x1+4x2"20; x1"0; x2"0”. Convertimos las desigualdades en igualdades mediante las variables de holgura x3, x4. Se pide elegir las afirmaciones correctas, si existen, de entre las siguientes:

a) (2,0,0,0) es una solución factible básica. b) (3,1,2,0) es una solución factible básica. c) Cualquier punto que pertenezca al segmento [(20/19,45/19),(2,0)], es solución óptima.

EJERCICIO 8.

a) Una matriz M, tiene por filas: (0, 1, -1), (1, 2, -1), (-1, -1, 2). Dígase si es diagonalizable, y si lo es, defínase el tipo de matrices que la diagonalizan.

b) Dada la matriz A, cuyas filas son : (1, 0, 0), (0, cosx, senx), (0, -senx, cosx), aplíquese la definición dada en el apartado a para comprobar si esta matriz es ortogonal o no.

c) Determínese si la matriz A, dada en el apartado b, diagonaliza a la matriz M, dada en el apartado a, para algún valor de x, y si es posible, determínese dicho valor.

SOLUCIONES

EJERCICIO 1

a: falsa, basta hacer z=x+y; b: falsa, z puede ser independiente; c: cierta.

EJERCICIO 2

A3 = 0

EJERCICIO 3

6e1+5e2+7e3=2(e1+e2)+3(e1+e2)+4(xe1+ye2+ze3)!6=2+4x; 5=5+4y; 7=3+4z;

x=1 y=0 z=1

También se podía haber hecho utilizando la fórmula del cambio de base: XU=U´UXU´